TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH                     MÔN: QUY HOẠCH PHI TUYẾN ĐỀ TÀI: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA HÀM LỒI – HÀM LÕM HVTH: 1. Trịnh Cẩm Vân 2. Nguyễn Thị Bích Hồng 3. Ngô Thị Duy Bình Lớp Toán -Văn bằng 2- khóa 2 1 Chƣơng 4: HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM I. Định nghĩa 1) Định nghĩa hàm lồi Một hàm số  xác định trên tập n R được gọi là lồi tại x  nếu           0 1 1 1 1 x x x x x xx                             được gọi là lồi trên  nếu nó lồi tại mọi x . Trường hợp đặc biệt: nếu  là tập lồi, n R thì ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1: Một hàm số  xác định trên tập lồi  gọi là lồi trên  nếu và chỉ nếu         12 1 2 1 2 , 11 01 xx x x x x                     Ví dụ:   2 xx   là hàm lồi trên R. Hàm lồi  trên R Hàm lồi  trên   1,    Hình 4.1: Hàm lồi trên các tập con của n RR 2 2) Định nghĩa hàm lõm Một hàm số  xác định trên tập n R được gọi là lõm tại x  nếu           0 1 1 1 1 x x x x x xx                             được gọi là lõm trên  nếu nó lõm tại mọi x . Trường hợp đặc biệt: nếu  là tập lồi, n R thì ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2: Một hàm số  xác định trên tập lồi  gọi là lõm trên  nếu và chỉ nếu         12 1 2 1 2 , 11 01 xx x x x x                     Ví dụ:   2 xx   là hàm lõm trên R. Chú ý:  lõm tại x  (lõm trên Γ) khi và chỉ khi   lồi tại x  (lồi trên Γ). Hàm lõm  trên R Hàm lõm  trên   0,1 Hình 4.2: Hàm lõm trên các tập con của RR n  . 3) Bài toán 1: Chứng minh rằng:   , n x cx x R     là hàm tuyến tính    x  vừa lồi vừa lõm trên n R . Chứng minh:    Vì   x  là hàm tuyến tính nên 12 , n x x R ;   0,1   và   12 1 n x x R     ta có: 3         1 2 1 2 11f x x f x f x                            1 2 1 2 1 2 1 2 11 11 f x x f x f x f x x f x f x                             Vậy   x  vừa lồi vừa lõm trên n R .    Vì   x  là hàm lồi trên n R nên           12 1 2 1 2 , 1 1 1 01 n x x R x x x x                     Vì   x  là hàm lõm trên n R nên           12 1 2 1 2 , 1 1 2 01 n x x R x x x x                     Từ (1) và (2) suy ra         1 2 1 2 11f x x f x f x            Vậy   x  là hàm tuyến tính. 4) Định nghĩa hàm lồi ngặt Một hàm số  xác định trên tập n R được gọi là lồi ngặt tại x  (với x tùy ý trên  ) nếu           11 01 1 x xx x x x x xx                               được gọi là lồi ngặt trên  nếu nó lồi ngặt tại mọi x . Ví dụ: hàm  trên hình 4.1b) là hàm lồi ngặt. 5) Định nghĩa hàm lõm ngặt Một hàm số  xác định trên tập n R được gọi là lõm ngặt tại x  (với x tùy ý trên  ) nếu           11 01 1 x xx x x x x xx                              4  được gọi là lõm ngặt trên  nếu nó lõm ngặt tại mọi x . Ví dụ: hàm  trên hình 4.2 a), 4.2 b) là hàm lõm ngặt. Chú ý: - Nếu một hàm lồi ngặt (lõm ngặt) trên tập n R thì hàm đó lồi (lõm) trên Γ, chiều ngược lại thì không. Ví dụ: một hàm hằng trên n R đều lồi và lõm trên n R , nhưng nó không lồi ngặt và lõm ngặt trên n R . Thật vậy, dễ dàng thấy tất cả những hàm tuyến tính   x cx   trên n R thì không lồi ngặt và lõm ngặt trên n R . - Một hàm véctơ n chiều ƒ xác định trên tập Γ trong n R gọi là lồi tại x  , lồi trên Γ, nếu mỗi hàm thành phần , 1, , i f i m lồi tại x  , lồi trên Γ. II. Các tính chất cơ bản 1) Định lý 1 (Các phép toán với các hàm lồi) Cho U là một tập lồi trong không gian n R . Khi đó 1. Nếu f và g là các hàm lồi trên U thì f + g cũng là hàm lồi trên U . Nếu f hoặc g là hàm lồi ngặt thì tổng f + g cũng là hàm lồi ngặt. 2. Nếu f là hàm lồi (lồi ngặt) trên U và µ là một số thực dương thì µf là một hàm lồi (lồi ngặt) trên U . 3. Nếu f là một hàm lồi (lồi ngặt) trên U và V là tập con lồi của U . Khi đó hạn chế f |V của hàm f lên V cũng là một hàm lồi (lồi ngặt) trên V . 2) Định lý 2 Cho   1 ,, m f f f là hàm véc tơ m chiều xác định trên n R . Nếu ƒ lồi tại x  (lồi trên Γ) thì mỗi một tổ hợp tuyến tính không âm của các hàm thành phần i f     ,0x pf x p   là hàm lồi tại x (lồi trên Γ). Chứng minh: Lấy 10,   x , và  xx  )1( . Ta có :     xxpfxx   )1()1(   )()()1( xfxfp   (do f lồi tại x và 0p ) 5 )()()1( )()()1( xx xpfxpf     Vậy   x  là hàm lồi tại x (lồi trên Γ). 3) Bài toán 2 Cho  là một hàm số xác định trên tập lồi n R . Chứng minh rằng  lồi, lõm, lồi ngặt, hoặc lõm ngặt trên Γ nếu và chỉ nếu với mọi 12 ,xx , hàm số  xác định trên đoạn thẳng   0,1 là     1 2 1 xx           lồi, lõm, lồi ngặt, hoặc lõm ngặt trên   0,1 . 4) Định lý 3 Cho một hàm số  xác định trên một tập lồi n R , điều kiện cần và đủ để  lồi trên  là tập trên đồ thị của  :     1 , / , , ( ) n G x x R x R            là tập lồi trên 1n R . Chứng minh: (Điều kiện đủ) Giả sử  G lồi. Lấy  21 ,xx 11 [ , ( )]x x G    và 22 [ , ( )]x x G    Vì  G lồi nên 1 2 1 2 [(1 ) ,(1 ) ( ) ( )]x x x x G            ( 10   ) Hay 1 2 1 2 [(1 ) ] (1 ) ( ) ( )x x x x            ( 10   ) Vậy  là hàm lồi trên  (Điều kiện cần) Giả sử  lồi trên  . Lấy 11 ,xG    và 22 ,xG    . Vì  lồi trên  nên 1 2 1 2 [(1 ) ] (1 ) ( ) ( )x x x x            ( 10   ) 12 (1 )       1 2 1 2 (1 ) ,(1 )x x G               Vậy G  là tập lồi trên 1n R . (đpcm) 5) Hệ quả 1 Cho một hàm số  xác định trên tập lồi n R , điều kiện cần và đủ để  lồi trên  là tập dưới đồ thị của  :     1 , / , , ( ) n H x x R x R            là tập lồi trên 1n R . 6 Hình 4.3: a) Tập trên đồ thị của hàm lồi  là tập lồi G  b) Tập dưới đồ thị của hàm lõm  là tập lồi H  6) Định lý 4 Cho  là hàm số xác định trên tập lồi n R . Điều kiện cần để  lồi trên  là tập   / , ( ) n x x x R          lồi với mọi số thực  . Chứng minh: Cho  lồi trên  . Lấy   12 , ; 0,1xx     ta có: 1 2 1 2 [(1 ) ] (1 ) ( ) ( )x x x x            ( 10   ) (1 )         12 (1 )xx       Vậy   là tập lồi. Tiếp theo ta chứng minh   lồi với mọi số thực  . Xét hàm  trên R :   3 xx    không lồi trên R. Tập     1 3 3 / , / ,x x x x x x          là tập lồi với mọi  (hiển nhiên) 7) Hệ quả 2 7 Cho  là hàm số xác định trên tập lồi n R . Điều kiện cần để  lõm trên  là tập   / , ( ) n x x x R          lồi với mọi số thực  . Hình 4.4: a) Hàm lồi  liên kết tập lồi   . b) Hàm không lồi  liên kết tập lồi   . c) Hàm lõm  liên kết tập lồi   . 8) Bài toán 3 Cho  là hàm số xác định trên tập lồi n R . Chứng minh rằng: điều kiện cần và đủ để  lồi trên  là với mọi số nguyên 1m  ,       1 1 1 1 11 1 , , , , 0 (*) 1 m m m m mm m xx p p p x p x p x p x pp                    Chứng minh: (Điều kiện cần) Chứng minh qui nạp theo k + 2k  ta có bất đẳng thức đúng sau:       2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , ,0 1 xx p p p x p x p x p x pp                + Giả sử bất đẳng thức (*) đúng với 1km nghĩa là ta có bất thức đúng sau:       11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 , , , , 0 1 m mm m m m m xx p p p x p x p x p x pp                          8 +Chứng minh bất đẳng thức (*) đúng với km . Đặt , 1 i i m p p p               11 ,, 1 1 1 11 m m m i m i m i i m m i m m i i i i p x p x p p x p x p p x                        1 , 11 1 mm m i i m m i i ii p x p p x p x                   (đpcm) (Điều kiện đủ) Hiển nhiên Bất đẳng thức (*) ở trên gọi là bất đẳng thức Jensen. 9) Định lý 5 Nếu   i iI   là một họ các hàm số (hữu hạn hoặc vô hạn) lồi và bị chặn trên trên tập lồi n R thì hàm số   sup ( ) i iI xx    là một hàm lồi trên  . Chứng minh: Vì mỗi i  là hàm lồi trên  nên tập trên đồ thị của mỗi i  })(,,/),{(    xRxxG i i là các tập lồi trên 1n R  (định lý 2) {( , )/ , , ( ) , } i i iI G x x R x i I              {( , )/ , , ( ) }x x R x         cũng là một tập lồi trên 1n R  . Mà giao của các tập lồi này là tập trên đồ thị của  . Vậy  là một hàm lồi trên  (định lý 2). (đpcm) 10) Hệ quả 3 Nếu   i iI   là một họ các hàm số (hữu hạn hoặc vô hạn) lõm và bị chặn dưới trên tập lồi n R thì hàm số   inf ( ) i iI xx    là một hàm lõm trên  . Chú ý: - Hàm  là lồi trên tập lồi n R thì không nhất thiết là hàm liên tục. Ví dụ: trên nữa đoạn thẳng }1,/{  xRxx , hàm số 2 2, 1 () ( ) , 1 x x xx        là một hàm lồi trên  ( tập trên đồ thị của  là tập lồi trên  ), nhưng không liên tục tại 1x  (     1 lim 1 x x    ) (hình 4.1b). - Tuy nhiên, nếu  là một tập lồi mở, thì hàm lồi  trên  liên tục. 9 11) Định lý 6 Cho  là một tập lồi mở trên n R . Nếu  là một hàm lồi trên  thì  liên tục trên  . Chứng minh : + Lấy 0 x  và  là khoảng cách (xem 1.3.9) từ 0 x đến điểm gần nhất trên n R không trên      nếu  n R . Cho C là hình lập phương n chiều với tâm 0 x và chiều dài cạnh 2  , nghĩa là:   0 1 { , , : , 1, , } n n i i C x x R x x i n         Với   0 0 0 0 0 0 1 2 1 , , , , n n i i i x x x x x x          Cho   1/2 n   C   . Cho V là tập các đỉnh 2 n của C và max ( ) xV x    Theo định lý 3 ta có:   / , ( )x x x       là tập lồi. Vì C là bao lồi của V (điều này thì dễ dàng chứng minh bằng phép quy nạp trên n ) và  V nên  C (định lý 3.1.13) (hình 4.5). Cho x là điểm bất kỳ thỏa   0 0 xx , xác định x° + u, x° — u trên đường thẳng qua 0 x và x như hình 4.5. Khi đó x là tổ hợp lồi của 0 x và 0 xu ; 0 x là tổ hợp lồi của x và 0 xu . Nếu  / 0 xx thì )( 11 1 )( )1()( 0 00 00 uxx xuxxuxx xuxuxx             [...]... 12) Định nghĩa: Một hàm f : [a, b] → R được gọi là hàm lồi theo nghĩa Jensen hay J-lồi trên [a, b] nếu bất đẳng thức  x  y  f ( x)  f ( y ) f  2  2  thỏa với mọi điểm x, y   a, b 13) Định lý 7 (J.L.W.V.Jensen): Cho I là một khoảng của tập số thực và f : I → R là một hàm liên tục Khi đó f là hàm lồi nếu và chỉ nếu f thỏa mãn  x  y  f ( x)  f ( y ) f (**) với mọi x, y  I  2  2  Chứng .             MÔN: QUY HOẠCH PHI TUYẾN ĐỀ TÀI: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA HÀM LỒI – HÀM LÕM HVTH: 1. Trịnh Cẩm Vân 2. Nguyễn Thị. của RR n  . 3) Bài toán 1: Chứng minh rằng:   , n x cx x R     là hàm tuyến tính    x  vừa lồi vừa lõm trên n R . Chứng minh:    Vì   x  là hàm tuyến tính nên 12 , n x.    1 3 3 / , / ,x x x x x x          là tập lồi với mọi  (hiển nhiên) 7) Hệ quả 2 7 Cho  là hàm số xác định trên tập lồi n R . Điều kiện cần để  lõm trên  là