1 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HCM BỘ MÔN TOÁN- TIN HỌC TIỂU LUẬN MÔN: PHƢƠNG PHÁP TÍNH CHỦ ĐỀ 7: Xác Định Giá Trị Gần Đúng Cho Nghiệm Của Phƣơng Trình Bằng Cách Dùng Phƣơng Pháp Chia Đôi Đoạn Chứa Nghiệm Hay Phƣơng Pháp Dây Cung. Xác Định Giá Trị Gần Đúng Cho Nghiệm Của Phƣơng Trình Bằng Cách Dùng Phƣơng Pháp Xấp Xỉ Newton GVHD: T.S Trịnh Công Diệu SVTH: Ngô Quang Định Ngô Thị Kim Liên Ngô Đức Thịnh Trần Minh Cƣờng 2 NỘI DUNG I. ĐẶT VẤN ĐỀ II. CƠ SỞ LÝ LUẬN III.THUẬT TOÁN VÀ VÍ DỤ 1. Phƣơng pháp chia đôi 2. Phƣơng pháp dây cung 3. Phƣơng pháp Newton 4. So sánh các phƣơng pháp 3 I/. Đặt vấn đề Tìm nghiệm của phương trình   0fx (1), trong đó   fx là một hàm số đại số hoặc siêu việt bất kỳ, là một bài toán thường gặp trong kỹ thuật cũng như trong lý thuyết. Phương trình trên trừ một vài trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như phương trình đại số bậc 1,2 ,3, 4 có công thức tính nghiệm cụ thể, còn nói chung là không có một công thức tính đúng nghiệm. Mặt khác, các hệ số của   fx trong nhiều trường hợp là những số gần đúng, cho nên vấn đề giải đúng (1) cũng không thật sự cần thiết. Vì vậy, việc tìm những phương pháp giải gần đúng phương trình đại số và siêu việt cũng như việc đánh giá độ chính xác của nghiệm thực gần đúng có một vài trò quan trọng. Trong phần này, chúng ta xét bài toán tính gần đúng nghiệm thực của phương trình (1) với giả thiết   fx là hàm số thực xác định và liên tục trên một khoảng hữu hạn hoặc vô hạn nào đó. II/. Cơ sở lý luận Định lý 1 Nếu f là hàm số thực liên tục trên đoạn   ,ab và     0f a f b  thì   ,c a b sao cho   0fc nghĩa là c là nghiệm của phương trình. Định lý 2 Nếu hàm f thỏa các điều kiện:       0i f a f b    ii f khả vi liên tục đến cấp 2 trên   ,, ab              ' 0, ,iii f x x a b   và   ' fx không đổi dấu trên   ,ab .     " 0iv f x  tại mọi   ,x a b Lấy   0 ,x a b sao cho   0 0fx và   n n x là dãy định bởi           00 1 11 ' 1 , , 0 : 1 , 1,2,3, n n n n x a b f x N x x f x n fx            4 thì phương trình   0fx có duy nhất một nghiệm * x trong đoạn   ,ab và   n n x là dãy trong đoạn   ,ab hội tụ về * x -Hơn nữa ta có 2 * 2 11 1 2 n n n M x x x x M     . với:             '' 2 '' 1 max : , min , M f t t a b M f a f b   Chứng minh: Ta có:           * ' * 1 1 1n n n f x f x f x f c x x        , với   * 1 , n c x x   Từ đây ta suy ra   1 * 1 1 (*) n n fx xx M    Sử dụng khai triển Taylor ta có:                '' '' 22 ' 1 1 1 1 22 nn n n n n n n n n n f x f x f x f x f x x x x x x x            Suy ra:   2 2 11 2 n n n M f x x x   Áp dụng (*) ta được: 2 * 2 11 1 2 n n n M x x x x M     Định lý 3. Nếu hàm f thỏa các điều kiện:       0i f a f b    ii f khả vi liên tục đến cấp 2 trên   ,, ab              ' 0, ,iii f x x a b   và   ' fx không đổi dấu trên   ,ab .     " 0iv f x  tại mọi   ,x a b 5   n n x là dãy định bởi:             0 1 0 n n n n n x b f b fx x x x a f x f a            hoặc             0 1 0 n n n n n x a f a fx x x x b f x f b            Thì phương trình   0fx có duy nhất một nghiệm * x trong   ,ab và ( n x ) là dãy trong   ,ab hội tụ về * x . Hơn nữa ta có: * 11n n n Mm x x x x m      Với:   ' 0 m f x M     Chứng minh:         1 n n n n n fx x x x a f x f a      hay         1 n n n n n f x f a f x x x xa       Áp dụng định lý Lagrange, ta được:                     * ' * 1 ' 1 n n n n n n n nn f x f a x x f c f x f x f x x x xa f r x x             Với     * , ; , nn c x x r a x . Như vậy:         * ' ' 1 1 1n n n n n x x x x f c f r x x         Hay       '' * 11 ' n n n f r f c x x x x fc      mà     '' f r f c M m   suy ra * 11n n n Mm x x x x m      6 III. Thuật toán và ví dụ 1/. Phƣơng pháp chia đôi Giả sử phương trình   0 (1)fx có nghiệm duy nhất * x trên đoạn   ,ab và     .0f a f b  . Bây giờ lấy 2 ab c   và tính   fc , nếu   fc =0 thì có ngay * xc là nghiệm đúng của phương trình (1). Nếu   0fc , thì ta gọi   11 ,ab là một trong hai đoạn     , , ,a c c b mà ở đó     11 0f a f b  . Lại lấy 11 1 2 ab c   và tính   1 fc , nếu   1 0fc thì quá trình kết thúc, * 1 xc , nếu không ta lại tiếp tục quá trình này, và như vậy ta có dãy đoạn   * ,, nn a b n N . Tổng Quát Nếu ta thực hiện liên tiếp thao tác chia đôi đoạn   ,ab như trên, thì tại bước thứ n , ta có   0 n fc  , lúc đó * n xc ( trường hợp này ít xảy ra), hoặc là ta nhận được dãy vô hạn các đoạn nhỏ   , n n n ab đóng lồng nhau, thắt lại với   * 1 , (2) 2 nn n b a b a n N     Theo cách dựng ta có     0 (3) nn f a f b  * lim lim nn nn a b x    Hơn nữa khi n  thì từ (3) có   2 * 0fx    , vậy * x là nghiệm của phương trình (1). Sai số Nói chung, khi dừng lại ở bước n thì ta có 1 () 2 nn n b a b a   Vậy ta có thể lấy nghiệm gần đúng là 2 nn n ab x   , Sai số mắc phải khi đó là   1 1 2 n ba   7 Thuật toán đƣợc thực hiện bởi các bƣớc sau đây: Chọn sai số 0   ,   ,ab sao cho     0f a f b  và hàm số   fx liên tục trên đoạn   ,ab . Bƣớc 0: Đặt 0 2 ab x   Vì     0f a f b  , do đó một trong hai trường hợp sau xảy ra: +   0 0fx  hoặc 2 ba    thì ta có 0 x là nghiệm và kết thúc. +   0 0fx và 2 ba    Nếu     0 0f a f x  thì nghiệm sẽ ở trong khoảng   0 ,ax , do đó ta đặt: 1 1 0 ,a a b x Nếu     0 0f x f b  thì nghiệm sẽ ở trong khoảng   0 ,xb , do đó ta đặt: 1 0 1 ,a x b b Chuyển sang bước 1. -Bƣớc 1: Đặt 11 1 2 ab x   Vì     11 0f a f b  , một trong hai trường sau xảy ra: +   1 0fx hoặc 11 2 ba    thì ta có 1 x là nghiệm và kết thúc. +   1 0fx và 11 2 ba    Nếu     11 0f a f x  thì nghiệm sẽ ở trong khoảng   11 ,ax , do đó ta đặt 2 1 2 1 ,a a b x . Nếu     11 0f x f b  thì nghiệm sẽ ở trong khoảng   11 ,xb , do đó ta đặt 2 1 2 1 ,a x b b Chuyển sang bước 2 ……. Bƣớc n: Đặt 2 nn n ab x   8 Vì     0 nn f a f b  , do đó một trong hai trường hợp sau xảy ra: +   0 n fx  hoặc 2 nn ba    thì ta có n x là nghiệm và kết thúc. +   0 n fx  và 2 nn ba    Nếu     0 nn f a f x  thì nghiệm sẽ ở trong khoảng   , nn ax , do đó ta đặt: 11 ; n n n n a a b x   Nếu     0 nn f x f b  thì nghiệm sẽ ở trong khoảng   , nn xb , do đó ta đặt: 11 ; n n n n a x b b   Chuyển sang bước 1n  Ví dụ: Tính nghiệm gần đúng của phương trình sau nhờ phương pháp chia đôi trên   3 1,2 : 1 0  xx Giải Gọi   3 1  f x x x , áp dụng liên tiếp phương pháp chia đôi ta có kết quả ở bảng sau: Dừng lại ở bước thứ 6, lấy nghiệm gần đúng là 6 1.32032xx , sai số 0.008 n n a n b 2   nn n ab c   n fc  nn ba 0 1 2 3 4 5 6 1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.34375 1.32813 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 1.32813 1.32032 0.875 -0.29688 0.22461 -0.05151 0.08261 0.01458 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.01562 9 2/. Phƣơng pháp dây cung Ý tưởng của phương pháp dây cung là thay cung đồ thị của hàm   y f x bởi dây cung AB rồi lấy hoành độ 1 x của giao điểm P của dây cung với trục hoành làm giá trị gần đúng của nghiệm * x . Ta minh họa phương pháp này bởi hình sau: Phương trình dây cung AB là       y f a xa f b f a b a     Tại giao điểm P ta có 1 0,y x x nên có       1 fa xa f b f a b a     Từ đó suy ra         1 fa x a b a f b f a     Sau khi tính được 1 x ta có thể xét khoảng chứa nghiệm mới   1 ,ax hoặc   1 ,xb rồi tiếp tục áp dụng phương pháp dây cung. Cứ thế tiếp tục ta sẽ được các giá trị 23 , , xx ngày càng gần * x Thuật toán Chọn sai số 0 ,   ,ab sao cho hàm số   y f x liên tục trên đoạn   ,ab ,     0f a f b  . 10 Bƣớc 0: Đặt         0 af b bf a x f b f a    +   0 0fx  thì 0 x là nghiệm và kết thúc +   0 0fx  Nếu     0 0f a f x  thì nghiệm sẽ ở trong khoảng   0 ,ax , do đó ta đặt: 1 1 0 ,a a b x Nếu     0 0f b f x  thì nghiệm sẽ ở trong khoảng   0 ,xb , ta đặt 1 0 1 ,a x b b Nếu 11 ba  thì 0 x là nghiệm và kết thúc Nếu 11 ba  thì ta chuyển sang bước 1 Bƣớc 1: : Đặt         1 1 1 1 1 11 a f b b f a x f b f a    +   1 0fx thì 1 x là nghiệm và kết thúc +   1 0fx Nếu     11 0f a f x  thì nghiệm sẽ ở trong khoảng   11 ,ax , do đó ta đặt: 2 1 2 1 ,a a b x Nếu     11 0f b f x  thì nghiệm sẽ ở trong khoảng   11 ,xb , ta đặt 2 1 2 1 ,a x b b Nếu 22 ba  thì 1 x là nghiệm và kết thúc Nếu 22 ba  thì ta chuyển sang bước 2 ………… Bƣớc n: : Đặt         n n n n n nn a f b b f a x f b f a    +   0 n fx  thì n x là nghiệm và kết thúc +   0 n fx  [...]... Vậy: x*  x3 1.325801 16 4.So sánh các phƣơng pháp Chưa thể khẳng định được phương pháp nào tốt hơn phương pháp nào mà tùy theo từng trường hợp Trong một số trường hợp thì tốc độ hội tụ của phương pháp dây cung và phương pháp Newton nhanh hơn phương pháp chia đôi Đối với phương pháp chia đôi thì số lần bước lặp lớn, trong phương pháp Newton thì việc tính toán rắc rối 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Phạm kỳ... hội tụ đến x * -Tính m  min f '  x  ; M  max f '  x  trên đoạn  a, b -Tính   m  M m 11 Ta lập bảng tính sau: xn  xn1 n xn 0 x0 1 x1 x1  x0 2 x2 x2  x1   n xn xn  xn1 , dừng lại nếu thỏa xn  xn1  Ngoài ra phương pháp dây cung còn có thể giải chỉ với điều kiện y  f  x  liên tục trên đoạn  a, b Ví dụ: Tính nghiệm gần đúng của phương trình sau nhờ phương pháp dây cung trên... thức lặp và thao tác trên máy tính cầm tay ta có kết quả bởi bảng sau: xn  xn1 n xn 0 1 1 1.166666 0.166666 2 1.253112 0.086445 3 1.293437 0.040325 4 1.311280 0.017843 5 1.318987 0. 0077 07 6 1.322282 0.003295 7 1.323683 0.001401 Ta thấy ở bước thứ 7 thì nghiệm thỏa mãn sai số, nên x*  x7 1.323683 13 3/ Phƣơng pháp Newton (phƣơng pháp tiếp tuyến) Ý tưởng của phương pháp Newton là thay cung đồ thị...  x0 2 x2 x2  x1   n xn xn  xn1 , dừng lại nếu thỏa xn  xn1  15 Ví dụ: Tính nghiệm gần đúng của phương trình sau nhờ phương pháp Newton trên 1,2: x3  x  1  0 Giải Xét f  x   x3  x 1 f '  x   3x 2 1 Ta có: f '  x   3x2  1 0, x1,2 f ''  x   6x  0, x1,2 Vậy các điều kiện của phương pháp Newton được thỏa mãn Ta có:  x0  2  f  2 f ''  2  60  0 , ta chọn ... gần đúng của nghiệm x * Ta minh họa phương pháp này bởi hình sau: Cho x0  b , phương trình tiếp tuyến tại B là y  f  x0   f '  x0  x  x0  Tại P ta có x  x1 , y  0 ta có  f  x0   f '  x0  x1  x0  Từ đó x1  x0  f  x0  f '  x0  Sau khi tính được x1 ta có thể xét khoảng chứa nghiệm mới  a, x1  hoặc  x1 , b rồi tiếp tục áp dụng phương pháp tiếp tuyến Cứ tiếp tục ta sẽ được... 0 Tuy nhiên trong thực tế có khi ta không tính được f  xn  , f '  xn  Giả sử ta không tính được chính xác tại x2  x1  f  x1  , khi đó ta thay x2 bằng giá trị gần đúng f '  x1     f x2  0  x 2 thỏa điều kiện   x 2  a, b       -Tính M 1  min f '  a  , f '  b  ; M 2  max f ''  t  :t  a, b  -Tính   2M 1  M2 -Ta lập bảng tính sau: xn  xn1 n xn 0 x0 1 x1 x1  x0... giải chỉ với điều kiện y  f  x  liên tục trên đoạn  a, b Ví dụ: Tính nghiệm gần đúng của phương trình sau nhờ phương pháp dây cung trên 1,2: x3  x  1  0 Giải Gọi f  x   x3  x 1 Kiểm tra phương pháp f '  x   3x2 1, f ''  x   6 x  0 trên đoạn 1,2 Vì f 1  1  0 nên áp dụng công thức lặp:  x0  1  x0 1    f  xn  x 3  x 1  xn1  xn  2  xn   xn1  xn  n 3 n ... khoảng  xn , bn  , ta đặt an1  xn , bn 1  bn Nếu bn1  an1   thì xn là nghiệm và kết thúc Nếu bn1  an1   thì ta chuyển sang bước n  1 *Ngoài ra ta có thể dùng định lý 3 để giải cho phương pháp dây cung như sau: Chọn sai số   0 ,  a, b  sao cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn a, b , f  a  f b   0 , f '  x   0 , f  x  có đạo hàm đến cấp 2 liên tục và ta có f " ... pháp chia đôi Đối với phương pháp chia đôi thì số lần bước lặp lớn, trong phương pháp Newton thì việc tính toán rắc rối 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Phạm kỳ Anh, Giải Tích Số, 1998 2 Trần Văn Minh, Phƣơng pháp số, 2005 18 . phƣơng pháp Chưa thể khẳng định được phương pháp nào tốt hơn phương pháp nào mà tùy theo từng trường hợp. Trong một số trường hợp thì tốc độ hội tụ của phương pháp dây cung và phương pháp Newton. BỘ MÔN TOÁN- TIN HỌC TIỂU LUẬN MÔN: PHƢƠNG PHÁP TÍNH CHỦ ĐỀ 7: Xác Định Giá Trị Gần Đúng Cho Nghiệm Của Phƣơng Trình Bằng Cách Dùng Phƣơng Pháp Chia Đôi Đoạn Chứa Nghiệm Hay Phƣơng Pháp. dây cung và phương pháp Newton nhanh hơn phương pháp chia đôi. Đối với phương pháp chia đôi thì số lần bước lặp lớn, trong phương pháp Newton thì việc tính toán rắc rối.