Đang tải... (xem toàn văn)
giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4 ,giáo án điện tử toán a2 chương 1 1 4
1.4. CHUỖI LUỸ THỪA 1.4.1. Các định nghĩa • Chuỗi hàm số: • Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng: 0 (1) n n n a x ∞ = ∑ 0 0 ( ) (2) n n n a x x ∞ = − ∑ hay tổng quát, nó có dạng: 1 ( ) n n u x ∞ = ∑ 0 ( 1) 3 ! n n n n x n ∞ = − ∑ ( 1) 3 ! n n n a n − = 1 2 3 ( 1) n n n n x n ∞ = + − ÷ ∑ 2 3 n n n a n + = ÷ 2 2 3 3 1 1! 2! x x= − + −L 2 0 1 2 0 n n n a x a a x a x ∞ = = + + + ∑ L Tại 0 :x = 0 a= 0 1 .3 n n n x n ∞ = ∑ Tại x = 2, chuỗi hội tụ hay phân kỳ? hội tụ Với x thoả 2 2,x− < < chuỗi hội tụ hay phân kỳ? hội tụ 0 n n n a x ∞ = ∑ hội tụ tại 0 0x x= ≠ ( ) 0 0 , ?x x− Nếu biết chuỗi luỹ thừa thì kết luận được gì về tính hội tụ của nó trong ? 0 n n n a x ∞ = ∑ hội tụ tại 0 0x x= ≠ Nếu chuỗi luỹ thừa thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x thoả 1.4.2. Định lý Abel 0 x x< 0 x− 0 x O Niels Henrik Abel (1802 – 1829), Norway 0 0 n n n a x ∞ = ∑ hội tụ hay phân kỳ? 0 lim 0 n n n a x →∞ ⇒ = 0 0 : , 0 n n M a x M n⇒ ∃ > ≤ ∀ ≥ 0 0 0 , 0 n n n n n n x x a x a x M n x x = ≤ ∀ ≥ 0 0 n n x M x ∞ = ∑ 0 x x< Với :x thì hội tụ 0 | | n n n a x ∞ = ⇒ ∑ hội tụ 0 n n n a x ∞ = ⇒ ∑ hội tụ tuyệt đối Chứng minh Hệ quả 0 n n n a x ∞ = ∑ phân kỳ tại 1 x x= Nếu chuỗi luỹ thừa thì nó phân kỳ tại mọi x thoả 1 x x> 1 x− 1 x O Nhận xét từ định lý Abel và hệ quả? [...]... n n +1 c) ∑ ( x + 1) 2 n ÷ 2n + 1 n =1 ∞ Đặt t = ( x + 1) ≥ 0 2 n n ∞ n +1 n +1 n 2n ⇒ ∑ ÷ ( x + 1) = ∑ ÷t n =1 2 n + 1 n =1 2 n + 1 ∞ n 1 x d) ∑ 2 ÷ 2n + 1 1 + x n =1 ∞ 1 1− x Đặt t = 1+ x (n + 1) x n , Ví dụ 2: Tính tổng của chuỗi ∑ n +1 3 n =1 ∞ với x thuộc miền hội tụ của nó ∞ q Với 1 < q < 1 ⇒ ∑ q = 1 q n =1 Hướng dẫn: Tìm MHT X = ( −3,3) n (n + 1) x n... có bán kính hội tụ n =1 n.3 r = ?3 ? Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1. 4. 3 Quy tắc tìm bán kính hội tụ ∞ Xét chuỗi luỹ thừa an x n ∑ n =0 | an +1 | = ρ Hoặc lim n | an | = ρ Giả sử lim n →∞ | a | n →∞ n Khi đó, bán kính của chuỗi luỹ thừa được xác định bằng công thức: 1 ρ , khi 0 < ρ < +∞ r = 0, khi ρ = +∞ +∞, khi ρ = 0 ? Cách tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa Bước 1: ... n =1 ∞ với x thuộc miền hội tụ của nó ∞ q Với 1 < q < 1 ⇒ ∑ q = 1 q n =1 Hướng dẫn: Tìm MHT X = ( −3,3) n (n + 1) x n Gọi S ( x) = ∑ 3n +1 n =1 ∞ Theo Tính chất 3 (ở mục 8.6.3), ta có: x ∞ x n ∞ n +1 t x 1 x x S (t )dt = ∑ (n + 1) ∫ n +1 dt = ∑ ÷ = = ∫ 3 3 1 x 3 − x n =0 0 0 n =0 3 3 3 x ′ ⇒ S ( x) = ÷= 3 − x (3 − x)2 ... chuỗi luỹ thừa Bước 1: Tính bán kính hội tụ r Trường hợp r =0 X = { 0} Trường hợp r = +∞ X =¡ Trường hợp 0 < r < +∞ Bước 2: Xét sự hội tụ tại điểm mútkết luận rồi ∞ Chuyển qua bước 2 x = r , x = −r Trường hợp chuỗi dạng ∑ an ( x − x0 ) n =0 n t = x − x0 ∞ ∑ ant n =0 n Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ của các chuỗi luỹ thừa sau ( x − 2 012 ) n a ) ∑ ( 1) n.3n n =1 ∞ b) ∞ n ∑2 n2 x n n =1 an = 2 n2 ρ = lim n an = . là 2 1 1 ) ( 1) 2 1 n n n n c x n ∞ = + + ÷ + ∑ 2 ( 1) 0t x= + ≥ 2 1 1 1 1 ( 1) 2 1 2 1 n n n n n n n n x t n n ∞ ∞ = = + + ⇒ + = ÷ ÷ + + ∑ ∑ 2 1 1 1 ) 1 2 1 n n x d x n ∞ = − . ÷ + + ∑ 1 1 x t x − = + Đặt Đặt Ví dụ 2: Tính tổng của chuỗi 1 1 ( 1) , 3 n n n n x ∞ + = + ∑ với x thuộc miền hội tụ của nó Hướng dẫn: Tìm MHT ( 3,3)X = − 1 1 ( 1) ( ) 3 n n n n. có: 1 0 0 0 ( ) ( 1) 3 x x n n n t S t dt n dt ∞ + = = + ∑ ∫ ∫ 1 n n q ∞ = ⇒ = ∑ Với 1 1q− < < 1 q q− 2 3 ( ) 3 (3 ) x S x x x ′ ⇒ = = ÷ − − 1 0 3 n n x + ∞ = = ÷ ∑ 1 . 3