Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong báo cáo về nhiệm vụ năm học, Bộ giáo dục & Đào tạo chỉ rõ: Chỉ đạo mạnh mẽ việc đổi mới phương pháp dạy học và phong trào tự học, tự đào tạo''. '' Coi trọng giáo dục chính trị, tư tưởng nhân cách, khả năng tư duy sáng tạo và năng lực thực hành của học sinh''. '' Quyết tâm thực hiện 2 khơng trong ngành giáo đục''. Chủ trương đó hồn tồn phù hợp với những u cầu cấp bách của cơng cuộc cơng nghiệp hố, hiện đại hố đất nước như nước ta hiện nay. Căn cứ vào nhiệm vụ, mục tiêu của ngành giáo dục, căn cứ vào thức trạng dạy- học tốn hiện nay, hướng đổi mới phương pháp dạy học tốn ở trường THCS là tích cực hố hoạt động học tập của học sinh, tập trung việc rèn luyện khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo. Để trở thành học sinh giỏi là ao ước của mọi học sinh , đó là điều mọi bậc phụ huynh điều mong muốn cho con mình được thành đạt và đây cũng là niềm tư hào của các thầy cơ giáo trong mọi miền đất nước . Trong chương số học của THCS, các bài tốn về phân tích một số ra thừa số ngun tố và tính chất chia hết của số ngun hết sức phong phú và đa dạng. Vì nó vận dụng kiến thức cơ bản vào giải tốn và còn phát triển tư duy cho học sinh. Khi gặp một bài tốn chứng minh chia hết, học sinh sẽ gặp khó khăn nếu khơng nắm vững kiến thức cơ bản và các dạng bài tập, cách làm các dạng bài tập đó Vậy làm thế nào để học sinh biết làm các bài tốn chia hết và biết cách vận dụng nó để giải các dạng tốn khác và ứng dụng nó trong thực tế? Và làm thế nào để học sinh cảm thấy có sự say mê, hào hứng khi giải các bài tốn nhất là đối với học sinh giỏi học tốn? Đó là vấn đề tơi ln quan tâm và ln tìm phương pháp tối ưu, để đạt được mục đích đó tơi lựa chọn đề tài "Một số dạng tốn áp dụng tính chia hết của số ngun''. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I) CƠ SỞ LÝ LUẬN Đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đích cho học sinh phương pháp suy nghĩ, chiếm lĩnh các tri thức khoa học và phương pháp nghiên cứu kiến thức một cách khoa học, nhằm vận dụng kiến thức khoa học một cách tối ưu nhất. Muốn đạt được diều kiện trên thì trong qu trình dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi ta cũng phải đổi mới phương pháp giảng dạy và thiết kế bài dạy , lên kế hoạch bộ mơn r rng , tức l ta phải xc định: - Cơng việc của thầy giữ vai trị chủ động, sáng tạo, tổ chức cho học sinh chiếm lĩnh kiến thức. - Đối với học sinh phải chủ động, sáng tạo, phải được suy nghĩ nhiều, trả lời nhiều câu hỏi, được thực hành nhiều dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên. II) CƠ SỞ THỰC TIỄN Thực trạng dạy và học tốn hiện nay, mặc dù học sinh đ dược học đầy đủ các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng, nâng cao nhiều. Song khi gặp một bài tốn, học sinh vẫn cịn lúng túng trong việc định hướng phương pháp giải, chưa biết vận G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh 1 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản đ học. Nhiều học sinh chỉ biết vận dụng từng bước giải, từng phần của quy tắc, cơng thức mà thầy đ hướng dẫn. Vì thế khơng phát huy được tính độc lập, sáng toạ của học sinh. - Đối với thầy cơng việc chuẩn bị kiến thức, đặt vấn đề, đặt câu hỏi sao cho học sinh được suy nghĩ nhiều? Được làm việc nhiều? Đối với học sinh đại trà hay chỉ là học sinh khá, giỏi trong lớp trả lời. Vì vậy người thầy phải chủ động tích cực hố các hoạt động của tất cả các đối tượng trong lớp. - Trong thức tiễn vấn đề học khơng đi đơi với hành đ lm cho học sinh khơng cĩ cơ sở thực hiện các thao tác tư duy để tiếp nhận, củng cố tri thức cũ, làm nền tảng lĩnh hội tri thức mới. Do đó, học sinh ít được làm việc dộc lập, năng lực cá nhân khơng được phát huy thoả đáng. - Trong nhiều năm giảng dạy tốn của bậc THCS tơi thấy phân tích một số ra thừa số ngun tố , tính chia hết đối với số ngun, học sinh được học ở lớp 6, nhưng khi gặp một bài tốn về phân tích một số ra thừa số ngun tố , tính chia hết của số ngun, học sinh vẫn cịn lng tng trong việc tìm ra cách giải , bởi vì các kiến thức liên quan để hỗ trợ còn hạn chế. Lên lớp 8 nhờ các hằng đẳng thức đáng nhớ và phân tích đa thức thành nhân tử , học sinh có thể giải được các bài tốn nhanh hơn và phức tạp hơn ở lớp dưới Dựa trên cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn trên tối thấy cần có một số giải pháp đổi mới phương pháp giảng dạy cho phù hợp với thực tiễn hiện nay. III CÁC GIẢI PHÁP Để đáp ứng mục tiêu giáo dục và khắc phục những tồn tại trên, để học sinh có thể làm được các bài tập liên quan đến phân tích một số ra thừa số ngun tố và sự chia hết của số ngun, một cách chủ động hơn giáo viên cần phải: - Chuẩn bị tốt tiến trình bi soạn v tổ chức dạy học. - Chuẩn bị tốt cc tình huống cĩ vấn đề để có thể giúp học sinh tư duy suy nghĩ, định hình cch lm - Cung cấp học sinh một số dạng tốn thường gặp về phân tích một số ra thừa số ngun tố và tính chia hết của số ngun , áp dụng vào giải các bài tốn có vận dụng một số kiến thức nâng cao của phân tích một số ra thừa số ngun tố mà học sinh có thể ứng dụng được. - Qua các bài tốn học sinh biết áp dụng những kiến thức đ học vo lm bi tập một cch linh hoạt,cĩ sng tạo. - Thơng qua nội dung lý thuyết cần lưu ý v cc bi tập cĩ tính hệ thống,nâng cao phát triển cho học sinh tư duy tốn: lơgic, sáng tạo, phát triển khả năng khái qt,tổng qt hố Để tạo cho học sinh có sự phấn khích khi gặp cc bi tốn : Phn tích một số ra thừa số nguyn tố hay tính chia hết của số nguyn, tơi xin trình bày một số ví dụ về các dạng tóan để minh hoạ cho chun đề '' Một số dạng tóan áp dụng tính chia hết của số nguyn'' SƠ ĐỒ QUAN HỆ GIỮA CC KIẾN THỨC SỐ HỌC 6 G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh 2 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa Cấu tạo số Chia hết cho 2 Chia hết cho 3 Cc dấu hiệu chia hết Chia hết cho 5 Chia hết cho 7 Chia hết cho 11 Phn tích một số ra thừa số nguyn tố Bội và ước BCNN ƯCLN Tìm BC thơng qua tìm BCNN Tìm ƯC thơng qua tìm ƯCLN Các bài tốn về BC và ƯC Tính chất chia hết của số ngun Chia hết Chia có dư Bội và ước Chứng minh chia hết cho Tìm số dư trong php chia Số ngun tố Hợp số Số chính phương Ngun lý Drich le Giải phương trình nghiệm ngun . . . . . . . . . . G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh 3 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa IV. NỘI DUNG 1/Ta phân tích sự quan hệ về tính chia hết của số ngun được học ở lớp 6 , ảnh hưởng đến các kiến thức vận dụng của lớp 6 vào học các lớp 8 , 9 của bậc THCS . Tơi có thể lấy các bài tốn đơn giản khi dạy về tính chia hết của số ngun ở lớp 6 ảnh hưởng lớn đến các bài tốn chia hết của số ngun sau này : Ví dụ 1 : Chứng tỏ rằng trong n +1 số ngun liên tiếp thì có một hiệu của hai số chia hết cho n . (với n thuộc N) Giải : Gọi a1 , a2 , a3 , . . . lần lượt là các số chia cho n có số dư lần lượt là 1 . 2 , 3 , . . . thi a n chia cho n dư 0 , a n+1 chia cho n có số dư là1. Do đó : a n+1 – a 1 = (n.k +1) – (n.l +1) = n.k – n.l = n(k – l ) = n.q Tương tự ta xét bất kỳ số dư khác ta vẫn chứng minh được . Hiệu hai số chia hết cho n Đây chính là ngun lý Dirich- le . Ví dụ 2 : Tìm hai số ngun biết tích của chúng bằng 21. Giải : Gọi hai số ngun cần tìm : là x , y Ta có : x.y = 21 Vì : 21 = 21. 1 = 3 . 7 = 7 . 3 = 1 . 21 = (-1)(-21) = =(-3)(-7)= (-7)(-3)= (-21)(-1) Nên ta giải ra tìm được nhiều nghiệm của các cặp giá trị của x và y . Đây chính là phân tích một số ra thừa số ra thừa số ngun tố và tính ước của số ngun . Ví dụ 3 : Tìm hai số x và y . Biết BCNN của chúng bằng 48 và ƯCLN của chúng bằng 8 . Giải : + Nếu x chia hết cho y thì : x = 48 , y = 8 (hoặc ngược lại) +Nếu x khơng chia hết cho y thì : (x> y hoặc y>x) x = 8d 1 , y = 8d 2 ; (d 1 ,d 2 )=1 Suy ra : d 1 .d 2 = 48 : 8 = 6 Nên : d 1 = 3 ; d 2 = 2 (hoặc ngược lại) Do đó : x = 8.3 = 24 y = 8.2 = 16. (Hoặc kết quả ngược lại ) Ta có thể xét sự quan hệ của các bài tốn này ảnh hưởng đến các bài tốn ở chương trình bồi dưỡng sau này ở các lớp 8 , 9 như : G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh 4 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa DẠNG 1.Chứng minh quan hệ chia hết Ví dụ1.Chứng minh rằng A = n 3 (n 2 -7) 2 - 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n. Hướng phân tích + Trước hết cho hs nhận xét về các hạng tử của biểu thức A + Từ đó phân tích A thành nhân tử Giải: Ta có A =n[n 2 (n 2 -7) 2 -36]= n[(n 3 -7n 2 )-36] = n(n 3 -7n 2 -6)( n 3 -7n 2 +6) Mà n 3 -7n 2 -6 = (n+1) (n+2) (n-3) n 3 -7n 2 +6 = (n-1)(n-2)(n+3) Do đó A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3) Đây là tích của 7 số ngun liên tiếp.Trong 7 số ngun liên tiếp +Tồn tại một bội của 5 ⇒ A chia hết cho 5 +Tồn tại một bội của 7 ⇒ A chia hết cho 7 +Tồn tại hai bội của 3 ⇒ A chia hết cho 9 +Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4 ⇒ A chia hết cho 16 A chia hết cho các số 5,7,9,16 đơi một ngun tố cùng nhau nên A chia hết cho 5.7.9.16 =5040. + Qua ví dụ 1 rút ra cách làm như sau: Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n ∈ N hoặc n ∈ Z). Chú ý 1: +Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho một số, ta thường phân tích A(n) thành thừa số, trong đó có một thừa số là m.Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành mơt tích các thừa số đơi một ngun tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n)chia hết cho tất cả các số đó. +Trong q trình chứng minh bài tốn trên ta đã sử dụng các kiến thức của lớp 6 : -Phân tích một số ra thừa số ngun tố . -Tính chất chia hết của một tích (thừa số là số ngun tố ) -Ngun lý Dirich- le Lưu ý: Trong k số ngun liên tiếp, bao giờ cũng tồn tại một bội số của k. Ví dụ 2.Chứng minh rằng với moi số ngun a thì a) a 2 -a chia hết cho 2. b) a 3 -a chia hết cho 3. c) a 5 -a chia hết cho 5. d) a 7 -a chia hết cho 7. Giải: a) a 2 - a =a(a-1), chia hết cho 2. b)a 3 -a = a( a 2 - 1) = a(a-1)(a+1), tích này chia hết cho 3 vì tồn tại một bội của 3. + Ở phần a, b hs dễ dàng làm được nhờ các bài tốn đã quen thuộc G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh 5 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa + Để chứng minh a(a -1 ) chia hết cho 2, ta đã xét số dư của a khi chia cho 2 (hoặc dụng ngun lý Dirich- le ) c) Cách 1 A = a 5 -1= a(a 2 +1)(a 2 -1) Xét các trường hợp a = 5k, a= 5k ± 1, a=5k ± 2 +Ta vận dụng vào tính chia hết của số ngun về xét số dư suy ra A chia hết cho 5 Cách 2. A = a 5 -1= a(a 2 +1)(a 2 -1) = a(a 2 +1)(a 2 -4+5) = a(a 2 +1)(a 2 -4)+ 5a( a 2 -1) = (a -2) (a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a 2 -1) Số hạng thứ nhất là tích của năm số ngun liên tiếp nên chia hết cho 5,số hạng thứ hai cũng chia hết cho 5. Do đó A = a 5 -1 chia hết cho 5. +Ta vận dụng tính chia hết của một tổng vào giải . + Qua ví dụ 2 để chứng minh chia hết ta đã làm như sau: Chú ý 2: Khi chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho m. Ví dụ 3. a)Chứng minh rằng một số chính phương chia hết cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1. b) Chứng minh rằng mọt số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1. c)Các số sau có là số chính phương khơng? M = 1992 2 + 1993 2 +1994 2 N = 1992 2 + 1993 2 +1994 2 +1995 2 P = 1+ 9 100 + 94 100 +1994 100 . d)Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương khơng? 11, 111,1111,11111, Giải: Gọi A là số chính phương A = n 2 (n ∈ N) a)Xét các trường hợp: n= 3k (k ∈ N) ⇒ A = 9k 2 chia hết cho 3 n= 3k ± 1 (k ∈ N) ⇒ A = 9k 2 ± 6k +1 chia cho 3 dư 1 Vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1. +Ta đã sử tính chia hết cho 3 và số dư trong phép chia cho 3 . b)Xét các trường hợp n =2k (k ∈ N) ⇒ A= 4k 2 , chia hết cho 4. n= 2k+1(k ∈ N) ⇒ A = 4k 2 +4k +1 = 4k(k+1)+1, chia cho 4 dư 1(chia cho 8 cũng dư 1) vậy số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1. +Ta đã sử tính chia hết cho 4 và số dư trong phép chia cho 4 . G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh 6 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa Chú ý: Từ bài tốn trên ta thấy: -Số chính phương chẵn chia hết cho 4 -Số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1( chia cho 8 cũng dư 1). c) Các số 1993 2 ,1994 2 là số chính phương khơng chia hết cho 3 nên chia cho 3 dư 1,còn 1992 2 chia hết cho 3. Vậy M chia cho 3 dư 2,khơng là số chính phương. Các số 1992 2 ,1994 2 là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4. Các số 1993 2 ,1995 2 là số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1. Vậy số N chia cho 4 dư 2,khơng là số chính phương. +Ta đã vận dụng tính chất chia hết của số chính phương và xét số dư cửa các số chính phương đó khi các số đó chẳn hay lẻ . d) Mọi số của dãy đều tận cùng là 11 nên chia cho 4 dư 3.Mặt khác số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1. Vậy khơng có số nào của dãy là số chính phương. Chú ý 3:Khi chứng minh về tính chất chia hết của các luỹ thừa,ta còn sử dụng các hằng đẳng thức bậc cao và cơng thức Niu-tơn sau đây: +a n -b n =(a-b)(a n-1 +a n-2 b+a n-3 b 2 + +ab n-2 +b n-1 ) (1) +a n +b n =(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3 b 2 ab n-2 +b n-1 ) (2) với mọi số lẻ n. Cơng thức Niu-tơn (a+b) n = a n +c 1 a n-1 b+c 2 a n-2 b 2 + +c n-1 ab n-1 +b n Trong cơng thức trên, vế phải là một đa thức có n+1 hạng tử ,bậc của mỗi hạng tử đối với tập hợp các biến là a,b là n.Các hệ số c 1 ,c 2 , c n-1 được xác định bởi tam giác Pa -xcan: n=0 n=1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 c 1 c 2 c 3 c 4 Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính chia hết, ta có với mọi số tự nhiên a,b và số tự nhiên n : a n -b n chia hết cho a-b (a ≠ b) a 2n+1 +b 2n+1 chia hết cho a+b ( a ≠ -b) (a+b) n =Bs a+b n (Bs a là bội của a). Đặc biệt chú ý đến: (a+1) n = Bs( a +1) ( a -1) n = Bs (a- 1) (a-1) 2n+1 = Bs( a – 1) *Tất cả các cơng thức Niu Tơn trên chỉ áp dụng cho học sinh các khối 8 , 9 . G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh 7 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa Ví dụ 4.Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16 n -1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn. Giải: Cách 1: Nếu n chẵn (n=2k, k ∈ N) thì A= 16 2k -1 = (16 2 ) k -1 chia hết cho 16 2 -1 Theo hằng đẳng thức (1) Mà 16 2 -1 =255 chia hết cho 17. Vậy A chia hết cho 17 Nếu n lẻ thì A = 16 n +1 -2, mà 16 n +1 chia hết cho 17 theo hằng đẳng thức (9),nên A khơng chia hết cho 17 vậy A chia hết cho 17 ⇔ n chẵn. Cách 2: A=16 n -1 =(17-1) n -1 = B (17) +(-1) n -1(theo cơng thức Niu-tơn) Nếu n chẵn thì A =B (17) +1-1 =B (17) Nếu n lẻ thì A = B (17) -1 -1 = B (17 )-2 Khơng chia hết cho 17. Chú ý 4: Người ta còn dùng phương pháp phản chứng,ngun lý Di ríchlet để chứng minh quan hệ chia hết. Ví dụ 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội số của 2003 có dạng 2004 2004 2004 Giải: Xét 2004 số : A 1 =2004 A 2 =2004 2004 A 2004 =2004 2004 2004 (Nhóm 2004 có mặt 2004 lần). Theo ngun lý Dirich let, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2003. Gọi hai số đó là a m và a n (1 ≤ n ≤ m ≤ 2004) Thì a m -a n chia hết cho 2003.Ta có a m -a n = 2004 2004 2004000 000 =    2004 2004 20042004 nnhómm= . 10 4n Do ( 10 4m , 2003) =1 nên    2004 2004 20042004 nnhómm= Chia hết cho 2003. Bài tập tương tự: Bài 1. Chứng minh rằng n 6 + n 4 - 2n 2 chia hết cho 72 với mọi số ngun n. Giải: Ta có n 6 + n 4 - 2n 2 = n 2 ( n 4 +n 2 - 2) =n 2 (n 4 -1 + n 2 -1 ) = n 2 [ (n 2 -1)(n 2 +1) +(n 2 -1)] = n 2 (n-1)(n+1)(n 2 +2) G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh 8 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa +Xét các trường hợp n= 2k, n=2k+1 ⇒ n 6 + n 4 - 2n 2  8 +Xét các trường hợp n = 3a, n=3a ± 1 n 6 + n 4 - 2n 2  9 vậy n 6 + n 4 - 2n 2  72 với mọi số ngun n Bài 2. Chứng minh rằng 3 2n -9 chia hết cho 72 với mọi số ngun dương n Giải: Ta có B =3 2n -9= 9 n - 9,nên B chia hết cho 9 Mặt khác B = 3 2n - 9 = (3 n -1)(3 n +1) -8 Do 3 n -1,3 n +1 là hai số chẵn liên tiếp nên B chia hết cho 8 Vậy B  72 * Bài tập tự làm Chứng minh rằng 1.n 3 +6n 2 +8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn 2.n 4 -10n 2 +9 chia hết cho 384 với mọi sốn lẻ DẠNG 2.Tìm số dư Ví dụ 6: Tìm số dư khi chia 2 100 a) cho 9; b) cho 25; c) cho 125. Giải: a) Luỹ thừa của 2 sát với một bội so của 9 là 2 3 = 8 = 9-1 Ta có 2 100 =2( 2 3 ) 33 = 2(9-1) 33 =2(B(9-1)) = B( 9) -2= B(9)+ 7 Số dư khi chia 2 100 cho 9 là 7. b) Luỹ thừa của 2 sát với bội số của 25 là 2 10 = 1024 =B(25) -1 Ta có 2 100 = (2 10 ) 10 =(B(25) -1) 10 =B(25) +1 Số dư khi chia 2 100 cho 25 là 1. c) Dùng cơng thức Niu-tơn: 2 100 = (5 - 1) 50 =5 50 -50.50 49 + + 2 49.50 .5 2 -50.5+1. Khơng kể phần hệ số của khai triển Niu-tơn thì 48 số hạng đầu đã chứa luỹ thừa của 5 với sơ mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên chia hết cho 125, số hạng cuối là 1 . Vậy 2 100 chia cho 125 dư 1. Chú ý: Tổng qt hơn,ta chứng minh được rằng nếu một số tự nhiên n khơng chia hết cho 5 thì n 100 chia cho 125 có số dư là 1. Thật vậy, n có dạng 5k ± 1,5k ± 2.Ta có (5k ± 1) 100 =(5k) 100 ± + 2 99.100 (5k) 2 ± 100.5k+1 = B(125) +1 G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh 9 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa (5k ± 2) 100 =(5k) 100 ± + 2 99.100 (5k) 2 .2 98 ± 100.5k .2 99 + 2 100 = B(125) +2 100 Ta lại có 2 100 chia cho 125 dư 1 Do đó (5k ± 2) 100 chia cho 125 dư 1. Ví dụ 7: Tìm ba chữ số tận cùng của 2 100 khi viết trong hệ thập phân. Giải: Theo ví dụ trên ta có 2 100 = BS 125 +1,mà 2 100 là số chẵn, nên ba chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876. Mà 2 100 chia hết cho8 nên ba chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 8.Trong 4 số trên chỉ có 376 thoả mãn điều kiện này. Vậy ba chữ số tận cùng của 2 100 là 376. Chú ý: Nếu n là số chẵn khơng chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của n 100 là 376. Ví dụ 8: Tìm 4 chữ số tận cùng của 5 1994 viết trong hệ thập phân. Giải: Cách 1. Ta thấy số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa ngun dương bất kì vẫn tận cùng bằng 0625.Do đó 5 1994 =5 4k+2 =25(5 4k )=25(0625) k = 25.( 0625) = 5625 Cách 2. Ta thấy 5 4k -1 chia hêt cho 5 4 -1 = (5 2 -1)(5 2 +1) nên chia hết cho 16. Ta có: 5 1994 = 5 6 ( 5 332 -1) +5 6 Do 5 6 chia hết cho 5 4 , còn 5 332 -1 chia hết cho 16 nên 5 6 ( 5 332 -1) chia hết cho 10000 Và 5 6 = 15625. Vậy 4 chữ số tận cùng của 5 1994 là 5 Bài tập tương tự 1.CMR với mọi số tự nhiên n thì 7 n và 7 n+4 có hai chữ số tận cùng như nhau. + Cho hs đặt câu hỏi: Khi nào hai số có hai chữ số tận cùng giống nhau? - Khi hiệu của chúng chia hết cho 100 Giải: Xét hiệu của 7 n +4 - 7 n = 7 n ( 7 4 -1) = 7 n .2400 Do đó 7 n+1 và 7 n có chữ số tận cùng giống nhau. 2.Tìm số dư của 22 22 +55 55 cho 7. + Xét số dư của 22 và 55 cho 7? Giải: Ta có 22 22 + 55 55 =(B(7) +1) 22 +(B(7) -1) 55 = B(7) +1+ B(7) -1 = B(7) Vậy22 22 + 55 55 chia hết cho 7 DẠNG 3. Tìm điều kiện để chia hết G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh 10 [...]... (n2 -1) chia hết cho (n+1)(n2 -n +1) ⇔ (n-1)(n+1) chia hết cho (n+1)(n2 -n +1) ⇔ n -1 chia hết cho n2 -n +1 (vì n+1 ≠ 0) Nếu n =1 thì ta được 0 chia hết cho 1 Nếu n>1 thì n -1< n(n-1) +1=n2 -n +1, do đó khơng thể chia hết cho n2 - n +1 Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1 Ví dụ 11 Tìm số ngun n để n5 +1 chia hết cho n3+1 Giải: Theo ví dụ trên ta có: n -1 chia hết cho n2 -n +1 ⇒ n(n-1) chia hết cho... biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B: A= n3 +2n2 -3n+2 , B= n2 -n Giải: Đặt tính chia: n3 +2n2 -3n+2 n2 -n n3 - n2 n +3 2 3n -3n +2 3n2 -3n 2 Muốn chia hết, ta phải có 2 chia hết cho n(n-1),do đó 2 chia hết cho n(vì n là số ngun) Ta có: n n-1 n(n-1) 1 -1 2 -2 0 -2 1 -3 0 2 2 6 loại loại Vậy n= -1; n = 2 Ví dụ 10 Tìm số ngun dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1 Giải: Ta có n5 +1 chia hết cho... các số ngun a,b,c đều chia hết cho 6 Chứng minh rằng Nếu a+ b+ c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 Chia hết cho 6 Giải: Ta có A=a3 + b3 + c3 - (a +b + c) = (a3 -a) + (b3 -b) + (c3 -c) Do a3 -a , (b3 -b) , (c3 -c) đều chia hết cho 6 Nên A  6 Mặt khác a+ b +c chia hết cho 6 Do đó a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 Bài 3: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba sơ ngun liên tiếp thì chia hết cho 9 + Hướng suy... 0,2,3 còn c 2 chia cho 5 dư 1,4 trái với (1).Vậy tồn tại một trong ba số a,b,c chia hết cho 5 *Nếu a,b,c đều khơng chia hết cho 4 thì a2, b2, c2 chia cho 8 dư 1 hoặc 4 Khi đó a 2 + b2 chia cho 8 dư 0, 2 , 5, còn c 2 chia cho 8 dư 1, 4 trái với (1).Vậy tồn tại một số chia hết cho 4 Kết luận: abc chia hết cho 3.4.5 tức là chia hết cho 60 Bài 7 Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức là số ngun tố: a)... a2 + b2 = c2 thì abc chia hết cho 60 Giải: Theo bài ra a2 + b2 = c2 (1) Ta có 60 = 3 4 5 *Nếu a ,b ,c đều khơng chia hết cho 3 thì a2, b2 ,c2 đều chia cho 3 dư 1 Khi đó a2 + b2 = Bs 3 + 2, còn c2 = Bs 3 + 1 trái với (1).Vậy trong ba só a,b,c có một số chia hết cho 3 *Nếu a,b,c đều khơng chia hết cho 5 thì a 2, b2, c2 chia cho 5 dư 1 hoặc 4 Khi đó a2 +b2 chia cho 5 dư 0,2,3 còn c 2 chia cho 5 dư 1,4 trái... -1 Chia hết cho 7 Nếu n =3k +1(k ∈ N) thì 2n -1= 23k+1 - 1=2(23k -1) +1 = Bs 7 +1 Nếu n = 3k +2 ( k ∈ N) thì 2n -1= 23k+2 -1 =4(23k - 1)+3 =Bs 7 +3 Vậy 2n -1 chia hết cho 7 ⇔ n = 3k(k ∈ N) *Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a2+3a +2 chia hết cho 6 Giải: Ta có a2 +3a + 2 = (a+1)(a+2) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 Do đó a2 +3a +2 chia hết cho 3 ⇔ a2 +2 chia. .. + 370 chia hết cho 13 Giải: Ta có 270 + 370 = (22)35 + (32)35 = 435 + 9 35 14 G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa Do đó chia hết cho 4 + 9 =13 (Áp dụng an + bn chia hết cho a+b với n là số lẻ) Vậy 270 + 370 chia hết cho 13 Bài 9.Tìm số ngun tố p để 2p2 + 1 là số ngun tố + Với p là số ngun tố thì p có dạng như thế nào? ( Thường xét số dư của một số khi chia cho... n2 -n chia hết cho n2 -n +1 ⇒ (n2 -n +1) -1 chia hết cho n2 -n +1 ⇒ 1 chia hết cho n2 -n +1 Có hai trường hợp n2 -n +1 =1 ⇔ n( n -1) =0 ⇔ n=0; n=1 Các giá trị này thoả mãn đề bài 11 G V thực hiện : Nguyễn Văn Minh Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa n2 -n +1= -1 ⇔ n2 -n +2 =0 khơng tìm được giá trị của n Vậy n= 0; n =1 là hai số phải tìm Ví dụ 12 Tìm số tự nhiên n sao cho 2n -1 chia hết cho... Ta có a2 +3a + 2 = (a+1)(a+2) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 Do đó a2 +3a +2 chia hết cho 3 ⇔ a2 +2 chia hết cho 3 ⇔ a2 : 3 dư 1 ⇔ a khơng chia hết cho 3 Điều kiện phải tìm là a khơng chia hết cho 3 Bài 2: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a4 -1 chia hết cho 240 Bài 3: Tìm số ngun tố p để 4p +1 là số chính phương Bài 4 Tìm ba số ngun tố liên tiếp a,b,c sao cho a2 + b2 + c2 cũng... vừa lập được hãy chọn tổng mà ta có thể biến đổi một cách nhẹ nhàng hơn Bài 4: Chứng minh rằng A chia hết cho B với A= 13 + 23 + 33 + + 99 3 + 1003 B= 1 + 2 + 3+ + 99 + 100 + Hướng suy nghĩ cho hs: Bài tốn trên thuộc dạng nào? + Trong hai tổng A và B ta tính được tổng nào? ( B = 50 101) + Chứng tỏ A chia hết cho 5050? ( 13 + 993  50 101 Bài5 Cho bốn số ngun dương thoả mãn điều kiện ab = cd Chứng minh . kinh nghiệm Trường T H C S Mỹ Hòa Cấu tạo số Chia hết cho 2 Chia hết cho 3 Cc dấu hiệu chia hết Chia hết cho 5 Chia hết cho 7 Chia hết cho 11 Phn tích một số ra thừa số nguyn tố Bội. tiếp nên chia hết cho 5,số hạng thứ hai cũng chia hết cho 5. Do đó A = a 5 -1 chia hết cho 5. +Ta vận dụng tính chia hết của một tổng vào giải . + Qua ví dụ 2 để chứng minh chia hết ta đã. 5 ⇒ A chia hết cho 5 +Tồn tại một bội của 7 ⇒ A chia hết cho 7 +Tồn tại hai bội của 3 ⇒ A chia hết cho 9 +Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4 ⇒ A chia hết cho 16 A chia hết cho