A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI MỞ ĐẦU. Trong chương trình Hình học 12 thì phần thể tích khối đa diện, trong đó có bài toán tính thể tích khối chóp là một phần rất quan trọng. Các năm gần đây, ở các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi Đại học, Cao đẳng thường xuyên có một câu về tính thể tích khối đa diện và chủ yếu là tính thể tích khối chóp. Tuy nhiên thời lượng học chương trình này lại rất ít. Ở chương trình chuẩn chỉ có 2 tiết, chương trình nâng cao cũng chỉ có 3 tiết. Bên cạnh đó nội dung trong sách giáo khoa chưa phân được các dạng toán cụ thể . Chẳng hạn để tính thể tích khối chóp, ở chương trình SGK nâng cao Hình học lớp 12, chỉ đưa ra được một ví dụ minh họa đó là: “Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a”. SGK chỉ dừng lại ở ví dụ trên mà không có thêm bất cứ một ví dụ nào khác, cũng như không nêu rõ các bước giải toán khi mà hình chóp không phải là hình chóp đều. Điều này đã gây khó khăn lớn với hầu hết học sinh khi làm bài tập tính thể tích các khối chóp khác nhau. II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. 1.Thực trạng: Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy ở trường THPT Đặng Thai Mai, với phần đa số là học sinh thuộc trung bình, tôi nhận thấy rằng phần lớn các em đều không hứng thú học hình không gian trong đó có phần tính thể tích khối chóp. Các em gần như bỏ qua phần này hoặc chỉ học mang tính chất đối phó. Điều đó dẫn đến các em không đạt yêu cầu khi giải các bài toán về thể tích khối chóp. 2.Kết quả của thực trạng Tôi đã cho tiến hành khảo sát ở ba lớp12 năm học 2009 - 2010: 12C1, 12C2, 12C3 tại trường THPT Đặng Thai Mai về bài tính thể tích khối chóp ngay sau bài thể tích khối đa diện với bài toán sau: “Tính thể tích khối chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc và có độ dài đều bằng a”. 1 Kết quả thu được như sau: Lớp Sĩ số Vẽ hình đúng Xác định được đường cao Tính đúng thể tích Trình bày đúng 12C1 45 15(33,3%) 13(28,9%) 10(22,2%) 7 (15,6%) 12C2 47 11(23,4%) 9(19,1 %) 6(12,8%) 4 (8,5%) 12C3 43 12(27,9%) 7(16,2%) 5(11,6%) 3 (7 %) Từ bảng trên ta thấy có đến hơn 67% không vẽ đúng hình, trên 71% học sinh không xác định được đường cao của hình chóp, trên 77% không tính được thể tích và trên 84% không biết trình bày hoặc lập luận chưa chính xác. Từ thực trạng trên, để giúp các em có thể tiếp thu dễ dàng hơn các bài toán tính thể tích khối chóp, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, sắp xếp, phân loại các dạng toán tính thể tích khối chóp gần giống với các dạng toán trong Đại số qua sáng kiến kinh nghiệm : “Một số phương pháp tính thể tích khối chóp”. Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn rằng học sinh được trang bị một cách tương đối đầy đủ và toàn diện về phương pháp tính tính thể tích của khối chóp. Giúp học sinh để có một cái nhìn sâu hơn về bài toán tính thể tich khối chóp nói riêng và các bài toán thể tích khối đa diện nói chung, đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao trong các kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. 2 1.Cơ sở lí luận: - Các tính chất của quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không gian, các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác: - Một số dạng tính thể tích khối chóp: Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V= 1 . 3 B h ( B là diện tích đáy, h là chiều cao) Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và công thức: ' ' ' '. '. ' . . SA B C SABC V SA SB SC V SA SB SC = (A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC) Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công thức thể tích khối chóp ABCD: V= 1 , . 3 AB AC AD     uuur uuur uuur 2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện: Bài giảng được thực hiện qua các tiết dạy bồi dưỡng học sinh, tự chọn, ôn tập hoặc phụ đạo nhằm khắc phục thời lượng hạn chế theo Phân phối chương trình. Cung cấp cho học sinh các dạng toán tính thể tích khối chóp (phương pháp, ví dụ minh họa và bài tập áp dụng giúp học sinh tự rèn luyện, ôn tập) : Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V= 1 . 3 B h (1) ( B là diện tích đáy, h là chiều cao) Dạng này được sử dụng ở các trường hợp sau: Trường hợp 1: Khối chóp có cạnh bên nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. Phương pháp: 3 a b b S A B C a b c α S A B C S A B C D - Xác định đường cao (chính là cạnh bên vuông góc với đáy). - Tính đường cao và diện tích đáy. Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp. Một số ví dụ minh họa . Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).SA=a, tam giác ABC vuông tại B và BA=BC= b. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Lời giải: Ta có )(ABCSA ⊥ nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC 2 1 . 2 2 ABC b S BA BC= = Ta có thể tích khối chóp S.ABC là: V= ABC SSA ∆ . 3 1 = 22 6 1 2 1 . 3 1 abba = (đvtt) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=a, tam giác ABC có A= α và AB=b, AC=c. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Lời giải: Ta có )(ABCSA ⊥ nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC 1 sin . sin 2 2 ABC bc S AB AC α α = = . Thể tích khối chóp S.ABC là: V = ABC SSA ∆ . 3 1 = αα sin 6 1 sin 2 1 . 3 1 abcbca = (đvtt) Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy.Góc giữa SC và đáy bằng 60 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Lời giải: 4 Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA là đường cao của hình chóp S.ABCD. Mặt khác AC= 2 2 2AB AC a+ = AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA. Suy ra SCA =60 0 và SA=AC.tanSCA= 2a .tan60 0 = 6a Diện tích đáy ABCD bằng S ABCD =AB 2 =a 2 . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: V= 3 2 1 1 6 . 6. 3 3 3 ABCD a SA S a a= = (đvtt) Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết: a) Cạnh AB= a, AD=2a, SA=3a. b) Cạnh đáy AB=a 3 , AD=a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 30 0 . Trường hợp 2: Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với mặt đáy. Phương pháp: - Xác định đường cao . (chính là cạnh chung của hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy). - Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp. Một số ví dụ minh họa . 5 S A B C D Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với đáy. SA =a, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A=120 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Lời giải: Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA là đường cao của hình chóp S.ABCD. Ta có S ABCD =2S ACD mà 2 2 2 1 1 3 3 . .sin 2 2 2 4 3 2 ABCD ABCD a a S DA DC D a S = = = ⇒ = Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD 2 3 1 1 3 3 . . 3 3 4 12 ABCD a a V SA S a= = = (đvtt) Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông cạnh a. Các mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc 30 0 . Tính thể tích khối chóp Lời giải: Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA là đường cao của hình chóp Ta có: S ABCD =AB 2 =a 2 , AC= 2 2 2AB BC a+ = . SA ⊥ AC (vì SA ⊥ (ABCD) ), suy ra AC là hình chiếu vuông góc của SC xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc SCA bằng 30 0 . 6 D C A B S N M S A B C Xét tam giác SAC vuông tại A có SA=AC.tanSCA = 0 6 2.tan 30 3 a a = Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD : 3 2 1 1 6 6 . . 3 3 3 9 ABCD a a V SA S a= = = (đvtt) Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a. Các mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng(ABC).Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.BCMN. Lời giải: Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA là đường cao của hình chóp S.BCMN . Vì AB ⊥ BC (giả thiết) nên SB ⊥ BC (định lí ba đường vuông góc) Và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SBA. Suy ra SA=AB.tan SBA = 2a.tan60 0 = 2 3 a. Mặt khác MN// BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC và 2 3 3 1 3 . . 4 4 2 2 BCMN ABC a S S BA BC= = = Thể tích khối chóp S.BCMN: V= 3 1 . . 3 3 BCMN SA S a= (đvtt) Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC=a, hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy.Góc tạo bởi SC và mặt đáy bằng 60 0 .Tính thể tích khối chóp. 7 60 0 I A D C B S Trường hợp 3: Khối chóp có hai mặt phẳng đi qua đỉnh (không chứa mặt bên) cùng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. Phương pháp: - Xác định đường cao. (nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt đáy). - Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp. Một số ví dụ minh họa . Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A , AB=AD=2a, CD =a, góc giữa SC và (ABCD) bằng 60 0 .Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Lời giải: Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là đường cao của hình chóp S.ABCD . IC là hình chiếu vuông góc của SC Xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCI =60 0 .Theo định lí Pitago ta có: 2 2 2 2 2IC ID DC a a a= + = + = ⇒ SI=IC .tan SCI= 0 2.tan 60 6a a= Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ta có S ABCD = 2 ( ). (2 )2 3 2 2 ABCD AB CD AD a a a S a + + = = = Thể tích khối chóp S.ABCD: V= 2 3 1 1 . . 6.3 6 3 3 ABCD SI S a a a= = (đvtt) 8 60 0 N M A D C B S S O A B D C Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Gọi M là trung điểm của AB, hai mặt phẳng (SMC) và (SMB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 45 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Lời giải: Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là đường cao của hình chóp S.ABCD . Gọi N là trung điểm của BC ta có MN là đường trung bình của hình vuông ABCD nên MN ⊥ BC suy ra SN ⊥ BC và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SNM= 45 0 . Ta có MN=a và SM=MN.tanSNM=a.tan45 0 =a. S ABCD =AB.AD=a 2 Thể tích khối chóp S.ABCD: V= 3 1 . 3 3 ABCD a SM S = (đvtt) Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD=120 0 . Gọi O là giao điểm của AC và BD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) .Góc giữa hai mặt phẳng SA và (ABCD) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Lời giải: Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp S.ABCD AO là hình chiếu vuông góc của SA xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) là góc SAO = 60 0 . Ta có OAB = 60 0 9 nên AO = 0 . os60 2 a AB c = và SO=AO.tan SAO= 0 3 tan 60 2 2 a a = . S ABCD =AB.AD.sinBAD =a 2 .sin120 0 = 2 3 2 a . Thể tích khối chóp S.ABCD: V= 2 3 1 1 3 3 . . . 3 3 2 2 4 ABCD a a a SO S = = (đvtt) Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH= a .Tính thể tích khối chóp S.CDMN Trường hợp 4: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy. Phương pháp: - Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy là giao giữa mặt bên đó với mặt đáy ). - Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp. Một số ví dụ minh họa . Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có đáy lớn là AB = 2a, AD =CD =a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau, tam giác SAB đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Lời giải: Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH ⊥ AB suy ra SH ⊥ (ABCD) hay SH là đường cao của hình chóp.SH=SA.sin60 0 = 3 2 . 3 2 a a= .Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên AB khi đó 10 [...]... (A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC) Phương pháp: - Tính thể tích khối chóp S.ABC - Lập tỉ số các cạnh từ đó suy ra thể tích khối chóp S.A’B’C’ Một số ví dụ minh họa Ví dụ 17: A Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của AB và AD Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần Tính thể D ' tích hai phần đó B ' Lời giải: Ta có D B C 15 VAB... 1.Cơ sở lí luận 2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức Trang 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 3 V= B.h Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích B 15 VSA ' B ' C ' SA '.SB '.SC ' = VSABC SA.SB.SC Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công thức thể tích khối chóp ABCD: 16... nhau thuộc mặt đáy Phương pháp: - Xác định đường cao (chính là cạnh bên đó ) - Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp Một số ví dụ minh họa 12 Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc, SA=AB=AC=a Tính thể tích khối chóp S.ABC Lời giải: SA ⊥ AB ⇒ SA ⊥ ( ABC ) SA ⊥ AC Ta có  S nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC S ABC... 2 (đvtt) Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA,AB,AC đôi một vuông góc, SA=a, AB=b, AC=c .Tính thể tích khối chóp S.ABC Trường hợp 6: Khối chóp đa giác đều Phương pháp: - Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống tâm của đa giác đáy ) 13 - Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1) để tính thể tích khối chóp Một số ví dụ minh họa Ví dụ 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết... ABC mà 15 a3 3 nên thể tích khối chóp S.AB’C’D’ : V = 2 8 a 3 16a 3 = (đvtt) 15 3 45 Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 5 , đường chéo AC =4, đoạn thẳng SO= 2 2 (O là tâm của hình thoi) vuông góc với đáy.Gọi M là trung điểm của cạnh SC Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN 16 Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và uu... khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và uu uu uu ur ur ur 1 công thức thể tích khối chóp ABCD: V=  AB, AC  AD   (2) 3 Phương pháp: - Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz phù hợp - Tọa độ hóa bài toán - Áp dụng công thức (2) để tính thể tích khối chóp Một số ví dụ minh họa Ví dụ 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2 , SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)... lớp đã nêu, tôi đã cho học sinh kiểm tra qua ba bài toán sau: Bài 1(6 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng (SAC) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Góc tạo bởi (SCD) và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp Bài 2(4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên (SAB)vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết AB=2a, tam giác SAB cân... SO=OM.tan600= 3 = a 3 2 SABCD=AB2=a2 1 3 Thể tích khối chóp S.ABCD: V= SO.S ABCD = a3 3 (đvtt) 6 Bài tập áp dụng: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và công thức: VSA ' B 'C ' SA '.SB '.SC... pháp trên vào dạy học Điều đặc biệt quan trọng hơn nữa mà phương 19 pháp đem lại đó là đã tạo được niềm tin ở bản thân, sự say mê và hứng thú rất cao của các em khi giải các bài toán tính thể tích khối chóp nói riêng và bài toán hình học không gian nói chung 2.Ý kiến đề xuất: - Với khả năng, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế, việc áp dụng phương pháp cũng như hệ thống bài tập đưa ra ở trên chắc chắn... ABC = 1 a2 AB AC = 2 2 a C Thể tích khối chóp S.ABC là: 1 3 1 3 1 2 a A 1 6 V = SA.S ∆ABC = a a 2 = a 3 (đvtt) a B Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc, SA=a, AB=AC= b Tính thể tích khối chóp S.ABC S Lời giải: SA ⊥ AB ⇒ SA ⊥ ( ABC ) SA ⊥ AC Ta có  C nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC S ∆ABC = A 1 b2 AB AC = 2 2 B 1 3 1 3 1 2 1 6 Thể tích khối chóp S.ABC là: VS.ABC= . của hình chóp S.ABC) Phương pháp: - Tính thể tích khối chóp S.ABC - Lập tỉ số các cạnh từ đó suy ra thể tích khối chóp S.A’B’C’. Một số ví dụ minh họa . Ví dụ 17: Cho tứ diện ABCD có thể tích. giác, tứ giác: - Một số dạng tính thể tích khối chóp: Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V= 1 . 3 B h ( B là diện tích đáy, h là chiều cao) Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào. : Một số phương pháp tính thể tích khối chóp . Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn rằng học sinh được trang bị một cách tương đối đầy đủ và toàn diện về phương pháp tính tính thể tích