Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I f khơng đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y′ Tìm điểm mà y′ = y′ không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số VD: Xét chiều biến thiên hàm số sau: Hàm số nghịch biến: (−1;3) a) y = x − x − x + b) y = x − x + x + • D=R • D=R • y' = 3x − x − • y' = 3x − x + Cho  x = −1 Cho y ' = ⇔ x − x + = ⇒ x = y' = ⇔ 3x − x − = ⇒  • BBT x = • BBT • Vậy: hàm số đồng biến: (−∞;−1) (3;+∞) GV:Lê Thị Bạch Tuyết • Vậy: hàm số đồng biến D c) y = x − x − • D=R Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an • • y' = x − x x = Cho y ' = ⇔ x − x = ⇒  x = • BBT • Vậy: hàm số tăng : (−1;0) (1;+∞) Hàm số giảm: (−∞;−1) (0;1) d) y = x − x + x + • D=R • y' = x − x + Cho x = y' = ⇔ x − x + = ⇒  x = −  • BBT • x = Cho y ' = ⇔ x − x = ⇒  x = • BBT Vậy: hàm số giảm: (0;1) (1;2) Hàm số tăng: (−∞;0) (2;+∞) • g) y = − x • D ∈ [−2;2] −x • y' = − x2 Cho y ' = ⇔ x = • BBT • Vậy: hàm số tăng : (− ;+∞) Hàm số giảm: (−∞;− ) x +1 e) y = x −1 • D= R \ {1} −2  ∆ ≤   a = b =  c ≤ y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔   •  a <  ∆ ≤  3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c : • Nếu ∆ < g(x) ln dấu với a b ) 2a • Nếu ∆ > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với • Nếu ∆ = g(x) ln dấu với a (trừ x = − GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số 0: ∆ >  x1 < x2 < ⇔  P > • S <  ∆ >  < x1 < x2 ⇔  P > • S >  • x1 < < x2 ⇔ P < 5) Để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1; x2) d ta thực bước sau: • Tính y′ • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a ≠ ∆ >  (1) • Biến đổi x1 − x2 = d thành ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = d (2) • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm VD1: Định m để hàm số đồng biến a) y = x + x + mx + m • D=R • y' = 3x + x + m ∆ ' ≤ ⇒ − 3m ≤ ⇒ m ≥ Hàm số đồng biến ⇔ y ' ≥ ⇔  a = > • Vậy: với m ≥ hs ln đồng biến D b) y = mx − ( 2m − 1) x + (m − 2) x − • D=R • y ' = 3mx − 2(2m − 1) x + m − 4m − 4m + − 3m(m − 2) ≤ ∆ ' ≤ ⇔ Hàm số đồng biến ⇔ y ' ≥ ⇔  a = 3m > m > (m + 1) ≤ ⇔ ⇔m>0 m > • Vậy: với m > hs ln đồng biến D mx + c) y = x+m • D= R \ {− m} • y' = m2 − ( x + m)  m < −2 Hàm số đồng biến ⇔ y ' > ⇔ m − > ⇒  m > m < −2 • Vậy: với  hs ln đồng biến D m > GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an VD2: Định m để hàm số ln nghịch biến: y = • • D= R \ {m} − x + 2mx + m + y' = ( x + m) x + mx + m−x ∆ ' ≤ Hàm số nghịch biến ⇔ y ' < ⇔  ⇒ m + m + ≤ (điều không thể) a = −1 <  • Vậy: khơng tồn m để hs nghịch biến D VD3: Định m để hàm số y = x + x + (m − 1) x + 4m nghịch biến ( - 1; 1) • D=R • y' = 3x + x + m − af (−1) < Hàm số nghịch biến ( - 1; 1) ⇔ y '≤ x1 < −1 < < x ⇔  af (1) < 3(3 − + m − 1) < m < ⇔ ⇔ ⇒ m < −8 3(3 + + m − 1) <  m < −8 • Vậy: m < −8 hs nghịch biến ( - 1; 1) VD4: Định m để hàm số y = x + (m − 1) x − (2m + 3m + 2) x tăng (2;+∞) • D=R 2 • y ' = x + 2(m − 1) x − (2m + 3m + 2) ∆' ≤    ∆ ' > Hàm số tăng (2;+∞) ⇔ y '≤ x1 < x ≤ ⇔  af (2) ≥  S   <  7 m + m + ≤    7 m + 7m + > − ≤ m ≤ ⇔  ⇔ ⇒− ≤m≤2 2 m > −5 3(−2m + m + 6) ≥   − 2(m − 1)  m < 3 ⇔ ⇒ ⇒m=  S − P = 4 − m = GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an hs nghịch biến khoảng có độ dài BÀI TẬP VỀ NHÀ Baøi Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: • Vậy: m = a) y = x + x + 13 b) y = x3 − 3x + x + c) y = 2x −1 x+2 x2 + 2x − x − 2mx − e) y = x − sin(3 x + 1) f) y = x +1 x−m Baøi Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = −5 x + cot( x − 1) b) y = cos x − x c) y = sin x − cos x − 2 x d) y = Bài Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: a) y = x − 3mx + (m + 2) x − m b) y = mx + x+m Baøi Tìm m để hàm số: d) y = e) y = x mx − − 2x +1 c) y = x+m x−m x − 2mx − x−m f) y = x − 2mx + 3m x − 2m a) y = x + 3x + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài 1 x − mx + 2mx − 3m + nghịch biến khoảng có độ dài 3 c) y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x − đồng biến khoảng có độ dài Bài Tìm m để hàm số: b) y = a) y = x3 + (m + 1) x − (m + 1) x + đồng biến khoảng (1; +∞) b) y = x − 3(2m + 1) x + (12m + 5) x + đồng biến khoảng (2; +∞) mx + (m ≠ ±2) đồng biến khoảng (1; +∞) x+m x+m d) y = đồng biến khoảng (–1; +∞) x−m c) y = e) y = x − 2mx + 3m đồng biến khoảng (1; +∞) x − 2m   −2 x − x + m nghịch biến khoảng  − ; +∞ ÷   2x + VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau: f) y = GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an • Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc ⇔ sin x − x < Đặt f ( x) = sin x − x • f ' ( x) = cos x − < 0, ( ∀x > ) ⇒ f ( x ) < ⇒ sin x − x < 0, ( ∀x > ) đpcm x3 VD 2: chứng minh sin x > x − , ∀x > x x3 ⇔ sin x − x + > Đặt f ( x) = sin x − x + 6 x • f ' ( x) = cos x − + • f ' ' ( x) = − sin x + x > (chứng minh trên) x3 ⇒ f ' ( x ) > ⇒ f ( x) > ⇒ sin x − x + > 0, ( ∀x > ) đpcm BÀI TẬP VỀ NHÀ Baøi Chứng minh bất đẳng thức sau: x3 b) < sin x < x , với x > π d) x < tan x , với < x < Chứng minh bất đẳng thức sau: tan a a π b) < , với < a < b < tan b b π a − tan a < b − tan b, với < a < b < Chứng minh bất đẳng thức sau: a) x − π sin x + tan x > x , với < x < 3 c) sin x + tan x > x , với < x < Bài a) c) Bài a) sin x > 2x π , với < x < π π a − sin a < b − sin b, với < a < b < b) x − π x3 x3 x5 < sin x < x − + , với x > 6 120 π Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: c) x sin x + cos x > 1, với < x < a) e x > + x , với x > c) ln(1 + x ) − ln x > , với x > 1+ x GV:Lê Thị Bạch Tuyết b) ln(1 + x ) < x , với x > ( ) d) + x ln x + + x ≥ + x Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an Baøi Chứng minh bất đẳng thức sau: a) tan 550 > 1,4 b) < sin 20 < 20 HD: a) tan 550 = tan(450 + 100 ) Xét hàm số f ( x ) = c) log2 > log3 1+ x 1− x b) Xét hàm số f ( x ) = x − x  1  1 f(x) đồng biến khoảng  − ; ÷ ,sin 20 , ∈  − ; ÷  2 20  2  c) Xét hàm số f ( x ) = log x ( x + 1) với x > BÀI 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ I Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D ⊂ R) x0 ∈ D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b) ⊂ D x0 ∈ (a; b) cho f(x) < f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b) ⊂ D x0 ∈ (a; b) cho f(x) > f(x0), với ∀x ∈ (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f′ (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x 0, f′ (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f′′ (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f′′ (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí • Tìm f′ (x) • Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm • Xét dấu f′ (x) Nếu f′ (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí • Tính f′ (x) GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an • Giải phương trình f′ (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) • Tính f′′ (x) f′′ (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f′′ (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f′′ (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi VD 1: tìm cực trị hàm số sau: y = x − x − x + • • D=R y' = 3x − x −  x = −1 Cho y ' = ⇔ x − x − = ⇒  x = • BBT • Vậy: hàm số đạt cực đại (-1;10) Hàm số đạt cực tiểu (3;-22)  Cũng thầy làm theo dấu hiệu II Các e tính thêm y ' ' = x − y ' ' (−1) = −12 < ⇒ hs đạt cực đại x=-1 y ' ' (3) = 12 > ⇒ hs đạt cực tiểu x=-1  Vậy với dấu hiệu II ta bỏ qua bước BBT ( thường dùng cho lượng giác)  Qua ví dụ ta thấy toán cực trị bước làm đơn điệu thêm vào phần giá trị y VẬY em lấy VD phần tập tìm cực trị BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Tìm cực trị hàm số sau: a) y = x − x b) y = x − x + x − x4 e) y = x − x + − x2 + − x + 3x + 3x + x + g) y = h) y = x+2 x +1 Bài Tìm cực trị hàm số sau: d) y = 4x2 + 2x −1 a) y = ( x − 2)3 ( x + 1)4 b) y = d) y = x x − e) y = x − x + 2x2 + x − c) y = − x + x − 15 x x4 f) y = − + x2 + 2 x − x − 15 i) y = x −3 c) y = 3x + x + x2 + x + f) y = x + x − x Baøi Tìm cực trị hàm số sau: GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an x2 2x + a) y = x + b) y = d) y = x − x + + ln x e) y = x − 4sin x c) y = e x + 4e− x f) y = x − ln(1 + x ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f′ (x0) = x0 khơng có đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f′ (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý: • Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có cực trị ⇔ Phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: + y( x0 ) = ax03 + bx02 + cx0 + d + y( x0 ) = Ax0 + B , Ax + B phần dư phép chia y cho y′ P( x ) ax + bx + c = (aa′≠ 0) có cực trị ⇔ Phương trình y′ = có hai Q( x ) a' x + b' b' nghiệm phân biệt khác − a' Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: P( x0 ) P '( x0 ) y( x0 ) = y( x0 ) = Q( x ) Q '( x0 ) • Hàm số y = • Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai • Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et  y ' ( A) =  Nhận x=A làm cực đại ⇔   y ' ' ( A) <  y ' ( A) =  Nhận x=A làm cực tiểu ⇔   y ' ' ( A) > VD1: CMR hs sau ln có cực đại, cực tiểu: a) y = x − 3mx + 3(m − 1) x − m • D=R 2 • y ' = x − 6mx + 3(m − 1) Cho y ' = ⇔ x − 6mx + 3(m − 1) = ∆' = 9m − 9m + > ⇒ hs sau ln có cực đại, cực tiểu đpcm x + m(m − 1) x − m + b) y = x−m R \ {m} • D= 10 GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ S= uu u u ur ur 1 AB.AC.sin A = AB AC − ( AB AC ) 2 Baøi Cho đồ thị (C) điểm A Tìm điểm M (C) cho AM nhỏ Chứng minh AM nhỏ đường thẳng AM vng góc với tiếp tuyến (C) M a) (C ) : y = x − 1; b) (C ) : y = x ; A(3; 0) A ≡ O(0; 0) c) (C ) : y = x + 1; A(9;1) Baøi Cho đồ thị (C) đường thẳng d Tìm điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến d nhỏ x2 + 4x + a) (C ) : y = x − x + x + 1; d : y = x − b) (C ) : y = ; d : y = −3 x − x+2 x +1 c) (C ) : y = x − x ; d) (C ) : y = ; d : y = −2 x + d : y = 2( x + 1) x −1 Bài Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) với k cho trước x+2 x2 + x − a) (C ) : y = b) (C ) : y = ; k =1 ; k =1 x −2 x −1 x2 + x − x2 + 2x + c) (C ) : y = d) (C ) : y = ; k =2 ; k =2 x −1 x +1 Bài Tìm điểm M thuộc hypebol (H) cho tổng khoảng cách từ đến hai tiệm cận nhỏ x+2 2x −1 4x − a) ( H ) : y = b) ( H ) : y = c) ( H ) : y = x −2 x +1 x −3 2 x + x−2 x − x +1 x + 3x + d) ( H ) : y = e) ( H ) : y = f) ( H ) : y = x −3 2− x x+2 Baøi Tìm điểm M thuộc hypebol (H) cho tổng khoảng cách từ đến hai trục toạ độ nhỏ x −1 2x + 4x − a) ( H ) : y = b) ( H ) : y = c) ( H ) : y = x +1 x−2 x −3 2 x + x − 11 x −3 x2 + x − d) ( H ) : y = e) ( H ) : y = f) ( H ) : y = x −1 x −2 x −3 Baøi Tìm điểm M thuộc hypebol (H) cho khoảng cách từ đến giao điểm hai tiệm cận nhỏ x2 + 2x + x2 − x + a) ( H ) : y = b) ( H ) : y = ;x >1 x −1 x −1 Bài Cho hypebol (H) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác (H) cho độ dài AB nhỏ x −1 2x + 4x − a) ( H ) : y = b) ( H ) : y = c) ( H ) : y = x +1 2− x x −3 x − 3x + x2 − 2x + d) ( H ) : y = x + + e) ( H ) : y = f) ( H ) : y = x x −1 1− x Baøi Cho (C) đường thẳng d Tìm m để d cắt (C) điểm A, B cho độ dài AB nhỏ x +1 x2 + 6x − a) ( H ) : y = b) ( H ) : y = ; d : 2x − y + m = ; d:y=k x −1 x +1 VẤN ĐỀ 9: Quỹ tích 66 GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài tốn: Tìm tập hợp điểm M(x; y) thoả tính chất α • Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng toạ độ tìm phương trình tập hợp điểm Dạng 1: Tìm toạ độ điểm M 1) Tìm điều kiện (nếu có) tham số m để tồn điểm M 2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m Có trường hợp xảy ra:  x = f (m ) Trường hợp 1: M   y = g(m) Khử tham số m x y, ta có hệ thức x, y độc lập với m có dạng: F(x, y) = (gọi phương trình quĩ tích)  x = a (hằng số ) Trường hợp 2: M   y = g( m ) Khi điểm M nằm đường thẳng x = a  x = f (m ) Trường hợp 3: M   y = b (hằng số ) Khi điểm M nằm đường thẳng y = b 3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) m (ở bước 1), ta tìm điều kiện x y để tồn điểm M(x; y) Đó giới hạn quĩ tích 4) Kết luận: Tập hợp điểm M có phương trình F(x, y) = (hoặc x = a, y = b) với điều kiện x y (ở bước 3) Dạng 2: Trong trường hợp ta khơng thể tính toạ độ điểm M theo tham số m mà thiết lập hệ thức chứa toạ độ M ta tìm cách khử tham số m hệ thức để tìm hệ thức dạng F(x, y) = Chú ý: Nếu toán hỏi : Điểm M chạy đường ta tìm phương trình F(x, y) = mà khơng cần tìm giới hạn quĩ tích Bài Tìm tập hợp điểm đặc biệt họ đồ thị cho a) (Pm): y = x − (m − 2) x + 2m − Tìm tập hợp đỉnh (Pm) b) (Cm): y = x − 3mx + x − 3m − Tìm tập hợp điểm uốn (Cm) c) (Cm): y = x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + Tìm tập hợp điểm cực đại (Cm) (m − 1) x + Tìm tập hợp tâm đối xứng (Hm) mx − x − 3mx + 5m e) (Hm): y = Tìm tập hợp điểm cực đại (Hm) x−2 Baøi Cho (C) (C′) Tìm tập hợp trung điểm đoạn thẳng 1) Tìm m để (C) (C′) cắt hai điểm phân biệt A, B 2) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng AB a) (C): y = x + 3x + mx + (C’): y = x + x + d) (Hm): y = b) (C): y = x − mx + (C′): y = mx + x −1 (C′): x − y + m = x +1 ( x − 2)2 d) (C): y = (C′) đường thẳng qua A(0; 3) có hệ số góc m 1− x x2 + 4x + e) (C): y = (C′): y = mx + x+2 c) (C): y = GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an 67 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề Bài Cho (C) (C′).Tìm tập hợp điểm KHẢO SÁT HÀM SỐ 1) Tìm m để (C) cắt (C′) điểm phân biệt A, B, C (trong xC khơng đổi) 2) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng AB a) (C): y = x − 3x (C′): y = mx b) (C): y = x − 2(m + 1) x + (m + 1) x − m (C′): y = −3mx + m c) (C): y = x − x + x (C′): y = mx d) (C): y = ( x + 2)( x − 1)2 (C′) đường thẳng qua C(–2; 0) có hệ số góc m Bài Cho (C) Tìm tập hợp điểm từ vẽ hai tiếp tuyến (C) vng góc với x2 + x + a) (C): y = x + b) (C): y = x x +1 x −2 Baøi a) Cho (C): y = Tìm tập hợp điểm trục tung mà từ kẻ tiếp tuyến với x −1 (C) b) Cho (C): y = − x + x − Tìm tập hợp điểm đường thẳng y = mà từ kẻ tiếp tuyến với (C) TÌM ĐIỂM TḤC ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA Câu 16 (2 điểm): Cho hàm số: y = 3x − x3 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng y = – x điểm kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) Câu I: 2) A (2; –2) B(–2;2) Bài Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Giải Gọi tọa độ điểm cực đại A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2) Xét biểu thức P=3x-y-2 Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4P=6>0 Vậy điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y=3x-2, để MA+MB nhỏ => điểm A, M, B thẳng hàng Phương trình đường thẳng AB: y= - 2x+2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ:  x =  y = 3x −  4 2 ⇔ => M  ; ÷  5 5  y = −2 x + y =   Bài 11 Cho hàm số y = − x + ( m − 1) x + (3m − 2) x − có đồ thị (C m ), m tham số 3 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = 2 Tìm m để (Cm ) có hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ), M ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1.x2 > tiếp tuyến (Cm ) điểm vng góc với đường thẳng d : x − y + = Giải Ta có hệ số góc d : x − y + = k d = Do x1 , x2 nghiệm phương trình y ' = −3 , hay − x + 2( m − 1) x + 3m − = −3 68 GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn toán Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ ⇔ x − 2(m − 1) x − 3m − = (1) u cầu tốn ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 > ∆ ' = (m − 1) + 2(3m + 1) > m < −3  ⇔  − 3m − ⇔ − < m < − >0     Vậy kết toán m < −3 − < m < − y 2 Câu 39 (2 điểm): Cho hàm số y = x + mx − m − (Cm) x O 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = –2 − 2) Chứng minh m thay đổi (Cm) ln ln qua hai điểm cố định A, B Tìm m để tiếp tuyến A B vng góc với Câu I: 2) Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0) Ta có: y′ = x + 2mx −1 • Các tiếp tuyến A B vng góc với ⇔ y′ (1).y′ (−1) = −1 ⇔ (4 + 2m)2 =  m = − ⇔  m = −  HÀM PHÂN THỨC Câu 15 (2 điểm) Cho hàm số y = 2x −1 (C) x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận (C) nhỏ Câu I: 2) Lấy M(x0; y0) ∈ (C) d1 = d(M0, TCĐ) = |x0 + 1|, d2 = d(M0, TCN) = |y0 – 2| d = d1 + d2 = |x0 + 1| + |y0 - 2| = |x0 + 1| + −3 x0 + Cô − si ≥2 Dấu "=" xảy x0 = −1 ± y= Câu 17: (2 điểm) Cho hàm số 2x − x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3;0) N(–1; –1) Câu I: 2) MN: x + 2y + = PT đường thẳng (d) ⊥ MN có dạng: y = 2x + m Gọi A, B ∈ (C) đối xứng qua MN Hoành độ A B nghiệm PT: 2x − = x + m ⇒ 2x2 + mx + m + = x +1 ( x ≠ –1) (1) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt ⇔ (1) có ∆ = m2 – 8m – 32 > Ta có A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m) với x1, x2 nghiệm (1)  x1 + x2   m m ; x1 + x2 + m ÷ ≡ I  − ; ÷ ( theo định lý Vi-et)  2   Trung điểm AB I  Ta có I ∈ MN ⇒ m = –4, (1) ⇒ 2x2 – 4x = ⇒ A(0; –4), B(2;0) Câu 19: (2 điểm) Cho hàm số y = 2x − x−2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an 69 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ 2) Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ −1  2x −  , x ≠ , y' (x ) = Câu I: 2) Ta có: M x ;   ( x0 − ) x0 −   Phương trình tiếp tuyến ∆ với ( C) M : ∆ : y = −1 2x − (x − x ) + x0 − ( x0 − )  2x −  Toạ độ giao điểm A, B (∆) hai tiệm cận là: A 2;  x − ; B( 2x − 2;2 )    y A + y B 2x − + x0 − x +x = = y M ⇒ M trung điểm AB = x0 = xM , Ta có: A B = x0 − 2 Mặt khác I(2; 2) ∆IAB vuông I nên đường trịn ngoại tiếp ∆IAB có diện tích:   x0 −     − ÷  = π  ( x0 − 2) + ≥ 2π S = π IM = π ( x0 − 2) +   ( x0 − 2)    x0 −      x = 1 ⇔ ⇒ M(1; 1) M(3; 3) (x − ) x = 2x −1 Câu 40 (2 điểm): Cho hàm số y = x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi M giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm đồ thị (C) điểm I có hồnh độ dương cho tiếp tuyến I với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận A B thoả mãn: MA2 + MB = 40 Dấu “=” xảy (x − 2) =  2x −1  Câu I: 2) TCĐ: x = −1 ; TCX: y = ⇒ M(–1; 2) Giả sử I  x0 ; ÷ ∈ (C), (x0 > 0) x0 +   2x −1  x0 −  ( x − x0 ) + • PTTT với (C) I: y = ⇒ A  −1; ÷, B ( (2 x0 + 1;2 ) x0 + x0 +  ( x + 1)2   36 + 4( x0 + 1)2 = 40  • MA2 + MB = 40 ⇔  ( x0 + 1) ⇔ x0 = (y0 = 1) x >  ⇒ I(2; 1) 2x − x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đồ thị (C), hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN, biết M(–3; 0), N(–1; –1) Câu I: 2) Phương trình đường thẳng MN: x + y + = Gọi I(a; b) ∈ MN ⇒ a + 2b + = (1) y = 2( x − a) + b Phương trình đường thẳng d qua I vng góc với MN là: Hồnh độ giao điểm A, B (C) d nghiệm phương trình: 2x − = 2( x − a) + b (x ≠ –1) x +1 ⇔ x − (2a − b) x − 2a + b + = (x ≠ –1) A, B đối xứng qua MN ⇔ I trung điểm AB x + xB 2a − b Khi đó: xI = A ⇔ a= (2) Câu 43 (2 điểm): Cho hàm số y = 70 GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ  a + 2b + =  a = 2a − b Từ (1) (2) ta được:  ⇔  b = −2 a =  Suy phương trình đường thẳng d: y = x − ⇒ A(2; 0), B(0; –4) 43: 2x −1 x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng MI 2a − Câu I: 2) Giao điểm hai tiệm cận I(1; 2) Gọi M(a; b) ∈ (C) ⇒ b = (a ≠ 1) a −1 2a − ( x − a) + Phương trình tiếp tuyến (C) M: y = − a −1 (a − 1) Câu 44 (2 điểm): Cho hàm số y = Phương trình đwịng thẳng MI: y = (a − 1)2 ( x − 1) + Tiếp tuyến M vng góc với MI nên ta có: − (a − 1)2  = −1 ⇔  a = (b = 1)  a = (b = 3) (a − 1)2 Vậy có điểm cần tìm M1(0; 1), M2(2; 3) Bài Cho hàm số y = 2x − x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm đồ thị (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) N(-1; -1) Giải     Gọi điểm cần tìm A, B có A  a; − ÷; B  b; − ÷; a, b ≠ −1 a +1  b +1   a+b a−2 b−2 ; + Trung điểm I AB: I  ÷  a +1 b +1  Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= uu uu ur u u r  AB.MN = a =  A(0; −4)  =>  Có :  =>   I ∈ MN b =  B (2;0)  2x − có đồ thị (C) x−2 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) 2.Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Giải Bài Cho hàm số y = GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an 71 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ 1   Lấy điểm M  m; + ÷ ∈ ( C ) Ta có : y ' ( m ) = − m − 2 ( ) m−2  Tiếp tuyến (d) M có phương trình : 1 y=− x − m) + + ( m−2 ( m − 2) Vậy điểm M cần tìm có tọa độ : (2; 2)   Giao điểm (d) với tiệm cận đứng : A  2; + ÷ m−2  Giao điểm (d) với tiệm cận ngang : B(2m – ; 2)   2 ≥ Dấu “=” xảy m = Ta có : AB = ( m − ) + 2 ( m − 2)     m−x có đồ thị ( H m ) , với m tham số thực x+2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để đường thẳng d : x + y − = cắt ( H m ) hai điểm với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích S = Giải −x+m = −x + Hoành độ giao điểm A, B d ( H m ) nghiệm phương trình x+2 2 ⇔ x + x + 2(m − 1) = 0, x ≠ −2 (1) 17  ∆ = 17 − 16m > m < ⇔ 16 Pt (1) có nghiệm x1 , x phân biệt khác − ⇔  2.(−2) − + 2(m − 1) ≠ m ≠ −2  Bài 10 Cho hàm số y = Ta có AB = ( x2 − x1 ) + ( y − y1 ) = ( x2 − x1 ) = ( x2 + x1 ) − x1 x2 = Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d h = 2 17 − 16m 1 17 − 16m = ⇔ m = , thỏa mãn Suy S ∆OAB = h AB = 2 2 x −1 Bài 24 Cho hàm số: y = 2( x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm điểm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M tạo với hai trục tọa độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng 4x + y = Giải x0 − Gọi M( x0 ; ) ∈ (C ) điểm cần tìm Gọi ∆ tiếp tuyến với (C) M ta có phương trình 2( x0 + 1) x −1 x0 − ' ⇒y= ( x − x0 ) + ∆ : y = f ( x0 )( x − x0 ) + 2( x0 + 1) 2( x0 + 1) ( x0 + 1) Gọi A = ∆ ∩ ox ⇒ A( − x0 − x0 − ;0) 72 GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Chuyên đề B = ∆ ∩ oy ⇒ B(0; KHẢO SÁT HÀM SỐ x − x0 − ) Khi ∆ tạo với hai trục tọa độ ∆ OAB có trọng tâm là: G( 2( x0 + 1) 2 2  x0 − x0 − x0 − x0 −  − ;  ÷ 6( x0 + 1)   2 x0 − x0 − x0 − x0 − + =0 Do G ∈ đường thẳng:4x + y = ⇒ −4 6( x0 + 1) (vì A, B ≠ O nên x − x − ≠ ) ⇔ 4= 0 ( x0 + 1) 1    x0 + =  x0 = − ⇔ ⇔ x +1 = − x = −   2   1 3 Với x0 = − ⇒ M (− ; − ) ; với x0 = − ⇒ M (− ; ) 2 2 2 Bài 31 Cho hàm số y = x+2 2x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2 , 0) B(0 , 2) Giải Pt đường trung trực đọan AB : y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hồng độ nghiệm pt : x+2 = x 2x −1 ↔ x2 − x −1 =  1− x = ↔  1+ x =  1− 1−   1+ 1+     Hai điểm đồ thị thỏa ycbt :   , ; ,      2x − Bài 32 Cho hàm số y = x −2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Giài −1  2x −  , x ≠ , y' (x ) = Ta có: M x ;   ( x0 − ) x0 −   Phương trình tiếp tuyến với ( C) M có dạng: ∆ : y = −1 2x − (x − x ) + x0 − ( x0 − )  2x −  Toạ độ giao điểm A, B ( ∆ ) hai tiệm cận là: A 2;  x − ; B( 2x − 2;2 )    GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an 73 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ y + y B 2x − x A + x B + 2x − = = y M suy M trung điểm AB = = x0 = xM , A x0 − 2 Mặt khác I = (2; 2) tam giác IAB vuông I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích   2x −     2    = π(x − 2)2 + − 2 ≥ 2π S = πIM = π(x − 2) +  2 (x − 2)    x0 −      Ta thấy x = 1 ⇔ (x − ) x = Do có hai điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) x Bài 40 Cho hàm số y = x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng qua điểm M điểm I(1; 1) (M(0 ; 0) ; M(2 ; 2) ) Giải x0 Với x0 ≠ , tiếp tuyến (d) với (C) M(x0 ; ) có phương trình : x0 − Dấu “=” xảy (x − 2) = x x0 ( x − x0 ) + ⇔ x+ y− =0 ( x0 − 1) x0 − ( x0 − 1) ( x0 − 1) r uu ur 1 u = ( −1; ) , IM = ( x0 − 1; ) (d) có vec – tơ phương ( x0 − 1) x0 − Để (d) vng góc IM điều kiện : r uu ur  x0 = 1 u.IM = ⇔ −1.( x0 − 1) + =0⇔  ( x0 − 1) x0 −  x0 = + Với x0 = ta có M(0,0) + Với x0 = ta có M(2, 2) y=− TỔNG ƠN TẬP CHUẨN BỊ THI ĐẠI HỌC HÀM BẬC BA 1) Cho hàm số y = − x + x − (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) 2) Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) 2) Cho hàm số y = x − 3mx + x − có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để (Cm) cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng 3) Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = 4) Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + (m tham số) (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ 5) Cho hàm số y = x −3 x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 74 GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ 2) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (d): y = m(x +1) + cắt đồ thị (C) điểm M cố định xác định giá trị m để (d) cắt (C) điểm phân biệt M, N, P cho tiếp tuyến với đồ thị (C) N P vng góc với 6) Cho hàm số y = x3 + 2mx + (m + 3) x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C1) hàm số m = 2) Cho (d) đường thẳng có phương trình y = x + điểm K(1; 3) Tìm giá trị tham số m cho (d) cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích 7) Cho hàm số y = x3 − 3m x + 2m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) trục hồnh có điểm chung phân biệt 8) Cho hàm số: y = 3x − x3 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng y = – x điểm kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) 9) Cho hàm số y = x3 − 3x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi d đường thẳng qua điểm A(3; 4) có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M N vng góc với 10) Cho hàm số f ( x) = x3 − 3x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1 1   2) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: G(x)=  2sin x + ÷ −  2sin x + ÷ + 2 2   11) Cho hàm số y = x + 2mx + (m + 3)x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 12) Cho đường thẳng (d): y = x + điểm K(1; 3) Tìm giá trị tham số m cho (d) cắt (C m) ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho tam giác KBC có diện tích 13) cho hàm số y = x3 + 3x + m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = −4 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B cho ·AOB = 1200 14) Cho hàm số y = x   x − 1) Khảo sát biến thiên đồ thị (C) hàm số 2) Dựa đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: x3 – x = m3 – m 15) Cho hàm số : y = x3 + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + (1) ( m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hồnh độ điểm cực tiểu nhỏ 16) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y = ( x – m)3 – 3x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m =  x − − 3x − k <  2) Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm:  1  log x + log ( x − 1) ≤ 2 17) Cho hàm số : y = x3 − mx + m3 2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = 2) Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng y = x 18) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an 75 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ 2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0; 1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với 19) Cho hàm số y = x − x − 3x + (1) 3 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB cân O (O gốc toạ độ) 20) Cho hàm số y = x + 2mx + (m + 3) x + (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Cho điểm I(1; 3) Tìm m để đường thẳng d: y = x + cắt (Cm) điểm phân biệt A(0; 4), B, C cho ∆IBC có diện tích 21) Cho hàm số y =   + x + mx + có đồ thị (Cm) (m tham số) x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng d: y = điểm phân biệt C(0; 1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với 22) Cho hàm số y = x − x + 3x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ O 23) Cho hàm số y = f ( x) = x − mx + 2m (1) ( m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm 24) Cho hàm số y = x + x   mx + có đồ thị (Cm); ( m tham số) + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với 25) Cho hàm số y = x + 9mx + 12m2 x + (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = –1 2) Tìm tất giá trị m để hàm số có cực đại xCĐ, cực tiểu xCT thỏa mãn: x 2CÑ = xCT 26) Cho hàm số y = x –3 x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x − x − = x −1 HÀM TRÙNG PHƯƠNG 27) Cho hàm số f ( x) = x + 2(m − 2) x + m − 5m + (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số với m = 2) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân 28) Cho hàm số y = x − x + 4, có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) Tìm m để phương trình x − x + = log2 m có nghiệm 29) Cho hàm số: y = x − (2m + 1) x + 2m (m tham số ) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm phân biệt cách 76 GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ 30) Cho hàm số y = x − x + 4, có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) 2) Tìm m để phương trình | x − x + |= log m có nghiệm 31) Cho hàm số y = x + 2mx + m + m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = –2 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị lập thành tam giác có góc 1200 32) Cho hàm số y = x + mx3 − x − 3mx + (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu 33) Cho hàm số: y = x − x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x − x + + log m = (m>0) 34) Cho hàm số y = x − 2(m − m + 1) x + m − (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn 35) Cho hàm số y = x + mx − m − (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = –2 2) Chứng minh m thay đổi (Cm) ln ln qua hai điểm cố định A, B Tìm m để tiếp tuyến A B vng góc với 36) Cho hàm số y = x − 2m x + m + 2m (1), với m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox hai điểm phân biệt, với m < 37) Cho hàm số y = x + 2m x + (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Chứng minh đường thẳng y = x + cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt với giá trị m HÀM PHÂN THỨC 38) Cho hàm số y = 2x + có đồ thị (C) x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Với điểm M thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến M cắt tiệm cận Avà B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ 2x + 39) Cho hàm số y = có đồ thị (C) x+2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Chứng minh đường thẳng d: y = –x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ 40) Cho hàm số y = x +1 (C) x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm trục tung tất điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) x + 3m − 41) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = + m x + 4m có đồ thị (Cm) (m tham số) ( ) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an 77 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ 2) Xác định m cho đường thẳng (d): y = − x + m cắt đồ thị (C) hai điểm A, B cho độ dài đoạn AB ngắn 42) Cho hàm số y = 2x −1 (C) x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận (C) nhỏ 43) Cho hàm số y= 2x − x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3;0) N(–1; –1) 44) Cho hàm số y = 2x −1 x −1 (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho ∆OAB vuông O 45) Cho hàm số y = 2x − x−2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ 46) Cho hàm số y= x−2 x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh với giá trị thực m, đường thẳng (d) y = – x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị nhỏ đoạn AB 47) Cho hàm số y = 2x −1 1− x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, A điểm (C) có hồnh độ a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P Q Chứng tỏ A trung điểm PQ tính diện tích tam giác IPQ x+2 48) Cho hàm số y = (1) 2x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B cho ∆OAB cân gốc tọa độ O 2x −1 49) Cho hàm số y = x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi M giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm đồ thị (C) điểm I có hoành độ dương cho tiếp tuyến I với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận A B thoả mãn: MA2 + MB = 40 2x − x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đồ thị (C), hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN, biết M(–3; 0), N(–1; –1) 50) Cho hàm số y = 78 GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn toán Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ 2x −1 x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng MI 51) Cho hàm số y = 52) Cho hàm số y = (2m − 1) x − m x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = –1 2) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x 53) Cho hàm số y = x+2 2x + (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân O x −3 54) Cho hàm số y = x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I ( −1;1) cắt đồ thị (C) hai điểm M, N cho I trung điểm đoạn MN 2x 55) Cho hàm số y = x+2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng (C) đến tiếp tuyến lớn 2x −1 56) Cho hàm số y = x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox , Oy điểm A B thỏa mãn OA = 4OB ĐỀ THI ĐẠI HỌC -TIỆM CẬN -CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG Đề số − x2 + 4x − (DBKA - 07)Cho hàm số y = x−2 (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số cho 2.Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị (C) đến tiệm cận số Đề số (DBKD - 06) Cho hàm số y = - x3 11 + x + 3x − 3 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số đẫ cho 2.Tìm đồ thị (C) hai điểm phân biệt M,N đối xứng qua trục tung Đề số (CT-KD-04) (DB-KB-04)Cho hàm số y = x3 -3mx2 + 9x +1 (1) với m tham số 1.khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng d: y = x + Đề số (DB-KD-04)Cho hàm số y = x x +1 (1) có đồ thị (C) 1.Khảo sát hàm số (1) 2.Tìm (C) điểm M cho khoảng cách từ M đến đường thẳng GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an 79 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ d: 3x +4y =0 Đề số (CT -KB-03)Cho hàm số y= x3 – 3x2 + m (1) ( m tham số ) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m=2 2.Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ HD2:Goi M(x0;y0) ∈ (Cm) ⇒ điểm đối xứng với M qua O M’(-x0;-y0) ⇔ -y0=f(-x0) m >  3 2 ⇔ -( x – 3x + m)= = -x – 3x + m ⇔ 6x = 2m  m x = ±  Vây(Cm) có điểm đối xứng qua 0x m>0 Đề số Đề thi Câu I.( điểm)Cho hàm số x2 + x − y= x −1 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2.Tìm đồ thị điểm cách hai trục toạ độ MỤC LỤC BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm so VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức BÀI 2: CỰC TRỊ VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị BÀI 3: MAX-MIN VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên  Giới thiệu sơ sơ BĐT BÀI 4:TIỆM CẬN BÀI 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ BÀI 6: SỰ TƯƠNG GIAO BÀI 7: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 80 GV:Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an ... −1 Giải GV: Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an 43 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn toán Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 Ta... 2x + m Ta có: 30 GV: Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu Nghệ an hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Chun đề KHẢO SÁT HÀM SỐ... GTNN hàm số sau: a) y = x + x − 12 x + [–1 ; 5] b) y = x − x [? ?2 ; 3] GV: Lê Thị Bạch Tuyết Trường THPT Quỳnh Lưu ( x > 0) Nghệ an 21 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp