Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………… 3 Chương 1 MỞ ĐẦU……………………………………………………………………….5 1.1 Phương trình truyền nhiệt………………………………………………5 1.2 Công thức Taylor……………………………………………………….7 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI MỘT………………… 9 2.1 Phát biểu bài toán……………………………………………………….9 2.2 Lưới sai phân và hàm lưới…………………………………………… 10 2.3 Lược đồ sai phân……………………………………………………….12 2.4 Bài toán sai phân đối với sai sè……………………………………… 17 2.5 Sự xấp xỉ……………………………………………………………….18 2.6 Sự ổn định…………………………………………………………… 18 2.7 Sự hội tụ……………………………………………………………… 25 Chương 3 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI BA……………………26 3.1 Phát biểu bài toán…………………………………………………… 26 3.2 Lưới sai phân và hàm lưới…………………………………………… 27 1 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân 3.3 Lược đồ sai phân………………………………………………………27 3.4 Bài toán sai phân đối với sai sè……………………………………… 32 3.5 Sự xấp xỉ……………………………………………………………….33 3.6 Sự ổn định…………………………………………………………… 33 3.7 Sự hội tụ……………………………………………………………… 43 KẾT LUẬN ………………………………………………………………….44 PHỤ LỤC ……………………………………………………………………45 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… 51 2 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân Lời nói đầu Bài toán truyền nhiệt là một trong ba bài toán vật lý toán cơ bản mà chúng ta hay gặp trong thực tế. Việc giải các bài toán đó để có được đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn. Trong một số Ýt trường hợp, chúng ta có thể tìm được nghiệm tường minh. Tuy nhiên trong đa số trường hợp, đặc biệt đối với các bài toán có hệ số hàm thì nghiệm tường minh của bài toán là khó có thể xác định được, hoặc nghiệm tường minh ở dạng rất phức tạp. Vì vậy trong trường hợp này chúng ta thường dựa vào các phương pháp giải gần đúng để tìm nghiệm. Đến nay có hai lớp phương pháp quan trọng thường được sử dụng để tìm nghiệm gần đúng là : phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Nội dung của nó là đưa bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương trình sai phân sao cho việc tính toán thuận tiện, đồng thời vẫn đảm bảo được tính ổn định của lược đồ, cũng như đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm gần đúng tìm được tới nghiệm đúng của bài toán. Nhận thấy tầm quan trọng của phương pháp sai phân hữu hạn, em đã tìm hiểu về phương pháp này. Đồng thời với sự hướng dẫn của thầy Tạ Văn Đĩnh, em đã chọn đề tài : giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân. Trong đồ án này em đã đi xây dựng lược đồ sai phân cho một số dạng bài toán truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiên biên loại một và điều kiện biên loại ba. Lược đồ này ổn định, đồng thời nghiệm sai phân của các lược đồ này đều hội tụ đến nghiệm của bài toán vi phân cấp hai đối với τ (bước đi theo thời gian) và cấp hai đối với h (bước đi theo không gian). Cụ thể là đồ án gồm các chương: Chương 1 : Mở đầu 3 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân Chương này giới thiệu phương trình truyền nhiệt và công thức Taylor để nghiên cứu lược đồ sai phân. Chương 2: Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại một. Chương 3: Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại ba. 4 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân Chương 1 MỞ ĐẦU 1.1 Phương trình truyền nhiệt. Xét một thanh vật chất không đồng chất, dài L(cm), có thiết diện thẳng nhỏ không đổi là S(cm 2 ), có khối lượng riêng là ρ (g/cm 3 ), có nhiệt dung là C(cal/g. o C). Xét một bộ phận vật chất có thể tích V(cm 3 ). Nếu bộ phận đó có nhiệt độ không đổi thì nhiệt độ u( o C) và nhiệt lượng H(cal) của nó liên hệ với nhau bởi công thức: H = u ρ CV (1.1) Người ta quan sát thấy khi thanh vật chất có vùng nóng vùng lạnh thì nhiệt lượng có khả năng khuếch tán từ vùng nóng sang vùng lạnh. Ta gọi suất khuếch tán nhiệt là k(cm 2 /s). Bây giờ giả sử thanh vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trường xung quanh, trừ tại hai đầu mút. Hãy xét diễn biến theo thời gian của phân bố nhiệt độ trong thanh. Ta tưởng tượng thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x = a đến x = a+L = b 0 a b x Gọi u(x,t) là nhiệt độ của thanh tại điểm x ở thời điểm t. Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp hơn. Sự lan truyền diễn ra dọc theo thanh vật chất tức là theo phương x. Nó tuân theo định luật truyền nhiệt thực nghiệm của Fourier. 5 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân Luồng nhiệt q(cal/(cm 2 .s)) theo phương x (tức là nhiệt lượng khuếch tán qua một đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ S trong một đơn vị thời gian) tỉ lệ với vận tốc biến thiên của nhiệt độ u dọc theo phương x, tức là tỉ lệ với x u ∂ ∂ : q = -k ρ C x u ∂ ∂ (1.2) dấu trừ (-) ở vế phải nói rằng nhiệt truyền theo chiều giảm của nhiệt độ. Do có định luật bảo toàn nhiệt lượng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗi phân tố nhỏ S x ∆ của thanh từ x đến x+ x ∆ trong thời gian t ∆ . Sự cân bằng này diễn đạt bằng công thức : Nhiệt truyền vào phân tố – Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích luỹ trong phân tố. Nhiệt truyền vào phân tố là q(x,t)S t ∆ ; Nhiệt ra khỏi phân tố là q(x+ x ∆ ,t)S t ∆ ; Nhiệt tích luỹ trong phân tố là S x ∆ ρ C u ∆ . trong đó u ∆ là biến thiên của nhiệt độ trong thời gian t ∆ . Vậy có : q(x,t)S t ∆ - q(x+ x ∆ ,t)S t ∆ = S x ∆ ρ C u ∆ chia cho S x t∆ ∆ ta được : q(x,t) q(x x,t) u C x t − + ∆ ∆ = ρ ∆ ∆ chuyển qua giới hạn (bằng cách cho x 0∆ → , t 0 ∆ → ), ta có: q u C x x ∂ ∂ − = ρ ∂ ∂ áp dụng định luật Fourier (1.2) ta suy ra: t u C) x u kC( x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ρρ a < x < b, t > 0, k=k(x,t), ρ = ρ (x,t), C = C(x,t) (1.3) 6 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân để đơn giản tính toán ta coi ρ =const và C=const ta viết lại phương trình (1.3) t u ) x u k( x ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ a < x < b, t > 0, k=k(x,t) (1.4) Phương trình (1.4) mô tả hiện tượng truyền nhiệt trong thanh vật chất không đồng chất, gọi là phương trình truyền nhiệt của thanh, còn gọi là phương trình truyền nhiệt một chiều. Khi trong thanh vật chất còn có một nguồn nhiệt(sinh hay hấp thụ nhiệt) đặc trưng bởi hàm f(x,t) thì ta có phương trình: u u k(x,t,u) f (x,t) x x t ∂ ∂ ∂   + =   ∂ ∂ ∂   ; a < x < b, t > 0 (1.5) nếu k và f không phụ thuộc vào u thì ta có phương trình truyền nhiệt tuyến tính: u u k(x,t) q(x,t)u f (x,t) t x x ∂ ∂ ∂   = − +   ∂ ∂ ∂   ; a < x < b, t > 0 (1.6) nếu trong môi trường truyền nhiệt còn có hiện tượng đối lưu thì có phương trình: u u u k(x,t) r(x,t) q(x,t)u f (x,t) t x x x ∂ ∂ ∂ ∂   = + − +   ∂ ∂ ∂ ∂   ; a < x <b, t > 0 (1.7) Trong phạm vi của đồ án này, em xin trình bày phương pháp sai phân đối với một số dạng phương trình truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại một và phương trình truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại ba. 1.2 Công thức Taylor Ta nhắc lại công thức Taylor vì sau này ta phải sử dụng nó nhiều lần. Giả sử ( ) xF là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m+1 trong một khoảng ( ) βα , chứa x và xx ∆+ , x ∆ có thể dương hay âm. Khi đó người ta chứng minh được công thức Taylor sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++ ∆ + ∆ +=∆+ !2!1 '' 2 ' xF x xF x xFxxF 7 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cF m x xF m x m m m m 1 1 !1! + + + ∆ + ∆ + (1.8) trong đó c là một điểm ở trong khoảng từ x đến xx ∆+ ; để diễn tả điều đó ta có thể viết c = xx ∆+ . θ với 10 << θ . Ta giả thiết thêm: ( ) constMxF m =≤ + 1 , [ ] βα ,∈x Khi đó số hạng cuối cùng ở (1.8) là một vô cùng bé khi 0 →∆ x và công thức Taylor (1.8) viết gọn hơn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++ ∆ + ∆ +=∆+ !2!1 '' 2 ' xF x xF x xFxxF ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ! + ∆+ ∆ + m m m xOxF m x (1.9) 8 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CRANK – NICOLSON GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI MỘT 2.1 Phát biểu bài toán Cho các số ba, ; ba < và 0>T . Xét: ( ) ( ] TbaQ T ,0, ×= ; [ ] [ ] TbaQ T ,0, ×= Xét bài toán biên thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt: Tìm hàm số ( ) txu , thoả mãn: ( ) ( ) ( ) txfutxq x u txk xt u Lu ,,, =+       ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ≡ ( ) T Qtx ∈, (2.1) ( ) ( ) xgxu = 0, , bxa ≤≤ (2.2) ( ) ( ) tgtau a = , , ( ) ( ) tgtbu b = , Tt ≤< 0 (2.3) trong đó ( ) txk , , ( ) txq , , ( ) txf , , ( ) xg , ( ) tg a , ( ) tg b là những hàm số cho trước đủ trơn và thoả mãn điều kiện : ( ) txkc ,0 0 ≤< , ( ) txq ,0 ≤ c 0 = const Phương trình (2.1) là phương trình loại parabol. Phương trình (2.1) là phương trình truyền nhiệt một chiều. Biến x gọi là biến không gian, còn biến t gọi là biến thời gian. Bài toán (2.1)-(2.3) là một bài toán vừa có điều kiện ban đầu (đó là điều kiện (2.2)), vừa có điều kiện biên (đó là điều kiện (2.3)); Đó là bài toán biên loại một đối với phương trình (2.1). Giả sử bài toán (2.1)-(2.3) có nghiệm duy nhất đủ trơn trong T Q . 2.2 Lưới sai phân và hàm lưới 9 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân 2.2.1 Lưới sai phân Chọn hai số nguyên N >1 và M ≥ 1 và đặt: N ab h − = , ihax i += , i=0,1,2,…N M T = τ , τ jt j = . j = 0,1,2,…,M Ta chia miền T Q thành các ô bởi những đường thẳng i xx = , j tt = . Mỗi điểm ( ) ji tx , gọi là một nút, nút ( ) ji tx , còn được viết gọn là (i,j); h gọi là bước đi theo không gian, τ được gọi là bước đi theo thời gian. Tập tất cả các nút tạo thành một lưới sai phân trên T Q . Lưới trên [a, b] (lưới không gian): Tập: Ω h = { x i | i=1,2,…,N-1} gọi là tập các nút trong trên [ ] ba, . Tập: Γ h = { x i | i=0, N } gọi là tập các nút biên trên [ ] ba, ; nót 0 và nút N là hai nút biên. Tập: hhh Γ×Ω=Ω gọi là một lưới sai phân trên [ ] ba, . Lưới trên [ ] T,0 (lưới thời gian): Tập: { } j t | j 1,2, ,M τ Ω = = gọi là một lưới sai phân trên ( ] T,0 . Tập: { } { } 0tM0,1, ,j|t 0j =∪Ω===Ω ττ gọi là một lưới sai phân trên [ ] T,0 ; nót t o = 0 là nút ban đầu. Tập: ττ Ω∪Ω=Ω hh là tập các nút trong trên T Q . Tập: 10 [...]... giá sai số của phương pháp Crank-Nicolson 25 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân Chương 3 PHƯƠNG PHÁP CRANK – NICOLSON GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI BA 3.1 Phát biểu bài toán Cho các số a, b ; a < b và T > 0 Xét: QT = ( a, b ) × ( 0, T ] ; QT = [ a, b] × [ 0, T ] Xét bài toán biên loại 3 đối với phương trình truyền nhiệt: Tìm hàm số. .. vừa có điều kiện biên (đó là điều kiện (3.3)-(3.4)); Đó là bài toán biên loại ba đối với phương trình (3.1) 26 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân Giả sử bài toán (3.1)-(3.4) có nghiệm duy nhất đủ trơn trong QT 3.2 Lưới sai phân và hàm lưới Làm tương tự nh trường hợp điều kiện biên loại một 3.3 Lược đồ sai phân Làm tương tự nh trường hợp điều kiện biên loại một ta sai phân. ..  (3.16) các điều kiện (3.11) cho vi0 Khi biết vij ở lớp j phương trình (2.14) cho phép tính vij +1 nhưng phải giải j một hệ đại số tuyến tính đối với v0j +1, v1j +1 , , vN+1 Đây là một phương pháp Èn 31 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân Hệ (3.14), (3.15) và (3.16) là một hệ 3 đường chéo có thể giải bằng phương pháp truy đuổi 3.4 Bài toán sai phân đối với sai sè Gọi v... i , t j +1 / 2 ) với qi j các điều kiện (2.16), (2.17) cho vi0 , v0j , v N Khi biết vij ở lớp j phương trình (2.15) cho phép tính vij +1 nhưng phải giải j một hệ đại số tuyến tính đối với v1j +1 , v2j +1 , , v N+1 Đây là một phương pháp Èn Hệ (2.15) là một hệ 3 đường chéo có thể giải bằng phương pháp truy đuổi 2.4 Bài toán sai phân đối với sai sè Gọi v là nghiệm của bài toán sai phân (2.15) – (2.17)... toán tử vi phân L bởi toán tử sai phân L hτ Từ đó ta suy ra : L hτ w = ϕ, ϕ = O(τ 2 + h 2 ) (2.18) Ta nói bài toán sai phân (2.15) – (2.17) xấp xỉ bài toán vi phân (2.1) – (2.3), cấp xấp xỉ là cấp hai đối với τ và cấp hai đối với h 2.6 Sự ổn định Xét bài toán sai phân với điều kiện biên thuần nhất (2.17) Để trình bày sự ổn định, trước hết ta đưa ra một số khái niệm và một số kết quả phụ: Với mỗi hàm. .. ) đó là sự xấp xỉ toán tử vi phân L bởi toán tử sai phân Lhτ Từ đó ta suy ra: Lhτ w = ϕi , ϕi = O(τ 2 + h 2 ) i = 1, N − 1 (3.18) và ϕ0 = O(τ 2 + h 2 ) , ϕ N = O(τ 2 + h 2 ) Ta nói bài toán sai phân (3.10)-(3.13) xấp xỉ bài toán vi phân (3.1)-(3.4), cấp xấp xỉ là cấp hai đối với τ và cấp hai đối với h 3.6 Sự ổn định Xét bài toán sai phân với điều kiên biên loại ba (3.17) Bây giờ phương trình Lhτ w... v0j + v1j + + vN ]h Mỗi hàm số u(x,t) xác định trên QT có giá trị tại (i,j) là u(xi,tj) và tạo ra hàm lưới u xác định bởi uij =u(xi,tj) 2.3 Lược đồ sai phân 11 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân Sử dụng phương pháp Crank-Nicolson (6 điểm đối xứng) để giải Dùng công thức Taylor ta tính xấp xỉ các đạo hàm của phương trình (2.1) tại các nút lưới ta có: Với quy ước t j +1 / 2... những hàm số cho trước đủ trơn và thoả mãn điều kiện : 0 < c0 ≤ k ( x, t ) , và σ 0 ( t ) ≥ 0 , σ1 ( t ) ≥ 0 , 0 ≤ q ( x, t ) c0 = const σ 0 ( t ) + σ1( t ) > 0 Phương trình (3.1) là phương trình loại parabol Phương trình (3.1) là phương trình truyền nhiệt một chiều Biến x gọi là biến không gian, còn biến t gọi là biến thời gian Bài toán (3.1)-(3.4) là một bài toán vừa có điều kiện ban đầu (đó là điều kiện. .. ] Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân Lt w j ∞ b - a e j −1 ϕ c0 L ≤ 2 (2.25) 2 Bất đẳng thức (2.25) là bất đẳng thức nói lên sự ổn định của phương pháp Crank-Nicolson Ta có bÊt đẳng thức ổn định (2.25) mà không cần một hạn chế về quan hệ giữa τ và h Vậy phương pháp Crank-Nicolson là một phương pháp ổn định vô điều kiện 2.8 Sự hội tụ Bất đẳng thức ổn định (2.25) kết hợp với. .. ) − ( x 0 , t j ) h = g a ( t j +1 / 2 ) + f ( x 0 , t j +1 / 2 ) + O(τ 2 + h 2 ) 2 τ 2 (3.8) Sai số xấp xỉ ở đây là O(τ 2 + h 2 ) , ngang với sai số xấp xỉ khi thay phương trình vi phân bằng phương trình sai phân Một cách tương tự nh vậy ta có : 29 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân h   u ( x N , t j +1 ) + u ( x n , t j ) + σ 1 ( t j +1 / 2 ) + q ( x N , t j +1 / 2 ) . phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại một. Chương 3: Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại ba. 4 Giải. bày phương pháp sai phân đối với một số dạng phương trình truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại một và phương trình truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại ba. 1.2 Công thức Taylor Ta. ) 1 ! + ∆+ ∆ + m m m xOxF m x (1.9) 8 Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân Chương 2 PHƯƠNG PHÁP CRANK – NICOLSON GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI MỘT 2.1