GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM A.TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA I. Định nghĩa (sgk ban cơ bản) Cho khoảng K chứa 0 x và hàm số ( )y f x= xác định trên K hoặc K\{ 0 x } Ta nói hàm số ( )y f x= có giới hạn là L khi x dần tới 0 x nếu với mọi dãy số ( ) n x bất kỳ sao cho 0 \ { } n x K xÎ và 0n x x® ta có ( ) n f x L® II. Ví dụ minh hoạ: tính 2 1 1 lim 1 x x x ®- - + Hàm số 2 1 ( ) 1 x f x x - = + xác định trên \ { 1}-¡ Với mọi dãy số ( ) n x bất kỳ sao cho 1 n x ¹ - và 1 n x ® - ta có 2 1 ( ) 1 2 1 n n n n x f x x x - = = - ® - + khi n ® +¥ Vậy, 1 lim ( ) 2 x f x ®- = - Bài 1: Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau đây 1) 5 3 lim 3 x x x ® + - 2) 3 2 0 1 lim 1 x x x ® + + 3) 2 1 3 4 lim 1 x x x x ®- - - + 4) 2 1 lim 5 x x ® - 5) 0 2 lim .cos x x x ® æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø 6) 2 1 2 lim 4 x x x ® - - B.CHỨNG MINH HÀM SỐ KHÔNG TỒN TẠI GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC I. Phương pháp giải Chỉ ra hai dãy ( ) n x và ( ) n t khác nhau cùng có giới hạn là 0 x nhưng lim ( ) lim ( ) n n f x f t¹ II. Ví dụ minh hoạ: chứng minh rằng 0 1 limsin x x ® không tồn tại Hàm số 1 ( ) sinf x x = xác định trên \ {0}¡ Xét hai dãy số có cùng giới hạn là 0 sau đây khi khi 1 0 2 1 0 2 2 n n x n n t n n p p p = ® ® +¥ = ® ® +¥ + Tuy nhiên, khi khi ( ) sin( 2 ) 0 0 ( ) sin 2 1 1 2 n n f x n n f t n n p p p = = ® ® +¥ æ ö ÷ ç ÷ = + = ® ® +¥ ç ÷ ç è ø Vậy, 0 1 limsin x x ® không tồn tại. Bài 2: Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau đây không tồn tại Dương Phước Sang GII HN CA HM S 1) 0 1 limcos x x đ 2) 1 2 limsin 1 x x đ - 3) 0 3 limcos x x đ C.BI TON TèM GII HN CA DY S Bi 3: Thay 0 x trc tip vo ( )f x 1) 3 2 0 lim( 5 10 ) x x x x đ + + 2) 2 3 lim(5 7 ) x x x đ - 3) 2 1 5 lim 5 x x x đ- + + 4) 2 2 1 2 3 1 lim 4 2 x x x x x đ + + - + + 5) 3 2 2 lim(2 2 4) x x x đ- - + 6) 3 2 lim 1 x x đ + 7) 7 4 1 10 4 lim 2 4 x x x x đ + - - 8) 3 2 2 2 4 9 3 lim 3 x x x x x đ - + + - 9) lim(sin cos ) x x x pđ - 10) 3 2 2 2 4 4 3 lim 3 x x x x x x đ - + - - 11) 2 2 4 5 6 lim 8 15 x x x x x đ - + - + 12) 3 2 4 2 1 2 4 8 lim 8 16 x x x x x x đ - - + - + 13) 2 20 3 1 ( 2) lim 12 1 x x x x x đ- - - - + 14) 4 3 2 2 lim( 5 8 6 ) x x x x x đ - + - 15) 1 2 3 lim 1 x x x đ - + 16) 2 3 1 3 lim 2 x x x đ- - + 17) 5 3 4 3 lim 2 7 x x x đ ổ ử - ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ + ố ứ 18) 4 3 2 2 2 3 2 lim 2 x x x x x đ- + + - + 19) 2 3 3 lim 6 x x x x đ - - 20) 1 5 1 lim 2 7 x x x đ - + 21) 2 3 2 2 5 3 lim 2 2 6 x x x x x x đ- + + + + + Bi 4: Phõn tớch tam thc bc hai thnh tớch ca hai nh thc bc nht 1) 2 3 2 15 lim 3 x x x x đ + - - 2) 2 2 2 3 10 lim 3 5 2 x x x x x đ + - - - 3) 2 1 2 3 1 lim 1 x x x x đ- + + + 4) 2 2 4 5 6 lim 12 20 x x x x x đ- - + - + 5) 2 3 4 3 lim 3 x x x x đ - + - 6) 2 3 3 lim 9 x x x đ- + - 7) 2 2 2 6 lim 4 x x x x đ + - - 8) 2 2 4 16 lim 20 x x x x đ - + - 9) 2 1 4 5 lim 1 x x x x đ + - - 10) 2 2 1 4 5 lim 1 x x x x đ + - - 11) 2 2 2 ( 1)( 2)( 1) lim 4 x x x x x đ - - + - 12) 2 2 3 5 6 lim 8 15 x x x x x đ - + - + 13) 2 2 4 3 4 lim 4 x x x x x đ- + - + 14) 2 5 2 15 lim 5 x x x x đ- + - + 15) 2 2 2 3 1 lim 4 5 x x x x x đƠ + + - + + Bi 5: Phõn tớch a thc bc cao thnh nhõn t (cú th dựng s Hoocner, HT ỏng nh) 1) 3 1 1 lim 1 x x x đ - - 2) 3 2 2 1 2 2 lim 1 x x x x x đ - - + - 3) 4 2 16 lim 2 x x x đ - - 4) 4 2 2 16 lim 6 8 x x x x đ- - + + 5) 3 2 2 8 lim 4 x x x đ - - 6) 4 2 3 27 lim 2 3 9 x x x x x đ - - - 7) 4 2 1 1 lim 2 3 x x x x đ - + - 8) 3 2 2 3 4 4 3 lim 3 x x x x x x đ - + - - 9) 3 2 1 2 8 1 lim 6 5 1 x x x x đ - - + 10) 2 9 3 lim 9 x x x x đ - - 11) 1 1 lim 1 x x x đ - - 12) 3 2 1 1 lim 1 x x x x x đ - + - - Dng Phc Sang GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 13) 3 3 2 1 3 2 lim 1 x x x x x x ® - + - - + 14) 0 (1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim x x x x x ® + + + - 15) 2 20 3 10 2 ( 2) lim ( 12 16) x x x x x ® - - - + 16) 3 1 1 lim ( 5) 6 x x x x ® - + - 17) 3 2 3 2 3 9 2 lim 6 x x x x x x ® + - - - - 18) 3 2 2 2 3 2 lim 6 x x x x x x ®- + + - - 19) 3 1 1 3 lim 1 1 x x x ® æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç - è ø - 20) 3 2 1 12 lim 2 8 x x x ® æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç - è ø - 21) 4 1 4 1 lim 1 1 x x x ® æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ è ø - - 22) 3 4 2 1 3 2 lim 2 1 x x x x x ® - + - + 23) 3 2 2 2 4 4 lim 6 x x x x x x ®- + + - - 24) 3 2 2 2 4 3 8 4 lim 3 10 x x x x x x ® - - - + - 25) 4 3 2 4 3 2 1 2 5 3 1 lim 3 8 6 1 x x x x x x x x ® - + + - - + - 26) 3 4 1 3 2 lim 4 3 x x x x x ® - + - + 27) 3 2 4 2 2 2 4 8 lim 8 16 x x x x x x ® - - + - + 28) 3 2 3 2 2 3 4 lim 8 12 x x x x x x ® - + - - + 29) 3 5 1 2 1 lim 2 1 x x x x x ®- - - - - 30) 3 2 4 3 2 1 2 lim 2 x x x x x x x ® + - - + + - 31) 3 2 3 3 3 lim 3 x x x ®- + - 32) lim n n x a x a x a ® - - 33) 2 1 1 lim ( 1) n x x nx n x ® - + - - 34) 3 3 0 ( ) lim h x h x h ® + - 35) 1 1 lim 1 1 n x n x x ® æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç - è ø - 36) 1 1 lim 1 m n x x x ® - - 37) 6 2 1 6 5 lim ( 1) x x x x ® - + - 38) Bài 6: Nhân lượng liên hợp - 1 lần (có một căn bậc hai) 1) 0 4 lim 9 3 x x x ® + - 2) 0 lim 1 1 x x x ® + - 3) 5 5 lim 5 x x x ® - - 4) 2 3 5 1 lim 2 x x x ® - - - 5) 2 0 1 1 lim x x x x ® + + - 6) 1 2 1 lim 6 3 3 x x x x ®- + + + 7) 2 5 4 3 lim 25 x x x ® + - - 8) 3 1 3 2 lim 1 x x x x ® - - - 9) 2 0 1 2 (1 ) lim x x x x x ® - + - + 10) 3 3 lim 2 10 4 x x x ® - + - 11) 6 2 2 lim 6 x x x ® - - - 12) 2 2 1 3 2 4 2 lim 3 2 x x x x x x ® - - - - - + 13) 4 7 9 2 lim 7 x x x ® + - - 14) 2 1 2 3 1 lim 1 x x x x ® - + - 15) 2 8 3 lim 2 3 x x x x ®¥ + - + - 16) 2 1 1 lim 2 3 x x x x ® - + - 17) 2 1 5 2 lim 3 2 x x x x ®- + - + + 18) 2 4 1 1 lim 2 x x x x ® + - - - 19) 2 1 5 2 lim 1 x x x x ®- + + - 20) 2 2 0 2 1 2 lim x x x x x ® + + - - 21) 0 1 2 1 lim 2 x x x ® + - 22) 2 0 1 1 lim x x x ® + - 23) 2 2 5 3 lim . 2 x x x ® + - - 24) 2 2 1 3 2 4 2 lim 3 2 x x x x x x ® - - - - - + Bài 7: Nhân lượng liên hợp - 1 lần (có hai căn bậc hai) Dương Phước Sang GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1) 2 0 1 1 lim x x x x x ® + - + + 2) 1 1 lim 2 1 x x x x ® - - - 3) 1 2 2 2 lim 3 5 x x x x ®- + + - + 4) 1 2 2 3 1 lim 1 x x x x ® + - + - 5) 0 1 1 lim x x x x ® + - - 6) 0 5 5 lim x x x x ® + - - 7) 1 2 1 lim 1 x x x x ® - - - 8) 2 2 1 3 2 4 2 lim 3 2 x x x x x x ® - - - - - + 9) 0 lim x a x a x ® + - 10) 1 2 1 lim 1 x x x x ® - - - 11) 0 lim x a x a x x ® + - - , 0a > 12) 0 lim , 0 x x a a a x ® + - > 13) 0 9 16 7 lim x x x x ® + + + - 14) 0 1 1 2 2 lim x x x x ® + + + - Bài 8: Nhân lượng liên hợp - 2 lần (có hai căn bậc hai) 1) 5 6 1 lim 3 4 x x x ® - - - - 2) 1 2 1 lim 5 2 x x x ®- + - + - 3) 2 0 2 1 1 lim 16 4 x x x ® + - + - 4) 2 2 lim 4 1 3 x x x x ® - + + - 5) 1 2 7 3 lim 2 3 x x x ® + - - + 6) 1 2 7 4 lim 1 x x x x ® + + - - 7) 4 3 5 lim 1 5 x x x ® - + - - 8) 2 0 2 4 2 lim 9 3 x x x ® - - - - 9) 9 7 2 5 lim 3 x x x ® + - - 10) 0 1 1 lim 3 2 9 x x x ® + - - + 11) 2 2 lim 1 3 x x x x x ®¥ + - - - - 12) 1 4 5 8 lim 3 2 x x x x ® + - + + - Bài 9: Nhân lượng liên hợp (có căn bậc ba) 1) 3 0 1 4 1 lim x x x ® + - 2) 3 2 4 2 lim 2 x x x ® - - 3) 3 0 1 1 lim 3 x x x ® - + 4) 3 0 lim 1 1 x x x ® + - 5) 3 1 1 lim 1 x x x ® - - 6) 3 1 1 lim 1 x x x ® - - 7) 3 1 1 lim 1 x x x ®- + + 8) 3 64 8 lim 4 x x x ® - - 9) 3 4 1 1 lim 1 x x x ® - - 10) 3 1 2 1 lim 3 2 x x x ®- + + - 11) 3 2 4 2 lim 2 x x x ® - - 12) 3 0 1 1 lim 3 x x x ® - - 13) 3 8 2 4 lim 2 x x x ® - - 14) 3 2 1 3 5 2 lim 5 4 x x x x ® + - - + 15) 3 3 0 1 1 lim x x x x ® + - - 16) 3 3 0 1 1 lim 2 1 1 x x x x x ® - + + + - + 17) 3 3 1 1 lim 2 1 x x x ® - - + 18) 3 3 1 2 lim 1 x x x x ® - - - Bài 10: Nhân lượng liên hợp (tổng hợp cả căn bậc hai và căn bậc ba) 1) 3 0 2 1 8 lim x x x x ® - - - 2) 3 2 2 1 3 2 4 2 lim 3 2 x x x x x x ® - - - - - + 3) 3 3 2 2 1 5 7 lim 1 x x x x ® - - + - 4) 3 2 2 1 3 2 4 2 lim 3 2 x x x x x x ® - - - - - + 5) 2 3 1 7 5 lim 1 x x x x ® + - - - 6) 3 0 3 4 8 5 lim x x x x ® + - + 7) 3 0 1 2 1 7 lim x x x x ® + - + 8) 3 0 1 1 lim x x x x ® + - + 9) 3 0 2 1 1 3 lim x x x x ® + - + Dương Phước Sang GII HN CA HM S 10) 3 2 2 3 7 lim 3 2 x x x x x đƠ + - + - + 11) 2 3 7 5 lim 1 x x x x đƠ + - - - 12) 3 2 11 8 43 lim 2 3 2 x x x x x đƠ + - + + - 13) 3 0 2 1 8 lim x x x x đ + - - 14) 3 3 2 2 1 5 7 lim 1 x x x x đ - - + - 15) 3 2 1 2 1 lim 1 x x x x đ - + - 16) 3 3 1 7 3 4 lim 1 x x x x đ + + + - - 17) 3 0 1 1 lim x x x x đ + + - Bi 11: Gii hn vụ cc 1) 2 2 3 lim (2 ) x x x đ + - 2) 2 1 2 2 3 lim 2 3 ( 1) x x x x đ ộ ự + ờ ỳ ì ờ ỳ - - ở ỷ 3) 2 2 7 4 lim 4 ( 2) x x x x đ + ì - - 4) 2 0 1 1 lim x x x đ ổ ử ữ ỗ ữ - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ 5) 2 0 1 1 lim x x x đ ổ ử ữ ỗ ữ + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ Bi 12: Bin i lng giỏc 1) 0 1 sin2 cos2 lim 1 sin2 cos2 x x x x x đ - - + - 2) 0 1 1 sin3 lim 1 cos x x x đ - + - 3) 0 2 lim cot sin2 x x x đ ổ ử ữ ỗ ữ - ỗ ữ ỗ ố ứ 4) 4 sin 4 lim 1 2sin x x x p p đ ổ ử ữ ỗ ữ - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ - 5) 0 sin7 sin5 lim sin x x x x đ - 6) 2 6 2sin 1 lim 4cos 3 x x x p đ - - 7) 2 1 lim cos tan x x x p đ - 8) 2 4 2sin 1 lim 2cos 1 x x x p đ - - 9) ( ) 6 6 sin lim 1 2sin x x x p p đ - - 10) 4 lim tan2 .tan 4 x x x p p đ ộ ự ổ ử ữ ỗ ờ ỳ ữ - ỗ ữ ờ ỳ ỗ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ 11) 4 2 2cos lim sin 4 x x x p p đ - ổ ử ữ ỗ ữ - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 12) 0 sin5 sin3 lim sin x x x x đ - 13) 2 2 0 1 sin cos lim sin x x x x đ + - 14) 0 1 cos lim tan x x x đ - 15) 3 3cos sin lim 2sin 3 x x x x p đ- + + 16 4 cos2 lim sin 4 x x x p p đ ổ ử ữ ỗ ữ - ỗ ữ ỗ ố ứ 17) 0 1 cos2 lim sin3 .sin x x x x đ - 18) 2 2 2sin 3sin 1 lim 1 cos 1 x x x x p đ - + + - Bi 13: Dựng gii hn c bit 0 0 sin tan lim 1 lim 1 ; x x x x x x đ đ = = 1) 0 sin3 lim x x x đ 2) 0 sin2 lim 3 x x x đ 3) 0 sin2 tan3 lim x x x x đ + 4) 0 sin5 lim x x x đ 5) 0 tan2 lim 3 x x x đ 6) 3 0 sin5 .sin3 .sin lim 45 x x x x x đ 7) 0 sin lim tan2 x x x đ 8) 2 0 1 cos lim sin x x x x đ - 9) ( ) 2 2 cos cos2 lim sin x x x p đƠ 10) 2 0 cos4 cos3 .cos5 lim x x x x x đ - 11) 3 0 tan sin lim x x x x đ - 12) 3 2 1 2 lim sin( 1) x x x x đ + - - Dng Phc Sang GII HN CA HM S 13) 1 3 2 lim tan( 1) x x x x đ + - - 14) 3 0 1 tan 1 sin lim x x x x đ + - + 15) 0 1 cos lim 1 cos x x x đ - - 16) 2 0 cos cos lim x ax bx x đ - 17) 0 sin tan lim ( ) x ax bx a bx đ - + 18) 2 0 1 cos2 tan lim .sin x x x x x đ - + 19) 2 0 1 cos2 .cos lim x x x x đ - 20) 2 0 1 cos3 .cos5 .cos7 lim sin 7 x x x x x đ - 21) 2 0 cos .sin tan lim .sin x x x x x x đ - 22) 0 1 1 1 lim sin tan x x x x đ ổ ử ữ ỗ ữ ì - ỗ ữ ỗ ố ứ 23) 0 sin2 lim 1 1 x x x đ + - 24) 2 2cos lim 2 x x x p p đ- + 25) 4 4 0 2 cos sin 1 lim 1 1 x x x x đ - - + - 26) 2 2 0 1 cos lim x x x x đ + - 27) 0 sin lim sin x x x x x đ + - 28) sin sin lim x a x a x a đ - - 29) cos cos lim x b x b x b đ - - 30) 0 1 2 1 lim sin2 x x x đ - + 31) 3 0 1 cos lim sin x x x x đ - 32) 2 2 2 2 sin sin lim x a x a x a đ - - 33) 0 sin5 lim tan7 x x x đ 34) 1 lim (1 )tan 2 x x x p đ ộ ự ờ ỳ - ờ ỳ ở ỷ 35) 3 2 8 lim tan( 2) x x x đ- + + 36) 1 cos 2 lim 1 x x x p đ - 37) 0 sin( ) sin( ) lim tan( ) tan( ) x a x a x a x a x đ + - - + - - 38) 0 cos( ) cos( ) lim x a x a x x đ + - - 39) 2 0 1 cos5 .cos7 lim sin 11 x x x x đ - 40) 6 1 2sin lim 6 x x x p p đ - - 41) 2 1 cos lim ( ) x x x p p đ + - 42) 0 2 sin sin2 lim 1 2sin 2 x x x x x đ - ổ ử ữ ỗ ữ - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 43) 4 sin cos lim 4 x x x x p p đ- + + 44) 2 0 cos3 cos5 .cos7 lim x x x x x đ - 45) 0 tan sin lim .tan .sin x x x x x x đ - 46) 2 0 1 cos 2 lim .sin x x x x đ - 47) 2 1 sin( 1) lim 4 3 x x x x đ - - + 48) 0 1 cos5 lim 1 cos3 x x x đ - - 49) 6 3sin cos lim sin6 x x x x p đ - 50) 2 0 1 cos . cos2 lim x x x x đ - 51) 2 0 1 sin cos2 lim tan x x x x đ + - 52) 3 2 2 0 3 1 2 1 lim 1 cos x x x x đ - + + - 53) 2 2 4 lim cos 4 x x xp đ - 54) 1 lim(1 )tan 2 x x x p đ - 55) 3 0 tan sin lim x x x x đ - 56) 3 sin3 lim 1 2cos x x x p đ - 57) 0 sin(sin ) lim x x x đ 58) ( ) 2 0 1 cos lim 1 1 x x x đ - - - 59) 2 0 1 cos lim sin x x x x đ - 60) 3 2 0 2 1 1 lim sin x x x x đ + - + 61) cos cos 2 lim sin(tan ) x x x p đƠ ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Bi 14: Tng hp gii hn cú PP gii hay 1) 2 2 lim x a x a x a x a đ - + - - 2) 3 1 3 2 lim 1 x x x x đ - - - 3) 2 3 1 lim 3 3 x x x x x đƠ - + + - Dng Phc Sang GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 4) 3 2 1 1 lim 1 x x x x x ®- + + + + 5) 3 2 8 7 10 lim 8 x x x x x ® + - - - 6) 2 3 2 1 2 1 3 1 lim 2 1 x x x x x x x ® - + - + - + - + 7) 3 2 3 58 lim 2 x x x x ® - + - 8) 3 2 0 1 2 1 3 lim x x x x ® + - + 9) 3 2 2 1 2 1 lim 4 3 x x x x x x ® - + - + - + 10) 3 0 1 4 . 1 1 lim x x x x ® + + - 11) 2 3 1 2 4 1 1 1 lim 1 1 1 x x x x x x x ® - + + - + - + + - + 12) 0 1 2 1 sin lim 2 3 4 x x x x x ® - + + - + + 13) 2 3 1 3 3 lim 1 x x x x x ® + + - - 14) 3 0 1 2 . 1 3 1 lim x x x x ® + + - 15) 3 0 2 1 8 lim x x x x ® + - - 16) 2 0 1 cos2 .cos lim x x x x ® - 17) 3 4 0 1 1 3 4 lim 1 1 2 x x x x ® + - + - - 18) 0 lim 1 1 x x x x + ® - + - 19) 1 lim 1 x x x x ® - - 20) 3 1 2 3 2 lim 2 5 2 x x x x x ® - + - + - 21) 3 0 8 2 lim x x x ® + - 22) 3 0 4 8 lim x x x x ® + - + 23) 3 0 4 8 4 lim x x x x ® + + - 24) 2 1 5 3 4 lim 1 x x x x x ®- + - - - + 25) 2 2 0 1 1 2 lim x x x x x ® + + + - - GIỚI HẠN MỘT BÊN C.BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài 15: Thay 0 x trực tiếp vào ( )f x 1) 3 1 lim 2 x x x - ® + - 2) 1 2 3 lim 5 x x x - ® - - 3) 2 1 cos lim sin x x x p + æ ö ÷ ç ÷ ® ç ÷ ÷ ç è ø + Bài 16: Giới hạn hữu hạn một bên của hàm số 1) 3 ( 1) 1 lim 1 x x x - ® - + + 2) 2 2 ( 2) 2 5 2 lim 4 x x x x + ® - + + - 3) 2 2 ( 3) 5 6 lim 3 8 3 x x x x x - ® - + + + - 4) 1 3 3 1 lim 1 x x x x + ® + - + - 5) 3 2 2 1 lim 3 x x x x - ® - - + - 6) 2 2 3 7 12 lim 9 x x x x - ® - + - 7) 2 2 lim 2 x x x - ® - - 8) 2 1 1 lim 1 x x x - ® - - 9) 2 2 1 3 2 lim 1 x x x x - ® - + - 10) 2 2 ( 2) 3 2 16 lim 6 x x x x x - ® - - - + - 11) 2 2 2 2 lim 6 x x x x x - ® - + - 12) 0 2 lim x x x x x + ® + - 13) 0 2 3 lim 3 2 x x x x x + ® - - 14) 0 lim x x x x x + ® + - 15) 2 2 0 lim 3 3 2 x x x x x x x + ® - + 16) 2 1 1 1 lim 1 x x x x + ® - + - - 17) 2 1 3 1 lim 2 1 1 x x x x - ® - - + - 18) 2 3 1 1 1 lim x x x x x - ® - + - - Dương Phước Sang GII HN CA HM S 19) 1 cos lim sin x x x p + đ + 20) 0 1 cos lim cos x x x x x + đ - - 21) 2 1 cos2 lim 2 x x x p p + ổ ử ữ ỗ ữ đ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ + - 22) 2 3 0 1 1 lim x x x x x - đ - + - - 23) 2 3 0 2 lim 4 x x x x - đ + 24) 3 2 ( 1) 3 lim ( 1) 1 x x x x + đ - + - 25) 0 1 1 lim x x x x + đ + + - Bi 17: Gii hn vụ hn mt bờn ca hm s 1) 3 2 1 lim 3 x x x - đ + - 2) ( 2) 3 2 lim 2 x x x + đ - + + 3) 4 2 ( 3) 3 lim 4 3 x x x x - đ - + + + 4) 1 3 5 lim 1 x x x - đ + - 5) 5 3 lim 5 x x x + đ + - 6) 2 2 ( 3) 2 5 3 lim ( 3) x x x x + đ - + - + 7) 2 3 2 1 2 3 1 lim 1 x x x x x x - đ - + - - + 8) 2 2 1 5 4 lim 2 1 x x x x x - đ - + - + 9) 2 2 1 1 lim 2 4 x x x - đ ổ ử ữ ỗ ữ - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ - - 10) 3 2 2 8 lim 2 x x x x + đ - - 11) 1 cos lim sin x x x p + đ - 12) 2 2 0 lim x x x x x + đ + - 13) 1 1 1 lim 1 x x x x + đ - + - - 14) 2 2 3 4 lim 6 x x x x - đ - - - 15) 2 3 0 1 1 lim x x x x x - đ - - + - 16) 1 1 1 lim ( 1) x x x x x - đ - + - - 17) 0 1 1 lim ( 1) x x x x x + đ - + - - 18) 2 2 3 9 lim 5 6 x x x x + đ - - + 19) 2 2 2 1 1 3 2 lim 1 3 4 x x x x x x - đ - + - + + Bi 18: Xột s tn ti ca gii hn 0 lim ( ) x x f x đ vi mi hm s ( )y f x= v 0 x c ch ra 1) , neỏu , neỏu 2 3 1 1 ( ) 1 1 x x f x x x ỡ ù - Ê ù ù = ớ ù + > ù ù ợ , 0 1x = 2) , neỏu , neỏu 2 3 2 1 0 ( ) sin 0 x x x f x x x x ỡ ù + + ù ù ù = ớ ù < ù ù ù ợ , 0 0x = 3) , neỏu , neỏu neỏu 2 2 0 0 ( ) 0 1 2 1, 1 x f x x x x x x ỡ ù < ù ù ù ù = Ê < ớ ù ù ù - - + ù ù ợ , 0 0x = v 0 1x = 4) , neỏu , neỏu , neỏu 2 2 3 1 5 ( ) 6 5 1 3 3 3 x x f x x x x x ỡ ù + ù Ê ù ù ù ù ù = - < < ớ ù ù - ù ù ù ù ù ợ , 0 1x = v 0 3x = Dng Phc Sang GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 5) neáu neáu 3 0 2 2 , 2 ( ) , 2 6 2 2 4, 2 x x f x x x x x x ì ï + ï > - ï ï = = - í - + ï ï - + £ - ï ï î 6) neáu , neáu 2 0 3 2 3, 2 ( ) , 2 4 29 2 x x x f x x x x ì ï - + £ ï ï = = í ï - > ï ï î Bài 19: Tìm m để mỗi hàm số sau đây đều có giới hạn tại 0 2x = . 1) , neáu neáu 2 2 ( ) 3 , 2 mx x f x x ì ï £ ï ï = í ï > ï ï î 2) , neáu , neáu 2 5 6 2 ( ) 4 2 x x x f x mx x ì ï - + > ï ï = í ï + £ ï ï î 3) 4 , neáu , neáu 2 5 2 ( ) 7 4 2 x x x f x x m x ì ï - > ï ï = í ï + + £ ï ï î Bài 20: Cho hàm số , neáu 3 , neáu , neáu 3 2 1 1 1 ( ) sin 1 2 4 2 1 x x x f x x x x x m x x p ì ï - ï ï < ï ï - ï ï = + £ £ í ï ï ï - ï > ï ï - ï î . 1) Chứng minh rằng hàm số có giới hạn khi 1x ® . Tính giới hạn đó. 2) Xét sự tồn tại của 2 lim ( ) x f x ® theo tham số m. Bài 21: Cho hàm số , neáu , neáu , neáu 2 1 1 1 ( ) 2 1 3 81 3 3 x x x f x x m x x x x ì ï ï - ï < ï ï - ï ï = + + £ £ í ï ï ï - ï > ï ï ï - î . Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy xét sự tồn tại của giới hạn: a) 1 lim ( ) x f x ® b) 3 lim ( ) x f x ® GIỚI HẠN Ở VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ A.CHỨNG MINH HÀM SỐ KHÔNG TỒN TẠI GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC I. Phương pháp giải Chỉ ra hai dãy ( ) n x và ( ) n t khác nhau cùng có giới hạn là +¥ hoặc - ¥ nhưng lim ( ) lim ( ) n n f x f t¹ II. Ví dụ minh hoạ: chứng minh rằng lim sin x x ® +¥ không tồn tại Hàm số ( ) sinf x x= xác định trên ¡ Xét hai dãy số có cùng giới hạn là +¥ sau đây khi khi 2 2 2 n n x n n t n n p p p = ® +¥ ® +¥ = + ® +¥ ® +¥ Tuy nhiên, Dương Phước Sang GII HN CA HM S khi khi ( ) sin( 2 ) 0 0 ( ) sin 2 1 1 2 n n f x n n f t n n p p p = = đ đ +Ơ ổ ử ữ ỗ ữ = + = đ đ +Ơ ỗ ữ ỗ ố ứ Vy, lim sin x x đ+Ơ khụng tn ti. Bi 22: Dựng nh ngha chng minh cỏc gii hn sau õy khụng tn ti 1) lim cos x x đ+Ơ 2) lim sin2 x x đ- Ơ 3) lim cos( 1) x x đ+Ơ - B.CC BI TON TNH GII HN CA HM S Vễ CC Bi 23: Tớnh cỏc gii hn sau õy 1) 3 2 3 3 1 lim 2 6 6 x x x x x đ+Ơ + + - - 2) 20 30 50 (2 3) (3 2) lim (2 1) x x x x đ- Ơ - + + 3) 2 2 3 1 lim x x x x x đ+Ơ + - + 4) 2 2 4 ( 1) (7 2) lim (2 1) x x x x đ- Ơ - + + 5) 2 3 (3 1)(5 3) lim (2 1)( 1) x x x x x đ- Ơ + + - + 6) x 3 4 4 2 2 1 lim 5 2 x x x x đ+Ơ - + + - 7) 2 2 4 5 lim 1 x x x x đ+Ơ + - - 8) 5 3 5 4 6 7 4 lim 8 5 1 x x x x x x đ+Ơ - + - - - 9) 2 3 2 3 (2 3) (4 7) lim (3 1)(10 9) x x x x x đ- Ơ - + + + 10) 2 1 lim 2 1 x x x đ+Ơ - + 11) 1 lim 1 cos x x đ+Ơ ổ ử ữ ỗ ữ + ỗ ữ ỗ ố ứ 12) 3 2 3 2 lim 5 4 x x x x x đ- Ơ - + - + 13) 2 3 6 ( 1)( 2) lim x x x x x đ- Ơ + + 14) 3 3 2 10 lim 3 3 x x x x x đ+Ơ - + + - 15) 4 3 4 2 7 15 lim 5 1 x x x x đ- Ơ + - + 16) 4 2 3 3 5 7 lim 15 x x x x x đ+Ơ + + - 17) 4 3 6 3 lim 2 7 x x x x đ- Ơ - + - 18) 2 3 3 2 ( 1) (2 1) lim (2 1)( 2) x x x x x đ- Ơ + + + - 19) 5 2 7 2 3 14 (2 3) ( 2) lim ( 1) (4 5) x x x x x đ- Ơ + - + + 20) 5 3 3 2 3 2 1 lim (2 1)( ) x x x x x x đ+Ơ + - - + 21) 3 2 5 lim 1 x x x đ- Ơ - + 22) 3 2 2 (2 1)(3 1) lim (2 1)(4 ) x x x x x đ+Ơ + - + - Bi 24: Tớnh cỏc gii hn sau õy 1) 3 lim ( 3 ) x x x đ+Ơ - 2) 4 2 lim ( 2 3) x x x đ- Ơ - - 3) 1 lim 2 1 1 x x x đ- Ơ ổ ử ữ ỗ ữ - - ỗ ữ ữ ỗ ố ứ + 4) 7 5 lim (4 3 3 ) x x x x đ+Ơ - - 5) 5 2 lim (3 1) x x x x đ- Ơ - + - 6) 3 2 lim ( 3 1) x x x đ+Ơ - + - 7) 3 2 lim (3 8 7) x x x đ- Ơ - + 8) 4 2 lim (2 5 3) x x x đ+Ơ - + 9) 2 lim (12 1) x x đ+Ơ - 10) 4 lim 2 3 12 x x x đ- Ơ - + 11) 3 3 lim 4 3 x x x đ+Ơ - - 12) 3 lim 1 x x x đ+Ơ - + 13) 2 lim ( 1 ) x x x đ+Ơ + + 14) 2 lim ( 4 4 2) x x x x đ- Ơ + - + 15) 2 lim ( 1 ) x x x x đ+Ơ + + + 16) 2 lim ( 4 ) x x x x đ- Ơ - - 17) 2 lim ( 1 ) x x x đ+Ơ + + 18) 2 lim ( 2 1 ) x x x đ- Ơ + + Bi 25: Tớnh cỏc gii hn sau õy 1) 2 4 1 lim 3 1 x x x đ- Ơ + - 2) 4 2 3 2 5 lim 2 4 5 x x x x x x x đ+Ơ - + - + - 3) 1 2 lim 3 x x x x đ+Ơ + - + 4) 2 2 3 1 lim 1 x x x x x đ+Ơ - - - 5) 2 1 lim 1 x x x x đ- Ơ + - - 6) 2 lim x x x x đ- Ơ + Dng Phc Sang [...]...GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 7) lim 5x + 1- x x®- ¥ 8) lim x®+¥ 1- x 10) lim (x + 1 ) x®+¥ x3 2x4 + x2 + 1 x x- 5 13) lim x - x +2 x®- ¥ 11) lim x®+¥ x®+¥ x2 + x + 2x 2x + 3 16) lim 3x - 17) lim x®- ¥ x2 + x - 2 x®+¥ x- 1 Bài 26: Tính các giới hạn sau đây æ ö 1) lim ç x + x - x ÷ ÷ ç ÷ x®+¥ è ø 9) lim x2 + 1 x®- ¥ x2 - x + 5... 2.( x + 3 - 22) lim ( 2x + 5 x®+¥ x®¥ x - 1) 2x - 7) 24) lim( 3 x3 + x2 + 1 - x + 2x - 2 x + x + x) 2 x®+¥ 3 x3 - x2 + 1) 2 Bài 27: Tính các giới hạn sau đây (nguyên lý kẹp) 1) lim x®+¥ x - sin x x + sin x Chú ý: Bài tập phần này có thể lấy ở phần giới hạn của dãy số Dương Phước Sang . GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM A.TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA I. Định nghĩa (sgk ban cơ bản) Cho khoảng K chứa 0 x và hàm số ( )y f x= xác. £ í ï ï ï - ï > ï ï ï - î . Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy xét sự tồn tại của giới hạn: a) 1 lim ( ) x f x ® b) 3 lim ( ) x f x ® GIỚI HẠN Ở VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ A.CHỨNG MINH HÀM SỐ KHÔNG TỒN TẠI GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC I 4 lim 1 x x x x x ®- + - - - + 25) 2 2 0 1 1 2 lim x x x x x ® + + + - - GIỚI HẠN MỘT BÊN C.BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài 15: Thay 0 x trực tiếp vào ( )f x 1) 3 1 lim 2 x x x - ® + - 2) 1 2