BÀI TẬP Bài 1. Tính các tích phân sau: a) 1 2 0 (3 5 1)x x dx- + ò ; b) 1 2 1 2 (2 1)( 3)x x x dx+ - + ò ; c) 4 1 1 x dx x ỉ ư ÷ ç + ÷ ç ÷ ç è ø ò ; d) 1 3 2 2 3 2 1x x dx x - + ò ; e) 2 2 0 3 4 1 x x dx x - + + ò ; f) 1 0 ( 1)( 2) dx x x+ + ò ; g) 3 2 2 5 4 dx x x- + ò ; h) 2 3 4 1 ( )x x x dx+ + ò ; i) 2 3 1 1x dx x - ò ; j) 1 0 2 x x e e dx - + ò ; k) 4 4 0 (3 ) x x e dx- ò . Đáp số : a) – 1 2 ; b) 341 96 ; c) 20 3 ; d) – 20 3 ; e) 8ln3 – 6; f) 2ln2 – ln3; g) – 2 3 ln2; h) 3 4 4 2 3 2 8 2 133 3 2 5 60 + + - ; i) 3 3 (3 4) 10 - ; j) 1 1 2 e e ỉ ư ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø ; k) 28 – 4e. Bài 2. Tính các tích phân sau: a) 3 1 2x dx- ò ; b) 3 2 0 1 2x x dx- + ò ; c) 2 1 2 1 x dx x - ò ; d) 2 2 2 2x x dx - - - ò ; e) 3 4 0 1 sin 2xdx p + ò . 1 Đáp số : a) 1; b) 5 2 ; c) 1 4 ; d) 19 3 ; e) 1 + 2 ; Bài 3. Tính các tích phân sau: a) 2 2 3 cos xdx p p ò ; b) 4 4 0 sin xdx p ò ; c) 4 3 2 0 1 cos cos x dx x p - ò ; d) 3 2 2 6 sin cos dx x x p p ò ; e) 3 2 2 4 cos 2 cos sin xdx x x p p ò ; f) 0 sin 2 cos 3x xdx p ò ; g) 2 2 sin 7 sin 2x xdx p p - ò h) 3 2 2 2 4 cos 2 sin x tg x dx x p p - ò ; i) 6 3 1 sin dx x p p ò . Đáp số : a) 3 12 8 p - ; b) 1 3 4 32 p - + ; c) 1 – 2 2 ; d) 4 3 3 ; e) – 4 3 3 + 2; f) – 4 5 ; g) 4 45 ; h) 3 – 7 3 3 12 p - ; i) 1 ln 3 ln(2 3) 2 - - . Bài 3. Chứng minh rằng a) 2 2 0 14 8 4 3 cos dx x p p p £ £ + ò ; b) 3 4 2 4 4 2 3 2 sin dx x p p p p £ £ - ò ; 2 c) ( ) 11 7 54 2 7 11 108x x dx - + + -£ £ ò ; d) 2 2 1 2 1 5 2 1 xdx x £ £ + ò . CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Thông thường, người ta dùng phương pháp đổi biến số khi gặp tích phân có dạng sau: Khi hàm số dưới dấu tích phân f(x) có thể phân tích thành tích của một hàm số hợp g[ j (x)] và đạo hàm của hàm số ở bên trong j ’(x) tức là f(x) = g[ j (x)]. j ’(x). Khi đó, để tính: ( ) [ ( )]. '( ) b b a a f x dx g x x dx= jj ò ò ta thực hiện phép đổi biến số t = j (x) và ta có ( ) [ ( )]. '( ) b b a a f x dx g x x dx= jj ò ò = ( )g t dt b a ò (*) Trong đó, a và b được xác đònh bởi a = j (a) và b = j (b). Chú ý: Khi sử dụng công thức đổi biến số (*) thì phải nhớ rằng: Khi đã đổi biến số lấy tích phân từ x sang t đồng thời ta cũng phải đổi luôn cận lấy tích phân từ a, b sang a , b và ta tính toán với những cận mới ấy, không cần phải quay lại biến số cũ x như trong tích phân bất đònh. BÀI TẬP Tính các tích phân sau: 1) 2 4 1 (2 1)x dx- ò ; 2) 1 2 2 3 4 0 ( 1)x x dx+ ò ; 3) 1 5 3 6 0 (1 )x x dx- ò ; 4) 3 3 2 1 16 x dx x - ò ; 5) 3 2 3 1 ( 1) xdx x - + ò ; 6) 3 2 1 2 4 3 x dx x x + + + ò ; 7) 2 3 3 2 0 8.x x dx- ò ; 8) 1 3 2 0 1x x dx- ò ; 9) 1 5 3 0 1x x dx- ò ; 3 10) 3 5 2 0 1x x dx+ ò ; 11) 1 0 2 1 x dx x + ò ; 12) 3 2 0 1 1 x dx x + + ò ; 13) 7 3 3 0 1 3 1 x dx x + + ò ; 14) 7 3 2 3 0 1 x dx x + ò ; 15) 1 2 1 3 2 4 1 dx x x - ò ; 16) 2 3 2 5 4 dx x x + ò ; 17) tg 4 0 xdx p ò ; 18) 4 6 cot gxdx p p ò ; 19) 2 0 sin 1 3 cos x dx x p + ò ; 20) 3 3 0 sin cosx xdx p ò ; 21) 4 0 cos 2 1 2 sin 2 xdx x p + ò ; 22) 3 2 4 1 sin 2 cos x dx x p p + ò ; 23) 2 3 0 cos xdx p ò ; 24) 2 5 4 sin xdx p p ò ; 25) 2 2 0 sin 2 1 cos x dx x p + ò 26) 2 3 0 4 cos 1 sin x dx x p + ò ; 27) 2 3 0 4 sin 1 s x dx co x p + ò ; 28) 4 2 2 0 sin 9 cos dx x x p + ò ; 29) 4 4 4 0 sin 4 sin cos xdx x x p + ò ; 30) 2 4 0 sin 2 1 sin x dx x p + ò ; 31) 4 2 0 (sin 2 cos ) dx x x p + ò ; 32) 4 4 3 cos dx x p p ò ; 33) 2 4 3 sin dx x p p ò ; 34) 2 2 sin 4 . sin 2 x e xdx p p ò ; 35) 2 6 6 6 0 sin cos sin xdx x x p + ò ; 36) 2 2 0 sin 1 cos xdx x p + ò ; 37) 4 1 x e dx x ò ; 38) ln 2 2 0 1 x x e dx e + ò ; 39) 1 0 1 x x e dx e - - + ò ; 4 40) 1 4 e x x dx e e - - ò ; 41) 1 1 1 ln e x dx x + ò ; 42) 5 ln e e dx x x ò ; 43) 1 sin(ln ) e x dx x ò ; 44) 2 1 1 ln e x dx x + ò 45) 2 1 ln . (ln ) 1 e x dx x x é ù + ê ú ë û ò ; 46) 2 3 1 ln 2 ln e x xdx x + ò ; 47) 1 2 0 1 dx x+ ò ; 48) 2 3 2 0 4 dx x + ò ; 49) 3 2 2 4 5 dx x x- + ò ; 50) 1 4 2 0 4 3 dx x x+ + ò ; 51) 1 4 2 0 3 xdx x x+ + ò ; 52) 1 2 0 1 x dx- ò ; 53) 2 2 2 0 4x x dx- ò ; 54) 2 2 2 2 0 1 x dx x- ò ; 55) 2 2 2 0 a x a x dx- ò ; 56) 2 2 4 1 1 1 x dx x - + ò ; 57) 1 5 2 2 4 1 1 1 x dx x + + + ò ; 58) 1 5 2 2 4 2 1 1 1 x dx x x + + - + ò ; 59) 2 2 0 x x dx- ò ; 60) 4 2 0 1 2 sin 1 sin 2 x dx x p - + ò ; Ñaùp soá : 1) 121 5 ; 2) 26281 491520 ; 3) 1 168 ; 4) 4 + 8ln 7 15 ; 5) 3 50 ; 6) 1 2 ln3; 7) – 4; 8) 2 15 ; 9) 4 45 ; 10) 848 105 ; 11) 1 3 ; 12) 106 15 ; 13) 46 15 ; 14) 141 20 ; 15) 3 p ; 16) 1 5 ln 4 3 ; 17) 1 2 ln2; 18) 1 2 ln2; 19) 2 3 ln2; 20) 9 64 ; 21) 1 ln 3 4 ; 22) 3 + ln2 – 1; 23); 2 3 ; 24) 43 2 120 ; 5 25) ln2; 26) 2; 27) 2; 28) 2 arctan 3 6 -p ; 29) ln2; 30) 4 p ; 31) 1 6 ; 32) 6 3 4 3 - + ; 33) 10 3 27 ; 34) e – e ; 35) 4 p ; 36) 4 p ; 37) 2e(e – 1); 38) 2 2 3 ; 39) 2 ln 1 e e + ; 40) 1 + 2arctge – 41) 2 3 ; 42) 15 4 ; 43)1 – cos1; 44) 2 ln(1 2) 2 + + 45) 1 2 ln2; 46) 3 3 9 3 3 2 8 4 - ; 47) 4 p ; 48) 6 p ; 49) 4 p ; 50) 1 3 8 36 æ ö ÷ ç ÷ - p ç ÷ ç ÷ ç è ø ; 51) 3 8 p ; 52) 4 p ; 53) p ; 54) 1 8 4 p - ; 55) 2 16 ap ; 56) 6 2 19 2 ln 17 4 æ ö + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø 57) 4 2 p ; 58) 4 p ; 59) 1; 60) 1 2 ln2; * Vaøi ñeà thi 1) (A, 2005) 2 0 sin 2 sin 1 3 cos x x I dx x p + = + ò Ñ.S: 34 27 ; 2) (B, 2005) 2 0 sin 2 c os 1 cos x x I dx x p = + ò Ñ.S: 2 ln 2 1- ; 3) (D, 2005) ( ) 2 sin 0 cos cos x I e x xdx p = + ò Ñ.S: 1 4 e p - + ; 6 4) (TN, 2005) ( ) 2 2 0 sin cosI x x xdx p = + ò Đ.S: 2 2 3 p - . 5) (CĐKTĐN, 2005) I = e e 2 x ln x( ) ln ln x( )( ) + x ⌠   ⌡ d . ( 1 2 ln 2 2 + ) 6) (CĐKTCN, 2005) ( ) 2 0 sin . ln 1 cosx x dx p + ò ( 1 2 ln 2- + ) II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Đònh lý: Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì : ( ) '( ) ( ) ( ) ( ). '( ) b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx= - ò ò . Nhận xét : Vì v’(x)dx = dv và u’(x)dx = du nên công thức trên có thể viết gọn là b b b a a a udv uv vdu= - ò ò Tích phân dạng ( ) b x n a P x e dx +a b ò , trong đó P n (x) là đa thức bậc n theo biến x Phương pháp : Đặt ta có '( ) ( ) , n n x x du P x dx u P x dv e dx v e dx +a b +a b ì = ì ï = ï ï ï ï ï í í ï ï = = ï ï ï ỵ ï ỵ ò Chú ý: Ta phải tính tích phân từng phần theo n lần. BÀI TẬP Tính các tích phân sau 1) 1 0 x xe dx ò ; 2) 1 2 0 ( 2 ) x x x e dx+ ò ; 3) ln 2 0 x x xe dx - ò ; 7 4) 2 3 ln 1 ln . e x x e dx x ò ; 5) 1 2 0 ( ) x e x dx - + ò . Đáp số: 1) 1; 2) e; 3) 2 2 1 (2 1 ) 4 e e e e e - - + - 4) 1 2 ; 5) 2 1 17 4 6 2 e e - + - . Tích phân dạng I 1 = 2 ( ) cos( ) ; ( ) sin( ) b b n n a a P x x dx I P x x dx+ = +a b a b ò ò . Phương pháp : * Để tính I 1 ta đặt : ta có '( ) ( ) , 1 cos( ) cos( ) sin( ) n n du P x dx u P x dv x dx v x dx x ì = ï ì = ï ï ï ï ï ï í í ï ï = +a b = + = +a b a b ï ï ï ỵ ï a ï ỵ ò * Để tính I 2 ta đặt : ta có '( ) ( ) , 1 sin( ) sin( ) cos( ) n n du P x dx u P x dv x dx v x dx x ì = ï ì = ï ï ï ï ï ï í í ï ï = +a b = + = - +a b a b ï ï ï ỵ ï a ï ỵ ò Bài tập: Tính các tích phân sau: 1) 2 0 sinx xdx p ò ; 2) 3 0 sxco xdx p ò ; 3) 2 2 0 ( 1) sx co x dx p - ò ; 4) 6 0 (2 ) sin 3x xdx p - ò ; 5) 2 2 2 0 cosx xdx p ò ; 6) 2 0 sin cos 2 2 x x x dx p ò ; 7) 2 3 2 3 sx co x dx p p ò ; 8) 3 2 3 0 sin xdx p ỉư ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø ò ; 9) 2 4 0 sinx xdx p ò . 8 Đáp số: 1) 1; 2) 3 1 6 2 p - ; 3) 2 3 4 p - ; 4) 5 9 ; 5) 3 1 1 48 8 -p p ; 6) 1 2 ; 7) 2 5 3 3 48 16 8 p - -p ; 8) 3 p – 6; 9) 2 3 12 2 p - .  Tích phân dạng I = và * 1 ( )[ln( )] , ( ) b n a P x x dx n p x x Ỵ ¹ ò ¥ . Phương pháp : Đặt ta có 1 1 ln ) . (ln ) , ( ) ( ) n n du n x dx u x x dv P x dx v P x dx - ì ï ì ï = = ï ï ï ï ï í í ï ï = ï ï = ï ỵ ï ï ỵ ò Ta tính tích phân từng phần n lần. BÀI TẬP Tính các tích phân sau: 1) 1 ln e xdx ò ; 2) 2 1 ln e x dx x ò ; 3) 5 2 2 ln( 1)x x dx- ò ; 4) 2 1 (ln ) e x dx ò ; 5) 2 1 ln e x xdx ò ; 6) 2 1 ln e x dx x ỉ ư ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø ò ; 7) 3 1 ln e x dx x ò ; 8) 1 ( 1) ln e x xdx- ò ; 9) 2 2 1 ln(1 )x dx x + ò ; 10) 3 2 6 ln(sin ) cos x dx x p p ò ; 11) 2 2 0 ln( 1 )x x dx+ - ò ; 12) 3 1 . ln e x xdx ò ; Đáp số: 1) 1; 2) 4; 3) 48ln2 – 27 2 ; 9 4) e – 2; 5) 2 1 4 e - ; 6) 2 – 5 e ; 7) 2 2 3 4 e e - ; 8) 2 3 4 e - ; 9) 3ln 2 3 ; 10) 3 3 3 ln 4 6 ỉ ư p ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç è ø ; 11) 2ln( 5 – 2) + 5 –1; 12) 4 1 (3 1) 16 e + ; * Khối D, 2004) Tính tích phân I = 3 2 2 ln( )x x dx- ò . Đáp số : I = 3ln3 – 2. Tích phân dạng sin( ) cos( ) b b x x a a e mx n dx hay e mx n dx + +a b a b + + ò ò Đặt ta có 1 cos( ) sin( ) , 1 cos( ) sin( ) x x du e dx u e v mx n dv mx n dx m dv mx n dx v mx n m +a b +a b ì ï = a ï ì ï ï = ï ï ï ï é ï ï ï ï = - + ê é = + í í ê ê ï ï ï ï ê ê ï ï = + ê ï ï ê = + ë ï ï ỵ ê ï ë ï ỵ (Hoặc đặt ngược lại) Ta lấy tích phân từng phần hai lần rồi giải phương trình. BÀI TẬP Tính các tích phân sau: 1) 2 0 cos x e xdx p ò ; 2) 2 2 0 cos 3 x e xdx p ò ; 3) 2 2 0 sin x e xdx p ò ; 4) 1 2 2 0 sin x e xdxp ò ; 5) 1 sin(ln ) e x dx ò ; 6) 1 s(ln ) e co x dx ò ; 7) cos 0 ( ) sin x e x xdx p + ò ; 8) 2 2 0 ( sin 2 )x x dx p + ò ; 9) 3 2 4 sin xdx x p p ò . Đáp số: 10 [...]... 1 ; 2 2 p (e - 1) 4) ; 4(1 + p2 ) 1 7) p + e + ; e 2) – 3e p + 2 ; 13 3) 6) e (sin1 + cos1 –1) 2 9) 1 - e cos1 + e sin 1 ; 2 1 3 3 8) p + p ; 4 4 5) e 2p - 1 ; 8 p p 3 1 3 + ln 4 9 2 2 MỘTSỐ ĐỀ THI I CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Tính các tích phân sau: TN, 1994 (2 điểm) 1) ; 8 ; 15 TN, 1996 (2 điểm) ĐS: 2) 2) 1) ĐS: 1) 8 − 2e 3 9 2) 1) 248 35 ln 2 − ; 3 2 2) 2 − 2 2 3 TN, 1997, đợt 1 (2 điểm) 1) ĐS: 2)... hạn bởi các đường Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình hoành quanh trục ĐS (TN ban KHTN, lần 2, 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và ĐS 36 (đ.v.d.t.) II CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 1 (Khối A, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Đáp số 2 (Khối B, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Đáp số 14 Tính các tích phân sau: 3 (Dự bò . 6 2 19 2 ln 17 4 æ ö + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø 57) 4 2 p ; 58) 4 p ; 59) 1; 60) 1 2 ln2; * Va i ñeà thi 1) (A, 2005) 2 0 sin 2 sin 1 3 cos x x I dx x p + = + ò Ñ.S: 34 27 ; 2) (B, 2005) 2 0 sin. cos1 –1) 7) p + e + 1 e ; 8) 3 1 3 4 4 +p p ; 9) 3 1 3 ln 4 9 2 2 p p - + . MỘTSỐ ĐỀ THI I. CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP. Tính các tích phân sau: TN, 1994 (2 điểm) 1) ; 2) . ĐS: 1) 8 15 ; 2) 3 8. B, Dửù bũ 1, 2003) (ẹaựp soỏ: 20 3 ). 12. (Khoỏi B, Dửù bũ 2, 2003) Cho haứm soỏ . Tỡm a va b sao cho va 15 Ñaùp soá: 8 2 a , b . =   =  13. (Khoái D, 2003) ÑS. 1. 14. (Döï bò 1, Khoái