Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 40 CHUYÊN ĐỀ 6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI AX 2 + BX + C = 0 I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 1. Giải phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 Cách 1: Giải theo trường hợp đặc biệt: + Nếu a + b + c = 0  x 1 = 1; x 2 = c a + Nếu a - b + c = 0  x 1 = -1; x 2 = c a  Cách 2: Áp dụng công thức nghiệm để giải: bước 1: Lập  = b 2 - 4ac Bước 2: + Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm x 1 = 2 b a    và x 2 = 2 b a    + Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = 2 b a  + Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm. Lưu ý: Có thể giải theo công thức nghiệm thu gọn nếu b  2 2. Tìm điều kiện để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có: a. Hai nghiệm phân biệt: + Lập  = b 2 - 4ac ( hoặc  ' = b' 2 - ac ) + Giải bất phương trình  (hoặc  ') > 0 b. Nghiệm kép: Giải phương trình  (hoặc  ') = 0 c. Vô nghiệm: Giải bất phương trình  (hoặc  ') < 0 d. Có nghiệm: Giải bất phương trình 0   hoặc a.c < 0 e. Hai nghiệm dương: giải hệ phương trình: 0 0 0 S P          Với  = b 2 - 4ac; S = x 1 + x 2 = b a  và P = x 1 .x 2 = c a Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 41 f. Hai nghiệm âm: giải hệ phương trình: 0 0 0 S P          g. Hai nghiệm trái dấu: Giải phương trình: P < 0 h. Hai nghiệm cùng dấu: Giải hệ phương trình: 0 0 P       k. Hai nghiệm đối nhau: giải hệ phương trình: 0 0 S       l. Hai nghiệm nghịch đảo: Giải hệ phương trình: 0 1 P       3. Tính biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai: Cách 1: Bước 1: Chứng minh  ( hoặc  ' )  0 Bước 2: Tính S = x 1 + x 2 và P = x 1 .x 2 Bước 3: Biến đổi biểu thức chứa nghiệm thành biểu thức chỉ chứa tổng x 1 + x 2 và tích x 1 .x 2 Bước 4: Thay S, P vào biểu thức vừa biến đổi. Cách 2: + Giải phương trình được nghiệm x 1, x 2 + Thay giá trị x 1 và x 2 vào biểu thức cần tính Ví dụ: Cho phương trình x 2 - 4x 3 + 8 = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 . Tính giá trị của biểu thức: Q = 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 6 10 6 5 5 x x x x x x x x    Giải: phương trình x 2 - 4x 3 + 8 = 0 có  ' =   2 2 3 - 8 = 12 - 8 = 4 > 0 Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 Theo hệ thức vi-ét ta có: S = x 1 + x 2 = 4 3 b a   P = x 1 .x 2 = c a = 8 Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 42 Q = 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 6 10 6 5 5 x x x x x x x x    =     2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 6 10 5 x x x x x x x x    =     2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 6 2 10 5 2 x x x x x x x x x x x x              =     2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 6 2 5 2 x x x x x x x x x x         Thay S và P vào Q ta có: Q =         2 2 6 4 3 2.8 16 18 1 17 40.16 3 1 80 5.8 4 3 2.8            5. Tìm hai số biết tổng bằng S và tích bằng P: Thay giá trị của S, P vào phương trình bậc hai X 2 - SX + P = 0 và giải ta được hai nghiệm là hai số cần tìm. 6.Tìm điều kiện m để phương trình ax 2 + bx + c = 0 (6) có một nghiệm x =  (  là hằng số). Tìm nghiệm còn lại: Cách 1: Bước 1: Giải phương trình (6) với điều kiện   0 (hoặc  '  0) được hai nghiệm x 1 , x 2 Bước 2: Cho x 1 =  hoặc x 2 =  ta tìm được m Bước 3: Thay m vừa tìm được vào nghiệm còn lại hoặc thay m vào phương trình (6) và giải ta được 1 nghiệm bằng  và một nghiệm còn lại. Cách 2: Vận dụng hệ thức vi-ét ta có: S = x 1 + x 2  x 2 = S - x 1 = S -  hoặc P = x 1 .x 2  x 2 = P : x 1 = P :  Từ đó tìm được m và nghiệm còn lại. Ví dụ: Cho phương trình x 2 - 2(m + 1)x + 3m = 0 . Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3 và tính nghiệm kia. Giải:  ' = (m + 1) 2 - 3m = m 2 - m + 1 = (m - 1 2 ) 2 + 3 4 > 0 ( vì 2 1 0 2 m         ) 2 1 1 1 x m m m       2 2 1 1 x m m m      Với x 1 = 3  2 1 1 3 m m m      2 1 2 m m m       m 2 - m + 1 = 4 - 4m + m 2  m = 1 Thay m = 1 vào phương trình x 2 - 2(m + 1)x + 3m = 0 được: x 2 - 4x + 3 = 0 Theo hệ thức vi-ét ta có: S = x 1 + x 2 = 4  x 2 = 4 - x 1 = 4 - 3 = 1 Với x 2 = 3  2 1 1 3 m m m      2 2 1 m m m       m 2 - 4m + 4 = m 2 - m + 1  3m = 3  m = 1 Thay m = 1 vào phương trình x 2 - 2(m + 1)x + 3m = 0 ta được: x 2 - 4x + 3 = 0 Vì a + b + c = 0  x 1 = 1, x 2 = 3 Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 43 Vậy với m = 1 thì phương trình x 2 - 2(m + 1)x + 3m = 0 có một nghiệm bằng 1 và nghiệm còn lại bằng 3 7. Tìm m để phương trình ax 2 + bx + c = 0 (7) ( trong các hệ số a, b hoặc c có chứa m ) có hai nghiệm thỏa điều kiện (*) chứa nghiệm x 1 , x 2 của phương trình (7) Cách giải: Bước 1: Khẳng định phương trình (7) có   0 (hoặc  '  0) cúng có thể tìm điều kiện theo m để   0 (hoặc  '  0) Bước 2: Tính S = x 1 + x 2 và P = x 1 .x 2 Bước 3: Biến đổi điều kiện (*) thành biểu thức chỉ chứa S , P và thay S, P ở bước hai vào điều kiện (*) ta được điều kiện (**) theo m. Bước 3: Giải điều kiện (**) ta tìm được m. Ví dụ: Cho phương trình x 2 - 4x + m + 1 = 0. Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: x 1 2 + x 2 2 = 10. Giải: Phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 khi và chỉ khi  '  0 4 1 0 m     3 m   Với 3 m  . Theo hệ thức vi-ét ta có: S = x 1 + x 2 = b a  = 4 P = x 1 .x 2 = 1 c m a    x 1 2 + x 2 2 = 10  (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 10  4 2 - 2(m + 1) = 10  16 - 2m -2 = 10  2m = 4  m = 2 ( thỏa 3 m  ) Vậy với m = 2 thì phương trình x 2 - 4x + m + 1 = 0 có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa x 1 2 + x 2 2 = 10 8. Tìm điều kiện để biểu thức chứa nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 đạt cực trị (GTLN hoặc GTNN) với hệ số a, b, c có chứa m. Cách giải: Bước 1: Tìm điều kiện của m để   0 (hoặc  '  0) Bước 2: Tính S = x 1 + x 2 và P = x 1 .x 2 Bước 4: Biến đổi biểu thức chứa nghiệm thành biểu thức chỉ chứa tổng và tích của hai nghiệm và thay S và P vào biểu thức Bước 4: Áp dụng phương pháp tìm cực trị của biểu thức. Từ đó tìm được giá trị m tương ứng Bước 5: Đối chiếu với điều kiện và kết luận Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 44 Ví dụ: Cho phương trình x 2 - ax + a - 1 = 0. Tìm a để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 2 + x 2 2 (*) đạt giá trị nhỏ nhất. Giải: Phương trình luôn có nghiệm x 1 , x 2 vì  = a 2 - 4(a - 1)   = a 2 - 4a + 4   = (a - 2) 2  0 Theo hệ thức vi-ét ta có: S = x 1 + x 2 = b a  = a và P = x 1 .x 2 = c a = a - 1 Ta có: x 1 2 + x 2 2 - x 1 x 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 (*) Thay S, P vào biểu thức (*) ta được: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = a 2 - 2(a - 1) = a 2 - 2a + 2 = (a - 1) 2 + 1 Vì (a - 1) 2  0 nên x 1 2 + x 2 2 = (a - 1) 2 + 1  1  x 1 2 + x 2 2 đạt GTNN là 1  a - 1 = 0 hay a = 1 Lưu ý: + Ta có thể bỏ qua bước tìm điều kiện '   0 nhưng khi giải ra a = 1 thì phải thay giá trị a vào phương trình x 2 - ax + a - 1 = 0 và kiểm tra '   0 + Nếu việc giải phương trình theo tham số a là đơn giản hoặc biểu thức (*) không thể biến đổi thành tổng và tích thì ta giải ra nghiệm x 1 , x 2 rồi thay vào biểu thức để tìm cực trị. 9. Tìm hệ thức liên hệ độc lập giữa hai nghiệm x 1 , x 2 không phụ thuộc vào tham số m: Cách giải: Bước 1: Tìm điều kiện của m để   0 (hoặc  '  0) Bước 2: Tính S = x 1 + x 2 và P = x 1 .x 2 Bước 3: Từ S = x 1 + x 2 ta rút m theo x 1 , x 2 . Giả sử m = A(x 1 ; x 2 ) Từ P = x 1 .x 2 ta rút m theo x 1 , x 2 . Giả sử m = B(x 1 ; x 2 ) Bước 4: Lập A(x 1 ; x 2 ) = B(x 1 ; x 2 ) là hệ thức cần lập. Ví dụ: Cho phương trình x 2 - 2(m - 1)x + 2m - 3 = 0. Hãy lập hệ thức liên hệ độc lập giữa hai nghiệm x 1 , x 2 không phụ thuộc vào tham số m. Giải: '  = (m - 1) 2 - 2m + 3 = m 2 - 2m + 1 - 2m + 3 = m 2 - 4m + 4 = (m - 2) 2  0  phương trình luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 theo hệ thức vi-ét ta có: S = x 1 + x 2 = 2(m - 1) = 2m -2  2m = x 1 + x 2 + 2 hay m = 1 2 2 2 x x   (1) P = x 1 .x 2 = 2m - 3  2m = x 1 .x 2 + 3 hay m = 1 2 . 3 2 x x  (2) Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 45 Từ (1) và (2) suy ra 1 2 2 2 x x   = 1 2 . 3 2 x x  là hệ thức liên hệ độc lập giữa hai nghiệm x 1 , x 2 . 10. Một số biểu thức chứa nghiệm thường gặp đưa được về tổng và tích hai nghiệm: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 - 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2 ) 2 - 2x 1 2 x 2 2 = [(x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 ] 2 - 2(x 1 x 2 ) 2 x 1 6 + x 2 6 = (x 1 2 ) 3 + (x 2 2 ) 3 = (x 1 2 + x 2 2 ) 3 - 3x 1 2 x 2 2 (x 1 2 + x 2 2 ) = [(x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 ] 3 - 3(x 1 x 2 ) 2 [(x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 ] 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x        2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 x x x x x x x x           3 1 2 1 2 1 2 3 3 3 1 2 1 2 3 1 1 x x x x x x x x x x      11. Với giá trị nào của tham số m thì hai phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (1) a'x 2 + b'x + c' = 0 (2) có hai nghiệm chung Cách giải: Điều kiện cần Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x 0 Bước 2: Thay nghiệm x = x 0 vào phương trình (1) và (2) ta có: ax 0 2 + bx 0 + c = 0 (3) a'x 0 2 + b'x 0 + c' = 0 (4) Rút tham số m theo x 0 từ (3) và (4). Từ đó tìm được x 0 Bước 4: Thay x 0 vào (3) hoặc (4) tìm được m Điều kiện đủ : Thay m vào phương trình (1) và (2) giải từng phương trình có được nghiệm chung x 0 và kết luận. Ví dụ: Với giá trị nào của tham số m, hai phương trình sau có nghiệm chung: 2x 2 + (3m + 1)x - 9 = 0 (1) 6x 2 + (7m - 1)x - 19 = 0 (2) Giải: Điều kiện cần: Giả sử phương trình (1) và (2) có nghiệm chung là x 0 Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 46  2x 0 2 + (3m + 1)x 0 - 9 = 0 (3) 6x 0 2 + (7m - 1)x 0 - 19 = 0 (4) Vì x 0 = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) và (2) nên x 0  0 Từ (3) suy ra 3mx 0 = -2x 0 2 - x 0 + 9  m = 2 0 0 0 9 - 2x - x 3x Từ (4) suy ra 7mx 0 = 19 - 6x 0 2 + x 0  m = 2 0 0 0 19 6 7 x x x   Suy ra 2 0 0 0 9 - 2x - x 3x = 2 0 0 0 19 6 7 x x x    63 - 14x 0 2 - 7x 0 = 57 - 18x 0 2 + 3x 0  4x 0 2 - 10x 0 + 6 = 0  0 0 3 2 1 x x        Với x 0 = 3 2 thay vào (3) ta được: 2( 3 2 ) 2 + (3m + 1) 3 2 - 9 = 0    3 3 1 9 9 0 2 2 m    2 9 6 3 m m     Với x 0 = 1 thay vào (3) ta được: 2.1 2 + (3m + 1).1 - 9 = 0  3m = 6  m = 2 Điều kiện đủ: Thay m = 2 3 vào phương trình (2) ta được: 2x 2 + (3. 2 3 + 1)x - 9 = 0  2x 2 + 3x - 9 = 0 (5) 6x 2 + (7. 2 3 - 1)x - 19 = 0  18x 2 + 11x - 57 = 0 (6) Giải phương trình (5) và (6) ta được nghiệm chung x = 3 2 Thay m = 1 vào phương trình (1) và (2) ta được: 2x 2 + 4x - 9 = 0 (7) 6x 2 + 6x - 19 = 0 (8) Giải phương trình (7) và (8) không có nghiệm chung Vậy với m = 2 3 thì phương trình (1) và (2) có nghiệm chung là 3 2 Lưu ý: Trong trường hợp tìm giá trị của tham số để 2 phương trình: Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 47 ax 2 + bx + c = 0 (9) a'x 2 + b'x + c' = 0 (10) có hai nghiệm chung Ta tiến hành theo hai bước sau: Bước 1: Điều kiện cần: Các hệ số của phương trình (9) và (10) khác 0 và tương ứng tỷ lệ, tức là: ' ' ' , , , ', ', ' 0 a b c a b c a b c a b c         từ đó tìm được tham số Bước 2: Điều kiện đủ: Thay tham số vừa tìm được vào phương trình (9) và (10). Giải từng phương trình ta được hai nghiệm chung. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1. Cho phương trình x 2 - 2(m + 1)x + 3m = 0 a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với mọi giá trị của m b. Tính giá trị của biểu thức A = x 1 3 + x 2 3 và B = x 1 - x 2 theo m c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa: 1 2 2 1 5 x x x x   d. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 , x 2 không phụ thuộc vào m e. Tìm GTNN của biểu thức x 1 2 + x 2 2 - 6x 1 x 2 f. Lập phương trình bậc hai nhận 1 x + 2 1 x và 2 1 1 x x  làm nghiệm g. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều dương ? Hai nghiệm trái dấu ? Hai nghiệm đối nhau ? h. Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3. Tính nghiệm kia. i. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa 2x 1 - 3x 2 = 1 2. Cho phương trình bậc hai: (m + 1)x 2 - 2(m + 1)x + m - 3 = 0 (m  -1) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai nghiệm đó có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia. 3. Chứng minh rằng nếu phương trình x 2 + 2mx + n = 0 có nghiệm thì phương trình: x 2 + 2(k + 1 k )mx + n(k + 1 k ) 2 = 0 cũng có nghiệm ( với m, n, k là các tham số; k  0) 4. Choa phương trình bậc hai: (2m - 1)x 2 - 2mx + 1 = 0 a. Tìm m để phương trình có một nghiệm thuộc (-1;0) Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 48 b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa 2 2 1 2 1 x x   5. Tìm m để phương trình: x 2 - x + m = 0 có nghiệm 6. Cho phương trình x 2 - 2mx + m + 2 = 0 a. Xác định m để phương trình có hai nghiệm không âm b. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức E = 1 2 x x  theo m 7. Cho phương trình x 2 - 2(m + 4)x + m 2 - 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: a. A = x 1 + x 2 - 3x 1 x 2 đạt GTLN b. B = x 1 2 + x 2 2 - x 1 x 2 đạt GTNN c. Tìm hệ thức độc lập giữa x 1 , x 2 không phụ thuộc vào m. 8. Với giá trị nào của các tham số a và b, các phương trình bậc hai: (2a + 1)x 2 - (3a - 1)x + 2 = 0 (1) (b + 2)x 2 - (2b + 1)x - 1 = 0 (2) có hai nghiệm chung 9. Tìm các giá trị của k để hai phương trình: 2x 2 + kx - 1 = 0 và kx 2 - x + 2 = 0 có nghiệm chung 10. Cho ba phương trình: ax 2 + 2bx + c = 0 (1) bx 2 + 2cx + a = 0 (2) cx 2 + 2ax + b = 0 (3) Với a, b và c khác 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình trên phải có nghiệm. 11. Cho phương trình x 2 + ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn: x 1 - x 2 = 5, x 1 3 - x 2 3 = 35. tính các nghiệm đó 12. Cho a là số thực khác -1. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn các hệ thức: 4x 1 x 2 + 4 = 5(x 1 + x 2 ) (1) (x 1 - 1)(x 2 - 1) = 1 1 a  (2) 13. tìm m để phương trình x 2 - 2(m + 1)x + m 2 + 2m - 5 = 0 có hai nghiệm sao cho: (x 1 2 - 1)(x 2 2 - 1) - x 1 2 x 2 2 đạt GTLN 14. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 - 3x + a = 0. Gọi t 1 , t 2 là hai nghiệm của phương trình t 2 - 12t + b = 0. Cho biết 1 2 1 2 1 2 x x t x t t   . Tính a và b. . Tổ: Toán - Lý-Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 40 CHUYÊN ĐỀ 6 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI AX 2 + BX + C = 0 I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: . phương trình (9) và (10). Giải từng phương trình ta được hai nghiệm chung. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1. Cho phương trình x 2 - 2(m + 1)x + 3m = 0 a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai. Lập phương trình bậc hai nhận 1 x + 2 1 x và 2 1 1 x x  làm nghiệm g. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều dương ? Hai nghiệm trái dấu ? Hai nghiệm đối nhau ? h. Tìm m để phương trình