Mục lục I. Đặt vấn đề II. Cơ sở toán học 1. Các trường hợp của luỹ thừa. a. Lũy thừa với số mũ nguyên dương. b. Luỹ thừa của số mũ nguyên âm. c. Luỹ thừa với số mũ không. d. Luỹ thừa của không và một. e. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ. f. Luỹ thừa với cơ số e. 2. Hàm mũ a. Công thức hàm mũ b. Tính chất hàm mũ. 3. Sử dụng phương pháp Taylor và Maclaurin để tính bài toán e x a/ Số e. b/ Công thức khai triển Taylor và công thức MacLaurin. c/ Ví dụ thuật toán tính e x d/ Thuật toán tính e x . 4. Sử dụng phương pháp newton để tính bài toán lna. a/ Điều kiện để tính lna. b/ Thuật toán. 5. Phương pháp tính hàm mũ. a/ Điều kiện b/ Thuật toán III. Tài liệu tham khảo. 1. Giáo trình Phương pháp tính. 2. Mạng Internet. GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: Hồ Ngọc Hùng Trần Ngọc Diễm Nguyễn Hoàng Thanh Nguyễn Xuân Nam Chủ đề 12: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁ TRỊ HÀM MŨ 3. Bài giảng của thầy Trịnh Công Diệu. I-Đặt vấn đề: 1. Hàm mũ và Lũy thừa (số mũ là gì?) Hàm mũ là hàm số có dạng y = a x , với a là cơ số dương khác 1. Lũy thừa có nghĩa là nhân chồng chất lên. Lũy thừa là một phép toán học được viết dưới dạng a n , bao gồm hai số, cơ số a và số mũ (hoặc lũy thừa) n. 2. Ứng dụng của lũy thừa: Lũy thừa mà số mũ là một ma trận được sử dụng để giải quyết các hệ phương trình vi phân tuyến tính. Lũy thừa được sử dụng rộng khắp trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm cả kinh tế, sinh học, hóa học, vật lý, cũng như khoa học máy tính, với các ứng dụng như lãi kép, tốc độ tăng trưởng dân số, động học phản ứng hóa học, hành vi sóng, và mật mã khóa công khai. II- Cơ sở lý luận: 1. Các trường hợp của luỹ thừa: a/ Lũy thừa với số mũ nguyên dương. Ta có a n , 0,1a ¹ , n>0 Khi đó lũy thừa tương ứng với phép nhân lặp đi lặp lại, cách khác: a n = a*a*…*a*a n lần Ví dụ lũy thừa với số mũ nguyên dương 7 10 = 7x7x7x7x7x7x7x7x7x7 7 x 7 = 49 49 x 7 = 343 343 x 7 = 2401 2401 x 7 = 16807 16807 x 7 = 117649 117649 x 7 = 823543 823543 x 7 = 5764801 5764801 x 7 = 40353607 40353607 x 7 = 282475249 b/ Lũy thừa với số mũ nguyên âm Lũy thừa cũng có thể xác định khi n là số nguyên âm với b khác không 1 n n a a - = Lũy thừa của số khác không a với số mũ -1 là số nghịch đảo của nó 1 1 a a - = Ví dụ: lũy thừa với số mũ nguyên âm 3 3 1 1 7 7 7.7.7 - = = 1 0,002915452 343 = » Một số qui tắc tính chất lũy thừa Nếu a + b = c thì n a +n b = n c Ví dụ: 13 = 6 + 7 Số 7 13 = 7 6 x 7 7 7 x 7 = 49 = 7 2 49 x 7 = 343 = 7 3 343 x 7 = 2401 = 7 4 2401 x 7 = 16807 = 7 5 16807 x 7 = 117649 = 7 6 117649 x 7 = 823543 = 7 7 117649 x 823543 = 96889010407 = 7 6 x 7 7 = 7 13 c/ Lũy thừa với số mũ không. Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không qui ước bằng 1, tức là 0 1a = 0 1 n n n n a a a a - = = = d/ Lũy thừa của không và một. 0 0 n = (với n>0) 1 1 n = 0 n là vô nghĩa với 0n £ hay lũy thừa với số mũ âm của 0 là không xác định. e/ Lũy thừa với số mũ hữu tỷ. Cho a là một số thực dương và r là một số hữu tỉ . Giả sử r = m n , trong đó m là một số nguyên còn n là một số nguyên dương. Khi đó , luỹ thừa của a với số mũ r là số a r xác định bởi 1 ( ) m n m m n n a a a= = f/ Lũy thừa với cơ số e: Ta xác định e = 1 lim(1 ) n n n ¥® + Hàm e mũ được xác định: e x = lim(1 ) n n x n ¥® + 2. Hàm mũ a/ Công thức hàm mũ. Hàm mũ là hàm số có dạng y=a x , với a>0 và 1a ¹ b/ Tính chất hàm mũ • Hàm số luôn dương với mọi giá trị của x • Nếu a>1 là hàm đồng biến. Nếu 0<a<1 là hàm nghịch biến • Đồ thị nhận trục hoành làm đường tiệm cận và luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 • Hàm mũ có hàm ngược là hàm logarit Nhận xét: Ta thấy lnx x a a e= Như vậy để tính y=a x ta sẽ tính lnx a e Đặt w=xlna 3. Sử dụng phương pháp Taylor và Maclaurin để tính bài toán e w a/ Số e: Số e là cơ số của logarit tự nhiên và là số vô tỉ. Giá trị số e được xác định dựa trên công thức Taylor như sau: e= 1 1 1 1 1 , (0,1) 1! 2! 3! ! ( 1)! c e c n n + + + + + + ∈ + VD: Tính e với độ chính xác 10 -4 b/ Công thức khai triển Taylor và công thức MacLaurin Công thức khai triểnTaylor: Hàm f(x) có đạo hàm cấp (n+1) quanh điểm x 0 (trong lân cận của điểm x 0 ), khi đó với x trong lân cận này ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 0 0 0 ' '' ( ) 2 ( 1) 0 0 0 0 0 1! 2! ! 1! ( ) ( ) ( ) n n f x f x f x f n n n f x f x x x x x x x x x q + + + = + - + - + + - + - Với q nằm giữa x và x 0 Số hạng ( 1) ( ) ( 1) 0 ( 1)! ( ) n f n n x x q + + + - gọi là phần dư (dạng Lagrange) Khi x 0 =0 ta có khai triển Maclaurin: Công thức Taylor (Maclaurin) của e x tại x=0 là: Ta có công thức tính e x theo Mac laurin: e x = 2 3 1 1 1 1 1 ( ) 1! 2! 3! ! n n x x x x o x n + + + + + + với phần dư o(x n ) là 1 ( 1)! c n e x n + + c/ Ví dụ tính e 2x đến số hạng bậc 4: e 2x = e 2x = 2 3 4 4 1 1 1 1 1 w w w w (w ) 1! 2! 3! 4! o + + + + + = 2 3 4 4 1 1 1 1 1 2x 4x 8x 16x (w ) 1! 2! 3! 4! o + + + + + Để cho kết quả gần đúng và sai số sau càng nhỏ thì ta càng cần tính với số k càng nhiều (cần 50 đến 100) Với x>0 thì thuật toán càng chính xác, với x<0 thì thuật toán sẽ dần dần trở nên ít chính xác. Ví dụ: d/ Thuật toán: Tên thuật toán: tính e x Đầu vào: giá trị của x, sai số cho phép n Đầu ra: e x B1: Gán S=1, solanlap = 1 B2: Gán S=S+ ! solanlap x solanlap solanlap+1 B3: Nếu solanlap<n thì lặp lại bước 2 B4: in ra kết quả S là giá tri gần dúng e x 4. Thuật toán. a/ Điều kiện. Ta có: Trong đó x>0 b/Thuật toán: Tên thuật toán: hàm mũ Đầu vào: x, y Đầu ra: x y B1: Nhập vào x Nhập vào y B2: Nếu x<0 Thì Hiện thông báo lỗi B3: gọi lại hàm tính e x.tính lna III. Tài liệu tham khảo. 1. Giáo trình phương pháp tính. 2. Mạng internet. 3. Bài giảng thầy Trịnh Công Diệu. . thuật toán tính e x d/ Thuật toán tính e x . 4. Sử dụng phương pháp newton để tính bài toán lna. a/ Điều kiện để tính lna. b/ Thuật toán. 5. Phương pháp tính hàm mũ. a/ Điều kiện b/ Thuật toán III trình Phương pháp tính. 2. Mạng Internet. GVHD: TS. TRỊNH CÔNG DIỆU SVTH: Hồ Ngọc Hùng Trần Ngọc Diễm Nguyễn Hoàng Thanh Nguyễn Xuân Nam Chủ đề 12: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIÁ TRỊ HÀM MŨ 3. Bài giảng. thức hàm mũ b. Tính chất hàm mũ. 3. Sử dụng phương pháp Taylor và Maclaurin để tính bài toán e x a/ Số e. b/ Công thức khai triển Taylor và công thức MacLaurin. c/ Ví dụ thuật toán tính e x d/