PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HOÀNG MAI TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ GIÁP BÁT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ Giáo viên : Nguyễn Thị Hồng Hải Bộ môn : Toán NĂM HỌC 2013 – 2014 PHẦN I: MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho cá môn khoa học khác, có ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống. Toán học giữ vai trò quan trọng trong mọi bậc học. Làm thế nào để học được toán, học giỏi toán đó là vấn đề đặt ra mà không phải lúc nào cũng giải quyết được một cách dễ dàng. Trong toán học, việc lựa chọn cách giải giữ vị trí quan trọng để có thể đạt hiệu quả tốt. Đó là ta nhanh chóng định hướng được cách giải và tìm được cách giải nhanh nhất. Muốn vậy, phải rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Với cương vị là một giáo viên toán, sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy mảng giải toán cực trị được đưa ra ở sách giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lược, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi. Tuy nhiên, nội dung bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Các bài toán cực trị trong đại số là một nội dung thường gặp trong các kỳ thi ở bậc THCS, THPT và đặc biệt là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi. Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với phương trình bậc cao. Cùng với sự tích lũy kinh nghiệm có được của bản thân qua nhiều năm giảng dạy tôi xin đề xuất một số phương pháp giải bài toán cực trị trong đại số và các bài tập min họa trong chương trình toán THCS. Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tự phân loại được một số dạng toán tìm cực trị trong đại số, nêu lên một số phương pháp giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc giải bài toán tìm cực trị trong đại số. Việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán loại này sẽ giúp cho học sinh phát triển tư duy, trí tuệ, tạo điều kiện đạt kết quả cao trong kỳ thi học sinh giỏi, trang bị những kiến thức cần thiết để các em có thể vững vàng; tự tin trong việc tiếp cận những kiến thức toán học ở cấp học cao hơn. Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số cách giải bài toán tìm cực trị về dạng quen thuộc mà các em đã biết cách giải. Đề tài này có thể áp dụng cho giáo viên toán và những học sinh yêu thích môn toán tham khảo cách giải và cách trình bày. Tuy vậy, nội dung của đề tài vẫn còn hạn chế do năng lực bản thân. Vì vậy, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo để đề tài này được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các em học sinh trường THCS Giáp Bát đã tạo điều kiện giúp đỡ và hướng dẫn tôi hoàn thành đề tài này. II. MỤC ĐÍCH – NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI - Phương pháp giải các dạng bài tập tìm cực trị - Các ví dụ minh họa - Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải bài toán tìm cực trị trong đại số - Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh lớp 8, 9 trường THCS IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu - Phân tích, tổng kết kinh nghiệm - Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lượng HS, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học. PHẦN II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I. KHẢO SÁT THỰC TẾ Tôi thành lập 2 nhóm học sinh khá giỏi của khối 8 và khối 9. Mỗi lớp 10 em, có học lực môn toán phần cực trị đại số thấp thông qua bài kiểm tra khảo sát chất lượng: Điểm Lớp Sĩ số Giỏi Khá t. bình Yếu kém HS 8 10 4 = 40% 6 = 60% 0 0 0 HS 9 10 5 = 50% 5 = 50% 0 0 0 Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ năng giải các loại bài toán này. Khi hướng dẫn học sinh giải loại toán này phải dựa trên nhiều quy tắc: Yêu cầu về giải bài toán, quy tắc giải bài toán cực trị đại số, phân loại và đưa ra các phương pháp giải. Bằng những kinh nghiệm rut ra sau nhiều năm giảng dạy, tôi mạnh dạn viết Sáng kiến kinh nghiệm: “Giải các dạng bài toán cực trị trong đại số” II. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 1. Khái niệm về cực trị của một biểu thức Cho biểu thức nhiều biến số P( x,y….z) Với x,y,….,z thuộc miền S nào đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x 0, y 0, …z 0 ) ∈ S mà ta có P (x 0, y 0, …z 0 ) ≥ P( x,y….z) hoặc P (x 0, y 0, …z 0 ) ≤ P( x,y….z) thì ta nói P( x,y….z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x 0, y 0, …z 0 ) trên miền S P( x,y….z) đạt giá trị lớn nhất tại (x 0 , y 0 , …z 0 ) ∈ S còn gọi là P đạt cực đại tại (x 0 , y 0 , …z 0 ) hoặc P max tại (x 0 , y 0 , …z 0 ). Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x 0 , y 0 , …z 0 ) ∈ S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x 0 , y 0 , …z 0 ) hoặc P min tại (x 0 , y 0 , …z 0 ). 2. Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức Tìm cực trị của mọi biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đề rộng và phức tạp, nguyên tắc chung là: a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ( ) P x,y,z trên miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước - Chứng tỏ rằng P ≥ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S - Chỉ ra các trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. b) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức ( ) P x,y, z trên miền xác định S ta cần chứng minh hai bước: - chứng tỏ rằng P ≤ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các biến trên miền xác định S - Chỉ ra các trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên Ví dụ: Cho biểu thức A = x 2 + (x - 2) 2 Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau: Ta có: x 2 ≥ 0 ; (x - 2) 2 ≥ 0 nên A ≥ 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0 Lời giải trên có đúng không ? Giải: Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ A ≥ 0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, vì không thể có đồng thời: x 2 = 0 và (x - 2) 2 = 0 Lời giải đúng là A = x 2 + ( x- 2) 2 = x 2 + x 2 - 4x + 4 = 2x 2 - 4x + 4 = 2( x 2 - 2x + 1) + 2 = 2(x - 1) 2 + 2 Ta có (x - 1) 2 ≥ 0 , x∀ Dấu “=” xảy ra khi x = 1 => ( ) 2 2 x 1 2 x− + ∀ => A 2 x≥ ∀ Do đó A 2 x 1= ⇔ = Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 với x = 1 3. Kiến thức cần nhớ Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững: a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức. b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc: * a 2 ≥ 0, tổng quát: a 2k ≥ 0 ( k nguyên dương) Xảy ra dấu đẳng thức ⇒ a = 0 * 2 a 0− ≤ tổng quát: 2k a 0− ≤ (k nguyên dương) Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0 * a 0≥ (Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0) * a a a− ≤ ≤ (Xảy ra dấu đẳng thức  a = 0) * a b a b+ ≥ + (Xảy ra dấu đẳng thức  ab 0≥ ) * a b a b− ≥ − (Xảy ra dấu đẳng thức a b 0⇔ ≥ ≥ hoặc a b 0≤ ≤ * 1 a 2, a 0 a + ≥ ∀ > và 1 a 2, a 0 a + ≤ − ∀ < * 2 2 2 a b a b ab a,b 2 2 + +   ≥ ≥ ∀  ÷   (Xảy ra dấu đẳng thức  a = b = 1) * 1 1 a b, ab 0 a b ≥ > ⇒ ≤ (Xảy ra dấu đẳng thức  a = b = 1) * Bất đẳng thức Côsi: Cho a 1 , a 2 , …, a n là các số không âm. Khi đó ta có: 1 2 n n 1 2 n a a a a a a n + + + ≥ Dấu bằng xảy ra 1 2 n a a a⇔ = = = * Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai dãy số a 1 , a 2 , … và b 1 , b 2 , …, b n khi đó ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n a b a b a b (a a a ) b b b+ + + ≤ + + + + + Dấu bằng xảy ra 1 2 n 1 2 n a a a b b b ⇔ = = với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0. 4. Các dạng bài toán cực trị trong đại số Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa, tôi tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về bài toán cực trị trong đại số ở THCS rồi hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải từng dạng toán đó. Sau đây là một số dạng cơ bản thường gặp: Dạng 1: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI Ví dụ 1: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A (x) = x 2 - 4x + 1 Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ. Hướng dẫn giải: Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A (x) ta cần phải biến đổi về dạng A (x) ≥ k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến và chỉ ra trường hợp xảy ra đảng thức. Lời giải: A (x) = x 2 - 4x + 1 = x 2 - 2.2x + 1 = ( x 2 - 2.2x + 4 ) - 3 = ( x - 2) 2 - 3 Với mọi giá trị của x: ( x - 2) 2 ≥ 0 Dấu “ = “ chỉ xảy ra khi x = 2 Nên ta có A(x) = ( x - 2) 2 - 3 ≥ - 3 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 3 khi x = 2 Đáp số: A(x) nhỏ nhất = - 3 với x = 2 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) = -5x 2 - 4x + 1 Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ Hướng dẫn giải Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa B(x) về dạng B(x) ≤ k ( k là hằng số) với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớn nhất của B(x) = k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức. Lời giải B(x) = -5x 2 -4x + 1 2 4 5 x x 1 5   = − + +  ÷   2 2 2 2 2 2 5 x 2. x 1 5 5 5       = − + + − +    ÷  ÷       2 2 4 5 x 1 5 25     = − + − +    ÷     2 2 4 5 x 1 5 5     = − + + +    ÷     2 2 9 5. x 5 5   = − + +  ÷   Với mọi giá trị của x: 2 2 x 0 5   + ≥  ÷   Dấu “=” xảy ra khi 2 x 5 = − Nên 2 2 5. x 0 5   − + ≤  ÷   Suy ra: ( ) 2 2 9 9 B x 5. x 5 5 5   = − + + ≤  ÷   Vậy B(x) đạt giá trị lớn nhất khi ( ) 9 B x 5 = , khi 2 x 5 = − Đáp số: B(x) lớn nhất = 9 5 với 2 x 5 = − Ví dụ 3: (Tổng quát) Cho tam thức bậc hai P = ax 2 + bx + c Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0 Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0 Hướng dẫn giải: Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) cua P ta cần phải biến đổi sao cho P = a. A 2 (x) + k. Sau đó xét với từng trường hợp a> 0 hoặc a < 0 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất Lời giải P = a. A 2 (x) + k 2 b a x x c a   + +  ÷   2 2 2 2 2 b b b a x 2.x. c 2a 4a 4a   = + + + −  ÷   2 b a x k 2a   = + +  ÷   với 2 2 b k 4a = − Do 2 b x 0 2a   + ≥  ÷   Dấu “=” xảy ra khi b x 2a = − Nên: + Nếu a> 0 thì 2 b a x 0 2a   + ≥  ÷   do đó P k ≥ + Nếu a < 0 thì 2 b a x 0 2a   + ≤  ÷   do đó P k≤ Vậy khi b x 2a = − thì P có giá trị nhỏ nhất bằng K (nếu a >0) Hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a < 0) Bài tập tương tự: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x = 2x 2 - 8x + 1 với x là số thực bất kỳ Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M x = -5x 2 - 4x + 1 với x là số thực bất kỳ Bài tập nâng cao (Chứa nhiều đại lượng) Bài 1: Tìm giá trị của m, p sao cho A = m 2 - 4mp +5p 2 + 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Hướng dẫn: Ta có: A = m 2 - 4mp +5p 2 + 10m - 22p + 28 = ( m - 2p) 2 + (p - 1) 2 + 27 + 10(m - 2p) Đặt X = m - 2p ta có: A = X 2 + 10X + (p - 1) 2 + 27 = (X + 5) 2 + (p - 1) 2 + 2 Ta thấy (X + 5) 2 ≥ 0; (p - 1) 2 ≥ 0 với mọi m. p do đó A đạt GTNN khi X + 5 = 0 và p -1 = 0 Giải hệ điều kiện trên ta được : P = 1 . m = -3. Vậy GTNN của A = 2 với P = 1, m = 3 Bài 2: [...]... 6: tìm giá trị lớn nhất của A = │x - 2│+ │x - 5│ Hướng dẫn giải: Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối, do đó chúng ta phải nghĩ tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức A A = − A khi A ≥ 0 khi A < 0 Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong các khoảng nghiệm So sánh các giá trị của A trong các khoảng nghiệm đó để tìm ra giá trị. .. viết các SKKN Tôi xin chân thành cảm ơn! Dũng Tiến, ngày … tháng … năm 2011 Người viết đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9 2 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 3 Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS 4 Một số vấn đề phát triển Đại số 8 5 Một số vấn đề phát triển đại số 9 6 Tuyển tập đề thi môn Toán THCS 7 Các bài toán đại số hay và khó – NXB Giáo dục 8 Toán. .. “Bồi dưỡng học sinh giỏi lớn 8, 9 hệ thống các dạng bài toán cực trị trong đại số cho các em học sinh đội tuyển học sinh giỏi Toán 8 và Toán 9 Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng chí trong ban giám hiệu nhà trường, cảm ơn các đồng chí trong tổ chuyên môn trường THCS Dũng Tiến đã giúp tôi hoàn thành SKKN này Tôi rất mong được sự chỉ bảo của các đồng chí chuyên môn Phòng Giáo dục và Đào tạo, ý kiến đóng... được nguyên nhân dẫn đến kết quả đó tôi đã đưa ra một vài biện pháp và áp dụng các biện pháp đó vào trong quá trình giảng dậy thấy rằng học sinh có những tiến độ, học sinh tiếp cận kiến thức một cách nhẹ nhàng hơn kết quả học tập của các em có phần khả thi hơn Đặc biệt dạng toán cực trị trong đại số thì học sinh đã giải bài một cách rất nhẹ nhàng chính xác chặt chẽ hơn rất nhiều, các em trong lớp bồi... tuyển học sinh giỏi đã giải tốt, thành thạo các đề thi của phòng của TP trước đây mà đề bài có liên quan tới toán cự trị C PHẦN KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1 Kết luận: Trên đây là những suy nghĩ và việc làm mà tôi đã thực hiện ở 2 lớp đội tuyển học sinh giỏi Toán 8 và Toán 9 đã có những kết quả đáng kể đối với học sinh Cuối năm học đa số các em đã quen với loại toán Cực trị trong đại số , đã nắm được các. .. trình bày lời giải bài toán khoa học chặt chẽ hơn Hiểu và giải nhanh được các dạng toán phức tạp cũng như nắm rõ và vận dụng thành thạo các dạng bài toán cực trị trong đại số được thể hiện qua kết quả: Điểm Lớp HS 8 HS 9 Sĩ số Giỏi Khá t bình Yếu kém 10 10 6 = 60% 7 = 70% 3 = 30% 3 = 30% 1 = 10% 0 0 0 0 0 Kết luận: Sau khi có kết quả điều tra về chất lượng học tập bộ môn toán của học sinh và tìm hiểu được... – 1 = 0 hay x = 1 Vậy gái trị nhỏ nhất của A bằng Đáp số: Anhỏ nhất = 3 khi x = 1 4 3 khi x = 1 4 Bài tập tương tự Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = 2x + 1 x2 x x + 2x + 1 2 Dạng 6: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỰC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ DẠN A( x) ≥ 0 hoặc k2 A( x) ≤0 k2 Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức... ít nhiều cũng giúp học sinh hiểu kỹ hơn và vận dụng giải tốt các loại toán cực trị trong đại số Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường phổ thông, nhất là những bài học rút ra sau nhiều năm dự giờ thăm lớp của các đồng chí cùng trường cũng như dự giờ các đồng chí trường bạn Cùng với sự giúp đỡ tận tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn trường THCS Dũng Tiến Tôi... Vậy giá trị lớn nhất của M ( x ) = 3 Đáp số: M(x)lớn nhất = 3 1 khi và chỉ khi x = -1 2 1 với x = -1 2 Bài tập tương tự Bài 1: Cho biểu thức: Q = 3 Tìm GTLN của Q 4x 2 − 4x + 5 x 2 − 6x + 14 Bài 2: Cho biểu thức: B = 2 Tìm GTLN của B x − 6x + 12 Dạng 7: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ BIẾT 1 Bất đẳng thức Côsi Với các số dương... Vậy GTNN của F = 1 với x = 8, y = 3 Bài 3 (hs tự làm) Tìm giá trị của x, y, z sao cho P = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16 yz + 36 xy + 5 Đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó Dạng 2: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC BẬC CAO Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = ( x2 + x + 1)2 Hướng dẫn giải: (?) Ta nhận thấy A = ( x2 + x + 1)2 ≥ 0, nhưng giá trị nhỏ nhất của A có phải bằng 0 . HOÀNG MAI TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ GIÁP BÁT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ Giáo viên : Nguyễn Thị Hồng Hải Bộ môn : Toán NĂM HỌC 2013 – 2014 PHẦN. được một số dạng toán tìm cực trị trong đại số, nêu lên một số phương pháp giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc giải bài toán tìm cực trị trong đại số. Việc. 0. 4. Các dạng bài toán cực trị trong đại số Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa, tôi tiến hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về bài toán cực trị trong đại số ở THCS rồi hướng dẫn