Sở GD & ĐT VĨNH PHÚC Trường THPT VÕ THỊ SÁU  ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN: TOÁN; KHỐI 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (3,5đ). Cho hàm số 3 2 3y x x= − + 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 2 3x x m − + = 3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng 3 9y x= − . Câu II (2đ). 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 2 2 3 12 2 + − + x x x trên [ 1;2] − 2) Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên khi quay quanh Ox một hình phẳng giới hạn bởi các đường:    −= = 2 2 0 xxy y . Câu III (1đ). Giải phương trình: 2 2 5 4 0z z− + = trên tập hợp số phức. Câu IV(3,5đ). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; -2), B(2; 0; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: 3x + y + 2z – 1 = 0 a) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và B. b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P). c) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua A, B và vuông góc với (P). HẾT Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ; Lớp: Sở GD & ĐT VĨNH PHÚC Trường THPT VÕ THỊ SÁU  ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN: TOÁN; KHỐI 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Sở GD & ĐT VĨNH PHÚC Trường THPT VÕ THỊ SÁU  HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN: TOÁN; KHỐI 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) I. Hướng dẫn chung: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Nếu học sinh có cách giải đúng khác đáp án thì các giám khảo thống nhất và vận dụng thang điểm để chấm. - Khi chấm các ý cho 0,5 đ có thể chia nhỏ tới 0,25 đ. Điểm của toàn bài là tổng điểm của tất cả các câu làm tròn đến 0,5. II. Đáp án và biểu điểm: CÂU NỘI DUNG ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM Câu I (3,5đ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:  TXĐ: D = R  Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: Ta có y’ = –3x 2 + 6x 2 0 0 3 6 0 2 x y' x x x  = = ⇔ − + = ⇔  =  Xét dấu y’: - Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ;0−∞ và ( ) 2;+∞ . - Hàm số đồng biến trên ( ) 0 2; • Cực trị: - Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , y CT = 0; - Hàm số đạt cực đại tại x = 2 , y CĐ = 4; • Giới hạn tại vô cực: 3 3 3 3 →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ = − + = +∞ = − + = −∞ x x x x limy lim( x x) limy lim( x x) • Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞ y’ – 0 + 0 – y +∞ 4 0 −∞  Đồ thị: • Đồ thị giao với trục Oy tại O(0;0) • Đồ thị giao với trục Ox tại (0;0) và (-3;0). 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ + – – 2 0 +∞ −∞ • Đồ thị hàm số nhận điểm uốn (1;2)U làm tâm đối xứng. 0,5đ 2) Dựa vào đồ thị (C) ta thấy: - Nếu m < 0 hoặc m > 4 : phương trình có 1 nghiệm - Nếu m = 0 hoặc m = 4 : phương trình có 2 nghiệm (1 nghiệm kép) - Nếu 0 < m < 4 : phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 0,5đ 3) Gọi 0 0 ( ; )x y là tọa độ tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với đường thẳng 3 9y x= − nên hệ số góc tiếp tuyến là -9. Ta có 0 x là nghiệm của phương trình: 2 2 9 3 6 9 1 4 3 6 9 0 3 0 y x x x y x x x y ′ = − ⇔ − + = − ⇔ = − ⇒ =  ⇔ − + + = ⇔  = ⇒ =  Vậy có 2 tiếp tuyến có phương trình là: 9( 1) 4 9 5 9( 3) 0 9 27 y x y x y x y x = − + + = − −   ⇔   = − − + = − +   0,5đ 0,5đ CâuII (2đ) 1) Xét hàm số: 3 2 2 3 12 2y x x x= + − + trên [ ] 1;2− . Ta có: 2 6 6 12y x x ′ = + − , [ ] [ ] 2 2 1;2 0 6 6 12 0 1 1;2 x y x x x  = − ∉ − ′ = ⇔ + − = ⇔  = ∈ −   Ta có : [ ] [ ] -1;2 1;2 ( 1) 15 ax ( 1) 15 (1) 5 (1) 5 (2) 6 y M y y y Min y y y − − =  = − =  = − ⇒  = = −  =  0,5đ 0,5đ 2) Xét phương trình : 2 0 2 0 2 x x x x =  − = ⇔  =  Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 4 3 4 5 0 0 2 4 1 16 2 4 4 ( ) 0 3 5 15 V x x dx x x x dx x x x π π π π = − = − + = − + = ∫ ∫ (đvtt) 0,5đ 0,5đ CâuIII (1đ) Giải phương trình: 2 2 5 4 0z z− + = . Ta có: 2 ( 5) 4.2.4 7 0.∆ = − − = − 〈 ∆ có 2 căn bậc hai là: 7i± Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt : 5 7 4 i z − = và 5 7 4 i z + = 0,5đ 0,5đ CâuIV (3,5đ) 1) Vì đường thẳng ∆ đi qua A và B nên ∆ có VTCP là 1 2 4 ∆ = = − uur uuur u AB ( ; ; ) Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2; -2) và có VTCP 1 2 4 ∆ = − uur u ( ; ; ) là: 1 2 2 2 4  = +  = −   = − +  x t y t z t 0,5đ 0,5đ 2) Ta có 3 1 2= uur P n ( ; ; ) là VTPT của mp (P). Vì d ⊥ (P) nên VTPT uur P n của mp (P) là VTCP uur d u của đường thẳng d. Vậy phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(1; 2; -2) và có VTCP 3 1 2= uur d u ( ; ; ) là: 1 3 2 2 2  = +  = +   = − +  x t y t z t 0,5đ 0,5đ 4) Ta có mặt phẳng ( α ) đi qua điểm ( ) 1;2; 2A − và có 1 cặp vectơ chỉ phương là 1 2 4= − uuur AB ( ; ; ) , và 3 1 2= uur P n ( ; ; ) Do đó mp( α ) có 1 VTPT là: 8 10 7 α   = = −   uur uuur uur P n AB,n ( ; ; ) . Phương trình tổng quát của mp( α ) là: –8.(x – 1) + 10.(y – 2) +7.(z – (–2)) = 0 hay: – 8x + 10y + 7z + 2 = 0. 0,5đ 0,5đ 0,5đ . Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: ; Lớp: Sở GD & ĐT VĨNH PHÚC Trường THPT VÕ THỊ SÁU  ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN: TOÁN; KHỐI 12 Thời gian.  = − − + = − +   0,5đ 0,5đ CâuII (2đ) 1) Xét hàm số: 3 2 2 3 12 2y x x x= + − + trên [ ] 1;2− . Ta có: 2 6 6 12y x x ′ = + − , [ ] [ ] 2 2 1;2 0 6 6 12 0 1 1;2 x y x x x  = − ∉ − ′ =. đề) Sở GD & ĐT VĨNH PHÚC Trường THPT VÕ THỊ SÁU  HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN: TOÁN; KHỐI 12 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) I. Hướng dẫn