KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 PHẦN A - ĐẶT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận - Luật giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: ‘‘Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho nguời học lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên’’ - Mục đích việc đổi phương pháp dạy học trường phổ thông thay đổi lối dạy học truyền thụ chiều sang dạy học theo ‘‘Phương pháp dạy học tích cực’’ nhằm giúp học sinh :  Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen khả tự học, tinh thần hợp tác, kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn;  Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú học tập; làm cho ‘‘việc học’’ trình kiến tạo, tìm tịi, khám phá, luyện tập, khai thác xử lí thơng tin Học sinh tự hình thành hiểu biết, lực phẩm chất  Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm chân lí Chú trọng hình thành lực (tự học, sáng tạo, hợp tác, ) dạy phương pháp kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học - Làm để đạt mục đích ? Để trả lời câu hỏi này, trước tiên giáo viên trước vấn đề người giáo viên cần phải khơng ngừng tìm tịi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp phương pháp dạy học học cho phù hợp với kiểu bài, đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh hướng tư chủ động, sáng tạo Vấn đề nêu khó khăn với khơng giáo viên ngược lại, giải điều góp phần xây dựng thân giáo viên phong cách phương pháp dạy học đại giúp cho học sinh có hướng tư việc lĩnh hội kiến thức môn học II Cơ sở thực tế - Trong môn học trường THCS mơn Tốn mơn quan trọng nói khó Ở trường THCS, học sinh học ba phân môn tốn học, Số học, Đại số Hình học Trong ba phân mơn học sinh thường gặp khó khăn việc giải tốn Hình học KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 - Trong tìm phương pháp giải tốn hình học, ta gặp số tốn mà khơng vẽ thêm đường phụ bế tắc Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo liên hệ yếu tố cho việc giải tốn trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng Thậm chí có phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ để có lợi cho việc giải tốn điều khó khăn phức tạp - Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, khơng có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ, mà sáng tạo trong giải toán, việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải tốn cách ngắn gọn khơng phải công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình bản, nhiều người giáo viên tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ khơng thể giải thích rõ cho học sinh hiểu lại phải vẽ vậy, học sinh hỏi giáo viên: Tại cô (thầy) lại nghĩ cách vẽ đường phụ vậy, ngồi cách vẽ cịn có cách khác không? hay: vẽ thêm giải tốn? Gặp phải tình vậy, thật người giáo viên phải vất vả để giải thích mà có hiệu không cao, học sinh không nghĩ cách làm gặp tốn tương em chưa biết cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy thấy rằng: để giải vấn đề cách triệt để, mặt khác lại nâng cao lực giải toán bồi dưỡng khả tư tổng quát cho học sinh, tốt ta nên trang bị cho em sở việc vẽ thêm đường phụ số phương pháp thường dùng vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết tốn hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ em tiếp xúc với tốn, em chủ động cách giải, chủ động tư tìm hướng giải cho tốn, hiệu cao - Đã có nhiều tài liệu, chuyên đề, sáng kiến viết việc kẻ thêm đường phụ hình học 7, tác giả nêu số cách nêu chưa đầy đủ không rõ kẻ thêm đường phụ Vì vậy, tơi viết sáng kiến “Vẽ đường phụ để giải số tốn Hình học 7” nhằm giải vấn đề đặt KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 PHẦN B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I THỰC TRẠNG - Trong trình dạy học sinh giải tốn Hình học lớp 7, thấy học sinh thường gặp số khó khăn sau :  Khó khăn việc giải tập đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ  Chưa biết suy luận để thấy cần thiết phải vẽ thêm đường phụ  Vẽ đường phụ cịn tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn cho việc giải tốn  Sau vẽ đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìm lời giải tốn mà khơng tìm hiểu xem người ta lại kẻ thêm đường phụ - Ta biết hai tam giác suy cặp cạnh tương ứng nhau, cặp góc tương ứng Đó lợi ích việc chứng minh hai tam giác Vì muốn chứng minh hai đoạn thẳng (hay hai góc nhau) ta thường làm theo cách gồm bước sau:  Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?  Bước 2: Chứng minh hai tam giác  Bước 3: Từ hai tam giác nhau, suy cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng Tuy nhiên thực tế giải tốn khơng phải lúc hai tam giác cần có cho đề mà nhiều phải tạo thêm yếu tố phụ xuất tam giác cần thiết có lợi cho việc giải tốn Vì u cầu đặt làm học sinh nhận biết cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải tốn hình học nói chung tốn hình học nói riêng Qua thực tế giảng dạy tơi tích luỹ số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản thiết thực, hướng dẫn học sinh thực giải toán hiệu II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ Vẽ giao điểm hai đường thẳng a) Mục đích Vẽ thêm giao điểm hai đường thẳng nhằm làm xuất tam giác có mối liên hệ góc cạnh với tam giác có hình vẽ b) Sử dụng nào? Ta thường dùng cách vẽ hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, … ) thường chưa có mối liên hệ độ dài, góc KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011  Ví dụ Cho ∆ABC có A > 900 , AB < AC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ tia Bx vng góc với BC; tia lấy điểm D cho BD = BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ tia By vng góc với BA; tia lấy điểm E cho BE = BA Chứng minh DA ⊥ EC Phân tích : - Để chứng minh DA ⊥ EC, ta sử dụng tính chất từ song song song song đến vng góc, khó tìm đường thẳng thứ ba hình vẽ có quan hệ vng góc song song với DA EC (H 1a) x D - Ta nghĩ đến việc chứng B minh góc tạo hai đường thẳng 900 Như cần phải vẽ thêm giao điểm hai đường thẳng Kéo dài DA cắt BC EC theo thứ tự H K  (H 1b) Ta phải chứng minh HKC = 900 x D A A B C E a) E y Hình H b) C K y   - Ta dễ dàng chứng minh ∆ABD = ∆EBC (c.g.c), suy D1 = C1 nên để chứng     minh HKC = 900 ta chứng minh HKC = HBD (vì HBD = 900 )   - Để chứng minh HKC = HBD ta so sánh cặp góc hai tam giác ∆HBD ∆HKC Rõ ràng hai tam giác có hai cặp góc nên ta dễ dàng tìm lời giải tốn Giải : (H 1b) Gọi H, K theo thứ tự giao điểm DA với BC, EC Xét ∆ABD ∆EBC có : AB = BE (gt)    B1 = B3 (cùng 900 − B2 ) AD = BC (gt) Suy ∆ABD = ∆EBC (c.g.c)   Do D1 = C1       Xét ∆HBD ∆HKC có D1 = C1 (cmt), H1 = H (đối đỉnh) nên HBD = HKC   Suy HKC = 900 (vì HBD = 900 ) hay HK ⊥ EC Vậy DA ⊥ EC (đpcm) Nhận xét : KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Rõ ràng ta không vẽ thêm giao điểm khó tìm lời giải toán Việc vẽ thêm giao điểm đường thẳng làm xuất mối liên hệ góc hai tam giác việc chứng minh toán trở nên đơn giản nhiều Ví dụ Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia Ax By vng góc với AB Gọi C điểm thuộc tia Ax Đường vng góc với OC O cắt tia By D Chứng minh CD = AC + BD Phân tích : - Để chứng minh CD = AC + BD (H 2a) ta cần tìm đoạn thẳng trung gian để so sánh Từ ta thấy có hai hướng giải : Một là, CD lấy điểm I cho CI = CA (H 2b) Như ta cần phải chứng minh DI = DB Nhưng để chứng minh điều lại không đơn giản y D x C A x y D I B a) A C C O x y D O B b) Hình A O c) B E Hai là, kéo dài CO cắt DB E (H 2c) Dễ dàng chứng minh AC = BE CD = DE Từ ta suy điều phải chứng minh Giải : (H 2c) Gọi E giao điểm CO DB Xét ∆OAC ∆OBE có :   OAC = OBD = 900 OA = OB (gt)   O1 = O (đối đỉnh) Nên ∆OAC = ∆OBE (g.c.g), suy AC = BE OC = OE Xét ∆OCD ∆OED có : OC = OE (cmt)   DOC = DOE = 900 OD cạnh chung Nên ∆OCD = ∆OED (c.g.c), suy CD = DE Mà DE = BD + BE = BD + AC KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Vậy CD = AC + BD Nhận xét : Nhờ vẽ thêm giao điểm ta làm xuất tam giác nhau, từ suy đoạn thẳng Hơn nữa, xuất đoạn thẳng trung gian DE làm cho việc chứng minh trở nên đơn giản nhiều Kẻ thêm đoạn thẳng a) Mục đích Kẻ thêm đoạn thẳng nhằm làm xuất hai tam giác nhau, tam giác cân, tam giác b) Một số cách kẻ thêm đoạn thẳng  Kẻ thêm đoạn thẳng cách nối hai điểm có hình vẽ Ví dụ Cho hình vẽ 1, AB // CD, AD // BC Chứng minh : AB = CD, AD = BC A A B B Phân tích : - Để chứng minh AB = CD, AC = BD ta cần tìm hai tam giác chứa cạnh Nhưng D D C C a) b) hình vẽ lại khơng có hai tam giác Hình (H 3a) Như vậy, ta cần tạo hai tam giác chứa cặp cạnh - Đường phụ cần vẽ đoạn thẳng nối A với C nối B với D (H 3b) Giải : (H 3b) Nối A với C Xét ∆ADC ∆CBA có :   A1 = C1 (so le trong, AB // CD), AC chung,   A = C2 (so le trong, AD // BC) nên ∆ADC = ∆CBA (g – c - g) Suy AB = CD, AD = BC Nhận xét : - Rõ ràng hình vẽ khơng có yếu tố để sử dụng Việc nối A với C (hoặc B với D) làm xuất hai tam giác (∆ADC ∆CBA) với cặp góc KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011     ( A1 = C1 , A = C2 ) cạnh chung AC Từ ta có hai tam giác suy cạnh tương ứng - Đây tốn khơng khó học sinh suy luận khơng tốt khó tìm đường phụ để giải tốn  Kẻ thêm đoạn thẳng đoạn thẳng khác Chúng ta thường dùng cách sau : - Lấy trung điểm đoạn thẳng ; - Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng có hình vẽ Ví dụ Cho ∆ABC Gọi D, E theo thứ tự trung điểm AB, AC CMR : a) DE // BC ; b) DE = BC Phân tích : - Để chứng minh DE // BC ta cần chứng minh cặp góc đồng vị cặp góc   so le Ta nghĩ đến việc chứng minh D1 = B cặp góc vị trí đồng vị (H 4a) A D A E B C a) - Từ DE = D B A E I b) Hình D C F E B C c) BC ⇔ BC = 2DE Ta tạo đoạn thẳng nửa BC 2DE - Để tạo đoạn thẳng nửa BC, ta lấy trung điểm I BC (H 4b) Nhưng tam giác hình vẽ có mối liên hệ cạnh góc   - Kết hợp với việc chứng minh D1 = B DE = BC , ta nghĩ tới việc chứng minh hai tam giác Nhưng khơng thể tìm hai tam giác hình Do ta nghĩ đến việc vẽ thêm đường phụ cách tạo đoạn thẳng DE - Để tạo đoạn thẳng DE, ta lấy điểm F tia đối tia ED cho DE = EF (H 4c) Kết hợp giả thiết EA = EC, ta thấy hai tam giác EAF ECD (c.g.c) Từ ta tìm lời giải toán KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Giải : (H 4c) Trên tia đối tia tia ED lấy điểm F cho ED = EF Xét ∆EAF ∆ECD có : EA = EC (gt)   AEF = CED (đối đỉnh), ED = EF (cách dựng)   nên ∆EAF = ∆ECD (c.g.c) ⇒ AF = CD, A1 = C1   Hai góc A1 C1 vị trí so le nên AF // CD Xét ∆ADF ∆DBC có : AD = DB (gt)   DAF = BDC (đồng vị, AF // CD) AF = CD (chứng minh trên)   nên ∆ADF = ∆DBC (c.g.c) DF = BC, D1 = B   a) Hai góc D1 B vị trí đồng vị nên DE // BC b) Ta có DF = 2DE (cách dựng), BC = DF (chứng minh trên) nên DE = BC Nhận xét : - Ta lấy điểm F tia đối tia DE cho DE = DF Khi việc chứng minh hoàn toàn tương tư - Ta vẽ thêm đoạn thẳng EF DE tia đối tia ED (hoặc DE) Câu hỏi đặt lại phải vẽ mà không vẽ theo kiểu khác Vì vẽ sử dụng giả thiết DA = DB EA = EC Rõ ràng việc làm có lợi vẽ theo kiểu khác Ví dụ Giải lại Ví dụ cách hai đoạn thẳng Giải : (H 5) Trên tia đối tia BD lấy điểm E cho BE = AC Xét ∆OAC ∆OBE có : OA = OB (gt)   OAC = OBD = 900 AC = BE (cách dựng)   Nên ∆OAC = ∆OBE (c.g.c), suy OC = OE O1 = O       Ta có COE = O + BOC = O` + BOC = AOB = 1800    ⇒ DOE = COE − COD = 1800 − 900 = 900 y D x C A B Hình E O KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Xét ∆OCD ∆OED có :   OC = OE (chứng minh trên), DOE = DOC = 900 , OD cạnh chung Nên ∆OCD = ∆OED (c.g.c), suy CD = DE Mà DE = BD + BE BE = AC Vậy CD = AC + BD Kẻ thêm đường phân giác a) Mục đích Kẻ thêm đường phân giác nhằm làm xuất hai góc nhau, hai tam giác nhau, tam giác cân, tam giác đều, … b) Sử dụng nào? Ta thường dùng cách vẽ muốn gắn hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, … ) vào hai tam giác có mối liên hệ góc, cạnh   Ví dụ Cho ∆ABC có B = C Chứng minh AB = AC Phân tích : - Để chứng minh AB = AC, ta phải chứng minh hai tam giác chứa hai cặp cạnh Nhưng hình vẽ khơng có hai tam giác (H 6a) Như vậy, ta nghĩ đến việc tạo hai tam giác có chứa hai cạnh AB AC A A 12 B - Đường phụ cần vẽ tia phân giác góc A (H 6b) a) C B Hình b) M C Giải : (H 6) Kẻ phân giác góc A, cắt BC M       ∆AMB ∆AMC có B = C (gt), A1 = A (cách dựng) nên AMB = AMC Xét ∆AMB ∆AMC có :   A1 = A (cách dựng) AM chung   AMB = AMC (chứng minh trên) nên ∆AMB = ∆AMC (g.c.g) ⇒ AB = AC Nhận xét :   - Vẽ tia phân giác AM ta tạo cặp góc ( A1 = A ) cạnh chung (AM) hai tam giác (∆AMB ∆AMC) Kết hợp với giả thiết ta dễ dàng tìm lời giải tốn - Có hai cách vẽ khác : dựng AM ⊥ BC dựng M trung điểm BC 10 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011  Ví dụ Cho ∆ABC có A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Chứng minh BC = BE + CD Phân tích : - Gọi I giao điểm BD CE (H 7a), ta dễ dàng tính :    BIC = 1200 , BIE = CID = 60 - Để chứng minh BC = BE + CD ta thấy có hai hướng giải sau : + Trên cạnh BC lấy điểm M cho BE = BM (H 7b) Từ cần chứng minh CD = CM    + Vì BIC = 1200 , BIE = CID = 60 nên gọi M giao điểm tia phân giác        BIC với cạnh BC BIM = CIM = 600 , suy BIE = BIM, CIM = CID Từ ta dễ dàng tìm lời giải Ở đây, tơi trình bày cách thứ hai A E A D A D E I I a) C B I B D E 1 2 M b) C B 2 M c) C Hình Giải : (H 7c)   Gọi I giao điểm BD CE Ta có B + C = 1800 − 600 = 1200   Suy B2 + C2 = 1200 : = 600    I I ⇒ BIC = 1800 − (B2 + C2 ) = 600 1 =  = 600 (tính chất góc ngồi tam giác) I I Kẻ tia phân giác góc BIC, cắt BC D Suy  =  = 600 Xét ∆BIE ∆BID có :   B1 = B2 (gt), BI cạnh chung, 1 =  = 600 I I Do ∆BIE = ∆BIM (g.c.g), suy BE = BM Chứng minh tương tự, ∆CID = ∆CIM (g.c.g) Suy CD = CM Từ (1) (2) suy BC = BM + CM = BE + CD (1) (2) Nhận xét :    Vì BIC = 1200 , BIE = CID = 60 nên việc kẻ tia phân giác góc BIC ta thấy xuất cặp góc Từ xuất tam giác 11 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Kẻ thêm đường thẳng song song a) Mục đích Kẻ thêm đường song song nhằm làm xuất hai góc so le nhau, hai góc đồng vị nhau, hai góc phía bù đặc biệt hai tam giác b) Sử dụng nào? Ta thường dùng cách có đường thẳng song song hình vẽ    Ví dụ Cho hình 8a, ACB = A + B Chứng minh Ax // By Phân tích : - Để chứng minh Ax // By, ta phải tìm cặp góc so le trong, cặp góc đồng vị hai góc phía bù Nhưng hình vẽ ta thấy khơng có cặp góc (H 8a) Ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ    - Từ giả thiết ACB = A + B , ta kẻ Cz // Ax (H 8b) Từ tìm lời giải toán x A z C B a) y x A B b) x A C C y B c) z y x A z C B d) D y Hình Giải : Kẻ tia Cz // Ax (H 8b)        Ta có A = C1 (so le trong, Ax // Cz) ⇒ ACB = A + B = C1 + B    Mặt khác ACB = C1 + C2   Từ (2) (3) suy B = C2   Hai góc B C vị trí so le nên By // Cz (1) (2) (3) (4) Từ (1) (4) suy Ax // By (đpcm) Nhận xét : - Việc kẻ tia Cz // Ax, ta làm xuất cặp góc so le - Ta kẻ tia Cz hướng với tia Ax (và By) (H 8c), lời giải phức tạp - Ta kéo dài AC cắt tia By D (H 8d) áp dụng định lí tổng ba góc góc ngồi tam giác Ví dụ Cho ∆ABC Gọi D trung điểm AB Kẻ DE // BC (E ∈ AC) Chứng minh EA = EC 12 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Phân tích : - Để chứng minh EA = EC, ta phải tìm hai tam giác có chứa hai cạnh Nhìn hình vẽ ta thấy khơng thể tìm hai tam giác (H 9a) Ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ Nhưng kẻ thêm đường cho hợp lí ? A A E D D A 1 B a) C B Hình D1 F E F b) 2 E C B c) C - Căn vào giả thiết, DE // BC, DA = DB, ta kẻ thêm DF // AC (F ∈ BC) (H 9b) Dễ chứng minh ∆ADE = ∆DBF (g.c.g) ⇒ AE = DF - Ta cần chứng minh DE = CE Theo giả thiết theo cách dựng ta có DE // FC, DF // EC Do DF = FC (xem Ví dụ 1) Từ ta có điều phải chứng minh Giải : (H 9b) Kẻ DF // AC (F ∈ BC) Nối E với F Xét ∆ADE ∆DBF có :   A = D1 (đồng vị, DF // AC) AD = BD (gt)   D1 = B (đồng vị, DE // BC) nên ∆ADE = ∆DBF (g.c.g) ⇒ EA = DF (1) Xét ∆DEF ∆CFE có :   E1 = F2 (so le trong, DE // BC) EF chung,   F1 = E (so le trong, DE // BC) nên ∆DEF = ∆CFE (c.g.c) ⇒ DF = EC (2) Từ (1) (2) suy EA = EC (đpcm) Nhận xét : - Vì DE // BC nên ta nghĩ đến việc tạo cặp góc so le cặp góc đồng vị Từ xuất việc kẻ DF // AC - Có thể kẻ EF // AB kẻ đường thẳng qua B song song với AC, cắt DE F Hoặc tia đối tia DE lấy điểm F cho DE = DF Từ ta tìm lời giải toán 13 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Kẻ thêm đường vng góc a) Mục đích Kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vng tạo hai tam giác vuông b) Sử dụng nào? Ta thường vẽ đường vng góc hình vẽ có góc với số đo cụ thể (chẳng hạn góc 30 , 600, 450, …), có đường phân giác, … Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo nửa tam giác Ta thường dùng cách tốn cho góc có số đo 300, 600, 1200, 1500 - Nếu cho góc 300 (hoặc 600), ta kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vng có góc 300 600 - Nếu cho góc 1200 (hoặc góc 1500), ta thường tính góc kề bù với góc kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vng có chứa góc kề bù  Ví dụ 10 Cho ∆ABC có A = 1200 , AB = 10 cm, AC = 15 cm Tính BC Phân tích: - Dễ thấy:  BAx = 1800 − 1200 = 600 (H 10a) nên ta nghĩ đến việc kẻ đường vng góc với AC nhằm tạo “nửa tam giác đều” B B 10 10 1200 x A 1200 15 a) C H Hình 10 A 15 b) C - Kẻ BH ⊥ Ax (H 10b),  ∆ABH vng H có BAH = 600 nên AH = AB:2 = (cm) Từ ta dễ dàng tìm lời giải Giải : (H 10b)  Kẻ BH ⊥ AC Vì BAC > 900 nên A nằm H C   Ta có BAH = 1800 − 1200 = 600 Tam giác vng AHC (vng H) có BAH = 600 AB 10 nên AH = = = (cm) 2 Vì A nằm H C nên HC = AH + AC = + 15 = 20 (cm) Các tam giác BHA BHC vuông H nên áp dụng định lí Pitago, ta có : BH2 = AB2 – AH2 = 102 – 52 = 75 BC2 = BH2 + HC2 = 75 + 202 = 475 ⇒ BC = 475 (cm) b) Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo tam giác vng cân Ta thường dùng cách toán cho góc có số đo 450, 1350 14 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011  Ví dụ 11 Cho ∆ABC có AB = 16 cm, BC = 20 cm, B = 450 Tính AC Phân tích:  - Theo giả thiết AB = 16 cm, B = 450 nên ta nghĩ đến việc tạo tam giác vng cân có AB cạnh huyền - Kẻ AH ⊥ BC, ta thấy ∆AHB vuông cân H Từ ta dễ dàng tìm lời giải A B Giải : (H 11)  Kẻ AH ⊥ BC ∆AHB vng H có B = 450 nên tam giác vuông cân H ⇒ HA = HB 450 C H Hình 11 Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng AHB AHC, ta có : HA2 + HB2 = AB2 hay 2HA2 = 2HB2 = ( 16 ) = 2.162 ⇒ HA = HB = 16 (cm) Vì BH < BC (16 < 20) nên H nằm B C Suy HC = BC – HB = 20 – 16 = (cm) Áp dụng định lí Pitago cho ∠AHC, ta có : AC2 = HA2 + HC2 = 162 + 42 = 272 ⇒ AC = Vậy AC ≈ 16,49 (cm) 272 ≈ 16,49 (cm) c) Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo tam giác vng Ví dụ 12 Cho hình 12a Biết AB = cm, AD = cm, CD = 11 cm Tính BC Phân tích: - Rõ ràng theo hình 12a khơng thể tính BC ta không vẽ đường phụ Nhưng vẽ xuất phất từ đâu? - Căn vào giả thiết,  = D = 900 , từ ta kẻ đường vng góc từ  A B (hoặc C) hợp lí C C B B H 11 11 A a) D A Hình 12 D b) Giải : (H 12b) Kẻ BH ⊥ CD (H ∈ CD) Ta có : AB // DH (cùng ⊥ AD) Xét ∆ABD ∆HAD có :     A = BHD = 900 , BD chung, ABD = BDH (so le trong, AB // DH) nên ∆ABD = ∆HAD (cạnh huyền – góc nhọn) 15 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 ⇒ AB = DH = cm, AD = BH = cm Vì H nằm C D nên CH = CD – DH = 11 – = cm Áp dụng định lí Pitago cho ∆BHC (vng H), ta có : BC2 = BH2 + CH2 = 82 + 62 = 102 ⇒ BC = 10 cm d) Kẻ thêm đường vng góc nhằm tạo hai tam giác vng Ví dụ 13 Cho tam giác ABC Dựng điểm D nằm khác phía với điểm C AB cho AD ⊥ AB, AD = AB; dựng điểm E nằm khác phía với điểm B AC cho AE ⊥ AC, AE = AC Kẻ đường thẳng d qua A, vuông góc với DE H cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC Phân tích: (H 13a) - Ta nhận thấy hình vẽ có cặp góc :   HDA = BAI (cùng phụ  với DAH)   HEA = CAI (cùng phụ  với EAH) Hơn nữa, lại có AD = AB (gt), AE = AC (gt) E E H H D D A A F B a) I C B Hình 13 b) C I G - Điều ta nghĩ đến tạo tam giác vuông với tam giác vuông AHD AHE? Kết hợp với kết trên, ta thấy từ B C kẻ đường vuông góc đến đường thẳng AI hợp lí Giải : (Hình 13b) Gọi F G chân đường vng góc kẻ từ B C tới d Ta có :   +) ∆AHD vng H nên D + HAD = 900 (1)    +) FAB + HAD = 1800 − BAD = 1800 − 900 = 900 (2)   Từ (1) (2) ⇒ D = FAB Xét ∆HAD ∆GBA có :   AHD = AFB = 900 AD = AB (giả thiết)   D = GAB (chứng minh trên) nên ∆HAD = ∆GBA (cạnh huyền – góc nhọn) 16 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 ⇒ AH = BF (3) Chứng minh tương tự, ta có ∆HAE = ∆GBA (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ AH = CG (4) Từ (3) (4) suy : BF = CG Xét ∆IFB ∆IGC có :   IFB = IGC = 900 BF = CG (chứng minh trên)         IBF = ICG (vì IBF = 900 − BIF , ICG = 900 − CIG , mà CIG = BIF (đối đỉnh)) nên ∆IFB = ∆IGC (g.c.g) ⇒ IB = IC Vậy I trung điểm BC Phương pháp tam giác a) Mục đích Đây phương pháp đặc biệt, tạo thêm vào hình vẽ cạnh nhau, góc giúp cho việc giải toán thuận lợi Để tạo thêm vào hình vẽ cạnh nhau, góc ta vẽ tam giác cân, đặc biệt tam giác b) Sử dụng nào? Chúng ta thường sử dụng phương pháp tam giác hình vẽ có tam giác cân với góc có số đo cho trước Đối với tập tính số đo góc, trước tiên ta cần ý đến tam giác chứa góc có số đo xác định : - Tam giác cân có góc xác định - Tam giác - Tam giác vuông cân - Tam giác vuông có góc nhọn biết hay cạnh góc vng nửa cạnh huyền Sau ta nghĩ đến việc tính số đo góc cần tìm thơng qua mối liên hệ với góc hình chứa góc có số đo hồn tồn xác định nêu (Thường với mối liên hệ tam giác rút góc tương ứng chúng nhau)  Ví dụ 14 Cho ∆ABC cân A, A = 200 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD =  BC Tính ACD 17 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Phân tích: (H 14a) A A 200 A D D D K E B a) C B b) Hình 14 C B c) C    Dễ tính : B = C = 800 = 600 + 200 = 600 + A Ta nghĩ đến việc dựng tam giác Chẳng hạn dựng tam giác BCE Khi  ACE = 800 − 600 = 200 Dễ chứng minh   +) ∆ADC = ∆CEA (c.g.c) ⇒ ACD = EAC   +) ∆AEB = ∆AEC (c.c.c) ⇒ EAB = EAC     BAC = 100 Từ : ACD = EAC = EAB = Giải : 0   = ACB = 180 − A = 180 − 20 = 800  Cách (h 14a) ∆ABC cân A nên ABC 2 Dựng điểm E thuộc miền ∆ABC cho ∆BEC Hiển nhiên BC = BE = EC       BCE = CDE = BEC = 600 Suy ACE = ACB − BCE = 800 − 600 = 200 Xét ∆ADC ∆CEA có :   AD = EC (= BC), ACE = CAD (= 200), AC chung   nên ∆ADC ∆CEA (c.g.c) ⇒ ACD = EAC (1) Xét ∆AEB ∆AEC có : AB = AC (vì ∆ABC cân A), BE = CE (vì ∆BEC đều), AE chung   = EAC ⇒ EAB = EAC = BAC = 100    nên ∆AEB = ∆AEC (c.c.c) ⇒ EAB (2) 18 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011  Từ (1) (2) suy ACD = 100 Cách Dựng điểm K nằm khác phía với B AC cho ∆AKC Khi AK = KC =     AC A1 = C1 = AKC = 600 ; DAK = 200 + 600 = 800 Xét ∆AKD ∆BAC có :   AK = AB ( = AC), KAD = ABC (= 800), AD = BC (gt)   nên ∆AKD = ∆BAC (c.g.c) ⇒ KD = AC K1 = BAC = 200    Do : K = AKC − K1 = 600 − 200 = 400 Ta lại có KC = KD (= AC) ⇒∆KCD cân K 0   = KDC = 180 − K = 180 − 40 = 700  ⇒ KCD 2    Vậy ACD = KCD − KCA = 700 − 600 = 100 Nhận xét : - So với cách 1, cách dài phức tạp - Có thể dựng AED (E C nằm khác phía AB) (Hình 15a); dựng ABE (E C nằm phía AB) (Hình 15b) A A E D D E B a) C B b) C Hình 15 Ví dụ 15 Cho ∆ABC vng cân A Điểm E nằm tam giác cho    EAC = ECA = 150 Tính AEB? Phân tích: (H 16a)  - Ta có : BAE = 900 − 150 = 750 = 600 + 150 19 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 - Từ ta nghĩ đến việc tạo tam giác cạnh AE (H 16b) cạnh AB (H 16c) B B B D D E A a) E E C A b) Hình 16 C A c) C Giải :    Ta có : BAE = BAC − EAC = 900 − 150 = 750   ∆ABC vuông cân A nên ABC = ACB = 450 Cách (H 16b)  Vì điểm E nằm góc ABC nên ABE < 450     Suy AEB = 1800 − BAE − ABE = 1050 − ABE > 600 Dựng điểm D nằm ∆ABE cho ∆ADE Khi AD = AE = DE  = AED = DAE = 600 ADE    Do BAD = 900 − 150 − 600 = 150 Xét ∆DAB ∆EAC có :   AD = AE (vì ∆ADE đều), BAD = CAE ( = 150 ) , AB = AC (gt)   nên ∆DAB = ∆EAC (c.g.c) ⇒ BD = CE ABD = ACE = 150   ∆ABD cân D (vì ABD = BAD = 150 ) nên :   BDA = 1800 − 2ABD = 1800 − 2.150 = 1500    Suy : BDE = 3600 − (BDA + BDE) = 360 − (150 + 60 ) = 150 Ta có ∆DBA = ∆DAE (c.g.c) :   DA = DE (vì ∆ADE đều), BDA = BDE = 1500 , BD chung   nên BAD = BED = 150 20 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011    Vậy AEB = AED + BED = 600 + 150 = 750 Cách (H 16c) Dựng điểm D cho ∆ABE (D C nằm phía đường thẳng AB Suy  = 600 AB = AD = BD ABD    Ta có EAD = 900 − (ABD + EAC) = 900 − (600 + 150 ) = 150   Xét ∆AEC ∆AED có : AE chung, EAC = EAD = 150 , AC = AD (cùng AB)   Nên ∆AEC = ∆AED (c.g.c) ⇒ EC = ED AED = AEC = 1500 Mà EC = EA (do ∆AEC cân E) ⇒ EA = ED Xét ∆BEA ∆BED có BA = BD, EA = ED (chứng minh trên), BE chung   = DEB = AED = 150 = 750  Nên ∆BEA = ∆BED (c.c.c) ⇒ AEB 2 Nhận xét : - Cách dài khó hiểu cách - Việc tạo tam giác nhằm tạo góc cạnh BÀI TẬP Kẻ thêm đường vuông góc Tính độ dài x hình vẽ sau : B B B x A 15 300 1200 A C C x a) Tính độ dài x hình 18 : A 600 C x Hình 17 b) A 63 c) B A x 10 6 B 45 x 135 C B a) 18 x C A x C b) Hình 18 Hình 19 21 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Tính độ dài x hình 17  Cho ∆ABC có AB = 16 cm, AC = 14 cm, B = 600 Tính BC Cho ∆ABC vuông A (AB < AC) Lấy điểm M thuộc cạnh AC, H thuộc cạnh BC cho MH vng góc với BC MH = HB Chứng minh AH tia phân giác góc A  Cho  ABC có C = 300 , đường cao AH nửa cạnh BC Gọi D trung điểm  AB Tính BCD    Cho  ABC có C = 300 BC = 2AB Tính A B Tam giác ABC có đường cao AH trung tuyến AM chia góc A thành ba góc Chứng minh ∆ABC tam giác vng Cho góc vng xOy, tia phân giác Oz từ A thuộc tia Oz kẻ AB ⊥ Ox, AC ⊥ Oy (B ∈ Ox, C ∈ Oy) Lấy điểm M AB, nối MO từ M vẽ đường thẳng tạo với MO  góc góc BMO cắt AC N Tính MON 10 Cho ∆ABC vuông A (AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tian AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vuông góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh :  a) BA = BH ; b) DBK = 450 Kẻ thêm đoạn thẳng 11 Cho ∆ABC vuông A, đường trung tuyến AM Chứng minh BC = 2AM   12 Trong miền góc nhọn xOy, vẽ tia Oz cho yOz = 2xOz Qua điểm A thuộc tia Oy, vẽ AH vng góc với Ox, cắt Oz B Trên tia Bz lấy điểm D cho OA Chứng minh ∆AOD tam giác cân 13 Cho ∆ABC Vẽ đoạn thẳng AD vng góc AB (D C nằm khác phía AB) Vẽ đoạn thẳng AE vng góc AC (E B nằm khác phía AC) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM ⊥ DE Kẻ thêm đường song song 14 Trên cạnh BC ∆ABC lấy điểm E F cho BE = CF Qua E F, vẽ đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự G H Chứng minh EG + FH = AB 15 Cho ∆ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC Từ M kẻ đường vng góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh : AB + AC a) AE = AF ; b) BE = CF ; c) AE = 22 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 Kẻ thêm đường phân giác  16 Cho ∆ABC có A = 600 , tia phân giác BE CD Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh : a) BD + CE = BC ; b) ID = IE   17 Cho ∆ABC có B = 600 , C = 300 Lấy điểm D cạnh AC, điểm D tren cạnh AB   cho ABD = 200 , ACE = 10 Gọi K giao điểm BD CE Tính góc ∆KDE Dựng tam giác   18 Cho tam giác ABC có C = 750 Đường cao AH có độ dài nửa BC Tính B  19 Cho ∆ABC cân A, A = 1000 Trên tia AB lấy điểm D cho AD = BC  Tính ADC  20 Cho ∆ABC vng A, có B = 750 Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho BH =  2AC Tính BHC  21 Cho ∆ABC cân A, A = 400 Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx   cho CBx = 100 CBx = 100 Trên Bx lấy điểm E cho BE = BA Tính BEC  22 Cho∆ABC cân A, A = 200 Các điểm M, N theo thứ tự AB, AC    cho BCM = 500 , CBN = 600 Tính BNM  23 Cho ∆ABC cân A, A = 800 Gọi D điểm tam giác cho    DBC = 100 , DCB = 300 Tính BAD  24 Cho ∆ABC có A = 1200 Trên tia phân giác góc A, lấy diểm D cho AB + AC Chứng minh ∆BCD AD =   25 Cho ∆ABC cân A, A = 800 Gọi K điểm tam giác cho KBC = 100 ,   KCB = 1200 Chứng minh ∆ABK tam giác cân tính BAK 26 Cho ∆ABC có góc nhỏ 1200 Vẽ phía ngồi ∆ABC tam giác ABD, ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh :   a) BMC = 1200 ; b) AMB = 1200 23 KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011 PHẦN C – KẾT LUẬN Trên số toán minh hoạ số dạng thường gặp vẽ hình phụ, chưa đầy đủ phong phú ví dụ tiêu biểu thể cách dẫn dắt hướng dẫn học sinh vẽ hình phụ chứng minh hình học Với kinh nghiệm nhỏ bé q trình dạy tốn nói chung, dạy mơn hình học nói riêng việc hướng cho học sinh tới việc tự tìm tịi nghiên cứu, sáng tạo, tư lơgíc tìm hướng đắn việc chứng minh hình Từ học sinh tự giải nhiều tốn khó Từ học sinh ham mê thích thú với mơn hình học địi hỏi đầy tính sáng tạo, tính kiên trì Ở phạm vi đề tài rộng, đa dạng phong phú Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ chứng minh hình học THCS phần nhỏ khơng thể lại khơng thiếu sót chắn chắn nhiều hạn chế Để kinh nghiệm thêm phong phú để phục vụ tốt công tác giảng dạy sau này, kính mong đóng góp ý kiến thầycô, đồng nghiệp Xác nhận nhà trường Thuỵ Thanh, ngày 20 tháng 02 năm 2011 Người viết Trần Ngọc Đại 24 ... giác BHA BHC vuông H nên áp dụng định lí Pitago, ta có : BH2 = AB2 – AH2 = 102 – 52 = 75 BC2 = BH2 + HC2 = 75 + 202 = 475 ⇒ BC = 475 (cm) b) Kẻ thêm đường vuông góc nhằm tạo tam giác vng cân Ta thường... tích : - Gọi I giao điểm BD CE (H 7a), ta dễ dàng tính :    BIC = 1200 , BIE = CID = 60 - Để chứng minh BC = BE + CD ta thấy có hai hướng giải sau : + Trên cạnh BC lấy điểm M cho BE = BM (H 7b)... việc kẻ thêm đường phụ hình học 7, tác giả nêu số cách nêu chưa đầy đủ khơng rõ kẻ thêm đường phụ Vì vậy, tơi viết sáng kiến “Vẽ đường phụ để giải số tốn Hình học 7? ?? nhằm giải vấn đề đặt KẺ THÊM