Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn ứng dụng Chương 1: Ma trận • Giảng viên: Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) dangvvinh@hcmut.edu.vn NỘI DUNG - I. Đònh nghóa ma trận và ví dụ III. Các phép toán đối với ma trận II. Các phép biến đổi sơ cấp IV. Hạng của ma trận V. Ma trận nghòch đảo I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. Định nghĩa ma trận Ma trận cở mxn là bảng số (thực hoặc phức) hình chử nhật có m hàng và n cột . Ma trận A cở mxn                 = mnmjm iniji nj aaa aaa aaa A 1 1 1111   Hàng i Cột j I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. Ví dụ 1. 32 502 143 ×       =A Đây là ma trận thực cở 2x3. Ma trận A có 2 hàng và 3 cột. 5;0;2;1;4;3 232221131211 ====== aaaaaa Phần tử của A: Ví dụ 2 22 3 21 ×       − + = ii i A Tập hợp tất cả các ma trận cở mxn trên trường K được ký hiệu là M m x n [K] Ma trận A có m hàng và n cột thường được ký hiệu bởi ( ) nm ij aA × = I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận không, ký hiệu 0, (a ij = 0 với mọi i và j). Định nghĩa ma trận không       = 000 000 A I. Caực khaựi nieọm cụ baỷn vaứ vớ duù - nh ngha ma trn dng bc thang 1. Hng khụng cú phn t c s (nu tn ti) thỡ nm di cựng 2. Phn t c s ca hng di nm bờn phi (khụng cựng ct) so vi phn t c s ca hng trờn. Phn t khỏc khụng u tiờn ca mt hng k t bờn trỏi c gi l phn t c s ca hng ú. I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.           − = 5000 3000 2112 B Không là ma trận bậc thang Ví dụ 54 00000 52140 62700 23012 ×             − − =A Không là ma trận bậc thang I. Các khái niệm và ví dụ cơ bản. Là ma trận dạng bậc thang Ví dụ 54 00000 52000 41700 22031 ×             − − =A Là ma trận dạng bậc thang           − = 7000 3100 2021 B 23 93 01 42 ×           −= T A 32 904 312 ×       − =A I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ Chuyển vị của là ma trận cở nXm thu được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột. ( ) mn ij T aA × = Định nghĩa ma trận chuyển vị ( ) nm ij aA × = Ví dụ I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ. Nếu số hàng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A được gọi là ma trận vuông cấp n. Định nghĩa ma trận vuông 22 23 12 ×       − =A Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số K được ký hiệu bởi [K] n M [...]... thang ca A nh ngha Ct ca ma trn bc thang A c gi l ct c s nu ct ú cha phn t c s 1 2 0 2 0 0 1 3 ữ A= ữ 0 0 0 7 ữ III Cỏc phộp toỏn i vi ma trn - S bng nhau ca hai ma trn Hai ma trn bng nhau nu: 1) cựng c; 2) cỏc phn t nhng v trớ tng ng bng nhau (aij = bij vi mi i v j) Phộp cng hai ma trn Cựng c Tng A + B: Cỏc phn t tng ng cng li Vớ d... ma trn cỏc phn t nm ngoi ba ng chộo (ng chộo chớnh, trờn nú mt ng, di nú mt ng) u bng khụng 1 2 0 0 3 1 7 0 A= 0 4 8 1 0 0 5 9 I Cỏc khỏi nim c bn v vớ d - nh ngha ma trn i xng thc Ma trn vuụng thc A tha aij = aji vi mi i = 1,.n v j =1,,n c gi l ma trn i xng (tc l, nu A = AT) 2 1 3 A = 1 4 7 3 7 0 nh ngha ma trn phn i xng Ma trn vuụng A tha aij = - aji... vi hng a ma trn sau õy v ma trn dng bc thang 1 1 1 2 1 2 3 1 4 5 ữ ữ 3 2 3 7 4 ữ 1 1 2 3 1 ữ Bc 1 Bt u t ct khỏc khụng u tiờn t bờn trỏi Chn phn t khỏc khụng t y ý lm phn t c s 1 2 3 1 1 1 2 3 1 4 2 3 7 1 2 3 1 5ữ ữ 4ữ 1ữ II Cỏc phộp bin i s cp - Bc 2 Dựng bsc i vi hng, kh tt c cỏc phn t cũn li ca ct 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 h2... -Cỏc phn t a11, a22,,ann to nờn ng chộo chớnh ca ma trn vuụng A 2 3 3 4 2 1 2 1 1 1 0 5ữ ữ 3 7ữ 6 8ữ I Cỏc khỏi nim c bn v vớ d -nh ngha ma trn tam giỏc trờn Ma trn vuụng A = ( aij ) nìn c gi l ma trn tam giỏc trờn nu aij = 0, i > j 2 1 3 A = 0 3 6 0 0 2 nh ngha ma trn tam giỏc di Ma trn vuụng A = ( aij ) c gi l ma trn tam giỏc di nìn nu aij... Cỏc phộp toỏn i vi ma trn Phộp nhõn ma trn vi mt s Nhõn ma trn vi mt s, ta ly s ú nhõn vi tt c cỏc phn t ca ma trn Vớ d 1 2 4 A= 3 0 5 T nh cht: a) A + B = B + A; c) A + 0 = A; e) k (mA) = (km) A; 2 4 8 2ì A = 6 0 10 b) (A + B) + C = A + ( B + C); d) k(A + B) = kA + kB; f) (k + m)A = kA + mA; III Cỏc phộp toỏn i vi ma trn ... aji vi mi i v j (tc l A = -AT) c gi l ma trn phn i xng 0 1 3 A = 1 0 7ữ ữ 3 7 0 ữ II Cỏc phộp bin i s cp - Cỏc phộp bin i s cp i vi hng 1 Nhõn mt hng t y ý vi mt s khỏc khụng hi hi ; 0 2 Cng vo mt hng mt hng khỏc ó c nhõn vi mt s t y ý hi hi + h j ; 3 i ch hai hng t y ý hi h j Tng t cú ba phộp bin i s cp i vi ct Chỳ ý: cỏc phộp... ma trn chộo Ma trn vuụng A c gi l ma trn chộo nu cỏc phn t nm ngoi ng chộo u bng khụng, cú ngha l (aij = 0, i j) 2 0 0 D = 0 3 0 0 0 2 nh ngha ma trn n v Ma trn chộo vi cỏc phn t ng chộo u bng 1 c gi l ma trn n v, tc l (aij = 0, i j; v aii = 1 vi mi i) 1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1 I Cỏc khỏi nim c bn v vớ d nh ngha ma trn ba ng chộo Ma trn ba ng chộo l ma trn... 0 1 2 3 ữ ữ ữ 3 2 m m + 1ữ 0 1 m 3 m 5 ữ 1 2 1 1 0 1 2 3 ữ ữ 0 0 m 1 m 8 ữ r(A) = 3 vi mi giỏ tr m IV Hng ca ma trn - Vớ d T m tt c cỏc giỏ tr thc m sao cho r(A) =2 1 m m A = m 1 mữ ữ m m 1 ữ Vớ d T m tt c cỏc giỏ tr thc ca m cho r(A) = 3 1 1 1 1 A = 2 3 1 4 ữ ữ 3 3 m m + 1ữ ... III Cỏc phộp toỏn i vi ma trn - Vớ d 2 1 1 A= ữ; B = 3 ữ 4 1 T m ma trn X, tha AX = B a Xỏc nh c ca ma trn X l 2x1 t X = ữ b 2a b 1 2 1 a 1 AX=B ữ b ữ = 3 ữ 4a + b ữ = 3 ữ 4 1 2a b = 1 2 1 2 / 3 a = ,b = Vaọy X = 4a + b = 3 3 3 1/ 3 ữ III Cỏc phộp toỏn i vi ma trn T nh cht ca phộp nhõn... Cỏc phộp toỏn i vi ma trn - Vớ d 1 1 A= ữ 1 1 T nh A200 1 1 1 1 2 2 1 1 A = ữ 1 1ữ = 2 2 ữ = 2 1 1ữ = 2A 1 1 2 Suy ra: A n = 2n 1 A A 200 2199 = 2199 2199 ữ 199 ữ 2 IV Hng ca ma trn - nh ngha hng ca ma trn Gi s Amxn tng ng hng (ct) vi ma trn bc thang E Khi ú ta gi hng ca ma trn A l . ma trận thực cở 2x3. Ma trận A có 2 hàng và 3 c t. 5;0;2;1;4;3 232221131211 ====== aaaaaa Phần t của A: Ví dụ 2 22 3 21 ×       − + = ii i A T p hợp t t cả các ma trận cở mxn trên trường. chổ hai hàng t y ý ; 0 α α → ≠ i i h h 1. Nhân m t hàng t y ý với m t số khác không ; β β → + ∀ i i j h h h 2. Cộng vào m t hàng m t hàng khác đã được nhân với m t số t y ý T ơng t có ba phép. đổi sơ cấp đưa A về ma trận bậc thang U, thì U được gọi là dạng bậc thang của A. Định nghĩa C t của ma trận bậc thang A được gọi là c t cơ sở nếu c t đó chứa phần t cơ sở Định nghĩa 1 2