Phòng GD- ĐT Phù Mỹ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Trường THCS Mỹ Lợi Môn : TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Câu 1:(3.0đ) Chứng minh rằng a/ 2 2 2 1 1 1 1( 1) 2 3 n n + + + < ≥ b/ * ( 1)( 2) ( ) 2 ( ) n n n n n n N+ + + ∀ ∈M Câu 2: (3.0đ) Chứng minh rằng a 5 -a M 30 ( )a Z∀ ∈ Từ đó suy ra rằng nếu: a 1 +a 2 +a 3 +. . . +a n 30M thì 5 5 5 5 1 2 3 30( , 1 n i a a a a a Z i n+ + + + ∀ ∈ =M Câu 3: (5.0đ) a/ Cho 0< x< 2, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: A= 9 2 2 x x x + − b/Cho a,b,c là ba số dương Chứng minh: 2 2 2 2 a b c a b c b c a c b a + + + + ≥ + + + Câu 4:(2.5đ) Tìm x biết: ( ) 3 1 1 2 1 2x x x− + + − = − Câu 5:(3.0đ)Cho hình vuông ABCD cạnh a.Qua đỉnh A, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt cạnh DC ở N.Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 AM AN a + = Câu 6: (3.5đ)Cho tam giác ABC vuông ở A.Vẽ phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, tam giác ACF vuông cân ở C.Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng: a/ AH=AK b/ AH 2 =BH.CK ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1 a Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1( 1) 2 3 1.2 2.3 ( 1) n n n n n n − + + + < + + + = < ∀ ≥ − 1.5đ b 1.2 2 2.4.6 2 ( 1)( 2) ( ) 1.3.5 (2 1). 1.3.5 (2 1).2 2 1.2 1.2.3 n n n n n n n n n n n n + + + = = − = − M 1.5đ 2 Ta có: a 5 –a = 4 2 ( 1) ( 1)( 1)( 1)a a a a a a− = + − + Mà: 2 ( 1)( 1) ( 1) 6a a a a+ − + M Nếu 5 5 5a a a⇒ −M M Nếu : 5a dư 2 5 1 1 5 5a a a± ⇒ − ⇒ −M M Nếu : 5a dư 2 5 2 1 5 5a a a± ⇒ + ⇒ −M M Vậy 5 5( ).a a a Z− ∀ ∈M Mà (5,6)=30. Vậy 5 30a a− M Lại có: a 1 +a 2 +a 3 +. . . +a n 30M 5 5 5 5 5 5 5 1 2 3 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n a a a a a a a a a a a a a+ + + + = − + − + + − + + + + Từ chứng minh trên: 5 5 5 1 1 2 2 30; 30; ; 30 n n a a a a a a− − −M M M Vậy: 5 5 5 5 1 2 3 30 n a a a a+ + + + M 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 1.0đ 0.5đ 3 a Ta có: A= 9 2 1 2 x x x x − + + − với 0< x< 2, ta có: 9 2 9 2 2 . 6 2 2 x x x x x x x x − − + ≥ = − − (bất đẳng thức Côsi) ⇔ 9 2 1 2 x x x x − + + − 6 1≥ + hay A 7≥ Vậy MinA=7 ⇔ 9 2 1 2 2 x x x x x − = ⇔ = − 1.0đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ b Vì a,b,c >0, áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 2 2 2 . (1) 4 4 a b c a b c a b c b c + + + ≥ = + + 2 2 2 . (2) 4 4 b a c b a c b a c a c + + + ≥ = + + 2 2 2 . (3) 4 4 c b a c b a c b a b a + + + ≥ = + + Cộng (1),(2),(3) vế theo vế ta được: 2 2 2 2 a b c a b c a b c b c a c b a + + + + + ≥ + + + + + ⇔ 2 2 2 2 a b c a b c b c a c b a + + + + ≥ + + + (đpcm) 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 4 Đặt y= 1( 0)x y− ≥ ⇒ x=y 2 +1 Khi đó ta có: (y+1) 3 +2y=2-(y 2 +1) ⇔ y 3 +4y 2 +5y=0 ⇔ y[(y+2) 2 +1]=0 Vì (y+2) 2 +1 ≥ 0 ⇒ y=0 ⇒ x=1 0.5đ 1.0đ 0.5đ 0.5đ 5 -Nêu được cách vẽ đường phụ vuông góc với AM tại A cắt CD ở I. -Nêu được trong tam giác AIC có: 2 2 2 1 1 1 AD AN AI = + -Chứng minh được ( ) v v ABM ADI g c g∆ = ∆ − − Suy ra: AM=AI Do đó: 2 2 2 2 1 1 1 1 AM AN AD a + = = 0.5đ 0.5đ 1.0đ 0.5đ 0.5đ 6 a -Đặt AB=c, AB=c -Ta có: (1) AH AC b HB BD c = = (2) AK AB c KC CF b = = Từ (1) và (2) suy ra: AH AH b c AH HB b c = = + + AK AK c b AK KC b c = = + + Suy ra: AH= ; bc bc AK b c b c = + + Do đó: AH=AK 0.5đ 0.5đ 1.0đ 0.5đ b từ (1) và (2) suy ra: AH KC HB AK = Mà: AH=AK ⇒ AH 2 = BH.CK 0.5đ 0.25đ 0.25đ . Phòng GD- ĐT Phù Mỹ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Trường THCS Mỹ Lợi Môn : TOÁN Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề) Câu 1:(3.0đ) Chứng minh rằng a/. ACF vuông cân ở C.Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng: a/ AH=AK b/ AH 2 =BH.CK ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Đáp án Điểm 1 a Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1(. c KC CF b = = Từ (1) và (2) suy ra: AH AH b c AH HB b c = = + + AK AK c b AK KC b c = = + + Suy ra: AH= ; bc bc AK b c b c = + + Do đó: AH=AK 0.5đ 0.5đ 1.0đ 0.5đ b từ (1) và (2) suy ra: AH