luậLý thuyết lọc tối ưu đối với quá trình Gaussian điều kiện và áp dụng của nó vào các bài toán thống kê và các bài toán điều khiển tối ưu với thời gian rời rạc và các bài toán điều khiển tối ưu với thời gian liên tục

80 403 0
luậLý thuyết lọc tối ưu đối với quá trình Gaussian điều kiện và áp dụng của nó vào các bài toán thống kê và các bài toán điều khiển tối ưu với thời gian rời rạc và các bài toán điều khiển tối ưu với thời gian liên tục

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

LỜI NÓI ĐẦU Lí thuyết lọc đã được các nhà toán học nghiên cứu đến hai thế kỷ nay. Lý thuyết lọc hiện đại dựa trên toán học hiện đại, nó có nhiều ứng dụng trong vật lý kỹ thuật và các ngành khoa học khác. Đề tài này chỉ đề cập đến vấn đề lý thuyết lọc tối ưu đối với quá trình Gaussian điều kiện và áp dụng của nó vào các bài toán thống kê và các bài toán điều khiển tối ưu với thời gian rời rạc và các bài toán điều khiển tối ưu với thời gian liên tục. Do hạn chế về mặt thời gian lên luận văn không thể tránh khỏi những sai lầm thiếu sót. Em rất mong các thầy và các bạn đọc đóng góp ý kiến để em tiếp tục ngiờn cứu, bổ xung làm cho luận văn này hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn ! 1 Chương I CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Các khái niệm cơ bản Cho không gian xác suất đầy đủ ( , , )F PΩ , ( ,0 ) t F t T ≤ ≤ là họ không giảm các σ -đại số con của σ - đại số F, ,0 t F t T ≤ ≤ là liên tục. Giả sử ( , ) θ ξ là quá trình ngẫu nhiên hai chiều quan sát được bộ phận, trong đó ( , ),1 t t F t T θ θ = ≤ ≤ là quá trình không quan sát được và ( , ),1 t t F t T ξ ξ = ≤ ≤ là quá trình quan sát được. Bài toán lọc tối ưu đối với quá trình quan sát được bộ phận ( , ) θ ξ được hiểu là xây dựng đối với mỗi t (0 )t T ≤ ≤ ước lượng bình phương tối thiểu của hàm h t của ( , ) θ ξ là F t –đo được trên cơ sở những quan sát 1 ,1 t ξ ≤ . Nếu 2 t Eh < ∞ khi đó ước lượng tốt nhất trùng với kỳ vọng điều kiện ( ) ( / ), t t t t h E h F F ξ ξ π = là σ - đại số sinh bởi quá trình ( , ) t t F ξ ξ = . Đại lượng ( ) t h π khó được xác định. Song dưới giả thiết quá trình ( , )h ξ được cho bởi đẳng thức 0 0 t t s t h h H ds x = + + ∫ (1) Và 0 s 0 0 ( ) ( ) w t t t s s A ds B d ξ ξ ω ξ = + + ∫ ∫ (2) t (w , ) t F là quá trình wiener, ( , ),( , ) t t t t A A F B F = thỏa mãn giả thiết 2 0 0 ( ( ) ) 1, ( ( ) ) 1 T T t t P A dt P B dt ω ξ < ∞ = < ∞ = ∫ ∫ (3) Và 2 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t s s s s B x B y L x y dK s L x y − ≤ − + − ∫ (4) ( ) 2 2 2 1 2 0 ( ) (1 ) (1 ) t t s t B x L x dK s L x≤ + + + ∫ (5) 2 Trong đó L 1 , L 2 là các hằng số khụng õm và K(t) 0 ( ) 1K t ≤ ≤ là hàm liên tục phải không tăng của x, y T C ∈ Giả sử hàm ( ),0 t t g g t T ω = ≤ ≤ là quá trình ngẫu nhiên đo được nào đó thỏa mãn t E g < ∞ và kỳ vọng điều kiện ( / ) t t E g F ξ là cải tiến đo được (bản sao đo được) ký hiệu là ( ) t g π . Phương trình lọc cơ bản (trường hợp một chiều). I.1. Biến ngẫu nhiên: Giả sử ( Ω , F) là không gian đo đã cho, ( ; )R = −∞ +∞ Định nghĩa1: Hàm thực ( )X X ω = xác định trên Ω lấy giá trị trên R gọi là hàm F- đo được hoặc biến ngẫu nhiên nếu { } 1 : ( ) ( )X B X B ω ω − ∈ = ∈ F với mỗi B ∈ B (R) (với B (R) là σ - đại số các tập Borel của R) Định nghĩa2: Hàm thực ( )X X ω = xác định trên Ω và lấy giá trị trong R [ ] ;= −∞ +∞ sao cho { } 1 : ( ) ( )X B X B ω ω − ∈ = ∈ F với mỗi B ∈ B ( ) R được gọi là biến ngẫu nhiên suy rộng. I.2. Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1: Cho không gian xác suất ( Ω , F, P) và [ ) 0,T = +∞ . Họ các biến ngẫu nhiên ( ) , t X t T ∈ được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục t∈ T. Trong trường hợp T=N= { } 0,1,2, , họ ( , ) t X t T ∈ được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc. X(t, ω) phụ thuộc hai biến t ∈T, ω∈Ω. Với mỗi t cố định, X(t, ω) là hàm đo được theo ω. Với mỗi ω cố định X(t, ω) được gọi là quỹ đạo hay hàm chọn của quá trình ngẫu nhiên. 3 Định nghĩa 2: Hai quá trình ngẫu nhiên ( ) t X và ( ) t Y , t∈T cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P) được gọi là tương đương ngẫu nhiên nếu chúng trùng nhau hầu khắp nơi với mỗi t∈ T. Nghĩa là [ ] 0 t t P X Y ≠ = . Quá trình ( ) , t Y t T∈ được gọi là quá trình cải tiến của quá trình ( , ) t X t T ∈ . Định nghĩa 3 : Quá trình ngẫu nhiên ( , ) t X t T ∈ xác định trên TxΩ được gọi là đo được nếu với bất kỳ tập borel B∈ B (R) ta có { } ( , ) : ( ) t t X B ω ω ∈ ∈F x B(T). Trong đó B (T) là б- đại số borel trên T= [ ) 0, ∞ . Định nghĩa 4: Quá trình ngẫu nhiên ( , ) t X t T ∈ được gọi là phù hợp với họ б- đại số F t , t∈ T, nếu với mỗi t∈T, biến ngẫu nhiên X t là F t -đo được. Định nghĩa 5: Quỏ trình ngẫu nhiên ( , ) t X t T ∈ được gọi là đo được tiến nếu với mỗi t∈T { } ( , ): s s t X B ω ≤ ∈ ∈F t x B ( [ ] 0,t ). Trong đó B là tập borel trên R, và B ( [ ] 0,t ) là б -đại số các tập borel trên [ ] ,o t . Rõ ràng, mọi quá trình ngẫu nhiên đo được tiến đều là đo được và phù hợp với họ б- đại số F t , t∈T. Định nghĩa 6: 4 Quá trình ngẫu nhiên ( , ) t X t T ∈ với X 0 là F o -đo được, là dự báo được nếu nó đo được với б -đại số trên [ ) 0, ∞ x Ω sinh bởi các tập tớch cú dạng ( ] ,s t x A, 0 s t ≤ ≤ , A ∈ F t . Định nghĩa 7: Quá trình ngẫu nhiên X t , t∈T được gọi là liên tục ngẫu nhiên tại t o ∈T, nếu đối với 0 ε > có: 0 o s t P X X ε   − > →   , o s t → Nếu quá trình ngẫu nhiên liên tục tại mọi điểm của tập S T ≤ thì ta núi nú liên tục ngẫu nhiên trên S. Định nghĩa 8: Quá trình ngẫu nhiên ( , ) t X t T ∈ được gọi là liên tục (liên tục phải, liên tục trái) trên S ⊆ T nếu hầu hết quỹ đạo của nó liên tục (liên tục phải, liên tục trái). Nghĩa là, ∃ N có P(N)=0 sao cho ∀ ω∈N, quỹ đạo X t (ω), t∈S là liờn tục(liờn tục phải, liên tục trái). Định nghĩa 9: Nếu tồn tại giới hạn theo nghĩa xác suất (h.c.c): 0 lim t h t h X X h + → − Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên( X t , t∈T) theo xác suất (h.c.c) và ta nói quá trình (X t , t∈T) khả vi tại t. Kí hiệu: ' t X hoặc t dX dt . I.3. Kỳ vọng điều kiện: Định nghĩa 1: Giả sử x là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất ( , , )F PΩ và tồn tại kỳ vọng E(x), G là σ -đại số con của σ -đại số F. kỳ vọng điều kiện của biến ngẫu nhiên x đối với σ -đại số G đã cho là đại lượng ngẫu nhiên, kí hiệu là ( / )E x G đo được đối với σ -đại số G và thỏa mãn ( / ) ( ) A B B E x G dP I dP ω = ∫ ∫ đối với bất kì B G ∈ 5 Định nghĩa 2: xác suất điều kiện. xác suất điều kiện của biến cố A với điều kiện σ -đại số G đã cho là đại lượng ngẫu nhiên ( / )P A G đo được đối với σ - đại số G sao cho ( / ) ( ), . B P A G dP P A B B G = ∩ ∈ ∫ I.4. Martingale. Cho không gian xác suất ( , , )F PΩ và họ ( ), t F t T ∈ là họ không giảm các σ -đại số con của F. quá trình ( , ), t t X x F t T = ∈ được gọi là martingale ( Submartingale, Supermartingale) nếu: 1) x t là F t đo được 2) t E x < ∞ 3) Với , ( / ) ( ( / ) , ( / ) ) t s s t s s t s s s t E x F x E x F x E x F x ≤ = ≥ ≤ Định nghĩa này tương đương với mệnh đề: ( , ), t t X x F t T = ∈ là martingale (submartingale, supermartingale) nếu s A F ∈ tùy ý (s<t) ta có: , s t s t t A A A A A A x dP x dP x dP x dP dP x dP   = ≤ ≥  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bổ đề 4.12. Giả sử t w=(w , ),0 t F t T ≤ ≤ là quá trình winer và ( , )f t ω là hàm không khả đoán với 2m 0 E f ( , ) T t dt ω < ∞ ∫ . Khi đó 2 2m 1 2 s 0 0 ( ( , ) w ) [m(2m-1)] ( , ) t t m m m E f s d t E f s ds ω ω − ≤ ∫ ∫ Bổ đề 4.13. Giả sử 0 1 2 , ,c c c là các hằng số khụng õm, u(t) là hàm không âm, bị chặn, v(t) là hàm khụng õm khả tích 0 1t ≤ ≤ , sao cho s 0 1 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )[ u(b)dK(b)]ds t t u t c c v s u s ds c v s ≤ + + ∫ ∫ ∫ trong đó K(s) là hàm không giảm liên tục phải, 0 ( ) 1K s ≤ ≤ . Khi đó 1 2 0 0 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ! t j j n c c u s c v s ds t j ϕ + ≤ + ∑ ∫ trong đó ( ) 0 n t ϕ → khi n → ∞ . 6 Chương II LỌC PHI TUYẾN TỐI ƯU: PHÉP NỘI SUY VÀ PHÉP NGOẠI SUY CỦA CÁC THÀNH PHẦN CỦA QUÁ TRÌNH GAUSSIAN ĐIỀU KIỆN II1. Phương trình lọc tối ưu Giả sử ( , ) ( , ),0 t t t T θ ξ θ ξ = ≤ ≤ là quá trình ngẫu nhiên trong đó ,0 t t T θ ≤ ≤ , là quá trình không quan sát được, ( ,0 ) t t T ξ ≤ ≤ là quá trình quan sát được. Trong trường hợp đó xột ở trương trước quá trình ( , ) θ ξ là Gaussian mà nó được bổ xung thêm tính điều kiện 3 2 3 ( ) 3 ( ) ( ) 2[ ( )] t t t t π θ π θ π θ π θ = − (II 0 ) Đối với kỳ vọng hậu nghiệm ( ) ( / ) t t t E F ξ π θ θ = và phương sai hậu nghiệm 2 2 t ( ) ( ) [ ( )] t t γ θ π θ π θ = − . Trong chương này ta sẽ đề cập tới lớp quá trình ngẫu nhiên ( , ) ( , ),0 t t t T θ ξ θ ξ = ≤ ≤ mà không là quá trình Gaussian nhưng nó có tính chất quan trọng là phân phối điều kiện 0 t ( ) [ / ] t t F x P x F ξ ξ θ = ≤ là Gaussian Đặc biệt có tính chất (II 0 ) Cho không gian xác suất ( , , )F PΩ với họ không giảm các σ − đại số ,0 t F t T ≤ ≤ con của σ − đại số F và cho 1 1 2 2 w (w ( ), ),w (w ( ), ) t t t F t F = = là hai quá trình wiener độc lập. biến ngẫu nhiên 0 0 , θ ξ được giả thiết là độc lập với quá trình w 1 , w 2 . Cho ( , ) ( , ),0 t t t T θ ξ θ ξ = ≤ ≤ là quá trình khuyếch tán ngẫu nhiên liên tục với 0 1 1 1 2 2 [a ( , ) ( , ) ]dt+b ( , ) w ( ) ( , ) w ( ) t t d t a t t d t b t d t θ ξ ξ θ ξ ξ = + + (2.1) 0 1 2 [A ( , ) ( , ) ]dt+B(t, )dw ( ) t t d t A t t ξ ξ ξ θ ξ = + (2.2) Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn 7 2 2 i j 0,1 j=1,2 0 T 2 2 1 0 ( { a ( , ) ( , ) }+ b ( , ) ( , )) { A ( , ) }=1 T i i t t x A t x t x B t x dt P t m dt ξ = + + < ∞ < ∞ ∑ ∑ ∫ ∫ Với phân phối điều kiện 0 0 0 ( ) ( / )F a P a ξ θ ξ = ≤ là Gaussian Bổ đề 2.1: Giả sử 1 1 ( , ) , ( , )a t x L A t x L ≤ ≤ (2.3) 4 4 0 1 0 [ ( , ) ( , )]dt< T E a t b t ξ ξ + ∞ ∫ (2.4) 4 0 E θ < ∞ (2.5) thì 4 0 [ sup ]< t t T E θ ≤ ≤ ∞ (2.6) Chứng minh: Đặt 4 s t inf{t:sup } N s N τ θ ≤ = ≥ Lấy N T τ = nếu 4 sup s s T N θ ≤ < , thì 2 4 4 0 0 1 i 1 0 0 0 2 4 4 4 4 0 1 i 1 0 0 0 4 3 4 3 4 4 0 0 1 0 [ ( , ) ( , ) ( , ) w ( )] 125[ ( ( , ) ) ( ( , ) ) ( ( , ) w ( )) ] 125[ ( ) ( , ) ( ) ( , ) N N N N N N N N t t t t s i i t t t o s i i t N N s a s ds a s ds b s d s a s ds a s ds b s d s t a s ds t a s ds τ τ τ τ τ τ τ τ θ θ ξ ξ θ ξ θ ξ ξ θ ξ θ τ ξ τ ξ θ ∧ ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧ = ∧ = + + + ≤ + + + ≤ + ∧ + ∧ ∑ ∫ ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∫ 2 4 i 1 0 0 ( ( , ) w ( )) ] N N t t i i b s d s τ τ ξ ∧ ∧ = + ∑ ∫ ∫ ∫ (2.7) theo bổ đề 4.12 suy ra 4 4 i 0 0 2 4 4 3 4 3 4 4 4 0 0 1 0 0 0 4 4 1 2 0 ( ( , ) w ( )) 36 ( , ) , 1,2 , 125[ ( , ) 36 ( , ) ] N N N N N t T i i s s N N T t T t s i i t t s E b s d s T Eb s ds i s t E E T Ea s ds T L E ds Eb s ds E C C E ds τ τ τ τ τ ξ ξ θ θ τ τ θ θ ξ θ ξ θ θ ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ≤ = = ∧ ≤ ∧ ≤ + + + ⇒ ≤ + ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.8) Trong đó C 1 , C 2 là các hằng số. Theo bổ đề 4.13 8 2 2 4 4 1 4 4 4 1 0 lim sup N N C T t t C T t t t t T N E E C e E E C e E τ τ θ θ θ θ θ −−−−− ∧ ∧ ≤ ≤ →∞ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ < ∞ (2.9) Bây giờ ta chỉ ra rằng 4 0 (sup ) t t T E θ ≤ ≤ < ∞ Thay N t τ ∧ bởi t ta nhận được 2 4 4 3 4 3 4 4 0 0 i 0 0 1 0 0 0 sup 125[ ( , ) sup ( , ) w ( ) ] T T t t s i t T t T i T a s ds T L ds b s d s θ θ ξ θ ξ ≤ ≤ ≤ ≤ = ≤ + + + ∑ ∫ ∫ ∫ Theo bổ đề 4.12 ta có: 4 4 4 i 0 0 0 4 sup ( , ) w ( ) ( ) 36 ( , ) , 1,2 3 t T i i t T E b s d s T Eb s ds i ξ ξ ≤ ≤ ≤ = ∫ ∫ Từ (2.3) và (2.4), (2.5), (2.9) ta có 2 4 4 3 4 4 4 4 4 4 0 0 0 0 1 0 0 4 [sup ] 125[E ( , ) sup ( ) 36 ( , ) ] 3 T T t s i t T t T i E T Ea s ds T L E T Eb s ds θ θ ξ θ ξ ≤ ≤ ≤ ≤ = ≤ + + + < ∞ ∑ ∫ ∫ Định lý II.1: Cho ( , ) θ ξ là qỳa trỡnh ngẫu nhiên với vi phân cho bởi (2.1) và (2.2) Nếu các điều kiện (2.3), (2.4), (2.5)sau được thỏa mãn và 2 2 i j 0,1 j=1,2 0 ( { a ( , ) ( , ) }+ b ( , ) ( , )) T i i t x A t x t x B t x dt = + + < ∞ ∑ ∑ ∫ (2.10) 2 2 0 1 0 [A ( , ) ( , )]dt< T t x A t x + ∞ ∫ (2.11) 2 x C inf ( , ) 0,0B t x C t T ∈ ≥ > ≤ ≤ (2.12) 2 2 2 1 2 0 ( , ) ( , ) ( ) t s s t t B t x B t y L x y dK s L x y − ≤ − + − ∫ (2.13) 2 2 2 1 2 0 ( , ) (1 ) ( ) (1 ) t s t B t x L x dK s L x ≤ + + + ∫ (2.14) Được thỏa mãn Trong đó K(s) là hàm liên tục phải, 0 ( ) 1K s ≤ ≤ 9 Và phân phối điều kiện 0 0 ( / )P a θ ξ ≤ là Gaussian, 0 0 ( , )N m γ thì , t t m γ thỏa mãn phương trình 0 1 2 1 t 0 1 2 [a ( , ) ( , ) ]dt+ b ( , ) ( , ) ( , ) [d ( ( , ) ( , ) ) ] ( , ) t t t t dm t a t m t B t A t A t A t m dt B t ξ ξ ξ ξ γ ξ ξ ξ ξ ξ = + + × − + (2.15) ' 2 2 2 2 1 1 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) t t t b t B t A t a t b t b t B t ξ ξ γ ξ γ ξ γ ξ ξ ξ + = + + − (2.16) Với điều kiện 2 0 0 0 0 0 0 0 ( / ), [( ) / ]m E E m θ ξ γ θ ξ = = − Chứng minh. Khai thác điều kiện 2 2 0 ,w ( , ) t x b s ds ξ < >= ∫ từ (8.9) suy ra t 0 0 1 0 2 2 1 s 2 0 [a ( , ) ( , )]ds ( , )[E( / ) ] {b ( , ) }dw B(s, ) t t s s s m m s a s A s F m s ξ ξ ξ ξ θ ξ ξ = + + − + + ∫ ∫ (2.17) Trong đó 0 1 ( ( , ) ( , ) ) w ( , ) t s s t d A s A s m ds B s ξ ξ ξ ξ − + = ∫ 2 2 ( / ) s s s s E F m ξ θ γ − = , kết hợp với (2.17) suy ra 0 1 2 1 t 0 1 2 [a ( , ) ( , ) ]dt+ b ( , ) ( , ) ( , ) [d ( ( , ) ( , ) ) ] ( , ) t t t t dm t a t m t B t A t A t A t m dt B t ξ ξ ξ ξ γ ξ ξ ξ ξ ξ = + + − + (2.18) Kí hiệu 2 ( / ) t t t E F ξ δ θ = , ta có 2 t t t m δ γ − = Từ phương trình % 2 2 0 , w 2 ( , ) t t s x b s ds θ ξ < > = ∫ và từ (8.9) ta nhận được 2 2 0 0 1 1 2 0 1 3 s 2 0 1 0 1 0 [2a ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )]ds {2m ( , ) ( , )[A ( , ) ( , ) ( / ) ( ( , ) ( , ) )]}dw t t s s t s s s s s s s m a s b s b s b s B s s A s E F A s A s m ξ δ δ ξ ξ δ ξ ξ ξ ξ ξ δ ξ θ δ ξ ξ − = + + + + + + + − + ∫ ∫ hay 10 [...]... ξt ), 0 ≤ t ≤ T là quá trình (k+n) chiều với 2 dθ t = [a 0 (t ) + a1 (t )θ t ]dt+ ∑ bi (t , ξ )dw i (t ) (2.101) i=1 2 d ξt = [A 0 (t , ξ ) + A1 (t , ξ )θ t ]dt+∑ Bi (t , ξ )dw i (t ) (2.102) i=1 Trong đó các hệ số thỏa mãn các điều kiện từ (2.50) đến (2.59) với các phần tử của véc tơ a0(t) và ma trận a1(t) là hàm đặc trưng của thời gian và phân phối điều kiện P(θ 0 ≤ a / ξ 0 ) là Gaussian Cho ϕst là... Lấy kỳ vọng điều kiện E (./ Fsξ ) hai vế của (2.108), ta nhận được biểu diễn (2.105) W Bây giờ ta lại giả sử phân phối điều kiện P(θ 0 ≤ a / ξ 0 ) là Gaussian và các điều kiện từ (2.50) đến (2.59) được thỏa mãn và A0 (t , x) = A0 (t ) + A2 (t ) x, a1 (t , x ) = a1 (t ), A(t , x ) = A1 (t ), Trong đó các phần tử của véc tơ và ma trận a i(t) và Ai(t), i=0, 1, 2, là các hàm đặc trưng nói cách khác 2 dθt... lại là hiển nhiên Ftξ ⊇ Ftξ ,w (do cách xây 0 0 dựng quá trình w ) W II.3 Phương trình lọc tối ưu nhiều chiều Cho không gian xác suất (Ω, F , P) với họ không giảm, liên tục phải các σ − đại số ( Ft ), 0 ≤ t ≤ T w1 = (w1 (t ), Ft ), w 2 = (w 2 (t ), Ft ) là hai quá trình wiener độc lập, trong đó w1 (t ) = [w11 (t ), , w1k (t )], w 2 (t ) = [w 21 (t ), , w 2l (t )] Quá trình quan sát bộ phận (θ , ξ ) =... (2.111) và (2.112) 32 Chương III DÃY GAUSSIAN ĐIỀU KIỆN: LỌC VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN III.1 Định lý tương quan chuẩn Định nghĩa: Ma trận A+ (cỡ n x m) được gọi là giả nghịch đảo đối với ma trận A =A(nxm), nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: A A+ A=A ( 3.1) A+ =U A*=A*V (3.2) Trong đó U, V là các ma trận hàng, cột của ma trận A+ tương ứng Bổ đề 3.1 : Ma trận A+ thoả mãn (3.1) và (3.2) tồn tại và duy... A1 (t , ξ )θt ]dt + ∑ Bi (t , ξ )dw i (t ) i =1 Là quá trình Gaussian điều kiện, với ∀t , 0 < t0 < t1 < < tn ≤ t , ξ Phân phối điều kiện Fξ (a0 , , an ) = P{θt ≤ a0 , , θt ≤ an / Ft } là Gaussian t 0 0 n Chứng minh định lý này tương tự như chứng minh định lý II.1 Định lý II.7: Cho các điều kiện từ (2.50) đến (2.56) được thỏa mãn và thỏa mãn 3 điều kiện sau (2.57) : a?(1) (t, x) ≤ L, A?(1) (t, x) ≤... nghiệm của phương trình dϕ st = a1 (t )ϕ st , t ≥ s dt (2.103) t Với ϕ s = E( k×k ) Dưới giả thiết được cho sau đây Định lý II.12: Cho các quá trình (θ , ξ ) là (governed) thỏa mãn hệ phương trình cho bởi (2.101 )và (2.102) khi đó với s cố định 0 ≤ t ≤ T , n1 (t , s) thỏa mãn phương trình dn1 (t , s ) = a0 (t ) + a1 (t ) n1 (t , s) dt (2.104) 29 Với n1(s, s)=ms, trong đó ms được xác định bởi (2.60) và. .. Định lý II.8: Cho θ = (θ1 , , θ k ) là biến ngẫu nhiên k chiều với k ∑ Eθ i =1 4 i < ∞ Giả thiết quá trình quan sát ξt = (ξ1 (t ), , ξ k (t )),0 ≤ t ≤ T Có vi phân d ξl = [A0 (t , ξ ) + A1 (t , ξ )θ ]dt + B(t , ξ )dw 2 (t ), Trong đó các hệ số A0, A1, B thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.6 với phân phối điều kiện P(θ ≤ a / ξ 0 ) là Gaussian, N (m0 , γ 0 ) Khi đó t (2.61) : mt = [E + γ 0 ∫ A1* (... từ (2.23) và (2.24) ta xét phân phối Gaussian ε ε Pε (θ ≤ a / ξ 0 ) với tham số m0 = m0 , γ 0 = γ 0 + ε , ε > 0 , thay cho phân phối P(θ ≤ a / ξ 0 ) Khi đú cỏc giá trị liên đới mtε , γ tε được cho bởi (2.23) và (2.24) với sự thay thế của γ 0ε = γ 0 + ε cho γ 0 , chuyển qua giới hạn khi ε → 0 ta thu được điều phải chứng minh II.2 Tính duy nhất nghiệm của phương trình lọc: quan hệ tương đương của σ −... ) -∞ Thì ta không cần sử dụng phương trình lọc nhiều chiều cho quá trình ngẫu nhiên Gaussian điều kiện Thật vậy, nếu γ 0 > 0, ta có P(θ ≤ a / Ft ξ ) = E{χ [θ ≤ a]/Ftξ }= a ∫ -∞ 2 t t  (α -m 0 ) 2 1 A1 ( s, ξ ) 1  A1 ( s, ξ ) exp{+∫ (α − ms (ξ )) d w s − ∫  ( a − ms (ξ ))  ds} 2γ 0 B( s, ξ ) 2 0  B ( s, ξ ) 2πγ 0  0 Do phân phối điều kiện P(θt ≤ a / Ftξ ) là Gaussian ta có mật độ: dP (θ ≤ a / Ft... j (t ) / Ft ] 18 Định lý II.6: Cho các điều kiện từ (2.50) đến (2.56) được thỏa mãn với xác suất 1 và phân N ( m0 , γ 0 ), m0 = E (θ 0 / F0ξ ) Fξ0 (a0 ) = P (θ 0 ≤ a0 / ξ 0 ) phối là Gaussian, và ma trận γ 0 = E[(θ 0 − m0 )(θ 0 − m0 )* / F0ξ ] sao cho Trγ 0 < ∞ Khi đó quá trình ngẫu nhiên (θ , ξ ) = [(θ1 (t ), , θ k (t )), (ξ1 (t ), , ξ k (t ))] thỏa mãn hệ phương trình 2 dθt = [a0 (t , ξ ) + a1 (t . lý thuyết lọc tối ưu đối với quá trình Gaussian điều kiện và áp dụng của nó vào các bài toán thống kê và các bài toán điều khiển tối ưu với thời gian rời rạc và các bài toán điều khiển tối ưu. trình quan sát được. Bài toán lọc tối ưu đối với quá trình quan sát được bộ phận ( , ) θ ξ được hiểu là xây dựng đối với mỗi t (0 )t T ≤ ≤ ước lượng bình phương tối thiểu của hàm h t của. TỐI ƯU: PHÉP NỘI SUY VÀ PHÉP NGOẠI SUY CỦA CÁC THÀNH PHẦN CỦA QUÁ TRÌNH GAUSSIAN ĐIỀU KIỆN II1. Phương trình lọc tối ưu Giả sử ( , ) ( , ),0 t t t T θ ξ θ ξ = ≤ ≤ là quá trình ngẫu nhiên trong

Ngày đăng: 24/04/2015, 18:52

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan