0 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN – TIN Lớp: Toán-VB2 khóa 2 TỐI ƯU PHI TUYẾN Đề tài môn: TẬP LỒI TRONG R n Người thực hiện: 1. Lưu Thị Hảo 2. Nguyễn Thị Hồng Tiên 3. Đặng Lê Xuân Ánh Nguyệt 1 Chương 3: TẬP LỒI TRONG R n I. Tập lồi và tính chất của tập lồi 1. Đường thẳng Cho x , y n R Các đường thẳng qua x và y được định nghĩa là tập     1,x x x y R        hay   1 2 1 2 1 2 y, , , 1x x p x p p p R p p     hay     ,x x x y x R      2. Đoạn thẳng Cho , n x y R a. Đoạn thẳng đóng     1 2 1 2 , 1 , 0 1         x x x x x x    b. Đoạn thẳng mở       1 2 1 2 , 1 , 0 1x x x x x x          c. Đoạn thẳng đóng, mở      1 2 1 2 , 1 , 0 1         x x x x x x    d. Đoạn thẳng mở, đóng      1 2 1 2 , 1 , 0 1         x x x x x x    3. Tập lồi Tập n AR là một tập lồi nếu ,x y A và [0,1]   ta có (1 )a b A     . Hình 3.1 Tập lồi a. Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là lồi b. Co A={x: x là tổ hợp lồi của các vecto thuộc A} c. C là tập lồi khi và chỉ khi C=coC d. Nếu A và B là các tập lồi và R   thì các tập A+B, A  cũng lồi. 4. Nửa không gian Cho ,0 n c R c và  R  . Khi đó: Tập   , n x x R cx  là một nửa không gian mở trong n R Tập   , n x x R cx  là một nửa không gian đóng trong n R . (Cả hai nửa không gian đều là các tập lồi) 2 5. Mặt phẳng Cho ,0 n c R c và  R  . Khi đó tập   , n x x R cx  được gọi là một mặt phẳng trong n R . (Mỗi mặt phẳng trong n R là một tập lồi) 6. Không gian con Một tập n AR là 1 không gian con nếu 12 12 , , p p R p x p y A x y A         Mỗi không gian con của n R chứa gốc và là một tập lồi. VD: Các không gian con của 3 R bao gồm 3 , R , gốc, và tất cả các đường thẳng và mặt phẳng đi qua gốc. 7. Bài toán Chứng minh rằng mỗi một quả cầu mở hoặc đóng ,            n B x x x R x x   ,            n B x x x R x x   bao quanh một điểm   n xR là một tập lồi. Chứng minh rằng phần trong của một tập lồi là tập lồi 8. Đỉnh Cho A là 1 tập lồi trong n R . Mọi aA mà ở đó không tồn tại 2 điểm khác biệt ,x y A khác a sao cho   ,yxx , được gọi là đỉnh của A (hoặc là 1 điểm cực trị của A) . VD: Một tập lồi n AR có thể không có đỉnh (ví dụ như mặt phẳng   , n x x R cx  và quả cầu mở Bx      không có đỉnh), có hữu hạn đỉnh. VD: Tập   , 0, ex 1   n x x R x , trong đó e là một n -vector đơn vị, có n đỉnh , 1, . . . , i e i n , trong đó i e là một n -vector với 1 i i e  và 0, i j e i j ), hoặc có vô số đỉnh (ví dụ quả cầu đóng có vô số đỉnh được cho bởi ,        n x x R x x  9. Định lý Nếu   i iI A  là một họ (hữu hạn hoặc vô hạn) các tập lồi trong n R , khi đó phần giao i iI A   là một tập lồi. Chứng minh: Cho ,y i iI xA   Lấy 01  . Khi đó với mỗi iI : ,y i xA 3 vì i A lồi nên   1 i x y A     10. Đa diện và khối đa diện Định nghĩa: Một tập hợp trong n R là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng trong n R gọi là một đa diện. Một đa diện bị chặn (nghĩa là, với mỗi x thuộc đa diện, x  với  R  cố định), được gọi là một khối đa diện. Đa diện và khối đa diện là các tập lồi.( 4 và định lý 9) 11. Tổ hợp lồi Một điểm  n bR được gọi là một tổ hợp lồi của các vectơ 1 , ,  mn a a R nếu tồn tại m số thực 1 , , m pp sao cho: 1 1 1 1 , , , 0, 1       m m m m b p a p a p p p p 12. Đơn hình Cho 01 , , , m x x x là 1m  điểm phân biệt trong n R , với mn . Nếu các vector 1 0 0 , , m x x x x là độc lập tuyến tính, thì tập tất cả các tổ hợp lồi của 01 , , , m x x x 00 , , 0, 0, . . . , , 1            mm i i i i i ii S z z p x p R p i m p được gọi là một m -đơn hình trong n R với đỉnh 01 , , . . . , m x x x . VD: 0-đơn hình là một điểm, 1-đơn hình là một đoạn thẳng đóng, 2-đơn hình là một tam giác, và 3- đơn hình là một tứ diện) 13. Định lý Tập n AR là tập lồi khi và chỉ khi với mỗi số nguyên 1m , mỗi tổ hợp lồi của bất kỳ m điểm của A thì nằm trong A. 14. 1 1 11 1 , . . . , , . . . , 0 . . . . . . 1 m m mm m x x A p p p x p x A pp               1 1 m m p x p x A    Chứng minh: Điều kiện đủ của 14 là hiển nhiên; Lấy 2m  , khi đó A là tập lồi bởi 1.3. Ta chứng minh điều kiện cần của 14 bằng quy nạp. Với 1m  , 14 , hiển nhiên đúng. Với 2m  , 14 xem như là kết quả của 3. Giả sử 14 đúng với mọi m , chúng ta sẽ chứng minh rằng nó cũng đúng cho 1m  Cho 4 1 2 1 11 11 , , . . . , , . . . , p 0 . . . 1 m m m x x x A p pp         Nếu 1 0 m p   thì 1 1 m m p x p x A   , từ đó 14 đúng với mọi m . Nếu 1 1 m p   thì 1 1 1 11 mm m p x p x x A       . Nếu 1 01 m p   thì chúng ta có thể viết 1 11 1 1 11 11 mm i m m m i i m mm ii ii ii p p p x p x x p x A pp                      15. Định lý Carathéodory (Carathéodory 07) Cho n AR Nếu x là tổ hợp lồi của những điểm của A, thì x là 1 tổ hợp lồi của 1n  hoặc 1 vài điểm của A. Chứng minh: Cho 1 1 , , , 0, . . . 1           m ii i i i m i x p x x p R p p p . nếu 1mn thì x có thể được viết dưới dạng tổ hợp lồi của 1m  điểm trong A. Nếu bất kỳ i p nào trong biểu thức trên bằng 0, thì x là một tổ hợp lồi của 1m  hoặc 1 vài điểm của A. Giả sử 0 i p  . Vì 1mn , tồn tại 11 , ,   m r r R , không đồng thời bằng 0 sao cho:     11 11 . . . 0 m m m m r x x r x x        (do A.1.3) Đặt   11 mm r r r      . Khi đó 11 00 mm i ii ii r r x    Đặt i i i q p r   với 1, . . . ,im ( Với  >0 : 0 i qi , ít nhất k q bằng 0) chọn  sao cho 1 m ax ik i ik rr pp      5 Hình 3.1.4 Một tập A và bao lồi của nó   A Khi đó 1 1 1 1 1 0, 1, . . . , , 0 1 ik m m m m m i i i i i i i i i i ik q i m q q q p r p                     Và 1 1 1 1 m m m m i i i i i i i i i i i i ik x p x q x r x q x               Do đó x là một tổ hợp lồi của 1m  điểm trong A 16. Bao lồi Cho n AR . Bao lồi của A, ký hiệu là   A , là giao của các tập lồi trong n R chứa A. VD: Hình 3.1.4 : 1 tập không lồi trong 2 R được chứa trong một bao lồi 17. Định lý Bao lồi   A của 1 tập n AR bằng tập tất cả các tổ hợp lồi của các điểm của A. Chứng minh: Giả sử B là tập xác định bởi: Đặt 11 , , , 0, 1, 1 kk ii i i i i ii B x x p a p R a A p p k             Ta sẽ chứng minh B là tập lồi. Lấy 12 ,x x B ,   0,1   Do 1 xB nên dịnh nghĩa của B sẽ có 1 , , a k aB và 1 , , k p p R sao cho: 1 0, 1 k ii i pp    1 1 k ii i x p a    Do 2 xB nên dịnh nghĩa của B sẽ có 1 , , a k aB và 1 , , k p p R sao cho: 1 0, 1 k ii i pp    6 2 1 k ii i x p a    Ta có:     12 11 11 km ii ii ii z x x p a q b               11 1 km i i i i ii p a q b     Ta thấy:       0 ( 0,1 , 0) 1 0 ( 0,1 , 0) ii ii p do p q d o p              1 1 1 1 11 k m k m i i i i i i i i i i i i p a q b p a q b                  Vì vậy z là một tổ hợp lồi của hầu hết phần tử thuộc về B nghĩa là zB (do định nghĩa của B) Ta chứng minh   BA Ta sẽ chứng minh   BA nghĩa là j jI BC   , j C là tập lồi chứa A với mọi jI Thật vậy, ta sẽ chứng minh j BC với j C là tập lồi bất kỳ chứa A Lấy xB . Theo định nghĩa của B có , 1, , i a A i m có 1 0, 1, m ii i p i m sao cho p    1 m ii i x p a    , chú ý rằng 1, , j A C i m Theo định lý 13, x là tổ hợp lồi của 1 , , a mj aC nên j xC Chứng minh tren suy ra   xA Vậy   BA 18. Tổng của 2 tập Lấy A , B n R . Tổng của AB được định nghĩa bởi   ,,A B z z x y x A y B      19. Tích của một tập hợp với một số thực Cho n AR và  R  . Tích   ,A z z x x A     nếu 1   và A, thì B A B A     . 20. Định lý Tổng AB của hai tập lồi A và B trong n R là một tập lồi. Chứng minh: Cho 12 ,z z A B 7 thì 1 1 1 z x y 2 2 2 z x y ( 12 ,x x A và 12 ,y y B ) Cho 01        1 2 1 2 1 2 1 1 1z z x x y y A B                 Do đó A+B là tập lồi 21. Định lý Tích A  của một tập lồi A trong n R và số thực  là một tập lồi Chứng minh: Lấy 12 ,z z A   thì 1 1 2 2 ,z x z x   ( 12 ,x x A ). Cho 01      1 2 1 2 11z z x x A               22. Hệ quả Nếu A và B là 2 tập lồi trong n R , thì AB là 1 tập lồi Chứng minh: Cho 12 ,z z A B thì 1 1 1 z x y 2 2 2 z x y ( 12 ,x x A và 12 ,y y B ) Cho 01        1 2 1 2 1 2 1 [ 1 ] [ 1 ]z z x x y y A B                 Do đó A-B là tập lồi II. Định lý tách tập lồi 1. Siêu phẳng tách Siêu phẳng   , , 0   n x x R cx c  được gọi là tách (tách ngặt) hai tập A và B khác rỗng trong n R nếu     x A cx cx x B cx cx           8 Hình 3.2.1: Tách nhưng các tập không rời nhau. 2. Bổ đề Cho A là một tập lồi khác rỗng trong n R , không chứa gốc 0. Khi đó, tồn tại một siêu phẳng   , 0 , 0   n x x R cx c , tách A và 0. Do đó: 0x A cx   Chứng minh: Với mỗi xA chúng ta kết hợp các tập đóng khác rỗng   , 1, 0 n x B y y R yy xy    Cho 1 , . . . , m xx là tập hữu hạn các điểm trong A . Ta có 11 0, 1, 0, 1, . . . , mm i i i i ii x p p p i m       không có nghiệm  m pR Hình 3.2.2 Tập rời nhau nhưng không tách nhau. Hoặc tương đương 1 0, 0 m i i i x p p    không có nghiệm  m pR Từ định lý 2.4.5 của Gordan 0, 1, . . . , i x y i m có nghiệm  m yR 9 Với 0y  , lấy y sao cho 1yy  . Khi đó:   11 , 1, 0 i mm ni x ii y y y R yy x y C         Do đó 1 i m x i C     Các tập   x xA C  là tập đóng liên quan đến tập compact   ,1 n y y R yy ta có x xA C     . Lấy điểm c bất kỳ với 1cc  và 0cx xA . Do đó   ,0 n x x R cx là siêu phẳng tách được cần tìm. 3. Định lý tách Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhau trong n R . Khi đó tồn tại một siêu phẳng   , , 0   n x x R cx c  , ngăn cách hai tập trên, đó là, x A cx x B cx         Chứng minh:   ,,B A x x y z y B z A      là lồi (hệ quả 3.1.22 ) và không chứa gốc 0. tồn tại   , 0 , 0   n x x R cx c sao cho 0x B A cx    hoặc   ,0y B z A c y z     (bổ đề 2) Do đó inf cy sup yB zA cz       Đặt 2     thì z A cz y B cy         4. Hệ quả Cho A là một tập lồi không rỗng trong n R . Nếu gốc 0 không là một điểm của bao đóng A ( hoặc gốc không nằm trong bao đóng A của A), thì tồn tại một siêu phẳng   , , 0, 0    n x x R cx c  , tách ngặt A và 0. Nói cách khác 0, 0 : 0 c A x A cx          Chứng minh    Giả sử: tồn tại 0, 0c   sao cho cx   với mọi xA . Nếu 0  thì tồn tại một xA sao cho 2xc   [...]... tồn tại một siêu phẳng x  B  A  cx    0 Hoặc y  B, z  A  c  y  z     0 Do đó 10 x là lồi và đóng  x  R , cx   , c  ,   0 n sao cho   in f c y  s u p c z    s u p c z   y B Đặt   z A z A   2 thì z  A  cz   y  B  cy   Hình 3.2.5 Giải thích hình học của Bổ đề 5 7 Bài toán Thiết lập định lý Farkas 2.4.6 bằng cách sử dụng định lý 6 ở trên (quan sát có nghiệm . PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN – TIN Lớp: Toán-VB2 khóa 2 TỐI ƯU PHI TUYẾN Đề tài môn: TẬP LỒI TRONG R n Người thực hiện: 1. Lưu Thị Hảo 2. Nguyễn Thị Hồng Tiên 3. Đặng Lê Xuân. gian con của 3 R bao gồm 3 , R , gốc, và tất cả các đường thẳng và mặt phẳng đi qua gốc. 7. Bài toán Chứng minh rằng mỗi một quả cầu mở hoặc đóng ,            n B x x x. Lấy 01  . Khi đó với mỗi iI : ,y i xA 3 vì i A lồi nên   1 i x y A     10. Đa diện và khối đa diện Định nghĩa: Một tập hợp trong n R là giao của một số hữu hạn các