Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý - Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 19 CHUYÊN ĐỀ 3 TÌM CÁC GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA X(HOẶC Y ) ĐỂ BIỂU THỨC A NHẬN GIÁ TRỊ NGUYÊN 1. Cách giải: Bước 1: Rút gọn biểu thức A(x) Bước 2: + Nếu A(x) có dạng ( ) m B x (m  Z) (1)  A(x) có giá trị nguyên  B(x) là ước của m Từ đó giải các phương trình B(x) = c ( với c lần lượt là ước của m ) + Nếu A(x) có dạng A(x) = ( ) ( ) C x B x ta thực hiện chia đa thức C(x) cho đa thức B(x) và viết biểu thức A(x) thành dạng: A(x) = D(x) + ( ) n B x ( n  Z và B(x) có thể là một biểu thức số )  A(x) có giá trị nguyên  B(x) là ước của n Từ đó giải các phương trình B(x) = c' ( với c' lần lượt là ước của n ) Bước 3: Đối chiếu với điều kiện ở bước 1 và trả lời Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu tính các giá trị nguyên của A(x) ta lần lượt thay các giá trị nguyên của x vừa tìm được vào A(x) 2. Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: A = 2 10 7 5 2 3 x x x    Giải: ĐK: 2x - 3  0  x  3 2 Thực hiện hiện phép chia đa thức 10x 2 - 7x - 5 cho đa thức 2x - 3 ta được thương là 5x + 4 và dư là 7  A = 2 10 7 5 2 3 x x x    = 5x + 4 + 7 2 3 x  Để A nhận giá trị nguyên khi x nguyên thì 7 2 3 Z x   hay 2x - 3 là ước của 7  2x - 3 =  1;  7 Giải các phương trình: 2x - 3 = 1 2x - 3 = -1 Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý - Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 20 2x - 3 = 7 2x - 3 = -7 Ta được x = -2; 1; 2; 5 ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy A nhận giá trị nguyên khi x = -2; 1; 2; 5 Ví dụ 2: Cho biểu thức M = 3 3 1 ( 1)( ) : 2 2 2 a a a a b a ab b a a b b a b a ab b                           a. Rút gọn biểu thức M b. Tìm những giá trị nguyên của a để M nhận giá trị nguyên và tính các giá trị nguyên tương ứng. Giải: a. ĐK: a  0, b  0, a  1, a  b M =   3 3 3 3 ( 1)( ) : 2( ) a a b a a ab b a a b a ab b a b           =          2 3 3 3 1 a ab b a a b a a ab b a b a ab b a a b              =       2 2 1 a a b b a b a a b       =         2 .2 2 1 1 a b a a b a a b       b. M = 2 1 a  M có giá trị nguyên khi 2 1 a  có giá trị nguyên hay a - 1là ước của 2. Các uớc nguyên của 2 là  1;  2. Do đó: a - 1 =1  a = 2 a - 1 = -1  a = 0 a - 1 = 2  a = 3 a - 1 = -2  a = -1 Đối chiếu với điều kiện a = -1 (loại). Vậy với a = 0 thì M có giá trị nguyên là 2 0 1  = -2 a = 2 thì M có giá trị nguyên là 2 2 1  = 2 a = 3 thì M có giá trị nguyên là 2 3 1  = 1 Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý - Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 21 Ví dụ 3: Cho biểu thức N = 3 2 3 3 1 : 9 1 3 1 x x x x x x x x x x                           a. Rút gọn biểu thức N b. Tìm gí trị nguyên của x để N nhận gí trị nguyên Giải: a. ĐK: 3 0 1 9 0 9 1 0 0 0 x x x x x x x                        N = 3 2 3 3 1 : 9 1 3 1 x x x x x x x x x x                           =           3 3 1 2 1 : 3 1 3 3 1 1 x x x x x x x x x x x x                             = 2 3 1 : 3 3 1 1 x x x x x x x x                         = 3 2 3 : 3 1 x x x x x x x        = 2 3 1 3 2 3 x x x x x x        = 1 3 x x   c. N = 1 3 x x   = 1 + 4 3 x  Để N nhận giá trị nguyên thì x - 3 là ước của 4 3 1; 2; 4 x       3 1 16 3 1 4 3 2 25 3 2 1 3 4 49 3 4 x x x x x x x x x x x                                           Đối chiếu với điều kiện x = 1 loại Vậy N nhận giá trị nguyên khi x = 4; 16; 25; 49 Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý - Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 22 Lưu ý: Trường hợp A(x) = ( ) ( ) C x B x ta thực hiện phép chia đa thức C(x) cho B(x) mà phần dư của phép chia là một đa thức của ẩn x VD: A(x) = f(x) + ( ) ( ) g x B x ta phải xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: A(x) nhận giá trị nguyên khi g(x) = 0 và giải phương trình g(x) = 0 Trường hợp 2: g(x)  0 ta giải bất phương trình: ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x g x B x g x B x        hoặc ( ) 0 ( ) ( ) g x g x B x      Ví dụ 4: Tìm tấc cả các số nguyên x sao cho: A = 3 2 2 8 2 1 x x x x    là số nguyên Giải: ĐK: x  R A = 3 2 2 8 2 1 x x x x    = x - 8 + 2 8 1 x x   Vậy A nhận giá trị nguyên khi 2 8 1 x x   nguyên (A') Nếu x + 8 = 0  x = -8. Vậy với x = -8 thì A nhận giá trị nguyên Nếu x + 8  0 2 ( 8) ( 1) x x     2 8 1 x x     2 8 1 8 0 x x x          hoặc 2 ( 8) 1 8 0 x x x          2 7 0 8 x x x          hoặc 2 9 0 8 x x x         (hệ này vô nghiệm vì x <-8 thì x 2 +x + 9 > 0 ) Giải hệ 2 7 0 8 x x x         với x nguyên ta được: X = 3; 2; 1; 0; -1; -2. Thay các giá trị x vừa tìm được vào (A') chỉ có x = 0 và x = 2 thỏa mãn. Vậy A là số nguyên khi x = -8; x = 2; x = 0. Ví dụ 5: Cho B =     2 2 2 2 2 3 12 2 8 x x x x x      ( x  R ) a. Rút gọn B. b. Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên Giải: a. B =     2 2 2 2 2 3 12 2 8 x x x x x      = 4 2 2 2 2 6 9 12 4 4 8 x x x x x x x        Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý - Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 23 =     2 2 2 2 3 2 x x x   = 2 3 2 x x x    b. B = 2 3 2 x x x    = 2 3 2 x x x    = 3 2 x x x    Vì x nguyên nên B nhận giá trị nguyên khi 3 x nguyên hay x là ước của 3 1; 3 x     Vậy với x = 1, x = -1, x = 3, x = -3 thì B nhận giá trị nguyên. 3. Bài tập áp dụng: 1. Cho biểu thức: A =    2 2 9 4 4 1 2 1 1 x x x x      a. Rút gọn biểu thức A b. Tìm các giá trị nguyên của x để A là một số nguyên 2. Cho biểu thức B = 2 4 4 4 8 16 1 a a a a a a        a. Rút gọn biểu thức B b. Tìm các giá trị a nguyên lớn hơn 8 để B có giá trị nguyên. 3. Cho biểu thức C = 2 1 2 4 2 2 x x x x      a. Rút gọn biểu thức C b. Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên. 4. Cho biểu thức D = 9 2 2 1 : 1 1 1 a a a a a a a a                 a. Rút gọn D b. tìm giá trị nguyên của a để M nguyên. 5. Cho E = 2 2 1 1 4 1 2003 . 1 1 1 x x x x x x x x x                 a. Rút gọn E b. Với giá trị nguyên nào của x thì E có giá trị nguyên. Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý - Tin-CN CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 24 6. Cho biểu thức F = 3 2 1 1 4 : 1 1 1 1 x x x x x x                       a. Rút gọn F b. Tìm giá trị nguyên của x để F nhận giá trị nguyên. 7. Cho G = 1 2 5 x x    Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức G nhận giá trị nguyên. 8. Cho H = 1 1 2 1 2 1 x x x x      a. Rút gọn biểu thức H b. Tìm những giá trị nguyên của x để H nhận giá trị nguyên. . cầu tính các giá trị nguyên của A(x) ta lần lượt thay các giá trị nguyên của x vừa tìm được vào A(x) 2. Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: .     a. Rút gọn F b. Tìm giá trị nguyên của x để F nhận giá trị nguyên. 7. Cho G = 1 2 5 x x    Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức G nhận giá trị nguyên. 8. Cho H = 1 1 2. Tìm các giá trị nguyên của x để A là một số nguyên 2. Cho biểu thức B = 2 4 4 4 8 16 1 a a a a a a        a. Rút gọn biểu thức B b. Tìm các giá trị a nguyên lớn hơn 8 để B có giá