SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11" PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU 1 . Lý do chọn đề tài Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ở chương II đề cập đến chủ đề: Tổ hợp - xác suất. Để có thể giải quyết được các bài toán Tổ hợp - xác suất học sinh phải nắm vững các kiến thức theo chuẩn kiến thức kỹ năng đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vào những tình huống cụ thể. Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 chương trình cơ bản môn Toán tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,… các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải quyết các tình huống cụ thể. Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt so với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước một bài toán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đã làm đúng. Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài: “Phương pháp giải bài toán xác suất lớp 11”. Đề tài của tôi gồm 3 phần: Phần I: Lời nói đầu Phần II: Nội dung A: Cơ sở lý thuyết B: Phương pháp giải một số bài toán xác suất 11 C: Một số bài tập tham khảo Phần III: Kết luận 2. Mục đích yêu cầu Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vào những tình huống cụ thể. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Khách thể: Học sinh khối 11 trường THPT Nguyễn Trung Ngạn. - Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất, các bài toán xác suất. - Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình SGK cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11. 4.Nhiệm vụ nghiên cứu. a) Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất b) Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán xác suất trong một số tình huống cụ thể. 5.Phương pháp nghiên cứu a) Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học b) Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh. c) Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyết các bài toán ở những lớp trước. Phần II: NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1) Biến cố và phép thử biến cố • Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó. • Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω . • Biến cố là một tập con của không gian mẫu Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C,… và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con. Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt: - Tập φ được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không). - Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn. • Phép toán trên biến cố Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và các kết quả của phép thử là đồng khả năng. + Tập \ A Ω được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là . Và xảy ra khi và chỉ khi không xảy ra. +Tập A B∪ được gọi là hợp của các biến cố A và B. + Tập được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B. + Nếu thì ta nói và là xung khắc. + Hai biến cố và được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. 2) Định nghĩa cổ điển của xác suất Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số ( ) ( ) n A n Ω là xác suất của biến cố , kí hiệu là P(A). Vậy ( ) ( ) ( ) n A P A n = Ω 3) Tính chất của xác suất: a) Tính chất cơ bản: • P( φ ) = 0 • P( Ω ) = 1 • 0 ≤ P (A) ≤ 1 với mọi biến cố A. • P ( A ) = 1- P(A) b) Quy tắc cộng xác suất • Nếu A và B xung khắc thì: ( ) ( ) ( )P A B P A P B ∪ = + • Nếu A ∩ B = φ thì ( ) ( ) ( )P A B P A P B ∪ = + • Với mọi biến cố và bất kì ta có: ( ) ( ) ( ) ( . )P A B P A P B P A B ∪ = + − c) Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi ( . ) ( ). ( )P A B P A P B = B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11 B1. Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản: Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất. Xác suất của biến cố A là: ( ) ( ) ( ) n A P A n = Ω Bài toán 1. Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vao 6 thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là: a) Cạnh của lục giác. b) Đường chéo của lục giác. c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác. Phân tích: Đây có thể coi là một bài toán đếm: đếm tổng số cạnh và đường chéo của một lục giác đều. Chúng ta đã biết từ 6 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng có thể tạo ra được 2 6 C = 15 đoạn thẳng. Do đó nếu gọi: là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là cạnh của lục giác” là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo của lục giác” là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác”. Và ta có ( )n Ω = 15, n(A) = 6 ⇒ P(A) = ( ) ( ) n A n Ω = 6 2 15 5 = B = A ⇒ P(B) = 1 – P(A) = 1 - 2 3 5 5 = ( ) 3n C = ⇒ P(C) = ( ) 3 1 ( ) 15 5 n C n = = Ω Bài toán 2. Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho. a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau. b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau. Phân tích: Đây tuy là một bài toán xác suất nhưng thực chất nó lại là một bài toán đếm trong tổ hợp. Đó là tập hợp của các bài toán tổ hợp nhỏ quen thuộc như sau: (1)Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang ( Đáp số: cách). (2)Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng nam nữ ngồi cạnh nhau. ( Đáp số: cách). (3)Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang, biết rằng ba bạn nam ngồi cạnh nhau. ( Đáp số: 4. cách) Như vậy bài toán trên được giải như sau: Lời giải: Gọi là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau” Và là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau” Ta có n( Ω ) = 720, n(A) = 72, n(B) = 144 Suy ra P(A) = ( ) ( ) n A n Ω = 72 1 720 10 = , P(B) = ( ) 144 ( ) 720 n B n = Ω = 1 5 Như vậy phần lớn các bài toán dạng 1 là các bài toán sử dụng công thức và kĩ thuật của toán tổ hợp. Đối với các bài toán như vậy thì học sinh chỉ cần phải nắm vững công thức về tổ hợp và định nghĩa xác suất. Bên cạnh đó, có những bài toán chỉ cần dùng phương pháp liệt kê. Bài toán 3. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trờn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8. Hướng dẫn học sinh: Phộp thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’ Không gian mẫu: (1,1),(1,2),(1,3), (1,6) (2,1),(2,2),(2,3), (2,6) (6,1),(6,2),(6,3), (6,6)       Ω =         gồm 6.6=36 phần tử Xét biến cố A: tổng số chấm tròn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8. Tập A Ω các kết quả thuận lợi của A : { } (2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4) A Ω = suy ra 5 A Ω = Xác suất của A: 5 ( ) 36 P A = Nhận xét: Tuy nhiên, phương pháp liệt kê chỉ có hiệu quả khi số phần tử của biến cố là nhỏ. Nếu số phần tử lớn thì việc liệt kê trở nên khó khăn và dễ xét thiếu phần tử Bài toán 4. ( Đề thi đại học khối A,A1 năm 2013) Gọi S là tập hợp tát cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. chon ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn. Lời giải : Gọi A là biến cố ” Số được chọn là số chẵn” Số phần tử của S là 3 7 A = 210 ( )n⇒ Ω = 210 Số cách chọn một số chẵn từ S là 3.6.5 = 90 cách ( )n A⇒ = 90 Xác suất cần tính là P = 90 3 210 7 = Phân tích: Trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn học sinh đếm số phần tử quy tắc nhân Tương tự học sinh giải bài toán sau đây : Bài toán 5. ( Đề thi đại học khối B năm 2013) Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ 2 chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hôp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu. Lời giải : Số cách chọn 2 viên bi, mỗi viên từ một hộp là 7.6 = 42. Số cách chọn 2 viên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là 4.2 = 8 [...]... tin hơn và giải quyết các bài toán xác suất tốt hơn 4 Giải pháp đề nghị : Bài toán xác suất mới được đưa vào chương trình toán lớp 11 THPT , hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán này Để giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau tôi xin nêu một số giải pháp đề nghị... Những bài toán sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất là các bài toán luôn tính được xác suất của biến cố cơ sở (các biến cố cần tính xác suất biểu diễn qua các biến cố này) Chúng ta để ý các xác suất sau: o Khi gieo một đồng tiền xu cân đối, đồng chất thì • Xác suất xuất hiện mặt sấp là 1 2 • Xác suất xuất hiện mặt ngửa là 1 2 o Khi gieo một con súc sắc cân đối đồng chất thì • Xác suất. .. 1 6 • Xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn: • Xác suất xuất hiện mặt số chấm là lẻ: 1 2 1 2 • Xác suất xuất hiện mặt số chấm là số chia hết cho 3: 1 2 Đối với các phép thử khác thì tuỳ theo từng bài toán ta sẽ tính được xác suất này Và cũng có nhiều bài toán cho trực tiếp xác suât Bài toán sau là một ví dụ Bài toán 16 Có 2 lô hàng Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm Xác suất để... tiến hay lùi đều có xác suất là 1 1 1 = 2 2 16 Khi đó xác suất cần tìm là P = 1 , 2 nên mỗi trường hợp có xác suất là 1 1 2 2 6 3 = 16 8 B2 Dạng 2: Biến cố đối Trong toán học, có những bài toán khi tính toán trực tiếp rất dài dòng và phức tạp Khi đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy Bài toán 9 Gieo đồng tiền... các quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình hướng dẫn học sinh phân tích và giải bài toán Bước 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cho học sinh thông qua một số bài tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bài toán Kết quả sau khi thực hiện đề tài: Trên đây là một vài phương pháp giải các bài toán xác xuất mà tôi đã nghiên cứu và... những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác nhau ta có thể coi biến cố A là biến cố giao của các biến cố A 1 , , An độc lập tương ứng Sau đó sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất của biến cố A Bài toán 22: Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25 Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng hỏng Tính xác suất. .. xét: Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A chia thành nhiều nhóm ta có thể coi biến cố A là biến cố hợp của các biến cố A1 , …, An xung khắc tương ứng Sau đó sử dụng quy tắc cộng xác suất để tính xác suất của biến cố A Bài toán 21: Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A trong một lần bắn là 7 Xạ thủ B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của... bi lấy ra không có đủ 3 màu” Do đó xác suất cần tìm là P( A ) = 1 – P(A) = 1- 720 43 = 91 1365 B3 Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân Bài toán 13 Gieo đồng thời hai con súc sắc Tính xác suất sao cho: a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn b) Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn Phân tích: a) Đối với bài toán này phần lớn học sinh đều giải bằng cách đếm số phần tử của biến... biến cố 6 bóng hỏng P( A3 ) = C66 0, 756 A = A1 ∪ A2 ∪ A3 là biến cố lớp học đủ ánh sáng A là biên cố lớp học không đủ ánh sáng P ( A) = 1 − P ( A) = 0,8305 Bài toán 23: Một người bắn 3 viên đạn Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suỏt để 1 viên trúngvòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm 1 Hướng dẫn: Gọi A1 là biến cố 1... là Hãy tính xác suất để: a) Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt b) Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt Phân tích: Đây là bài toán cho trước xác suất nên chắc chắn ta phải sử dụng phép toán tính xác suất để giải quyết Biến cố cơ sở sẽ là “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” và “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai” Lời giải: Gọi “Lấy . Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi ( . ) ( ). ( )P A B P A P B = B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11 B1. Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản:. pháp giải bài toán xác suất lớp 11 . Đề tài của tôi gồm 3 phần: Phần I: Lời nói đầu Phần II: Nội dung A: Cơ sở lý thuyết B: Phương pháp giải một số bài toán xác suất 11 C: Một số bài tập tham. TÀI: "PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11& quot; PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU 1 . Lý do chọn đề tài Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ở chương II đề cập đến chủ đề: Tổ hợp - xác