Đỗ Trung Thành – Trường THCS Nguyễn Thái Học – Lục Yên – Yên Bái **************************************************** 1 BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ & ĐỒ THỊ ****************** Bài 1. Cho hàm số y = x 2 có đồ thị là đường cong (P) và 2 điểm M, N thuộc (P) có hoành độ lần lượt là −1 và 2 a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M,N b) Vẽ đồ thị (P) trên hệ trục toạ độ xOy và tìm toạ độ điểm E thuộc đoạn đường cong M, N của đồ thị (P) sao cho tam giác MNE có diện tích lớn nhất (Thi HSG cấp tỉnh năm học 2006 – 2007) Bài 2. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng (d 1 ): y = 3 – m(x – 2) và (d 2 ): y + 3 – m(x + 2) = 0 a) Tìm điểm cố định A của (d 1 ), B của (d 2 ). Viết phương trình đường thẳng AB b) Tìm quỹ tích giao điểm M của (d 1 ) và (d 2 ) c) Xác định m để điểm M trùng điểm A Bài 3. Cho đường thẳng (d) có phương trình: (m + 1)y + 2(m – 2)x = 1 (m1) ≠ a) Chứng minh (d) luôn cắt Parabol (P): y = x 2 tại hai điểm phân biệt b) Xác định tọa độ trung điểm đoạn AB theo m c) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi Bài 4. Cho Parabol (P): 2 1 yx 4 =− và đường thẳng (d): y = mx – 2x – 1 a) Tìm m sao cho (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt b) Chứng tỏ (d) luôn đi qua một điểm cố định thuộc (P) Bài 5. Cho Parabol (P): y = 3x 2 a) Biện luận theo tham số m số giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = mx – 2 b) Tìm trên đồ thị của (P) các điểm cách đều hai trục tọa độ Bài 6. Cho Parabol (P): 2 1 yx 2 = và đường thẳng (d): y = ax + b. Xác định các hệ số a, b sao cho (d) đi qua điểm A(–1 ; 0) và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho điểm A(0; 2) và đường thẳng (d) có phương trình y = –2. Gọi M(x; y) là điểm thay đổi trong mặt phẳng và D là hình chiếu của M trên (d). Giả sử luôn có MA = MD. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x và y. Từ đó suy ra tập hợp điểm M Bài 8. Cho Parabol (P): y = x 2 – 4x + 3 và điểm A(2; 1). Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k. chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm giá trị của k để MN nhỏ nhất Bài 9. Cho Parabol (P): y = x 2 và điểm A(2; 1). Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A a) Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) b) Tìm trên (P) một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó tới gốc tọa độ bằng 6 Bài 10. Cho Parabol (P): 2 1 yx 2 =− và điểm D(1; –2) a) Viết phương trình đường thẳng (c) đi qua D và có hệ số góc m. Chứng minh rằng (c) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m b) Gọi x A , x B là hoành độ của A, B. Tìm m để x A 2 .x B + x A .x B 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 11. Trên mặt phẳng tọa độ xOy cho hai điểm A(–2; 1), B(2; 3). Tìm trên Ox điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất Bài 12. Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm I(0; 1) và cắt Parabol y = x 2 tại hai điểm phân biệt M, N sao cho: MN = 210 Bài 13. Trong hệ trục tọa độ xOy cho hai điểm A(5; 1) và B(–1; 5). Tính chu vi và diện tích ∆AOB Bài 14. Cho hệ phương trình với ẩn x, y và m là tham số: mxy1(1) (2m)xym(2) −=   −+=  Đỗ Trung Thành – Trường THCS Nguyễn Thái Học – Lục Yên – Yên Bái **************************************************** 2 1) Giải hệ với m = 3 − 2) Trong mặt phẳng tọa độ xOy xét hai đường thẳng có phương trình là (1) và (2) a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (1) đi qua điểm cố định B và đường thẳng (2) đi qua điểm cố định C b) Tìm m để giao điểm A của hai đường thẳng thỏa mãn điều kiện  0 BAC90 = . Tính diện tích ∆ABC ứng với giá trị đó của m Bài 15. Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và Parabol (P): y = x 2 a) Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1 b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định và luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B c) Tìm giá trị của tham số m để diện tích ∆OAB bằng 2 (đơn vị diện tích) Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình y = 2 1 x 2 − , điểm I(0; –2) và điểm M(m, 0) với m là tham số khác 0 a) Vẽ Parabol (P) b) Biết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm M, I. Chứng minh rằng: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với độ dài đoạn AB > 4 Bài 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = –x 2 và đường thẳng (d) qua điểm I(0; – 1) có hệ số góc k a) Viết phương trình của đường thẳng (d). Chứng minh với mọi giá trị của k, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B b) Gọi hoành độ của A và B là x 1 và x 2 . Chứng minh: |x 1 – x 2 | ≥ 2 c) Chứng minh ∆AOB vuông Bài 18. Cho hàm số y = –x 2 (P) và y = 2x – m 2 + 2m (d). Với những giá trị nào của m thì đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt? Bài 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: 2x – y – a 2 = 0 và Parabol (P) có phương trình: y = ax 2 (a > 0) a) Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng khi đó A, B nằm bên phải của trục tung b) Gọi x A , x B là hoành độ của A và B, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ABAB 41 T xxx.x =+ + Bài 20. Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = 2mx – m + 1 (m ≠ 0). Tìm m sao cho đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ x 1 , x 2 mà |x 1 – x 2 | = 2 Bài 21. Cho parabol (P): y = x 2 . Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’): y = 2x và tiếp xúc với (P) Bài 22. Cho đường thẳng (D): y = k(x – 1) và parabol (P): y = x 2 – 3 x + 2 a) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của k , (D) và (P) luôn có điểm chung b) Trong trường hợp (D) tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm Bài 23. Cho parabol (P) : y = 1 2 x 2 và đường thẳng y = 1 2 x + 3 a) Xác định toạ độ giao điểm A, B của parabol và đường thẳng b) Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của parabol sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất Bài 24. Cho hàm số: y = 1 2 x 2 (P) a) Vẽ đồ thị hàm số trên b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) : y = (m – 4)x + m + 1 cắt đồ thị hàm số trên tại điểm A có hoành độ bằng 2. Rồi tìm toạ độ thứ 2 khác A Đỗ Trung Thành – Trường THCS Nguyễn Thái Học – Lục Yên – Yên Bái **************************************************** 3 c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) và parsbol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Gọi y 1 ; y 2 là tung độ giao điểm của 2 đồ thị (d) và (P) . Tìm m để y 1 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 25. Cho đường thẳng (d) : y = 4x + m và parabol (P) : y = 2x 2 . Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm A , B và cắt trục tung Oy tại M . Sao cho MA = 3MB Bài 26. Trong cùng hệ trục toạ độ vuông góc cho parabol (P): y = – 1 4 x 2 và đường thẳng (D): y = mx – 2m – 1 a) Vẽ Parabol (P) b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) c) Chứng tỏ (D) luôn luôn qua điểm cố định A thuộc (P) Bài 27. Cho hàm số : y = x 2 và y = x + m a) Tìm m sao cho đồ thị (P) của y = x 2 và độ thị (D) của y = x + m có 2 giao điểm phân biệt A và B b) Tìm phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (D) tiếp xúc với (P) c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai giao điểm theo toạ độ của 2 điểm ấy. Áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm A và B ở câu a) là 3 2 Bài 28. Cho y = ax 2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(–2; 4) và tiếp xúc với đường thẳng (D): y = (m – 1)x – (m – 1) a) Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm b) Vẽ đồ thị (P) và (D) với a , m tìm được trên cùng hệ trục toạ độ Bài 29. Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A(–2; 2) và đường thẳng (d 1 ): y = –2(x + 1) a) Tìm a trong hàm số y = ax 2 có đồ thị (P) đi qua A b) Viết phương trình đường thẳng (d 2 ) qua A và vuông góc với (d 1 ) c) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d 2 ), C là giao điểm của (d 1 ) với trục tung. Tìm toạ độ giao điểm của B và C. Tính diện tích tam giác ABC . minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định và luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B c) Tìm giá trị của tham số m để diện tích ∆OAB bằng. x 2 mà |x 1 – x 2 | = 2 Bài 21. Cho parabol (P): y = x 2 . Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’): y = 2x và tiếp xúc với (P) Bài 22. Cho đường thẳng (D): y = k(x. 1) và B(–1; 5). Tính chu vi và diện tích ∆AOB Bài 14. Cho hệ phương trình với ẩn x, y và m là tham số: mxy1(1) (2m)xym(2) −=   −+=  Đỗ Trung Thành – Trường THCS Nguyễn Thái Học – Lục