HÌNH THÀNH KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA HÌNH THÀNH KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN TRONG GIẢI TOÁN ĐỀ TÀI K.H.Ư.D.S.P ĐỀ TÀI K.H.Ư.D.S.P G V : Bùi Văn Thông tỉ khoa häc tù nhiªn trêng thcs trùc cêng Trùc ninh nam ®Þnh– I. I. PHAÀN MÔÛ ÑAÀU: PHAÀN MÔÛ ÑAÀU: 1. 1. Lý do chọn đề tài: Lý do chọn đề tài: 1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề khó nhưng được ứng dụng rộng rãi trong thực hành giải toán. 1.2 Khi áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nói chung, học sinh còn lúng túng trong việc vận dụng kiến thức, phương pháp để giải quyết bài tập. Do vậy hình thành kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử phải là một mục tiêu cần đạt được đối với học sinh lớp 8, đặc biệt là các em học trung bình, yếu. 1.3 Khi giảng dạy giáo viên thường gặp khó khăn trong quá trình đònh hướng cho học sinh lựa chọn phương pháp nên mỗi giáo viên cần có những, kỹ năng và kinh nghiệm để hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp tốt nhất để phân tích đa thức thành nhân tử và giải quyết được các bài toán liên quan một cách đơn giản, gọn gàng và triệt để là một nhu cầu cần thiết cho mỗi giáo viên. 1.4 Vì thế chúng tôi chọn đề tài này nhằm cùng với đồng nghiệp xây dựng một phương pháp dạy học sao cho thầy truyền đạt dễ hiểu, tiết kiệm thời gian nhất, trò tiếp thu nhanh, vận dụng tốt nhất để cùng nhau nâng cao chất lượng dạy học. 2. 2. Nhiệm vụ đề tài: Nhiệm vụ đề tài: 2.1 Nêu một số biện pháp để giải quyết những khó khăn khi thực hiện chuyên đề này trong chương trình toán 8. 2.2 Kế thừa hệ thống ki n th c trong soạn giảng để giúp học sinh tiếp thu kiến thức ế ứ mang tính liên tục từ 6 đến 9. + Riêng lớp 6, lớp 7 thông qua bài toán viết một tổng thành tích, phân tích ra thừa số… là cơ sở ban đầu cho việc hình thành phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tạo điều kiện tốt cho lớp 8. + Đối với lớp 8 học sinh phải có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và một số ứng dụng của nó trong giải toán liên quan. + Đối với lớp 9 trên cơ sở các lớp 6, 7, 8 học sinh phải vận dụng và phát triển nâng cao để giải một số dạng toán liên quan như giải phương trình, rút gọn phân thức, rút gọn biểu thức . 2.3 Giúp học sinh có khả năng tự giải được nhiều bài tập. Gây hứng thú cho học sinh trong giờ học toán, tạo cảm giác một tiết học nhẹ nhàng cho cả thầy và trò… Thông qua đó thấy sự phong phú của toán học và ứng dụng của nó trong cuộc sống. 3. 3. Phương pháp tiến hành: Phương pháp tiến hành: Để dạy thành công chuyên đề này giáo viên và học sinh cần làm tốt những yêu cầu sau: 3.1 Tìm hiểu kỹ chương trình toán bậc THCS, SGK, sách tham khảo, các tài liệu liên quan. 3.2 Giáo viên phải làm tốt công tác chuẩn bò: - Kiến thức cơ bản của nội dung bài học và các phương tiện hổ trợ. - Làm tốt khâu hướng dẫn về nhà cho học sinh. 3.3 Chọn được các dạng bài tập đặc trưng cho phù hợp từng nội dung đảm bảo tác động tốt đến từng đối tượng học sinh. 3.4 Nghiên cứu kỹ nội dung tổ chức cho học sinh hoạt động theo nhóm, thảo luận để tìm hướng giải quyết đúng và thích hợp nhất. 3.5 Hình thành từng kỹ năng cho học sinh trên cơ sở từ thấp đến cao kế thừa các kiến thức nền ở lớp 6 và lớp 7. 3.6 Đưa chuyên đề trên thực hiện trong tiết thao giảng để đồng nghiệp dự giờ góp ý rút kinh nghiệm. 4. 4. Cơ sở và thời gian tiến hành: Cơ sở và thời gian tiến hành: 4.1 Cơ sở: Lựa chọn các bài tập liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử ở SGK, SBT lớp 6, lớp 7, lớp 8, lớp 9. 4.2 Đối tượng: Là học sinh lớp 8. 4.3 Thời gian tiến hành: Đã thực hiện từ 2004 – 2005; 2005 – 2006; 2006 - 2007 ; 2009 - 2010 II. II. NOÄI DUNG NOÄI DUNG 1. 1. Mô tả tình hình thực tế: Mô tả tình hình thực tế: - Trong quá trình giảng dạy các lớp từ 6 đến 9 và qua thực tế các bài kiểm tra và bài thi học kì; học sinh đặc biệt là học sinh trung bình, yếu còn lúng túng khi trình bày, hoặc trình bày không chặt chẽ, chưa lôgic hoặc phân tích không triệt để dẫn đến kết quả chưa cao. - Học sinh thường gặp khó khăn khi lựa chọn phương pháp để áp dụng vào bài toán thực tế và thường mắc sai lầm như sau:  Nhận dạng đặc trưng.  Vận dụng kiến thức thiếu cơ sở.  Kỹ năng sắp xếp. Yêu cầu và kết quả thực hiện Những sai lầm thường gặp ở học sinh Phương pháp hình thành kỹ năng cho học sinh Phân tích đa thức: x 2 – 4 + y 2 + 2xy thành nhân tử: Giải: x 2 – 4 + y 2 + 2xy = (x 2 + 2xy + y 2 ) – 4 = (x + y) 2 – 2 2 = (x + y – 2)(x + y + 2) - Học sinh thường nhóm ngẫu nhiên hai hạng tử đầu vì cho rằng có dạng hằng đẳng thức A 2 – B 2 , nhóm hai hạng tử cuối vì có nhân tử chung là y. - Học sinh thực hiện như sau: x 2 – 4 + y 2 + 2xy = (x 2 – 4) + (y 2 + 2xy) = (x – 2)(x + 2) + y(y + 2x)  Bế tắc (!) - Nhận dạng đặc trưng (dạng nào). - Mục đích của việc nhóm hạng tử nhằm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức cho cả lần phân tích sau: Gợi ý: - Nhóm 3 hạng tử x 2 ; y 2 ; 2xy để tạo hằng đẳng thức (A + B) 2 . - Nhóm 3 hạng tử đó với -4 để có dạng hằng đẳng thức A 2 – B 2 . Ví dụ 1: Sai lầm về nhận dạng đặc trưng và kỹ năng sắp xếp: Ví dụ 2: Sai lầm về vận dụng kiến thức. Yêu cầu và kết quả thực hiện Những sai lầm thường gặp ở học sinh Phương pháp hình thành kỹ năng cho học sinh Phân tích đa thức: x 2 – 5x + 6 thành nhân tử. Giải: x 2 – 5x + 6 = x 2 – 2x – 3x + 6 = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3) Học sinh thường mắc sai lầm khi tách (b 1 x + b 2 x = bx) và b 1 x.b 2 x = acx 2 Trong thực hành học sinh thường làm như sau: x 2 – 5x + 6 = x 2 – 2 – 3 + 6 = x 2 + 1 (!) Hoặc x 2 – 5x + 6 = x 2 – 2x – 3x + 6 = (x 2 – 2x) – (3x + 6) (!) x(x – 2) – 3(x + 2) -> bế tắc. - Đònh hướng cho học sinh hiểu được bx = (b 1 + b 2 )x = b 1 x + b 2 x - Khi nhóm hạng tử cần chú ý dấu của mỗi hạng tử. - Thiết lập quan hệ giữa các nhóm. [...]... Tính nhanh (SGK toán 6) [-9 8( 1–246)–246. 98] Giải: 1) [-9 8 (1 – 246) – 246. 98] = -9 8 (1 – 246 + 246) = -9 8 [1 + (-2 46 + 246)] = -9 8 1= -9 8 2 BT59/tr12/SBT toán 7 Chứng minh rằng: (106 – 57)59 Giải: 2) (106 – 57)59 Ta có: 106 – 57 = (5.2)6 – 57 = 56(26 – 5) = 56 (64 – 5) = 56 59 Vậy (106 – 57) chiahet 59 Kiến thức vận dụng (cơ sở) Phương pháp được hình thành Tính chất phân phối của - Viết một tổng thành... + 982 +…+ 22) – (992 + 972 + …+ 32 + 12) • Hướng dẫn giải: • Học sinh khó nhận dạng M có dạng hằng đẳng thức nào Từ đó giáo viên gợi ý: - Các hạng tử trong M có bậc là 2 vậy kết hợp những hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng thức bậc 2 dạng A2 – B2 Học sinh thực hiện như sau: M = (1002 - 992) + ( 982 – 972) + …+ (22 - 12) = (100 – 99)(100 + 99) + ( 98 – 97)( 98 + 97) +…+ (2 – 1)(2 + 1) = 100 + 99 + 98 +... – 2xy – 4z2 + y2 = (x2 – 2xy + y2) – 4z2 • = (x – y)2 – (2z)2 • = (x – y – 2z)(x – y + 2z) • Tại x = 6, y = -4 , z = 45 ta có: • (6 +4 – 2.45)(6 + 4 + 2.45) = (10 - 90) (10 + 90) • = 102 – 902 • = 100 – 900 = -8 00 Vậy tại x = 6, y = -4 và z = 45 thì biểu thức x2 – 2xy – 4z2 + y2 có giá trò là -8 00 2) Chứng minh rằng: A = x50 + x49 + …+ x2 + x1 + 1 chia hết cho B = x16 + x15 + x14 + …+ x2 + x1 + 1 •... 3 Nhóm các hạng tử 4.Phối hợp nhiều phương pháp Và có kỹ năng loại trừ các phương pháp từ 1 đến 4 BT 57/tr25/SGK toán 8/ tập 1 Yêu cầu và kết quả thực hiện Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 – 4x – 3 Giải: C1: Ta có: a = 1; b = -4 ; c = 3 Và a.c = 3, do đó ta tách b = -4 = (-1 )+ (-3 ) nên x2 – 4x + 3 = x2 – x – 3x + 3 = x(x – 1) – 3(x – 1) = (x – 1)(x – 3) C2: Ta có: c = 3 Ta tách: c = 4 – 1 x2 – 4x... tích một đa thức thành nhân tử • Ví dụ: Phân tích đa thức x2 – 6x + 8 thành nhân tử: • C1: Tách hạng tử thứ hai x2 – 6x + 8 = x2 – 4x – 2x + 8 • = x (x – 4) – 2 (x – 4) • = (x – 4)( x – 2) • • C21: Tách hạng tử thứ ba x2 – 6x + 8 = x2 – 6x – 4 +12 • = (x2 – 4) – 6(x – 2) • = (x – 2)(x + 2 – 6) • = (x – 2)(x – 4) • • C22: x2 – 6x + 8 = x2 – 6x – 16 + 24 = (x2 – 16) – 6(x – 4) • = (x – 4)(x + 4 – 6 )... y)(2x – 5y) Hình thành kỹ năng cho học sinh - Quan sát số hạng tử đã có trong đa thức - Đối tượng nhân tử chung (số, biến, đơn thức hay đa thức) - Sau khi đặt nhân tử chung, học sinh cần quan sát kết quả trong ngoặc có thể phân tích tiếp? Nếu không thể phân tích được nữa mới dừng lại •Ứng dụng: p dụng kiến thức đó để giải bài toán liên quan 1) BT 40/tr19/SGK toán 8 tập I Tính giá trò của biểu thức: x (x... cách phối hợp nhiều phương pháp BT1/tr23/SGK toán 8T1 Yêu cầu Kết quả Kiến thức vận dụng (cơ sở) a Phân tích đa thức: Phân tích đa thức 2x3y–2xy 3- 4xy2 – 2xy thành thành nhân nhân tử tử bằng cách Giải: phối hợp a) 2x3y– 2xy3 – 4xy2 – 2xy nhiều phương =2xy(x2 – y2 – 2y – 1) pháp =2xy[x2 – (y + 1)2] =2xy[(x–y–1)(x + y + 1)] Hình thành kỹ năng cho học sinh - Giáo viên hình thành cách lựa chọn phương pháp... ≡ ≡ Ta có: x2 là số chẵn suy ra 3 n ≡ 0 (mod 4) Mà 19 ≡ - 1 (mod 4) => 3 n ≡ (−1) n(mod 4) 1 (1) Mà 3 -1 (mod 4) => (mod 4) (2) 12 ≡ Từ (1) và (2) suy ra n chẵn vì1(mod 4) 2 2 • • • • • • • • Hay n = 2m (m ∈ N ) Do đó : 3n + 19 = x2  32m + 19 = x2 => x2 – 32m = 19  (x – 3m)(x + 3m) = 19  x − 3 m = 19   x + 3m = 1  hoặc  x = 10 hoặc x = -1 0 Vậy m = 2 suy ra n = 4  x − 3 m = −19    x + 3... học sinh khá giỏi tư duy tạo tiết học hấp dẫn tình huống phong phú hơn như: • Phân tích đa thức x4 - 4 thành nhân tử • Bằng phép tương tự học sinh có thể phân tích được: • x4 – 4 = (x2 – 2) (x2 + 2) = (x – ) (x + ) (x2 + 2) 2 2 • Ứng dụng: 1 Bài tập 46/trang21/SGK Toán 8 tập I • • • • • • Tính nhanh: 732 - 272 Học sinh xác đònh được A = 73; B = 27 và áp dụng được hằng đẳng thức A 2 – B2 như sau: 732... tập 25b/trang17/SGK toán 8 tập II Yêu cầu và kết quả thực hiện Giải phương trình: (3x – 1)(x2 + 2) = (3x – 1)(7x – 10) Những sai lầm thường gặp ở học sinh Học sinh thường mắc sai lầm: chia cả hai vế của phương trình cho đa thức 3x – 1 dẫn đến phương trình mất nghiệm và thực hành như sau: Giải: (3x – 1)(x2 + 2)= (3x – 1)(7x – 10) (3x – 1)(x2 + 2) = (3x – 1)(7x – 10)  x2 + 2 = 7x -1 0 (3x – 1)(x2 + 2)–(3x–1)(7x–10)= . hình thành 1. Tính nhanh (SGK toán 6). [-9 8( 1–246)–246. 98] Giải: 1) [-9 8 (1 – 246) – 246. 98] = -9 8 (1 – 246 + 246) = -9 8 [1 + (-2 46 + 246)] = -9 8. 1= -9 8 2. BT59/tr12/SBT toán 7. Chứng minh. của phép nhân đối với phép cộng. a.b + a.c = a(b + c) - Viết một tổng thành tích. - Đặt thừa số chung. - - Viết tổng thành tích. - Phân tích ra thừa số… • Trên đây là hai ví dụ cho ta thấy. ở SGK, SBT lớp 6, lớp 7, lớp 8, lớp 9. 4.2 Đối tượng: Là học sinh lớp 8. 4.3 Thời gian tiến hành: Đã thực hiện từ 2004 – 2005; 2005 – 2006; 2006 - 2007 ; 2009 - 2010 II. II. NOÄI DUNG NOÄI