1 MÔN: TỐI ƢU PHI TUYẾN PHẦN 1 CHƢƠNG 4: HÀM LỒI – HÀM LÕM PHẦN 2: TIÊU CHUẨN TỐI ƢU CỦA QUI HOẠCH KHÔNG KHẢ VI Thành viên nhóm: BỒ TÙNG LINH BÙI THỊ THƠM NGUYỄN THỊ MỸ THUẬN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM Khoa Toán – Tin 2 Chƣơng 4: Hàm lồi và lõm Trong chương này chúng tôi giới thiệu tính lồi, lõm, hàm ràng buộc lồi, hàm ràng buộc lõm được định nghĩa trên không gian n R . Hàm lồi và lõm rất quan trọng trong qui hoạch phi tuyến tính, bởi vì chúng là một trong Xố hàm có đủ các tiêu chí tối ưu có thể được đưa ra (chương 5 và 7), và chỉ những hàm có đủ điều kiện cần tối ưu phi tuyến tính (điều kiện điểm yên ngựa Kuhn-Tucker trong chương 5). Ta cung cấp trong chương này một Xố tính chất cơ bản của hàm lồi và hàm lõm và đưa ra một Xố định lý chủ yếu liên quan đến các hàm này. Các định lý này, xuất phát bằng cách Xử dụng các định lý tách cho các tập lồi của chương 3, gần giống với các định lý thay thế ở chương 2, cho các hệ thống tuyến tính. Trong ý nghĩa này hàm lồi và lõm có một Xố tính chất quan trọng của hàm tuyến tính. Những định lý này Xẽ được Xử dụng để đưa ra điều kiện cần tối ưu điểm yên ngựa của chương 5 và nguyên tắc cực tiểu điều kiện tối ưu cần của chương 11. Cuối cùng, đề cập đến hàm không khả vi hoặc hàm liên tục được giới thiệu trong chương này. Một chương tiếp theo chương 6, Xẽ được dành cho hàm lồi và lõm khả vi. 3 1. Các định nghĩa và tính chất cơ bản 1.1) Hàm lồi 1.1.1. Định nghĩa hàm lồi tại 1 điểm Một hàm số  định trên tập  n XR được gọi là lồi tại xX nếu           1 2 1 2 0 1 1 1 1                    xX x x x x x x X          được gọi là lồi trên X nếu nó lồi tại mọi điểm xX Ví dụ: xét hàm số   2 f x x xác định trên R Lấy 12 ,x x R , cho 01   Xét             22 1 2 1 2 2 1 2 1 2 11 1 ( 1 ) f x f x x x f x x x x                                             1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 22 1 1 2 1 2 12 11 1 1 2 1 1 2 1 1 0 10 f x f x f x x x x x x x x x x x x xx                                            Vì 10   nên     2 12 10xx     vì vậy   2 f x x là hàm lồi trên R Ví dụ về hàm không lồi trên toàn miền xác định Xét hàm số 2 ,1 () ,1 xx fx xx         có tập xác định là R Chọn  = 0,5 x 1 =-1, x 2 =2, Khi đó       1 f x f x   = (1-0,5)f(-1)+0,5f(2)= -0,5   1f x x     = f[(1-0,5)(-1)+0,5.2]=f(0,5)= 0,25 Nên f(x) không lồi trên R 4 1.1.2. Hàm lồi ngặt Một hàm số  xác định trên tập  n XR được gọi là hàm lồi ngặt tại xX nếu           11 01 1                      xX xx x x x x x x X         f được gọi là lồi ngặt trên X nếu nó lồi ngặt tại mọi xX 1.1.3. Miền hữu hiệu (effective domain) Miền hữu hiệu của f ký hiệu là dom  được định nghĩa như sau   ()   dom x X x  5 1.1.4 Trên đồ thị (epigragh) của hàm  ký hiệu là epi  , được định nghĩa như sau   0 ( , ) , , ( )    G epi x y x X y R X x y  Hàm lồi   : X     có thể được mở rộng thành một hàm lồi trên toàn không gian n bằng cách đặt ()fx  nếu x dom  . Vì vậy, để đơn giản, ta thường xét  là hàm lồi trên n 1.1.5. Một số tính chất cow hàm lồi Cho tập  n XR . Khi đó a. Nếu f và g là các hàm lồi trên X thì fg cũng là hàm lồi trên X. Nếu f và g là hàm lồi thực sự thì fg cũng là hàm lồi thực sự. b. Nếu f là hàm lồi ( lồi thực sự) trên X và k là một số thực dương thì kf là một hàm lồi ( lồi thực sự) trên X. c. Cho ,I J R là các tập lồi. nếu f là một hàm lồi( lồi thực sự) trên I và g là một hàm lồi không giảm( hàm lồi tăng ) trên tập lồi J,   f I J thì gf là hàm lồi ( lồi thực sự) Chứng minh: Với   , , 0,1x y I   ta có:               11g f x y g f x f y          ( do g là hàm lồi tăng)                  1 1 g f x g f y g f x g f y         Hay gf là hàm lồi Ngược lại nếu g là hàm giảm trên tập lồi J,   f I J thì gf không phải là hàm lồi. Ví dụ: cho hàm     2 sin , , 2 f x x g x x x         Ta thấy   fx là hàm lồi và   gx là hàm lồi trên , 2      nên 2 sing f x , gf là hàm không lồi trên , 2      6 1.2) Hàm lõm 1.2.1 Định nghĩa hàm lõm Một hàm số  xác định trên tập  n XR được gọi là hàm lõm tại x X nếu           0 1 1 1 1                    xX x x x x x x X          được gọi là hàm lõm trên X nếu nó lõm tại mọi điểm xX Hàm  lõm tại xX (lõm trên X) nếu và chỉ nếu hàm –  lồi tại xX (lồi trên X). Kết quả thu được cho các hàm lồi có thể được thay đổi thành các kết quả cho các hàm lõm khi nhân với - 1, và ngược lại. (a) Một hàm lõm  trên R (b) Một hàm lõm  trên   0,1X Hình 4.1.2 mô tả hàm lõm trên tập con lồi của n R = R 1.2.2 Hàm lõm ngặt Một hàm Số  xác định trên tập  n XR được gọi là hàm lồi ngặt tại xX nếu           11 01 1                      xX xx x x x x x x X          được gọi là lõm ngặt trên X nếu nó lõm ngặt tại mọi xX Rõ ràng một hàm lồi ngặt (lõm ngặt) trên tập  n XR là lồi (lõm) trên X, nhưng không ngược lại. Ví dụ: Một hàm liên tục trên n R là cả lồi và lõm n R nhưng không lồi ngặt, không lõm ngặt trên n R . Thật ra, tất cả các hàm tuyến tính   xxc  trên n R không lồi ngặt cũng không lõm ngặt trên n R . Vì phần tuyến tính, 7 các hàm được mô tả trong hình 4.1.1a là không không lồi ngặt trên R. Nhưng trong hình 4.1.1b hàm lồi ngặt trên   1, . Cả hai hàm trong hình 4.1.2 là lõm ngặt trên tập xác định của chúng. Một hàm véc tơ f n-chiều xác định trên  n XR là lồi tại xX , lồi trên X, … nếu mỗi i f , 1,im là lồi tại xX , trên X, … 1.2.3 Một số tính chất hàm lõm Cho tập  n XR . Khi đó d. Nếu f và g là các hàm lõm trên X thì fg cũng là hàm lõm trên X. Nếu f và g là hàm lõm thực sự thì fg cũng là hàm lõm thực sự. e. Nếu f là hàm lõm ( lõm thực sự) trên X và k là một số thực dương thì kf là một hàm lõm ( lõm thực sự) trên X. f. Cho ,I J R là các tập lõm. nếu f là một hàm lõm ( lõm thực sự) trên I và g là một hàm lõm không giảm( hàm lõm tăng ) trên tập lõm J,   f I J thì gf là hàm lõm ( lõm thực sự) 1.2.3) Định lý 1: Cho hàm số  xác định trên một tập lồi  n XR là lồi trên X thì điều kiện cần và đủ là Epigraph   1 0 ( , ) , , ( )       n G x y x X y R x y R  là tập lồi trên 1n R  Chứng minh (Điều kiện đủ) Giả sử G o lồi. Lấy 12 , x x X , thì   11 , ( ) o x x G   và   22 , ( ) o x x G   , bởi tính lồi của G o ta có     1 2 1 2 0 1 , 1 ( ) ( )x x x x G             với mọi 01   hoặc     1 2 1 2 1 1 ( ) ( )x x x x              với mọi 01   và khi đó  lồi trên X (Điều kiện cần) Giả sử  lồi trên X . Lấy 11 , o x z G và 22 , o x z G vì tính lồi của  trên X ta có 01             1 2 1 2 1 2 1 1 1x x x x z z                   Khi đó     1 2 1 2 1 , 1 o x x z z G          và o G là tập lồi trên 1n R  Hệ quả: Cho hàm số  xác định trên một tập lồi  n XR là lõm trên X thì điều kiện cần và đủ là Hypo   1 0 ( , ) , , ( ) n H x y x S y R x y R        8 Hình 4.1.3a mô tả hàm lồi trên X và Epigraph o G . Hình 4.1.3b mô tả hàm lõm trên X và Hypograph H 0 Hình 4.1.3 Epigraph o G của hàm lồi và Hypograph H 0 của hàm lõm 1.2.4) Định lý 2 Cho hàm số  xác định trên một tập lồi  n XR là lõm trên X. Điều kiện cần nhưng không đủ để  lồi trên X là   , ( )     n A x x X x X R   là lồi cho mỗi số thực  . Chứng minh: Lấy  lồi trên X và lấy 12 ,x x A   thì có         1 2 1 2 11x x x x              (Vì tính lồi của  )   12 1 zz     ( vì 12 ,x x A   )   Do đó   12 1 x x A      Nếu A  lồi tại mỗi  , nó không chỉ ra được  là một hàm lồi trên S . Xem xét hàm  trên R được xác định bởi 3 ()xx   .  không lồi trên R . Tuy nhiên   1 3 3 ,,A x x R x x x R x              thì hiển nhiên lồi với mọi  . Hệ quả Cho hàm số  xác định trên một tập lồi  n XR . Điều kiện cần nhưng không đủ để  lõm trên X là tập   , ( )     n A x x X x X R   là lồi với mỗi số thực  . 9 Hình 4.1.4a mô tả hàm lồi  trên tập lồi  n X R R và tập lồi liên quan trên A  Hình 4.1.4b mô tả hàm không lồi  và tập lồi liên quan trên A  Hình 4.1.4c mô tả hàm lõm  trên tập lồi n S R R và tập lồi liên quan trên   1.2.5) Định lý 3: Cho f =   1 , , m ff là một hàm vectơ m-chiều xác định trên n SR . Nếu f lồi tại xS (lồi trên X), thì mỗi tổ hợp tuyến tính không âm của nó chứa i f   ( ) 0x pf x p  là lồi tại xX (lồi trên X) Chứng minh: Lấy xX , 01   ,   1  x x X  . Thì       11 1 ( ) ( ) x x pf x x p f x f x                         (vì f lồi tại x và p không âm)     1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )     pf x pf x x x      10 1.2.6) Định lý 4: (Bất đẳng thức JenXen ): Cho hàm số  xác định trên một tập lồi  n XR Hàm  lồi trên S khi và chỉ khi 1 1 1 1 1 1 0 ( 1, , ) 1 ( ) ( ) ( ) , , i m i m m m m i m im x x x x x x S                             (1.10) Chứng minh: Không mất tính tổng quát, có thể xem như 0 i   . Khi đó nếu i x dom   thì ( ) , ( ) i i i xx       thì bất đẳng thức (1.10) đúng. Do dom  lồi nên không xảy ra trường hợp () i x    mà 1 m ii i x         , bởi vậy khi đó 1 m ii i x dom     Nếu i x dom   , do epi  lồi và   , ( ) ii x x epi   Suy ra   1 1 1 1 , ( ), ( ) m m m m x x x x epi          1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m m m m x x x x             (đpcm) 1.2.7) Định lý 5: Nếu () i i I   là một họ hàm số (hữu hạn hoặc vô hạn) lồi và bị chặn trên 1 tập lồi n TR thì hàm số ( ) sup ( )   i iI xx  là một hàm lồi trên X Chứng minh: Mỗi i  là hàm lồi trên X miền của chúng     , , , ( ) i i G x y x S y R x y       là tập lồi trong 1n R  theo định lý 2 và vì         , , , ( ) , , , , ( ) i i G x y x S y R x y i I x y x S y R x y               Thì cũng là một tập lồi trong 1n R  . Nhưng giao các tập lồi này là miền của  . Vì thế theo định lý 2  là hàm lồi trên X Hệ quả: Nếu () i i I   là một họ hàm số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà lõm và bao chặn dưới 1 tập lồi  n XR thì hàm số ( ) inf ( )   i iI xx  là một hàm lõm trên X. Nhận xét: hàm số mà lồi trên tập lồi  n XR thì không nhất thiết là một hàm liên tục. Ví dụ: trên nữa đường thẳng   ,1R x x R x    [...]... lồi 12 Phần 2: Tiêu chuẩn tối ƣu của quy hoạch phi tuyến không khả vi Mục đích của chương này là đưa ra tiêu chuẩn tối ưu của cho bài toán quy hoạch phi tuyến tính Xét bài toán: Tìm cực tiểu của hàm   x   x 2 xác định trên X   x x  R ,  x  2  0 Dễ thấy phương án tối ưu là x  2 , cực tiểu của hàm  là   x   4 Điều kiện cần và đủ để x là phương án tối ưu của bài toán này là tồn tại một... phƣơng án tối ƣu của các hàm số thoả điều kiện ràng buộc mà không xét tính khảvi của chúng 5.1 Bài toán cực tiểu và điểm yên ngựa Tiêu chuẩn tối ưu của chương này có liên quan đến phương án của bài toán cực tiểu, bài toán cực tiểu địa phương và hai bài toán điểm yên ngựa với nhau Cho X 0 là tập con của R n , cho  và g là các hàm số và một hàm vectơ mchiều trên X 0 Ta xem xét các bài toán sau 5.1. 1Bài. .. sau 5.1. 1Bài toán cực tiểu (MP)  ( x)  min  Tìm phương án tối ưu x thoả  0  x  X   x x  X  , g ( x)  0  (MP) Trong đó: Tập X là miền xác định x là phương án cực tiểu   x  là cực tiểu Nếu X là tập lồi, hàm  là hàm lồi trên X, bài toán điểm cực tiểu (MP) thường được gọi là bài toán qui hoạch lồi (BTQHL) hoặc bài toán lồi (BTL) 13 Ví dụ 1: Tìm phương án tối ưu của bài toán :  f ( x) ... , x  X 0  Thì x là phương án tối ưu của bài toán cực tiểu( v và s không bị hạn chế trong cách ghi) Phương án nào là phương án tối ưu x nếu  x , r0 , r  là phương án tối ưu của (FJSP) ở mục 5.1.3 mà không cần r0  0 ? Câu trả lời cho vấn đề này là theo kết quả dưới đây 18 5.3.3 Hệ quả Nếu ( x, r 0 , r ) là một phương án tối ưu của (FJSP) thì hoặc x là phương án tối ưu của (MP) hoặc X không có điểm... 1     x     y  (vì x là phương án tối ưu của (LMP) ) ( vì  lồi tại x ) Từ đó suy ra   x     y  5.3 Điều kiện đủ của tiêu chuẩn tối ƣu Điều kiện đủ của tiêu chuẩn tối được đưa ra trong phần này không yêu cầu tính lồi trên bài toán cực tiểu (MP) 5.3.1 Định lý tối ƣu đủ a) Nếu  x , u  là phương án tối ưu của ( KTSP) thì x là phương ántối ưu của (MP) b) Nếu  x , r0 , r  là phương... không đạt cực tiểu tại z Hình 5.1.2 Hình 5.2.2 chỉ ra ví dụ đơn giản của định lý 3 trong R 16 5.2.4 Định lý a) Nếu x là phương án của (MP) thì sau nó cũng là phương án của (LMP) b) Cho X là tập lồi và  lồi tại x Nếu x là phương án của (LMP) thì nó cũng là phương án của (MP) Chứng minh: a) (LMP) Dễ thấy Nếu x là phương án tối ưu (MP) thì x là phương án tối ưu của b) Lấy x là phương án tối ưu của (LMP),... x, u     x   u   x  2 có một điểm cực tiểu tại  x , u  suy ra Có một điểm yên ngựa tại x  2, u  4 Với bài toán đơn giản trên, điểm yên ngựa xảy ra ở cả điều kiện cần và đủ làm cho x trở thành phương án tối ưu của bài toán cực tiểu Điều này không phải luôn xảy ra trong mọi trường hợp Trong chương này, điểm yên ngựa ở trên là điều kiện tối ưu đủ mà không có bất kỳ yêu cầu nào về tính lồi... - Bất đẳng thức đúng cho cả hai bài toán (FJSP) và (KTSP ) là -  ( x, r0 , r )   ( x , r0 , r ) cho mọi x  X 0 và  ( x, u )   ( x , u ) cho mọi x  X 0 được giải thích như là nguyên lý cực tiểu 5.2 Một số kết quả của bài toán cực tiểu và cực tiểu địa phƣơng Ta thiết lập một số kết quả cơ bản trên tập lồi có liên quan với phương án của bài toán cực tiểu và cực tiểu địa phương 5.2.1 Định lý Nếu... và có thể bỏ qua trong bài toán cực tiểu với sự thay đổi của phương án x Khi đó, ta có thể thành lập định lý cho các hàng độc lập tuyến tính của B, đưa vào hàng độc lập tuyến tính Bk (với sự thay đổi của bài toán cực tiểu) và tập vk  0 trong bài toán điểm yên ngựa 23 Từ (2) tồn tại r0  R, r  R m , s  Rk ,  ro , r   0 ,  r0 , r , s   0 thỏa mãn rg  x   0  và giải bài toán điểm yên ngựa... của tiểu tối ưu Hai trường hợp này được so sánh trong bảng sau: Tiêu chuẩn cần Tiêu chuẩn đủ (a) Lồi cần thiết Không cần tập lồi b) Hệ quả của định lý tách tập lồi cần thiết Không cần hệ quả của định lý tách tập lồi (c) Điều kiện chính quy (điều kiện ràng buộc) cần thiết và quan trọng Không cần điều kiện chính qui Cách thiết lập một tiêu chuẩn tối ưu không cần điều kiện chính quy Tiêu chí tối ưu cần . Tiêu chuẩn tối ƣu của quy hoạch phi tuyến không khả vi Mục đích của chương này là đưa ra tiêu chuẩn tối ưu của cho bài toán quy hoạch phi tuyến tính. Xét bài toán: Tìm cực tiểu của hàm. trong qui hoạch phi tuyến tính, bởi vì chúng là một trong Xố hàm có đủ các tiêu chí tối ưu có thể được đưa ra (chương 5 và 7), và chỉ những hàm có đủ điều kiện cần tối ưu phi tuyến tính (điều. Thì x là phương án tối ưu của bài toán cực tiểu( v và s không bị hạn chế trong cách ghi). Phương án nào là phương án tối ưu x nếu   0 ,,x r r là phương án tối ưu của (FJSP) ở mục 5.1.3