NHÓM 5 BÀI TẬP Bài 1: Giải các phương trình trên R và trên C: a/ 4x 3 – 36x 2 + 84x – 20 = 0 ( 1 ) * Trên R ( 1 ) ⇔ x 3 – 9x 2 + 21x – 5 = 0 ⇔ (x – 5)( x 2 – 4x + 1) = 0 x = 5 ⇔ x 2 – 4x + 1 = 0 x = 5 ⇔ x = 2 - 3 x = 2 + 3 * Trên C Đặt y = x – 3 ⇒ x = y + 3 Khi đó ta được : ( y + 3) 3 – 9( y + 3) 2 + 21( y + 3) – 5 = 0 ⇔ y 3 – 6y + 4 = 0 ( 2 ) Đặt y = u + v .Khi đó : ( 2 ) ⇔ ( u + v) 3 – 6(u + v) + 4 = 0 ⇔ u 3 + v 3 – 3uv( u + v) – 6( u + v) + 4 = 0 ⇔ u 3 + v 3 + 4 + ( u + v)( -3uv – 6) = 0 Tìm u, v thoả hệ: u 3 + v 3 = -4 -3uv – 6 = 0 u 3 + v 3 = -4 u 3 v 3 = -8 ⇒ u 3 , v 3 là nghiệm của phương trình: t 2 + 4t – 8 = 0 t = -2 + 2 3 u 3 = -2 + 2 3 ⇔ ⇔ t = -2 - 2 3 v 3 = -2 - 2 3 Chọn u 1 = 3 2 2 3 − + ⇒ u 2 = εu 1 ; u 3 = ε 2 u 1 v 1 = 3 2 2 3 − − ⇒ v 2 = ε 2 v 1 ; v 3 = εv 1 Nghiệm của (2) là: y 1 = u 1 + v 1 = 3 2 2 3− + + 3 2 2 3 − − y 2 = u 2 + v 2 = 3 2 2 3− + ( - 1 2 + i 3 2 ) + 3 2 2 3 − − ( - 1 2 - i 3 2 ) y 3 = u 3 + v 3 = 3 2 2 3− + (- 1 2 - i 3 2 ) + 3 2 2 3− − (- 1 2 + i 3 2 ) Vậy nghiệm của ( 1 ) là : x 1 = y 1 + 3 = 3 2 2 3− + + 3 2 2 3− − + 3 x 2 = y 2 + 3 = 3 2 2 3− + ( - 1 2 + i 3 2 ) + 3 2 2 3− − ( - 1 2 - i 3 2 ) + 3 x 3 = y 3 + 3 = 3 2 2 3− + (- 1 2 - i 3 2 ) + 3 2 2 3− − (- 1 2 + i 3 2 ) + 3 b) 06 3 =−− xx (1) Đặt vux += ta được 06)()( 3 =−+−+ vuvu 0)13)((6 33 =−++−+⇔ uvvuvu Ta tìm u,v thoả      = =+ 3 1 6 33 uv vu      = =+ ⇔ 27 1 6 33 33 vu vu Vậy u,v là nghiệm của phương trình 0 27 1 6 2 =+− tt có 27 242 ' =∆ nên        −= += 27 242 3 27 242 3 t t        −= += ⇒ 27 242 3 27 242 3 3 3 v u ta chọn 3 1 27 242 3 += u , 3 2 27 242 3 −= u 12 uu ε = , 1 2 3 uu ε = , 1 2 2 vv ε = , 13 vv ε = trong đó 2 3 2 1 i +−= ε , 2 3 2 1 2 i −−= ε khi đó nghiệm của phương trình (1) là:                    −−+−         −++−=+=         −−++         −++−=+= −++=+= 3333 333 3333 222 33 111 27 242 3 27 242 3 2 3 27 242 3 27 242 3 2 1 27 242 3 27 242 3 2 3 27 242 3 27 242 3 2 1 27 242 3 27 242 3 ivux ivux vux d) x 3 + 3x 2 - 6x + 4 = 0 (1) Đặt y = x + 1 ⇒ x = y – 1. Ta được (y – 1) 3 + 3(y – 1) 2 – 6(y – 1) + 4 = 0 ⇔ y 3 – 9y + 12 = 0 (2) Đặt y = u + v, ta được (u + v) 3 – 9(u + v) + 12 = 0 ⇔ u 3 + v 3 + 12 + (u + v)(3uv – 9) = 0 u 3 + v 3 + 12 = 0 Ta tìm u, v thỏa 3uv – 9 = 0 u 3 + v 3 = -12 ⇒ u 3 v 3 = 27 ⇒ u 3 ,v 3 là nghiệm của t 2 + 12t + 27 = 0 t = -9 u 3 = -9 Có ∆’ = 9 ⇒ t = -3 v 3 = -3 ta chọn u 1 = - 3 9 , v 1 = - 3 3 u 2 = ε.u 1 , u 3 = ε 2 .u 1 , v 2 = ε 2 .v 1 , v 3 = ε.v 1 trong đó, ε = - 1 2 + i. 3 2 , ε 2 = - 1 2 - i. 3 2 Khi đó, nghiệm của (2) là y 1 = u 1 + v 1 , y 2 = u 2 + v 2 , y 3 = u 3 + v 3 và nghiệm của (1) là x 1 = y 1 – 1 = - 3 9 - 3 3 - 1 x 2 = y 2 – 1 = - 3 9 (- 1 2 + i 3 2 ) - 3 3 (- 1 2 - i 3 2 ) – 1 x 3 = y 3 – 1 = - 3 9 (- 1 2 - i 3 2 ) - 3 3 (- 1 2 + i 3 2 ) – 1 e) 3 6 9 0x x − + = Phương trình có nghiệm trong R là: x = -3 Phương trình có nghiệm trong C là : 3 3 3 2 3 3 2 x i x i x   = −  −  =   +  =   f) 3 2 9 18 28 0x x x + + + = Giải 3 2 2 6 9 0 ( 3)( 3 3) 0 3 0 3 3 0 3 3 3 2 3 3 2 x x x x x x x x x i x i x − + = ⇔ + − + = + =  ⇔  − + =    =−  +  ⇔ =   −  =   3 2 2 2 9 18 28 0 ( 7)( 2 4) 0 7 0 2 4 0 7 1 3 1 3 x x x x x x x x x x x i x i + + + = ⇔ + + + = + =  ⇔  + + =  = −   ⇔ = − +   = − −  Phương trình có nghiệm trong R là: x=-7 Phương trình có nghiệm trong C là: 7 1 3 1 3 x x i x i = −   = − −   = − +  g/ x 3 – 3x 2 – 3x + 11 = 0 ( 1 ) * Trên R : Tự giải * Trên C : Đặt y = x - 1 ⇒ x = y + 1 Thay vào ( 1 ) ta được : ( y + 1) 3 – 3( y + 1) 2 – 3( y + 1) + 11 = 0 ⇔ y 3 – 6y + 6 = 0 ( 2 ) Đặt y = u + v , ta được : ( u + v) 3 – 6( u + v) + 6 = 0 ⇔ u 3 + v 3 + 6 + ( u + v)( 3uv – 6) = 0 Tìm u, v thoả hệ: u 3 + v 3 + 6 = 0 u 3 + v 3 = -6 ⇔ 3uv – 6 = 0 u 3 v 3 = 8 ⇒ u 3 , v 3 là nghiệm của phương trình: t 2 + 6t + 8 = 0 t = -2 u 3 = -2 ⇔ ⇒ t = - 4 v 3 = -4 u 1 = - 3 2 ; u 2 = εu 1 ; u 3 = ε 2 u 1 Chọn v 1 = - 3 4 ; v 2 = ε 2 v 1 ; v 3 = εv 1 Nghiệm của ( 2 ) là: y 1 = u 1 + v 1 = - 3 2 - 3 4 y 2 = u 2 + v 2 = - 3 2 ( - 1 2 + i 3 2 ) - 3 4 ( - 1 2 - i 3 2 ) y 3 = u 3 + v 3 = - 3 2 ( - 1 2 - i 3 2 ) - 3 4 ( - 1 2 + i 3 2 ) Vậy nghiệm của ( 1 ) là : x 1 = y 1 + 1 = - 3 2 - 3 4 + 1 x 2 = y 2 + 1 = - 3 2 ( - 1 2 + i 3 2 ) - 3 4 ( - 1 2 - i 3 2 ) + 1 x 3 = y 3 + 1 = - 3 2 ( - 1 2 - i 3 2 ) - 3 4 ( - 1 2 + i 3 2 ) + 1 Bài 2 : Giải các phương trình trên R và trên C: b. 4 3 2 4 3 2 1 0x x x x − + + − = (1) Đặt 1y x = − ⇒ 1x y = + Ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 1 4 1 3 1 2 1 1 0y y y y + − + + + + + − = ⇔ 4 2 3 1 0y y− + = (2) Đặt 2 t y= từ phương trình (2) ta được 2 3 1 0t t − + = có 5 ∆ = nên 2 2 3 5 3 5 2 2 3 5 3 5 2 2 t y t y + + = = − − = =   ⇒       Vậy (2) có 4 nghiệm là 1 3 5 2 y + = ; 2 3 5 2 y + = − ; 3 3 5 2 y − = ; 4 3 5 2 y − = − s Vậy (1) có 4 nghiệm 1 3 5 1 2 x + = + ; 2 3 5 1 2 x + = − ; 3 3 5 1 2 x − = + ; 4 3 5 1 2 x − = − c) 4 3 2 2 8 2 7 0x x x x + + + + = (1) trên C Đặt 1 1 2 2 y x x y= + ⇒ = − . Thế vào (1) ta được: 4 3 2 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 2( ) 8( ) 2 7 0 2 2 2 2 13 125 5 0 2 16 13 13 11 ( ) 2 5 4 2 4 y y y y y y y y y y λ λ λ λ   − + − + − + − + =  ÷   ⇔ + − − = ⇔ + + = + + + + Ta chọn λ sao cho vế phải có dạng bình phương. Tức là 0∆ = 2 2 3 2 13 11 5 4.2 0 2 4 8 52 22 25 0 λ λ λ λ λ λ   ⇔ − − + =  ÷   ⇔ + + − = Giải phương trình chọn 1 2 λ = ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 13 1 1 1 13 1 11 ( ) 2. 5 . 4 2 2 2 2 2 4 15 25 5 5 4 4 2 y y y y y y y   + + = + + + +  ÷       ⇔ + = + + = +  ÷  ÷     2 2 2 2 15 5 5 0 4 2 4 15 5 25 0 4 2 4 y y y y y y y y   + = + − + =   ⇔ ⇔     + = − − + + =     Giải ra có 4 nghiệm y là: 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 6 1 2 6 ; ; ; 2 2 2 2 i i i i y y y y + − − + − − = = = = Ta lại có 1 2 x y = − nên suy ra các nghiệm x là: 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 6 1 1 6 2 2 2 1 1 2 6 1 1 6 2 2 2 i x y i i x y i i x y i i x y i + = − = − = − = − = − = − − + = − = − = − + − − = − = − = − − Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm 1 2 3 4 1 6 1 6 x i x i x i x i =   = −   = − +   = − −  d) 4 3 2 2 8 2 7 0x x x x + + + + = (1) trên C Đặt 3 3 2 2 y x x y= + ⇒ = − . Thế vào (1) ta được: 4 3 2 4 2 2 2 2 2 3 3 3 ( ) 6( ) 6( ) 8 0 2 2 2 15 155 9 0 2 16 15 15 95 ( ) 2 9 4 2 4 y y y y y y y y y λ λ λ λ − + − + − − = ⇔ − + − = ⇔ − + = − + − + Ta chọn λ sao cho vế phải có dạng bình phương. Tức là 0 ∆ = 2 2 3 2 15 95 9 4.2 0 2 4 8 60 190 81 0 λ λ λ λ λ λ   ⇔ − − + =  ÷   ⇔ − + − = Giải phương trình chọn 1 2 λ = ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 15 1 1 1 15 1 95 ( ) 2. 9 . 4 2 2 2 2 2 4 13 81 9 9 4 4 2 y y y y y y y   − + = − + + +  ÷       ⇔ − = − + = −  ÷  ÷     2 2 2 2 13 9 5 0 4 2 4 13 9 31 0 4 2 4 y y y y y y y y   − = − − + =   ⇔ ⇔     − = − + + − =     Giải ra có 4 nghiệm y là: 1 2 3 4 1 2 1 2 1 32 1 32 ; ; ; 2 2 2 2 i i y y y y + − − + − − = = = = Ta lại có 3 2 x y = − nên suy ra các nghiệm x là: 1 1 2 2 3 3 4 4 3 1 2 3 1 2 2 2 3 1 2 3 1 2 2 2 3 1 32 3 2 2 2 2 2 2 3 1 32 3 2 2 2 2 2 2 i x y i i x y i x y x y + = − = − = − − = − = − = − − − + = − = − = − + − − = − = − = − − Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm 1 2 3 4 1 1 2 2 2 2 2 2 x i x i x x = −   = − −   = − +   = − −  e) 4 3 2 2 2 4 8 0x x x x − + + − = Giải Đặt 1 2 x y = + suy ra: 4 3 2 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 2( ) 2( ) 4( ) 8 0 2 2 2 2 1 91 5 0 2 16 1 95 ( ) (1 2 ) 5 2 16 y y y y y y y y y y λ λ λ λ + − + + + + + − = ⇔ + + − = ⇔ + + = + − + + + Chọn λ sao cho vế phải là một dạng bình phương, tức là chọn λ sao cho ∆ y = 0. 2 3 2 1 95 25 4( 2 )( ) 0 2 16 99 105 8 10 0 2 8 λ λ λ λ λ λ ⇔ − + + + = ⇔ + + − = Chọn 1 4 λ = , vậy ta được: 2 2 2 2 2 3 1 ( ) (2 5) 4 4 4 0 1 0 1 15 2 15 2 2 1 15 2 15 2 2 1 5 5 2 2 1 5 5 2 2 y y y y y y i i y x i i y x y x y x + = −  − + = ⇔  + − =     + + = =       − − = =     ⇔ ⇔   − − − = =       − + = =     Trong R phương trình có nghiệm là : 5 2 5 2 x x  − =    =  