Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 1 BÀI TIỂU LUẬN MÔN PHƢƠNG PHÁP TÍNH CHỦ ĐỀ 15 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH GIÁ TRỊ HÀM CĂN BẬC N CỦA MỘT SỐ THỰC KHÔNG ÂM ( N LÀ SỐ NGUYÊN DƢƠNG). KẾT QUẢ GHI Ở DẠNG BIỂU DIỄN THẬP PHÂN. TỪ ĐÓ XÂY DỰNG THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH DẠNG BIỂU DIỄN THẬP PHÂN CĂN BẬC N CỦA MỘT SỐ THỰC GVHD: THẦY TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: HỒ THU VÂN NGUYỄN THỊ NGỌC DUNG TRẦN THỊ HẰNG Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 2 I.Đặt vấn đề: Để tính giá trị n  với  là một số thực thì n  có thể là một số nguyên, số hữu tỉ hoặc số vô tỉ. Do đó, trong hầu hết các trường hợp ta không thể biểu diễn chính xác được n  dưới dạng số thập phân hữu hạn. Vấn đề đặt ra là ta phải xác định giá trị gần đúng của n  và ghi ở dạng biểu diễn thập phân nghĩa là có k chữ số thập phân sau dấu phẩy với sai số 10 k p    với   0,1,2,3,4,5,6,7,8,9p . Khi 1n  thì bài toán ở dạng đơn giản nên ta chỉ xét nN   , 2n  . Với 0   thì dễ dàng có 0 n   . Với 0   ( n phải là số nguyên dương lẻ thì nn     ) Do đó, ta chỉ cần xét trường hợp đối với 0   , ,n 2nN   . Tùy vào cách nhìn nhận số n  như thế nào mà ta sẽ có những phương pháp tương ứng để tính nó. Nếu ta xem n  như là giá trị của hàm số   n f x x tại x   thì ta có thể tính xấp xỉ   fx bởi các hàm đa thức , rồi lấy giá trị gần đúng của đa thức đó tại x   . Một cách khác, nếu ta xem n  là nghiệm của phương trình 0 n x   thì ta có thể dùng các phương pháp xấp xỉ nghiệm để tính gần đúng n  như phương pháp chia đôi đoạn chứa nghiệm, phương pháp dây cung, phương pháp xấp xỉ Newton,… Nhóm chúng tôi sử dụng phƣơng pháp dây cung. Cụ thể là ta xem n  là nghiệm của phương trình 0 n x   với ( 0, , 2x n N n     ). II.Giải quyết vấn đề:  Mô tả phương pháp Ta vẽ đồ thị như hình vẽ, giao điểm của cung AB và trục hoành chính là nghiệm phương trình, ta sẽ thay cung AB của đồ thị bằng dây cung AB tương ứng rồi lấy hoành độ 1 x của Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 3 giao điểm P của dây cung với trục hoành làm giá trị gần đúng của nghiệm phương trình. Phương trình đi qua 2 điểm         , , ,A a f a B b f b ( phương trình dây cung AB) là:       y f a xa f b f a b a     . Tại giao điểm P ta có 0y  , 1 xx nên ta có:       1 fa xa f b f a b a     Từ đó suy ra:         1 b a f a xa f b f a    Phương pháp tính 1 x như vậy gọi là phương pháp dây cung. Sau khi tính được 1 x nếu 1 x có sai số lớn hơn yêu cầu thì ta thay   ;ab bằng đoạn chứa nghiệm nhỏ hơn:  Nếu     1 .0f a f x  thay 1 bx ta có khoảng nghiệm mới là   1 ;ax . Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 4  Nếu     1 .0f b f x  thay 1 ax ta có khoảng nghiệm mới là   1 ;xb . Rồi áp dụng phương pháp dây cung vào khoảng nghiệm mới. Và cứ thế tiếp tục ta sẽ được các giá trị 2 3, 4 , , , x x x ngày càng gần đến giá trị nghiệm mong muốn  Định lý: Cho f liên tục trên đoạn   ;ab thỏa     .0f a f b  ;   ' f0x  ;   '' f0x    ;x a b . Đặt :         0 1 nn nn n xa b x f x xx f b f x           0,1,2, n  thì   n x là dãy hội tụ về x * với x * là nghiệm của phương trình   0fx . o Chứng minh: Ta sẽ chứng minh   n x là dãy tăng và bị chặn trên bằng quy nạp. Chứng minh 01 x x b và   1 0fx . Vì     ' 0, ;f x x a b   và     .0f a f b  nên       0 0f x f a f b   . Do đó         00 1 0 0 0 b x f x x x x f b f x                      0 0 0 10 00 b x f x b x f b x x b b f b f x f b f x        Vì     " 0, ;f x x a b   nên đồ thị của hàm số lõm trên đoạn   ;ab Do đó: Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 5                                       00 10 0 0 00 0 00 1 10 b x f x f x f x f b f x f b f b f x b f b f x f b f x f b f b f x f b f b f x f b f x                             (do         0 0;1 fb f b f x   ) Vậy 01 x x b và   1 0fx . Giả sử 1nn x x b   và   0 n fx  , chứng minh 1nn x x b   và   1 0 n fx   . Chứng minh tương tự như trên Vậy   n x là dãy tăng và bị chặn trên bởi b nên   n x hội tụ. Đặt * lim n xx . Vì     ; n x a b nên   * lim ; n x x a b , suy ra f liên tục tại x * . Do đó:     * lim n f x f x . Vì   0 n fx  nên     * lim n f x f x 0 . Mà   0fb , suy ra           * lim 0. * n f b f x f b f x       Lấy giới hạn 2 vế của         1 nn nn n b x f x xx f b f x     , ta được: Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 6                         1 1 ** ** * lim lim lim lim lim lim nn nn n nn nn n b x f x xx f b f x b x f x xx f b f x b x f x xx f b f x                          * 0fx ( nếu b=x * thì     * f b f x , mâu thuẫn với   * nên * bx ) Vậy   n x là dãy hội tụ về * x với * x là nghiệm của phương trình   0fx . III. ÁP DỤNG Xét phương trình 0 n x   với 0, , 2, 0n N n x      . Đặt   n f x x   . Ta có:       ' 1 " 2 , 1 0 nn f x nx f x n n x      vì 0x  .  Nếu 1   thì phương trình có nghiệm duy nhất là x=1. Kết luận 1 n   .  Nếu 1   thì   1 1 0f     và   0 n f       . Do đó   0fx có nghiệm thuộc   1;  .  Nếu 1   thì   1 1 0f     và   0 n f       . Do đó   0fx có nghiệm thuộc   ;1  . Như vậy, phương trình   0fx (với 0, , 2, 0n N n x      ) luôn có nghiệm . Do đó, ta luôn chọn được đoạn   ;ab là   1;  hay   ;1  thỏa     .0f a f b  . Vậy f(x) thỏa các điều kiện trong định lý . Đặt 0 xa , tính         00 10 0 b x f x xx f b f x    Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 7  Nếu 1 x có sai số lớn hơn yêu cầu thì ta thay   ;ab bằng đoạn chứa nghiệm nhỏ hơn rồi lại tính:         11 21 1 b x f x xx f b f x    .  Nếu 2 x vẫn chưa thỏa ta lại tiếp tục làm như trên.  Sau m lần ta được dãy           0 1 : m mm mm m xa x b x f x xx f b f x           m=0,1,2,…. Theo định lý, dãy   m x hội tụ về nghiệm của phương trình   0fx nên với m đủ lớn ta có m x là giá trị gần đúng của nghiệm phương trình   0fx thỏa sai số cho trước.  Điều kiện dừng và đánh giá sai số: Giả sử sau m lần được         11 1 1 mm mm m b x f x xx f b f x       , làm tròn m x thành m x có k chữ số thập phân sau dấu phẩy và m x là giá trị gần đúng của x * thỏa sai số cho trước , tức m x là giá trị cần tìm. Nếu   ; m x a b thì ta nhận xét sai số như sau: Cách đánh giá 1: Do 0x  nên   '1 0 n f x nx   và     "2 10 n f x n n x     . Suy ra   ' fx đồng biến và     '' 0,f a f x x a    . Theo công thức Lagrange, tồn tại     * ;; m c x x a   hoặc     * ; ; ; m c x x a   sao cho: Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 8                                 * * ' * * ' ' ' *' * ' (0 ) mm mm mm m m f x f x x x f c f x f x x x f a f a f c f x x x f a fx xx fa                Vậy điều kiện dừng là:     ' 9.10 m k fx fa   Cách đánh giá 2: Ta có:                           11 1 1 11 1 1 11 * 1 1 mm mm m m m m m m m m m m m b x f x xx f b f x x x f b f x fx bx x x f b f x f x f x bx                           (f(x * )=0 vì x * là nghiệm) Mặt khác, theo công thức Lagrange, tồn tại     * 1 1 2 1 ; , ; mm c x x c x b   thỏa: Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 9                                                               * * ' 1 1 1 ' 1 1 2 11 *' 11 1 ' 1 1 2 ' * ' 1 2 1 1 ' * ' 1 2 1 1 ' ' * ' 1 2 1 1 * mm mm m m m m m mm m m m m m m m m m m m m f x f x x x f c f b f x b x f c x x f b f x x x f c bx f b f x b x f c x x f c x x f c x x f c x x x x f c x x f c f c x x f c f xx                                                             '' 21 1 ' 1 mm c f c xx fc            '' * 1 ' m m m f b f a x x x x fa       Do đó,       '' * 1 ' m m m f b f a x x x x fa      Đánh giá sai số :                                   ** 1 1 1 1 '' 1 1 1 ' '' 1 1 1 1 1 ' ' ' ' 1 1 1 '' ' ' ' 1 '' 1 . .10 2 k x x x x x x f b f a x a x x fa f b f a x x x a x x fa f b f b f a x x x a f a f a f b f b f a xa f a f a                            Vậy điều kiện dừng là:         ' ' ' 1 ' 2 .10 9.10 2 k k f b f a x a f b fa         Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 10  Tóm lại: Cách đánh giá thứ 1: Sai số là:     1 * 1 ' fx xx fa  . Điều kiện dừng là:     1 ' 9.10 k fx fa   Cách đánh giá thứ 2: Sai số là:           ' ' ' * 11 '' 1 . .10 2 k f b f b f a x x x a f a f a       Điều kiện dừng là:         ' ' ' 1 ' 2 .10 9.10 2 k k f b f a x a f b fa         IV. Thuật toán: Ứng với cách đánh giá 1: Nhập: , , ,nk  ( với  là giá trị làm tròn của  ). Xuất: 1 x  Bước 1: Nếu 1   thì xuất 1 1x  và kết thúc. Nếu 1   thì cho 1a  , b   và qua bước 2. Nếu 1   thì cho a   , 1b  và qua bước 2. [...]... 0,502 715 0,494  23.103 0,503 1 0,507804 0,503  9.103 x1 Vậy 3 x1 0,1357  0,503  7.103 V.Kết luận:  Có 2 cách đánh giá sai số để lựa chọn tùy vào khoảng chứa nghiệm ban đầu là (1;α) hoặc (α;1) (tùy vào α)  Có thể lập trình máy tính  Hội tụ về nghiệm nhanh nhưng phải tính toán nhiều Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 15 Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu VI.Tài liệu tham khảo: - Bài giảng... [m; m  1] với m N thỏa mn    (m  1)n Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 14 Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Ví dụ 2: Tính giá trị gần đúng của 3 0,1357 với sai số   p.103 , p 1,2,3, ,9 Ta có   0,1357 , n  3 , k  3 ,   [0,1357.103 ].103  0,136  Ứng với cách nhận xét 2:  a b 0,136 1 0,251362 0,251  123.10-3 0,251 1 0,342238 0,251  156 10-3 0,342 1 0,407593 0,342  136 10-3... kết quả lấy ở đây Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 12 Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Ví dụ 1 : Tính giá trị gần đúng của 2 với sai số là   p.105 , p 1, 2, ,9 Ta có:   2; n  2; k  5,   2 f  x   xn    x2  2  f '  x   2x  Ứng với cách đánh giá 1: a x1 b x1   f x1   f x1 f ' a 1 2 4 3 1,33333 -0,22223  11112.10-5 1,33333 2 1,3999994 1,40000 -0,04  150 1.10-5 1,40000... dừng thì tiếp tục kết quả lấy ở đây Ứng với cách đánh giá 2: Nhập:  , n, k ,  Xuất: x1 Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 11 Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu  Bước 1: Nếu   1 thì xuất x1  1 và kết thúc Nếu   1 thì cho a  1 , b   và qua bước 2 Nếu   1 thì cho a   , b  1 và qua bước 2  Bước 2: tính x1  a   b  a  f  a  , làm tròn f b   f  a  x1 thành x1 có k chữ số thập... -0,0012  43.10-5 1,41379 2 1,41414088 1,41414 -0,00021  8.10-5 Vậy 2  1, 41414  8.105  Ứng với cách nhận xét 2: Ta có:   2; n  2; k  5,   2 f  x   xn    x2  2 Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 13 Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu   a b x1 x1 f x1  1 2 4 3 1,33333 -0,22223  33334.10-5 1,33333 2 1,3999994 1,40000 -0,04  3335.10-5 1,40000 2 24 17 1,41176 -0,00693  505.10-5.. .Môn: Phương Pháp Tính  Bước 2: tính x1  a  GV: TS Trịnh Công Diệu  b  a  f  a  , làm tròn f b   f  a  x1 thành x1 có k chữ số thập phân sau dấu phẩy Nếu f  x1   0 thì xuất x1 và kết thúc Ngược lại qua... Trịnh Công Diệu VI.Tài liệu tham khảo: - Bài giảng của thầy Trịnh Công Diệu Sách Phương pháp tính- GS Tạ Văn Đĩnh Nguồn internet: http://doc.edu.vn/tai-lieu/bai-giang-mon-phuong-phap-tinh-54400/ https://voer.edu.vn/m/phuong-phap-day-cung/374568e9 http://toancaocaptailieu.files.wordpress.com/2011/03/hoanchinhppt2.pdf Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 16 . Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 1 BÀI TIỂU LUẬN MÔN PHƢƠNG PHÁP TÍNH CHỦ ĐỀ 15 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH GIÁ TRỊ HÀM CĂN. nghiệm của phương trình 0 n x   thì ta có thể dùng các phương pháp xấp xỉ nghiệm để tính gần đúng n  như phương pháp chia đôi đoạn chứa nghiệm, phương pháp dây cung, phương pháp xấp xỉ. 0,503 7.10   Môn: Phương Pháp Tính GV: TS Trịnh Công Diệu Nhóm 15 - Lớp VB2 – K2 Trang 16 VI.Tài liệu tham khảo: - Bài giảng của thầy Trịnh Công Diệu Sách Phương pháp tính- GS Tạ Văn