Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9 ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HSG TOÁN : 9 NĂM 2010 - 2011 DẠNG 1: Giải toán theo quy luật . 1. Phép cộng theo chuỗi số. * 1+2+3+4+…+n = 2 )1( +nn * 6 )12)(1( 321 2222 ++ =++++ nnn n 2. Phép cộng theo chuỗi phân số. * nnn 1 1 )1( 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 −= − ++++ * ) )1( 1 2.1 1 ( 2 1 )1()1( 1 5.4.3 1 4.3.2 1 3.2.1 1 + −= +− ++++ nnnnn * ) )1( 1 3.2.1 1 ( 3 1 )2)(1()1( 1 6.5.4.3 1 5.4.3.2 1 4.3.2.1 1 + −= ++− ++++ nnnnnn 3. Phép cộng theo chuỗi phân số * 1 1 1 43 1 32 1 21 1 −= − ++ + + + + + n nn BÀI TẬP 1. Tính a. A = 1+2+3+…+2011 b. Tìm a để tổng A + a là một số chính phương 2. tìm x biết x (1 + 2 + 3 +4 + … + 2011) = 2222 2011 321 ++++ 3. Chứng minh rằng A = 126.(7 2011 + 7 2010 + 7 2009 + … + 7 + 1 ) + 21 chia hết cho 7 2011 GV biên soạn : Phạm Quang Sang 1 Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9 4. Tính a. 2011.2010 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 ++++ b. 2011.2010.2009 2 5.4.3 2 4.3.2 2 3.2.1 2 ++++ c. 2011.2010.2009 2 5.4.3 2 4.3.2 2 3.2.1 2 −−−− d. 2011.2010.2009.2008 6 6.5.4.3 6 5.4.3.2 6 4.3.2.1 6 ++++ e. 2011.2010.2009.2008 6 6.5.4.3 6 5.4.3.2 6 4.3.2.1 6 −−−− f. 20112010 1 43 1 32 1 21 1 + ++ + + + + + g. 20112010 1 43 1 32 1 21 1 + −− + − + − + DẠNG 2: Tìm nghiệm nguyên x,y . Tìm nghiệm nguyên Phương trình bậc nhất. ax + by = c (a,b,c nguyên) Bài tập mẫu: Tìm nghiệm nguyên x, y sau cho : 2x + 3y = 11 Giải. Từ PT : 2x + 3y = 11 2 1 5 y yx − ++−=⇒ Do x nguyên Ta có : 2)1( y− hay 12 += ty với Zt ∈ tx 34 −=⇒ Vậy nghiệm nguyên của phương trình là GV biên soạn : Phạm Quang Sang 2 Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9    += −= 12 34 ty tx với Zt ∈ BÀI TẬP 1. Giải phương trình. a. 11x + 18y = 120 b. 12x + 7y = 45 c. 3x + 5y = 10 d. 4x + 5y = 65 2. Phân tích số 100 thành tổng hai số tự nhiên mà trong đó một số chia hết cho 7, một số chia hết cho 11 (đề thi HSG vòng tinh 2004-2005) DẠNG 3: Tìm số dư và chứng minh chia hết. Tìm số dư của phép chia. A: B = Q + r Ghi chú : - dạng này học sinh cần sử dụng máy tính từ 500MS trở lên - nhầm sử dụng phương pháp đồng dư để chứng minh chia hết và tìm số dư hoặc các chữ số cuối cùng của tổng Bài tập mẫu Tìm số dư : 9124565217 : 123456 Giải ấn máy tính 500MS: 9124565217 : 123456 Máy hiện số : 73909,45128 Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa lại là : 9124565217 - 123456 x 73909 = Kết quả số dư r = 55713 GV biên soạn : Phạm Quang Sang 3 Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9 DẠNG 4: Dùng PP đồng dư để chứng minh chia hết Dạng tìm số dư của phép chia dạng lũy thừa quá lớn ta thực hiện theo phương pháp đồng dư theo công thức.    ≡ ≡ ⇒    ≡ ≡ )(mod )(mod )(mod )(mod pma pnmba pnb pma cc Bài tập mẫu Tìm số dư của phép chia 2004 376 cho 1975 Giải Ta có : )1975(mod8412004 2 ≡ )1975(mod2318412004 24 ≡≡ )1975(mod4162312004 312 ≡≡⇒ )1975(mod5364162004 448 ≡≡⇒ )1975(mod536.4162004.2004 4812 ≡⇒ )1975(mod17762004 60 ≡⇒ )1975(mod841.17762004.2004 260 ≡⇒ )1975(mod11715162004 3362 ≡≡⇒ x )1975(mod59111712004 22362 ≡≡⇒ xx )1975(mod246231.5912004 4662 ≡≡⇒ +x )1975(mod2462004 376 ≡⇒ Vậy 2004 376 chia cho 1975 dư 246 Bài tập 1. Tìm số dư phép chia a. 143946 cho 32147 b. 432156 cho 2349 c. 11031972 cho 101972 d. 18901969 cho 1512005 GV biên soạn : Phạm Quang Sang 4 Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9 2. Tìm số dư của phép chia. a. 2007 2008 cho 2008 b. 2008 2009 cho 2010 c. 2010 2009 cho 2011 d. 2011 2010 cho 2009 3. Tìm hai chữ số cuối cùng của 23 2005 4. Tìm ba chữ số cuối cùng của 27 2009 5. Tìm chữ số cuối cùng của 37 2010 6. Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng a. A = 2 2000 + 2 2001 + 2 2002 + 2 2003 + 2 2004 + 2 2005 + 2 2006 b. B = 3 2007 + 3 2008 + 3 2009 + 3 2010 + 3 2011 c. C = 5 2008 + 5 2009 + 5 20010 7. Chứng minh rằng tổng chia hết cho a. 1890 1930 + 1945 1975 + 1 chia hết cho 7 b. 2222 5555 + 5555 2222 chia hết cho 7 c. 1997 1997 + 5 chia hết cho 13 d. 2 1000 – 1 chia hết cho 25 DẠNG 5: Dùng định lý Bơ zu. • Tìm số dư của đa thức • Tìm các hệ số của đa thức • Chức minh đa thức chia hết cho các nhị thức Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a GV biên soạn : Phạm Quang Sang 5 Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9 BÀI TẬP 1. Dùng định lý BơZu chứng minh đa thức f(x) chia hết cho nhị thức g(x) a. (x 4 + x 3 + 2x 2 – x – 123)  (x – 3) b. (x 3 – 9x 2 - 35x - 12)  (x – 12) c. (2x 3 + x 2 - 3x + 2508)  (x + 11) d. (3x 3 + 2x 2 + 5x + 8 19 )  (2x + 1) 2. Dùng định lý BơZu tìm số dư của đa thức f(x) chia cho nhị thức g(x) a. (x 4 + x 3 + 2x 2 – x +1):(x – 3) b. (x 3 – 9x 2 - 35x + 7):(x – 12) c. (2x 3 + x 2 - 3x + 5):(x + 11) d. (3x 3 + 2x 2 + 5x - 7):(2x + 1) e. (4x 5 + 3x 3 - 4x + 5):(2x + 11) f. (3x 4 +5x 3 - 4x 2 +2 x - 7)  (2 – 3x) 3. Dùng định lý BơZu để tìm m đa thức f(x) chia hết cho nhị thức g(x) a. (x 4 + x 3 + 2x 2 + m)  (x – 3) b. (x 3 – 11x 2 - 5x -2 m)  (x +5) c. (2x 3 +5x 2 - 3x – 5+ m)  (3x + 15) d. (5x 3 + 2x 2 + 5x - 5m)  (2x + 1) e. (2x 5 + 3x 3 - 4x + m 2 - m)  (2x - 6) f. (3x 4 + 7x 3 - 4x 2 +2 x – 3m 2 )  (2 – 3x) g. (3x 3 +5x 2 - 3x – 5+ m 3 +2m 2 )  (3x - 9) h. (5x 3 + 2x 2 + 5x - 5m 3 – 4m)  (2x + 4) GV biên soạn : Phạm Quang Sang 6 Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9 DẠNG 6: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương . • Chứng minh rằng tổng các dãy số sau là số chính phương. • Tìm số tự nhiên n sau cho tổng các số sau là số chính phương DẠNG 7: Rút gọn và tính giá trị biểu thức Lưu ý: • sử dụng các hằng đẳng thức bậc 2 đến bậc n để biến đổi rút gọn • Dùng các phép biến đổi căn thức • Chứng minh tổng các căn thức là số nguyên • Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất • Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến. GV biên soạn : Phạm Quang Sang 7 Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9 DẠNG 8: Hàm số bậc nhất bậc hai, Phương trình bậc hai, bậc ba • Tính diện tích tạo bởi hai đồ thị • Tình chu vi các hình tạo bởi 2,3,4 đồ thị với các các trục tọa độ. • Phương trình bậc hai • Phương trình bậc ba Bài tập 1. Cho hai đường thẳng y = -2x + 4 và y = 3x +4 a. vẽ 2 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ b. tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Ox 2. Cho hai đường thẳng y = -3x + 9 và y = 2x - 6 a. vẽ 2 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ b. tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Oy 3. Cho hai đường thẳng y = -3x + 11 và y = 2x - 4 a. vẽ 2 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ b. tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Oy c. tính chu vi và diện tích hợp bởi 2 đường thẳng trên với trục Ox 4. Cho ba đường thẳng y = 4 3 4 +− x ; y = 4 4 3 +x và y = 7x - 21 a. vẽ 3 đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ b. tính chu vi và diện tích hợp bởi 3 đường thẳng trên GV biên soạn : Phạm Quang Sang 8 Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9 c. Tính chu vi và diện tích tứ giác hợp bởi 2 đường thẳng y = 4 3 4 +− x ; y = 4 4 3 +x với trục Ox và Oy 5. Giải các phương trình sau a. x 3 – 4x 2 + 6 = 0 b. x 3 + 2x 2 – 7x + 4 = 0 c. 3x 4 – 5x 3 - 11x 2 + 20x - 4 = 0 DẠNG 9: Vận dụng các hệ thức bất đẳng thức • Dùng Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si mở rộng) để chứng minh • Dùng bất đẳng thức Bunhinacôpxki để chứng minh DẠNG 10: Hình học • Các dạng toán hình liên quan đến hệ thức lượng giác • Các bài toán liên quan đến tính diện tích và chu vi các hình thông qua các công thức nâng cao. • Chứng minh một số dạng bài toán quỹ tích ( điểm, đường thẳng, đường tròn) GV biên soạn : Phạm Quang Sang 9 Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9 BÀI TẬP 1. Cho tam giác ABC biết AB = 5cm, BC = 8cm , AC = 12cm, góc BÂC = 30 0 . a. Tính diện tích tam giác ABC b. Tính chu vi và diện tích đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC 2. Cho đường tròn tâm (0;R), trên đường tròn lấy C và B, Qua C và B kẽ 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A, biết AC = 5cm, BÂC = 60 0. a. Tính chu vi và diện tích của tứ giác ABOC b. Tính diện tích và chu vi của đường tròn (0;R) 3. Cho cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt 5cm; 12cm; 13cm. nội tiếp đường tròn tâm (0; 6,5cm). a. Tính diện tích tam giác ABC b. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông c. Tính chu vi và diện tích đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 4. Cho tam giác ABC, có độ dài 3 cạnh lần lượt 6cm, 8cm, 10cm. a. Tính diện tích tam giác ABC b. Tính chu vi và diện tích đường tròn nội tiếp tam giác ABC c. Tính chu vi và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 5. Cho tam giác vuông ABC ( Â = 90 0 ), AB = 3cm; AC = 4cm. GV biên soạn : Phạm Quang Sang 10 [...]...Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9 a Tính diện tích và chu vi tam giác ABC b Giải tam giác vuông ABC c Tính đường cao AH ( H ∈ BC ) d cho BC cố định, độ dài AH không đổi Tìm quỹ tích điểm A e BC cố định, tìm quỹ tích điểm A sao cho BÂC = 90 0 GV biên soạn : Phạm Quang Sang 11 . Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9 ĐỀ CƯƠNG ÔN THI HSG TOÁN : 9 NĂM 2010 - 2011 DẠNG 1: Giải toán theo quy luật . 1. Phép cộng theo chuỗi số. *. chia a. 14 394 6 cho 32147 b. 432156 cho 23 49 c. 1103 197 2 cho 10 197 2 d. 1 890 196 9 cho 1512005 GV biên soạn : Phạm Quang Sang 4 Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9 2. Tìm số. tam giác ABC 5. Cho tam giác vuông ABC ( Â = 90 0 ), AB = 3cm; AC = 4cm. GV biên soạn : Phạm Quang Sang 10 Trường THPT Ninh Thạnh Lợi Đề cương ôn thi HSG toán lớp 9 a. Tính diện tích và chu vi