NHĨM – TỐN VB2 – K2 CÁC CƠNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Chủ đề 9: Các cơng thức tính gần giá trị tích phân xác định Giảng viên hướng dẫn: TS TRỊNH CƠNG DIỆU Lớp : Tốn – VB2 – K2 Nhóm: Sinh viên thực hiện: Đặng Văn Cường Trần Ninh Gia Bảo Đỗ Văn Bắc Lê Minh Đồn TP HỒ CHÍ MINH, 2014 Trang NHĨM – TỐN VB2 – K2 CÁC CƠNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH NỘI DUNG I II III IV V ĐẶT VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÝ LUẬN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THUẬT TỐN CÁC VÍ DỤ MINH HỌA THUẬT TỐN Trang NHĨM – TỐN VB2 – K2 I CÁC CƠNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong q trình tính tốn tốn học mơn khoa học kỹ thuật khác Tích b phân xác định I   f ( x)dx có nhiều ứng dụng lý thuyết thực hành để tính diện tích a vật thể kỹ thuật tính diện tích tàu, diện tích ngơi nhà…, việc tính khơng phải lúc dễ dàng Ta biết f ( x) hàm mà nguyên hàm F ( x) biểu diễn dạng biểu thức sơ cấp ta tính tích phân xác định cơng thức Newton – Lepniz Nhưng thực tế, thường F ( x) không biểu diễn hàm sơ cấp f ( x) chưa xác định biểu thức, biết giá trị f ( x) số điểm cơng thức Newton – Lepniz tỏ khơng hiệu khơng thể tính b giá trị tích phân xác định I   f ( x)dx Điều nảy sinh cho nhà tốn học cần a b tìm cách tính gần I   f ( x)dx Vấn đề cần giải là: a Trường hợp f ( x) chưa xác định biểu thức, biết giá trị f ( x) b số điểm tính gần I   f ( x)dx ? Với cách tính đó, sai số đánh giá a nào? Trường hợp f ( x) biết biểu thức F ( x) không biểu diễn biểu thức b sơ cấp làm cách để tính gần I   f ( x)dx với sai số cho trước ? a II CƠ SỞ LÝ LUẬN: Một số định nghĩa: a) Hàm nội suy: Giả sử f ( x) xác định đoạn  a; b biết yi  f ( xi ), i  0, n, xi  a; b Hàm nội suy f đoạn  a; b hàm F xác định đoạn  a; b cho F ( xi )  yi , i  0, n b) Đa thức nội suy: Nếu hàm nội suy F hàm đa thức bậc n ta nói F đa thức nội suy bậc n f Trang NHĨM – TỐN VB2 – K2 CÁC CƠNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định lý Rolle: Cho hàm số f ( x) liên tục  a; b khả vi  a; b  Giả sử f (a)  f (b) c  (a, b) : f '(c)  Nếu hàm f khả vi liên tục  ,     a, b có nghiệm phân biệt  a; b f '( x) có nghiệm  a; b  Nếu hàm f khả vi liên tục đến cấp (n  1)  ,     a, b có (n  2) nghiệm  a; b f ( n1) ( x) có nghiệm  a; b  Bất đẳng thức tích phân: Cho f ( x), g ( x) hai hàm xác định  a; b thỏa: b b a a f ( x)  g ( x), x   a; b    f ( x)dx   g ( x)dx  b b a a  f ( x)dx   g ( x)dx Định lý (định lý tồn đa thức nội suy): Cho cặp  xi , yi  , i  0,1, , n với xi  x j i  j Khi tồn P( x) đa thức bậc nhỏ n cho yi  P( xi ), i  0,1, , n Chứng minh: Điều kiện cần đủ để tồn đa thức P( x) bậc nhỏ n cho yi  P( xi ), i  0,1, , n hệ (n  1) phương trình: n P( x)   xi theo ẩn a0 , a1, , an có nghiệm nhất: i 0 Ta có:  n i  x0  y0  i 0  n i  a x  y1 P( xi )  yi , i  0,1, , n   i0 i    n i  xn  yn  i 0 (*) 1  (*)     1  n x0 x0   a0   y0      x1 x1n   a1   y1           n xn xn   an   yn   Đây hệ phương trình tuyến tính (n  1) ẩn (n  1) phương trình Trang CÁC CƠNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH NHĨM – TỐN VB2 – K2 n x0 x0 n x1 x1  n xn xn 1 n    xi  x0  i 1 x0 x1  x0 xn  x0 x1  x0 n 1 x i 0 x2  x0 n x0 n x1  x0 x1n  x0 n x1n  x0  n n xn  x0 xn  x0 n n xn  x0 n 1 x i 0 xn  x0  n n n i 1 i 2 i n n i i x n i i x x i 0    xi  x0  i 1 n 1 n x1 x1n1 n x2 x2 1 n i i n n xn xn 1 x    xi  x0    xi  x1    xi  xn1     x  x   0,  x 0i  j n i i  x j , i  j  Nên hệ (*) có nghiệm Định lý chứng minh Định lý (Định lý sai số hàm nội suy đa thức nội suy) Giả sử f hàm xác định đoạn  a; b yi  f ( xi ), i  0, n, xi   a; b Nếu f khả vi liên tục đến cấp (n  1) khoảng ( ;  )   a; b với x  a;b  , tồn  x   a; b , f ( x)  F ( x)  f ( n1) ( x ) n  ( x  xi ) (n  1)! i0 Với F đa thức nội suy f đoạn  a; b Chứng minh: Xét hàm số phụ G( x)  với x điểm cần đánh giá sai số, x  xi , i  0, n Từ đó: C   f ( x)  F x n  x  x  i 0 i Vậy hàm số G( x) có (n  2) nghiệm phân biệt x0 , x1, , xn , x đoạn  a; b Theo định lý Rolle G( x) có (n  1) nghiệm phân biệt khoảng (n  1), G ( n1) ( x) có nghiệm  x   a; b  nghĩa là: f ( n1)  x   F ( n1) f ( n1)   x   x   C (n  1)!   C   n  1! So sánh vế C ta được: Trang NHÓM – TOÁN VB2 – K2   f x F x  CÁC CƠNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH f ( n1)   x  n x  xi  n  1!  i 0   Gọi M  sup f ( n1)  x  xa ;b  Khi có ước lượng: F ( x)  f ( x)  n M x  xi  n  1!  i 0 Định lý chứng minh Quy tắc làm trịn cơng thức tính sai số a Quy tắc làm tròn  Cho A   ami10mi , ami  0,1, ,9 gọi ami chữ số hàng thứ m  i biểu diễn i 0 thập phân A k a   ami10mi ,   i 0  a i k 1 mi 10mi Thì A  a   mk  a,   10  a  10mk ,   10mk  Đặt a   a,   10mk ,a   0; 2; 4; 6;8  mk   a  10mk ,   10mk ,amk   1;3;5; 7;9   Ta gọi a giá trị làm tròn A đến chữ số thứ m  k b Cơng thức tính sai số A  a ,B  b  : A  B   a  b    1    A.B   ab    1 b   a  1  Hướng giải vấn đề Từ định lý trên, để tính gần tích phân, ta tìm đa thức nội suy P( x) f ( x) b b a a tính J   P( x)dx thay cho I   f ( x)dx Trang CÁC CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH NHĨM – TỐN VB2 – K2 III Giải vấn đề Giải vấn đề a Cách giải trường hợp tổng quát Áp dụng định lý trên, biết giá trị f ( x) số điểm, ta tìm hàm đa thức nội suy P( x) f ( x) Theo định lý 1, P( x) tồn Ta dùng P( x) cho hàm b dấu tích phân f ( x) tính tích phân J   P( x)dx Làm tròn J thành J thay cho I a Sai số Theo định lý 2: f ( n1)   x  n x   a; b ,  x   a; b : f ( x)  P( x)  x  xi  n  1!  i 0 Đặt M  Max f ( n1)  t t a; b Ta có: b IJ   a a  x    n  1!  x  xi i 0 a b  b f ( x)dx   P( x)dx  f ( n 1) n b   f ( x)  P( x)  a b  n M x  xi dx  n  1!   i 0 a Gọi J giá trị làm trịn J đến hàng thứ k thì:  J  J  10 k Nếu lấy J thay cho I sai số định bởi:   IJ  IJ  JJ  b n M k   x-x i dx  10 (n  1)! a i 0 Trang NHÓM – TỐN VB2 – K2 CÁC CƠNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH b Chú ý: Trong thực tế, số lượng mốc nội suy tương đối lớn, việc tính P  x  J   P  x dx, b a b n M k a  x  x i dx  10 gặp nhiều khó khăn Khi đó, ta thường biểu  n  1! i0 diễn sau: n 1 Ji   f  x dx    b a i 0  n 1 f  x dx   Ii x i1 xi Trong đó, x i i  0, n  i 0 mốc nội suy Trên đoạn  xi , xi 1  , ta tìm đa thức nội suy Pi  x  f  x  tính Ji   x i1 xi Pi  x  dx thay xi1  f  x dx Khi tính cho Ii  làm trịn J thành J lấy J thay cho I xi Sai số : Trên đoạn  xi , xi 1  , đặt Mi  Max f ''  t  , i  0, n  áp dụng kết trên, thay  a, b t xi , xi1   xi , xi 1  P  x  Pi  x  ta được: Ii  J i  Mi 2! M   x  x  x  x  dx  12  x x i1 i xi i i 1  xi  i 1 Như vậy, có n đoạn nên : n 1 n 1 n 1 n 1 i 0 IJ  i 0 i 0 i 0  Ii   J i   Ii  J i   Mi  x i1  x i  12 Gọi J i kết làm tròn J i đến hàng thứ k :  J i  J i  10 k Đặt J kết làm tròn n 1 J i đến hàng thứ k : i0 JJ  n 1 n 1 n 1 n 1 n J i   J i   J i  J i   10 k  10 k  i 0 i 0 i 0 i 0 Trang NHĨM – TỐN VB2 – K2 CÁC CƠNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH c Cơng thức hình thang: b  f ( x)dx Ta biết mặt hình học, giá trị Giả sử cần tính tích phân a diện tích hình thang cong giới hạn đường y  f ( x), y  0, x  a, x  b Ta chia đoạn  a; b thành n đoạn cong điểm chia xi a  x0  x1   xn1  xn  b ba n x i  x  ih, i=0, n h y Đa thức nội suy Pi  x   xi , xi 1  : 1 yi h  x  xi  h x i1 x i1   1 y   Pi  x  dx    yi  h i  x  x i  dx h  xi xi  Pi  x   yi     Đặt O x  xi  t  x  x i  th  dx  hdt h x i1  xi      x (Hình 1)  1 y  h  yi   yi t dt  h  yi t  h i t    yi  yi 1  Pi  x  dx h     0 1 h Khi : n 1 i 1 J    Pi  x  dx i 0 i J h b  a  y0  yn   y1   y n 1  1  y0  2y1   2y n1  y n    n   Làm tròn J thành J lấy J thay cho I Công thức 1 cịn gọi cơng thức hình thang Trang NHĨM – TỐN VB2 – K2 CÁC CƠNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Sai số: Đặt M  Max f ''  t  M  Mi , i=0, n  t a ,b Ta có : M b  a  M M I  J   Ii   J i   Ii  J i   i  x i 1  x i   nh  12 12n i 0 i 0 i 0 i 0 12 n 1 n 1 n 1 n 1 Gọi J kết làm tròn J đến chữ số hàng thứ k thì:  I  J  10 k Nếu lấy J thay cho I sai số định bởi: Ví dụ 1: Tính tích phân sau với n  đánh giá sai số làm tròn đến chữ số thập phân thứ dx x I  Giải: Ta có  a; b  1;5 , h  ba  1, f ( x)  , xi  a  i.h   i, i  0,4, k  , áp dụng cơng thức (1), n x ta có: dx     1  101   1      x     60   I  f "( x)  Sai số :  M  Max f "( x)  x1;5 x3  M (b  a)3 2(5  1)3 h  10 k   102  0,67 2 12n 12.4 Trang 10 NHĨM – TỐN VB2 – K2 CÁC CƠNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH  f ( x1 )  f ( x3 )  f ( x5 )  f ( x7 )  f ( x9 )    3, 46  f ( x2 )  f ( x4 )  f ( x6 )  f ( x8 )    2,728 I Vậy   1    3, 46   2,728   0,6932 6.5   1 dx  x2 Ví dụ 4: Hãy tính gần tích phân : I   Giải : Ta biết giá trị tích phân  Như I  0,78539816 Ta tính gần I cơng thức Simpson so sánh kết Chia đoạn  0;1 thành 2n = đoạn nhau, tức h  ba  0, 25 , ta tính bảng 2n sau : i xi 0,25 0,5 0,75 yi  f ( xi ) 0,941176 0,8 0,64 0,5 Theo công thức Simpson ta có : I h  y0  y4  y1  y3  y2  Thay giá trị bảng vào ta có : I 0, 25 1  3,76471  1,6  2,56000  0,5  0,785399 So với kết đúng, dùng cơng thức Simpson tính ta có sai số tương đối 0,00011%  Nhận xét : Phương pháp tính gần giá trị tích phân xác định dùng cơng thức Simpson cho kết độ xác cao dùng cơng thức hình thang Trang 14 NHĨM – TỐN VB2 – K2 CÁC CƠNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG GIÁ TRỊ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Giải vấn đề 2: Khi biết biểu thức f (x) , giả sử ta tính số mốc nội suy n+1, ta tiến hành tính giá trị gần f (x) điểm x i , i=0,n giá trị yi , i=0, n , giả sử giá trị làm tròn đến hàng thứ (l ) , l số nguyên không âm Nghĩa yi  yi  10l , i  0, n Để đơn giản cho việc tính sai số, ta chọn mốc nội suy x i , i=0, n cách Đặt sai số cho trước  , ta xác định n, l để tính gần tích phân với sai số không lớn  Muốn ta chọn k số nguyên dương nhỏ cho   10 k Khi ta ghi kết gần tích phân làm trịn đến chữ số hàng thứ - k ( làm trịn đến chữ số hàng thứ -m với m