BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ Bài tập về phương trình đồng dư Giải phương trình: Do nên phương trình luôn có nghiệm duy nhất. Ta tìm một số nguyên k sao cho chia hết cho 12. Chọn ≡ (12,23) 1= 7 23k+ k 7= 12x 7.24(mod23) ⇒ ≡ x 14(mod 23)⇒ ≡ 1/ 12x 7 (mod 23) Vậy số nghiệm của phương trình ban đầu là ≡ 2x 9(mod11) x 1(mod11) ⇔ ⇒ − ≡ ≡ x 1(mod33) x 10(mod33) x 21(mod33) − ≡ ≡ ≡ 2/ 6x 27 (mod 33) ≡ ⇔ Ta có Áp dụng tính chất bắc cầu của quan hệ đồng dư Ta được phương trình tương đương (mod 11) Chia hai vế cho 2 (vì (2,11) = 1) 3x 1 (mod 11) . Lấy Lại có (17,11) =1 phương trình có nghiệm duy nhất x 4 (mod 11) ≡ 17x 6x(mod11) 13 2(mod11) ≡   ≡  6x 2≡ ≡ 3x 11t 1⇒ = + x 4,t 1= = ≡ 3/ 17x 13 (mod 11) ≡ ≡ ≡ 100 a.a 69⇔ ≡ ≡ 2a 69⇒ ≡ 2a 4⇔ ≡ − a 2⇔ ≡ − a 71⇔ ≡ 4/ Tìm số dư trong phép chia a cho 73 biết rằng a 100 (mod 73), a 101 Ta có a 101 69 (mod 73) (mod 73) (mod 73) (mod 73) (mod 73) (mod 73) (vì (2,73)=1) Vậy a chia cho 73 có số dư là 71 2 69 (mod 73) Lại có a 100 2 (mod 73) q 1 p 1 p q 1 − − + ≡ q 1 p − ≡ ≡ p 1 q 0(modq) − ⇒ ≡ q 1 p 1 p q 1(mod p) − − ⇒ + ≡ p 1 q 1 − ≡ ≡ q 1 p 0(mod p) − ⇒ ≡ q 1 p 1 p q 1(mod q) − − ⇒ + ≡ ⇒ q 1 p 1 p q 1 − − + ≡ 5/ CM: Cho p, q là các số nguyên tố khác nhau thì Ta có q là số nguyên tố, (p,q)=1, theo định lý Fermat: 1 (mod p) 0 (mod q) p là số nguyên tố, (p,q)=1, theo định lý Fermat: (mod q) 0 (mod p) (1),(2) (2) (vì (p,q)=1) (mod pq) (mod pq) q (1) p p 2 p p (p 2) 0(mod 2p 2) + + + ≡ + p 1(mod 2),p 2 1(mod 2)≡ + ≡ p 2 p p (p 2) 0(mod 2) + + + ≡ p 1(mod p 1),p 2 1(mod p 1)≡ − + + ≡ + p 2 p p (p 2) 0(mod p 1) + + + ≡ + p 2 p p (p 2) 0(mod 2p 2) + ⇒ + + ≡ + 6/ Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố lẻ thì ta có Ta có suy ra (1) suy ra (2, p+1)=1, (1),(2) Lại có (2) ≡ ≡ 12 12 a 1(mod7) a 1 0(mod 7)⇒ ≡ ⇒ − ≡ 7/ CM: Nếu (a,7)=1 thì a 12 -1 Vì (a,7)=1 nên theo định lý Fermat, ta có a 6 1(mod 7) 0 (mod 7) ≡ ⇒ 4 (a,2 ) (a,3) (a,5) 1⇒ = = = 2 4 (3) 2 a 1(mod3) a 1(mod3)(1) (a,3) 1 ϕ =  ⇒ ≡ ⇒ ≡  =  2 4 (5) 4 a 1(mod5) a 1(mod5) (2) (a,5) 1 ϕ =  ⇒ ≡ ⇒ ≡ ⇒  =  a⇒ 4 2 a 1 (a 1)(a 1)(a 1)− = + − + 4 4 4 4 (a 1) (2.4.2) 2 a 1(mod 2 )(3)⇒ − = ⇒ ≡M 4 (1),(2),(3) a 1 0(mod 240)⇒ − ≡ 8/ Nếu (a, 240)=1 thì a 4 -1 240=3.5.2 4 Ta có (a, 240)=1 a không phân tích ra thừa số nguyên tố 2, 3, 5 Ta có Ta có (a, 240) =1 là số lẻ 2 số lẻ liên tiếp số chẵn 0 (mod 240) . BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ Bài tập về phương trình đồng dư Giải phương trình: Do nên phương trình luôn có nghiệm duy nhất. Ta tìm một số. của phương trình ban đầu là ≡ 2x 9(mod11) x 1(mod11) ⇔ ⇒ − ≡ ≡ x 1(mod33) x 10(mod33) x 21(mod33) − ≡ ≡ ≡ 2/ 6x 27 (mod 33) ≡ ⇔ Ta có Áp dụng tính chất bắc cầu của quan hệ đồng dư Ta được phương. bắc cầu của quan hệ đồng dư Ta được phương trình tương đương (mod 11) Chia hai vế cho 2 (vì (2,11) = 1) 3x 1 (mod 11) . Lấy Lại có (17,11) =1 phương trình có nghiệm duy nhất x 4 (mod 11) ≡ 17x