Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 1 06/2013 Chương 04 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG I) TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1) Diện tích hình phẳng: F F dF   (4.1) 2) Mô men tónh của hình phẳng đối với trục Ox và Oy : . . x F y F S y dF S x dF          (4.2) 3) Mômen tónh của hình phẳng đối với một trục nào đó bằng không, trục đó được gọi là trục trong tâm, giao điểm của hai trục trung tâm là trọng tâm hình phẳng. Gọi C là trọng tâm mặt cắt, từ C kẻ hệ trục tọa độ o o x Cy song song với hệ trục xOy từ đó ta có: 0 0 C C x x x y y y        , Thay vào (4.2) ta có     0 0 0 . . 0 x C C x C x F S y y dF y F S y F S        Vậy ta có: . . x C y C S y F S x F      , nếu hình phẳng là nhiều hình ghép lại: 1 1 . . i i n x C i i n y C i i S y F S x F              (4.3) Trong đó n là số miền mà ta biết trước diện tích và trọng tâm. x Hình 4.1 y x y dF o y o x C C x C y o x o y O  Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 2 06/2013 4) Trọng tâm hình phẳng: 1 1 1 1 . . i i n C i y i C n i i n C i x i C n i i x F S x F F y F S y F F                          (4.4) 5) Các mômen quán tính của hình phẳng đối với trục Ox và Oy : 2 2 . . x F y F J y dF J x dF          (4.5) 6) Mômen quán tính ly tâm của hình phẳng đối với hệ trục Ox và Oy : . . xy F J x y dF   7) Mômen quán tính cực của hình phẳng đối với tâm O : 2 . F J dF     (4.7) x y J J J    8) Mômen quán tính ly tâm của hình phẳng đối với hệ trục trong đó có một trục đối xứng bằng không, hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính, nếu hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm hình phẳng được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. 9) Bán kính quán tính của hình phẳng đối với trục Ox và Oy : x x y y J i F J i F          (4.8) 10) Mô men quán tính của một số hình thường gặp: Hình 4.2 x y C b h y x d C x b h C Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 3 06/2013  Hình chữ nhật: 3 3 12 12 x y bh J hb J           Hình tròn đặc: 4 4 4 4 0,05 64 2 0,1 32 x y x d J J d d J J d                  Hình tam giác: 3 36 x bh J  11) Công thức chuyển trục song song: Mômen quán tính của hình phẳng đối với trục Ox : 2 . x F J y dF   , trong đó 0 1 y y y     1 1 2 2 2 2 0 1 0 1 0 1 0 0 . . . 2 . . 2 x x x F F F F J y y dF y dF y dF y y dF y F J y S              Vậy ta có: 1 1 1 1 2 0 0 2 0 0 2 2 x x x y y y J J y F y S J J x F x S            (4.8) Nếu O C  ( O là trọng tâm mặt cắt), ta có 1 1 0 x y S S   1 1 2 0 2 0 x x y y J J y F J J x F           (4.9) II) VÍ DỤ  Ví dụ 1: Tính các mômen quán tính hình chữ nhật cạnh b h  đối với các trục , x y như hình V.4.1 x Hình 4.2 y x y dF 1 y 1 x O O x O y 1 x 1 y O Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 4 06/2013 Mômen quán tính của hình chữ nhật đối với các trục trung tâm: 1 1 3 3 ; 12 12 x y bh hb J J  Sử dụng công thức chuyển trục song song ta có: 1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 1 . . 2 12 2 3 1 . . 2 12 2 3 x x y y h bh h J J bh bh bh b hb b J J bh bh hb                                           Ví dụ 2: Tính các mômen quán tính hình tam giác đối với trục x như hình V.4.2 Mômen quán tính của tam giác đối với trục trung tâm: 1 3 36 x bh J  Sử dụng công thức chuyển trục song song ta có: 1 2 2 3 3 1 1 . . 3 2 36 3 2 12 x x h bh h bh J J bh bh                   Ví dụ 3: Tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.3a Hệ trục đối xứng   xy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng. Chia hình phẳng thành 3 hình như hình V.4.3b, ta có       1 2 3 x x x x J J J J    Hình V.4.2 x b h 1 x b h C x / 3 h Hình V.4.1 1 x 1 y C b h C b h x y Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 5 06/2013 1 2 3 3 4 2 3 30.900 12 76626 450.30 900 30 .450.30 12 2 2 x x x x J J cm J J                     1 2 3 3 3 4 900.30 30.450 2 45765 12 12 y y y y J J J J cm       Chia hình phẳng thành 3 hình như hình V.4.3c, ta có       1 2 3 x x x x J J J J    (hình (1) là hình đặc, hình (2), hình (3) là hai hình chữ nhật rỗng) 3 3 4 450 30 .900 450.960 2 2 76626 12 12 x J cm     1 2 3 3 3 4 900.30 30.450 2 45765 12 12 y y y y J J J J cm        Ví dụ 4: Xác đònh trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.4a Chọn hệ trục tọa độ 1 x y như hình V.4.4b ( y là trục đối xứng của mặt cắt ngang), chia hình phẳng thành hai hình gồm hình đặc (1) và hình rỗng (2). b b 7 b 15 b b b 7 b 15 b 1 x y Hình V.4.4 ) a ) b x C c y Hình V.4.3 900 40 30 450 450 30 ) a ) b 900 30 30 450 450 30 x y   3   1   2 900 30 30 450 450 30 x y   1   2   3 ) c Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 6 06/2013 Trọng tâm hình phẳng: 2 1 2 1 0 3,5 .15 .7 3 .13 .6 89 15 .7 13 .6 18 i C C i i C i i x y F b b b b b b y b b b b b F                    Hệ trục xy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng.                 3 3 2 2 1 2 4 3 3 1 2 4 15 . 7 13 . 6 89 89 3,5 .15 .7 3 .13 .6 118,917b 12 18 12 18 7 . 15 6 . 13 870,25 12 12 x x x y y y b b b b J J J b b b b b b b b b b b b J J J b                                           Ví dụ 5: Xác đònh trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.5a Chọn hệ trục tọa độ 1 x y như hình V.4.5b ( y là trục đối xứng của mặt cắt ngang), chia hình phẳng thành hai hình gồm hình. Trọng tâm hình phẳng: 2 2 2 1 2 2 2 1 0 4 .8 8,5 .7 6,1 8 7 i C C i i C i i x y F b b b b y b b b F                    Hệ trục xy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng.                     3 3 2 2 1 2 2 2 4 3 3 1 2 4 . 8 7 . 4 6,1 .8 8,5 6,1 .7 118,85b 12 12 8 . . 7 29,25 12 12 x x x y y y b b b b J J J b b b b b b b b b b J J J b                               Ví dụ 6: Tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.6a b b 8 b 7 b b b 8 b 7 b 1 x 1 y x (1) (2) Hình V.4.5 ) a ) b c y Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 7 06/2013 Hệ trục đối xứng   xy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng. Chia hình phẳng thành 2 tam giác như hình V.4.6b 3 4 2 2 . 2 2 12 12 x y b b b J J           Ví dụ 6: Tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.6a. Hệ trục đối xứng   xy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng như hình V.4.6b. Chia hình phẳng thành 3 hình gồm hình chữ nhật đặc (1) và hai tam giác rỗng (2). 3 3 4 2 3 3 4 75.70 12,5.20 4 2110416,667 12 12 70.75 40.12,5 100 1 2 40.12,5 1901041,667 12 36 3 2 x y J cm J cm                             III) BÀI TẬP 4.1. Tính các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang như hình B.4.1. 50 cm 75 cm 40 cm 70 cm 50 cm 75 cm 40 cm 70 cm x y ) a ) b Hình V.4.7 b b   b b   x y (1) (2) ) a ) b Hình V.4.6 Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 8 06/2013 4.2. Xác đònh trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang như hình B.4.2. Khi tính bỏ qua các góc lượn (xem tại vò trí các góc lượng là góc vuông). So sánh kết quả tính được với tra bảng thép 70 70 6 L   . 4.3. Xác đònh trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang như hình B.4.3. 4.4. Tính các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang như hình B.4.4. Mặt cắt ngang gồm hai thép chữ 70 70 6 L   ghép lại. 70 6 Hình B.4.4 6 70 14 16 76 70 30 120 Hình B.4.3 30 70 70 6 Hình B.4.2 6 530 14 14 360 9 Hình B.4.1 Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 9 06/2013 4.5. Xác đònh trọng tâm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang như hình B.4.5. 4.6. Mặt cắt ngang của một dầm thép được tổ hợp từ bốn thép góc đều cạnh số hiệu 40 40 5 L   và bốn tấm thép có kích thước 7 70  như hình B.4.6. Tính các mơmen qn tính chính trung tâm của mặt cắt. 41 98 183 60 20 60 100 50 cm 75 cm 40 cm 70 cm 25 cm 5 48 18 3 6 5 3 48 5 5 b b   2 b 2 b Hình B.4.5 6 6 30 22 5 5 b b   2 b 6 10 5 48 18 3 6 5 Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 10 06/2013 4.7. Mặt cắt ngang của một dầm thép được tổ hợp từ bốn thép góc đều cạnh số hiệu 40 40 5 L   và tấm thép có kích thước 174 6  như hình B.4.7. Tính các mơmen qn tính chính trung tâm của mặt cắt. 4.8. Mặt cắt ngang của một dầm thép được tổ hợp từ hai thép góc số hiệu 18 I và thép góc số hiệu 22 I như hình B.4.8. Tính các mơmen qn tính chính trung tâm của mặt cắt. 4.9. Mặt cắt ngang của một dầm thép được tổ hợp từ hai thép góc số hiệu 18 I và hai tấm thép thép có kích thước 400 12  như hình B.4.9. Tính các mơmen qn tính chính trung tâm của mặt cắt. Hình B.4.9 18 I 18 I 12 400 Hình B.4.8 18 I 18 I 22 I 160 Hình B.4.7 6 40 40 5 L   174 70 Hình B.4.6 7 40 40 5 L   . Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật liệu trang 1 06/2013 Chương 04 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG I) TÓM. ngang gồm hai thép chữ 70 70 6 L   ghép lại. 70 6 Hình B .4. 4 6 70 14 16 76 70 30 120 Hình B .4. 3 30 70 70 6 Hình B .4. 2 6 530 14 14 360 9 Hình B .4. 1 Đặc trưng hình học mặt cắt. của hình phẳng như hình V .4. 6a b b 8 b 7 b b b 8 b 7 b 1 x 1 y x (1) (2) Hình V .4. 5 ) a ) b c y Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng Bài tập sức bền vật