1 HÀM SỐ ☯ ☯☯ ☯1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K: + Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x ∀ ∈ < ⇒ < + Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) x x K x x f x f x ∀ ∈ < ⇒ > 2. Qui tắc xét tính đơn điệu a. Định lí Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K: + Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến + Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến b. Qui tắc B1: Tìm tập xác định của hàm số B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x i (i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. B3: Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến. II. Các ví dụ Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số: 3 2 2 4 2 1 1 . y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x( 3), (x > 0) 3 2 x - 1 c. y = x 2 3 . y = x +1 a x x x x x x d − − + + + − − + Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 2 3 4 2 3 2 2 2 . y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9 3- 2x x 2 3 . y = e. y = f. y = 25-x x + 7 1 a x x x x x d x − + + − + − + + Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định. Phương pháp + Dựa vào định lí. Ví dụ 3. Chứng minh hàm số 2 2 y x x = − nghịch biến trên đoạn [1; 2] Ví dụ 4 a. Chứng minh hàm số 2 9 y x = − đồng biến trên nửa khoảng [3; + ∞ ). b. Hàm số 4 y x x = + ngh ị c bi ế n trên m ỗ i n ử a kho ả ng [-2; 0) và (0;2] Ví d ụ 5. Ch ứ ng minh r ằ ng a. Hàm s ố 3 2 1 x y x − = + ngh ị ch bi ế n trên m ỗ i kho ả ng xác đị nh c ủ a nó. b. Hàm s ố 2 2 3 2 1 x x y x + = + đồ ng bi ế n trên m ỗ i kho ả ng xác đị nh c ủ a nó. c. Hàm s ố 2 8 y x x = − + + ngh ị ch bi ế n trên R. Dạng 2. Tìm giá tr ị c ủ a tham s ố để m ộ t hàm s ố cho tr ướ c đồ ng bi ế n, ngh ị ch bi ế n trên kho ả ng xác đị nh cho tr ướ c Ph ươ ng pháp: + S ử d ụ ng qui t ắ c xét tính đơ n đ iêu c ủ a hàm s ố . 2 + S ử d ụ ng đị nh lí d ấ u c ủ a tam th ứ c b ậ c hai Ví d ụ 6. Tìm giá tr ị c ủ a tham s ố a để hàm s ố 3 2 1 ( ) ax 4 3 3 f x x x = + + + đồ ng bi ế n trên R. Ví d ụ 7. Tìm m để hàm s ố 2 2 5 6 ( ) 3 x x m f x x + + + = + đồ ng bi ế n trên kho ả ng (1; ) +∞ Ví d ụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: 2 1 m y x x = + + − đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Ví dụ 9 Xác định m để hàm số 3 2 ( 1) ( 3) 3 x y m x m x = − + − + + đồng biến trên khoảng (0; 3) Ví dụ 10 Cho hàm số 4 mx y x m + = + a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định b. Tìm m để hàm số tăng trên (2; ) +∞ c. Tìm m để hàm số giảm trên ( ;1) −∞ Ví dụ 11 Cho hàm số 3 2 3(2 1) (12 5) 2 y x m x m x = − + + + + . Tìm m để hàm số: a. Liên tục trên R b. Tăng trên khoảng (2; ) +∞ Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997) Cho hàm số 3 2 2 ax (2 7 7) 2( 1)(2 3) y x a a x a a = − − − + + − − đồng biến trên [2:+ ) ∞ Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT Phương pháp Sử dụng các kiến thức sau: + Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn. + f ( x) đồng biến trên [a; b] thì ( ) ( ) () f a f x f ≤ ≤ + f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( ) f a f x f b ≥ ≥ Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 2 3 1 1 . tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < + 2 2 8 2 x x . cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0 2 6 x a x x x c x π − < + < + ∞ ≠ Ví dụ 2. Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π       b. Ch ứ ng minh r ằ ng 2sin tan 3 , (0; ) 2 x x x x π + > ∀ ∈ Ví d ụ 3 Cho hàm s ố ( ) t anx - x f x = a.Ch ứ ng minh hàm s ố đồ ng bi ế n trên n ử a kho ả ng 0; 2 π       b. Ch ứ ng minh 3 tan , (0; ) 3 2 x x x x π > + ∀ ∈ Ví d ụ 3 Cho hàm s ố 4 ( ) t anx, x [0; ] 4 f x x π π = − ∈ 3 a. Xét chi ề u bi ế n thiên c ủ a hàm s ố trên [0; ] 4 π b. Ch ứ ng minh r ằ ng 4 tan , [0; ] 4 x x x π π ≤ ∀ ∈  CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1 . Tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố Ph ươ ng pháp: D ự a vào 2 qui t ắ c để tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố y = f(x) Qui t ắ c I. B1: Tìm t ậ p xác đị nh. B2: Tính f’(x). Tìm các đ i ể m t ạ i đ ó f’(x) = 0 ho ặ c f’(x) không xác đị nh. B3. L ậ p b ả ng bi ế n thiên. B4: T ừ b ả ng bi ế n thiên suy ra các c ự c tr ị Qui t ắ c II. B1: Tìm t ậ p xác đị nh. B2: Tính f’(x). Gi ả i ph ươ ng trình f’(x) = 0 và kí hi ệ u là x i là các nghi ệ m c ủ a nó. B3: Tính f ”(x i ) B4: D ự a vào d ấ u c ủ a f ” (x i ) suy ra c ự c tr ị ( f ”(x i ) > 0 thì hàm s ố có c ự c ti ể u t ạ i x i ; ( f ”(x i ) < 0 thì hàm s ố có c ự c đạ i t ạ i x i ) * Chú ý: Qui t ắ c 2 th ườ ng dùng v ớ i hàm s ố l ượ ng giác ho ặ c vi ệ c gi ả i ph ươ ng trình f’(x) = 0 ph ứ c t ạ p. Ví d ụ 1. Tìm c ự c tr ị c ủ a hàm s ố 3 2 2 3 36 10 y x x x = + − − Qui t ắ c I. TX Đ : R 2 2 ' 6 6 36 ' 0 6 6 36 0 2 3 y x x y x x x x = + − = ⇔ + − = =  ⇔  = −  + ∞ ∞∞ ∞ - ∞ ∞∞ ∞ - 54 71 + + - 0 0 2 -3 + ∞ ∞∞ ∞ - ∞ ∞∞ ∞ y y' x V ậ y x = -3 là đ i ể m c ự c đạ i và y cđ =71 x= 2 là đ i ể m c ự c ti ể u và y ct = - 54 Qui t ắ c II TX Đ : R 2 2 ' 6 6 36 ' 0 6 6 36 0 2 3 y x x y x x x x = + − = ⇔ + − = =  ⇔  = −  y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i x = 2 và y ct = - 54 y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm s ố đạ t c ự c đạ i t ạ i x = -3 và y cđ =71 Bài1. Tìm c ự c tr ị c ủ a các hàm s ố sau: 2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 . y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4 e. y = -5x + 3x - 4x + 5 a x x c x x − − + − − + 3 f. y = - x - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 x+1 x 5 (x - 4) . y = b. y = c. y = x 8 1 2 5 9 x 3 3 x . y = x - 3 + e. y = f. y = x - 2 1 x 4 x a x x x x d x + − + + − + − + − + Bài 3. Tìm c ực trị các hàm số 4 2 2 2 3 2 2 x+1 5 - 3x . y = x 4 - x b. y = c. y = x 1 1 - x x x . y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 6 a d x + − Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: . y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f. 2 a c π ∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT) Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x 3 – 3mx 2 + ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 LG 2 ' 3 6 1 y x mx m = − + − . Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 2 3.(2) 6 .2 1 0 1 m m m ⇔ − + − = ⇔ = Với m = 1 ta được hàm số: y = x 3 – 3x 2 + 2 có : 2 0 ' 3 6 ' 0 2 x y x x y x =  = − ⇒ = ⇔  =  tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu Vậy m = 1 là giá trị cần tìm Bài 1. Xác định m để hàm số 3 2 3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 y mx x x= + + + Bài 2. Tìm m để hàm số 3 2 2 ă r˜ ă ( ) 5 c cùc t t¹i x = 1. Khi ® hµm sè că C§ hay CT 3 y x mx m x = − + − + Bài 3. Tìm m để hàm số 2 1 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x mx y x m + + = + Bài 4. Tìm m để hàm số 3 2 2 2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 y x mx m x = − + − Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2 ( ) ax f x x bx c = + + + đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( ) 1 q f x xp x = + + đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2 Hướng dẫn: 2 '( ) 1 , x -1 ( 1) q f x x = − ∀ ≠ + + Nếu 0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ă hµm sè lu Ơ ă r˜ «n ®ång bi n . Hµm sè kh«ng c cùc t . q ≤ ∀ ≠ + Nếu q > 0 thì: 2 2 1 2 1 '( ) 0 ( 1) 1 x q x x q f x x x q  = − − + + − = = ⇔  +  = − +  Lập bảng biến thiên để xem hàm đạt cực tại tại giá trị x nào. Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Bài toán: ‘Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.’ Phương pháp B1: Tìm m để hàm số có cực trị. B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý: • Hàm số 3 2 ax ( 0) y bx cx d a = + + + ≠ có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân bi ệt. 5 • Cực trị của hàm phân thức ( ) ( ) p x y Q x = . Giả sử x 0 là điểm cực trị của y, thì giá trị của y(x 0 ) có thể được tính bằng hai cách: hoặc 0 0 0 0 0 0 ( ) '( ) ( ) hoÆc y(x ) ( ) '( ) P x P x y x Q x Q x = = Ví dụ . Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 2 3 2 1 x 2 4 . y = ( 6) 1 . y = 3 2 mx m a x mx m x b x + − − + + + − + Hướng dẫn. a. TXĐ: R 2 ' 2 6 y x mx m = + + + . Để hàm số có cực trị thì phương trình: 2 2 6 0 că 2 nghiÖm ph©n biÖt x mx m+ + + = 2 3 ' 6 0 2 m m m m >  ∆ = − − > ⇔  < −  b. TXĐ: { } \ 2 −  2 2 2 2 2 (2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4 ' ( 2) ( 2) µm sè că cùc ®¹i, cùc tiÓu khi ' 0 ă hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 4 4 4 0 ' 0 4 4 4 0 0 4 8 4 4 0 0 x m x x mx m x x m y x x H y c x x m m m m m + + − + − − + + + = = + + = ⇔ + + + = ∆ > − − >   ⇔ ⇔ ⇔ <   − + + ≠ ≠   Bài 1. Tìm m để hàm số 3 2 r˜ ă 3 2. Víi gi¸ t nµo cña m th× hµm sè c C§, CT? y x mx= − + Bài 2. Tìm m để hàm sô 2 3 ( 1) 1 x m m x m y x m − + + + = − luôn có cực đại và cực tiểu. Bài 3. Cho hàm số 3 2 2  12 13 y x x = + − − . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung. Bài 4. Hàm số 3 2 2( 1) 4 1 3 m y x m x mx = − + + − . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. Bài 5. Cho hàm 2 1 x mx y x + = − . Tìm m để hàm số có cực trị Bài 6. Cho hàm số 2 2 4 2 x mx m y x + − − = + . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trước. Phương pháp + Tìm điều kiện để hàm số có cực trị + Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất. Ví dụ . 6 Bài1. Tìm c ực trị của các hàm số sau: 2 3 4 3 3 2 4 2 3 2 . y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432 . y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4 e. y = -5x + 3x - 4x + 5 a x x c x x − − + − − + 3 f. y = - x - 5x Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 x+1 x 5 (x - 4) . y = b. y = c. y = x 8 1 2 5 9 x 3 3 x . y = x - 3 + e. y = f. y = x - 2 1 x 4 x a x x x x d x + − + + − + − + − + Bài 3. Tìm cực trị các hàm số 2 2 2 3 2 2 x+1 5 - 3x . y = x 4 - x b. y = c. y = x 1 1 - x x x . y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 6 a d x + − Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: . y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f. 2 a c π ∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] Bài 5. Xác định m để hàm số 3 2 3 5 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 y mx x x= + + + Bài 6. Tìm m để hàm số 3 2 2 ă r˜ ă ( ) 5 c cùc t t¹i x = 1. Khi ® hµm sè că C§ hay CT 3 y x mx m x= − + − + Bài 7. Tìm m để hàm số 2 1 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x mx y x m + + = + Bài 8. Tìm m để hàm số 3 2 2 2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 y x mx m x= − + − Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2 ( ) ax f x x bx c = + + + đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( ) 1 q f x xp x = + + đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2 Bài 11. Tìm m để hàm số 3 2 r˜ ă 3 2. Víi gi¸ t nµo cña m th× hµm sè c C§, CT? y x mx= − + Bài 12. Tìm m để hàm sô 2 3 ( 1) 1 x m m x m y x m − + + + = − luôn có cực đại và cực tiểu. Bài 13. Cho hàm số 3 2 2  12 13 y x x = + − − . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung. Bài 14. Hàm số 3 2 2( 1) 4 1 3 m y x m x mx = − + + − . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. Bài 15. Cho hàm 2 1 x mx y x + = − . Tìm m để hàm số có cực trị Bài 16. Cho hàm số 2 2 4 2 x mx m y x + − − = + . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.    GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 7 • Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên ( ) ; a b : +B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) + B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên Trong đó tại x 0 thì f’(x 0 ) bằng 0 hoặc khơng xác định • Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]: B1: Tìm các giá trò x i [ ] ; a b ∈ (i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh . B2: Tính 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b B3: GTLN = max{ 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } GTNN = Min{ 1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) n f a f x f x f x f b } Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1 y x x = + trên khoảng (0; ) +∞ Hướng dẫn: Dễ thầy h àm số liên tục trên (0; ) +∞ 2 2 2 2 1 1 ' 1 ' 0 1 0 1 x y y x x x x − = − = ⇒ = ⇔ − = ⇒ = ± . Dễ thấy 1 (0; ) x = − ∉ +∞ Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất. Ví dụ 2. Tính GTLN, GTNN của hàm số 3 2 2 3 4 3 x y x x = + + − trên đoạn [-4; 0] Hướng dẫn Hàm số liên tục trên [-4; 0], 2 2 [-4;0] [-4;0] 1 '( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0 3 16 16 ( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4 3 3 Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0 16 Min khi x = -4 hc x = -1 3 x x x f x x x f x x x x f f f f V y khi y ∈ ∈ = −  = + + ⇒ = ⇔ + + = ⇒  = −  − − − = − = − − = = − = − − = Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): 3 2 3 4 2 3 2 . f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1] c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3] d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3] a x x x x x x + − + + − − + + − − Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có): 2 x 1 . f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b. f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; + ) x + 2 x- 1 c. f(x) = x 1 - x d. f(x) a ∞ 1 3 = trªn kho¶ng ( ; ) cosx 2 2 π π  TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ I. Kiến thức cần nắm Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) • y = y 0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn: 0 0 lim ( ) ,hc lim ( ) x x f x y f x y →+∞ →−∞ = = GTLN - + y y' b x 0a x GTNN + - y y' b x 0 a x + ∞ ∞∞ ∞ + ∞ ∞∞ ∞ 0 2 + - y y' + ∞ ∞∞ ∞ 1 0 x 8 • x = x 0 là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn: 0 0 0 0 lim , lim , lim , lim x x x x x x x x + − + − → → → → = +∞ = +∞ = −∞ = −∞ • Đường thẳng y = ax + b ( 0 a ≠ ) được gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn: lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0 x x f x f x →+∞ →−∞ − − II. Các dạng toán Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ ( ) ( ) P x y Q x = Phương pháp • Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm cận đứng. • Tiệm cận ngang, xiên: + Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0 + Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu. + Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên được xác định bằng cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b + ( ) x ε với lim ( ) 0 x x ε →∞ = thì y = ax + b là tiệm cận xiên. Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số: 2 2 2x- 1 x 7 x + 2 . y = b. y = c. y = x + 2 3 x 1 x a x − − − − Hướng dẫn a. Ta thấy 2 2 2 1 2 1 lim ; lim 2 2 x x x x x x − + →− →− − − = −∞ = +∞ + + nên đường thẳng x= 2 là tiệm cận đứng. Vì 1 2 2 1 lim lim 2 2 2 1 x x x x x x →±∞ →±∞ − − = = + + nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. b. + 2 3 7 lim 3 x x x x − → − − = −∞ − . Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. + 1 2 3 y x x = + − − . Ta thấy 1 lim[y - (x + 2)]= lim 0 3 x x x →∞ →∞ − = − Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số. c. Ta thấy 2 1 2 lim . 1 x x x + → + = = +∞ − Nên x = 1 là đường tiệm cận đứng. + 2 1 2 lim 1 x x x − →− + = +∞ − . Nên x = -1 là tiệm cận đứng. + 2 2 2 1 2 2 lim 0 1 1 1 x x x x x x →+∞ + + = = − − . Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ 2 ax ( 0) y bx c a = + + > Phương pháp Ta phân tích 2 ax ( ) 2 b bx c a x x a ε + + ≈ + + Với lim ( ) 0 x x ε →+∞ = khi đó ( ) 2 b y a x a = + có tiệm cận xiên bên phải V ới lim ( ) 0 x x ε →−∞ = khi đó ( ) 2 b y a x a = − + có tiệm cận xiên bên tr ái VÝ dô 9 T×m tiÖm cËn cña hµm sè: 2 9 18 20 y x x = − + H−íng dÉn 2 9( 2) 6 y x = − + 10 Các tính giới hạn vô cực của hàm số ( ) ( ) f x y g x = lim ( ) 0 f x x x lim ( ) 0 g x x x Dấu của g(x) ( ) lim ( ) 0 f x x x g x L Tuỳ ý 0 L > 0 0 + + - - L < 0 0 - + + - Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau: 2x - 1 3 - 2x 5 -4 . y = b. y = c. y = d. y = x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1 x+ 1 1 e. y = f. y = 4 + 2x + 1 x- 2 a -x + 3 4 - x g. y = h. y = x 3x + 1 Bài 2. Tìm tiệm cận của các hàm số sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 x 12 27 x 2 x 3 2- x . y = b. y = c. y = d. y = 4 5 ( 1) 4 x 4 3 1 x 2 . y = 2x -1 + f. y = x 3 x x x a x x x x x x e x + + + + + 3 2 2 2 1 2x g. y = x- 3 + h. y = 2(x- 1) 1 x x + Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số 2 2 x . y = 1 x+ 3 b. y = x+ 1 1 . 4 x a x x c y x + + = Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số: 2 2 3 2( 2) 1 x y x m x m = + + + + có đúng 2 tiệm cận đứng. Bài 5. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục toạ độ của các hàm số: 2 2 3x 1 -3x 4 . y = b. y = 1 2 x x a x x + + + + Bài 6.(ĐHSP 2000). Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2 2( 1) 4 3 2 x m x m y x + + = tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt) Bài 7. Cho hàm số: 2 (3 2) 3 3 1 x x m m y x + + = (1) a. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm (4; 3) A b. Tìm m để đờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol 2 y x = tại hai điểm phân biệt. 2 -2 -4 -5 5 2 -2 -4 -5 5 2 -2 -4 -5 5 [...]... nghiệm thì mọi đường cong của họ (Cm) đều không đi qua M0 • Nếu phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đường cong của họ (Cm) đều đi qua M0 Trong trường hợp này ta nói rằng M0 là điểm cố đònh của họ đường cong (C m ) D¹ng 1: TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT: Cho họ đường cong (C m ) : y = f ( x, m) ( m là tham số ) PHƯƠNG PHÁP GIẢI Tìm điểm cố đònh của họ đường cong (Cm) Bước... m là tham số ) Biện luận theo m số đường cong của họ (C m ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y 0 ) cho trước PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Ta có : Họ đường cong (C m ) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y 0 ) ⇔ y 0 = f ( x 0 , m) (1) Xem (1) là phương trình theo ẩn m Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) ta suy ra số đường cong của họ (Cm) đi qua M0 Cụ thể: • Nếu phương trình (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đường cong của họ (Cm)... Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ cđa h m sè 11 b BiƯm ln theo m sè nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh 2 x 3 + 3 x 2 − 1 = m B i 2 (TN THPT- lÇn 2 – 2008) Cho h m sè y = x3 - 3x2 a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ h m sè ® cho b T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ph−¬ng tr×nh x 3 − 3 x 2 − m = 0 cã 3 nghiƯm ph©n biƯt Bài 3 (TNTHPT - 2007) th là (C) Cho hàm s y= x3 − 3 x + 2 có a/ Kh o sát và v th hàm s b/ Vi t phương... sát và v th hàm s b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i i m A(2 ;4) Bài 4 (TNTHPT - 2006) Cho hàm s y= − x3 + 3 x 2 có th (C) a/ Kh o sát và v th hàm s b/ D a vào th bi n lu n s nghi m phương trình : − x3 + 3 x 2 -m=0 Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB) Cho hàm s y= x3 − 6 x 2 + 9 x có th là (C) a/ Kh o sát và v th hàm s b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i i m cã ho nh ®é l nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh y’’=0 ... + 1 + 2 x2 − 3 −1 x + 1 + 2x2 + 2) ( ) x 2 − 4 x + 5 − x 2 − 10 x + 50 = 5 3 +1 x +1 = 3 IV PHƯƠNG PHÁP HÀM S 1.Xây d ng phương trình vơ t d a theo hàm ơn i u D a vào k t qu : “ N u y = f ( t ) là hàm ơn i u thì f ( x ) = f ( t ) ⇔ x = t ” ta có th xây d ng ư c nh ng phương trình vơ t Xu t phát t hàm ơn i u : y = f ( x ) = 2 x3 + x 2 + 1 m i x ≥ 0 ta xây d ng phương trình : 30 f ( x) = f ( ) 3x − 1... s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ (C) cđa h m sè b BiƯn ln theo k sè giao ®iĨm cđa (C) víi ®å thÞ (P) cđa h m sè y = k − 2 x 2 B i7 Cho h m sè y = x 4 − 2 mx 2 + m 3 − m 2 a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ cđa h m sè khi m = 1 b X¸c ®Þnh m ®Ĩ ®å thÞ (Cm ) cđa h m sè ® cho tiÕp xóc víi trơc ho nh t¹i 2 ®iĨm B i 8 (§H CÇn th¬ - 2002) Cho h m sè y = x 4 − 2 x 2 + 2 − m (Cm) a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ... D¹ng 1: Kh¶o s¸t v vÏ h m sè y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) Ph−¬ng ph¸p 1 T×m tËp x¸c ®Þnh 2 XÐt sù biÕn thi n cđa h m sè a T×m c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc v c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc (nÕu cã) T×m c¸c ®−êng tiƯm cËn b LËp b¶ng biÕn thi n cđa h m sè, bao gåm: + T×m ®¹o h m, xÐt dÊu ®¹o h m, xÐt chiỊu biÕn thi n v t×m cùc trÞ + §iỊn c¸c kÕt qu¶ v o b¶ng 3 VÏ ®å thÞ cđa h m sè + VÏ ®−êng tiƯm cËn nÕu cã + X¸c... a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ cđa h m sè b T theo gi¸ trÞ cđa m, biƯn ln sè nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3 x 2 − 1 = m H−íng dÉn a 1 TX§: D = 2 Sù biÕn thi n cđa h m sè a Giíi h¹n t¹i v« cùc 3 1 lim (− x 3 + 3 x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = +∞ x →+∞ x →+∞ x x -∞ 0 ∞ x 2 3 1 lim (− x 3 + 3 x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = −∞ + 0 y' 0 x →−∞ x →−∞ x x +∞ ∞ 3 c B¶ng biÕn thi n y x = 0 y ' =... ng y=x+m2-m i qua trung i m c a o n th ng n i c c c c ti u Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB) Cho hàm s y= x3 − 3mx 2 + 4m3 a/ Kh o sát và v th hàm s khi m=1 b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i i m có hồnh x=1 i vào B i 7 (§H- A- 2002) Cho h m sè y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2 a Kh¶o s¸t sù biÕn thi n v vÏ ®å thÞ h m sè víi m= 1 b T×m k ®Ĩ ph−¬ng tr×nh: − x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 cã... ư c: 2 3 x − 1 = y  2 ( x + 1) + ( x + 1) = 2 y 3 + y 2 3 2 Hãy xây d ng nh ng hàm ơn i u và nh ng bài tốn vơ t theo d ng trên ? ) ( ( ) Bài 1 Gi i phương trình : ( 2 x + 1) 2 + 4 x 2 + 4 x + 4 + 3x 2 + 9 x 2 + 3 = 0 Gi i: ( ⇔ ( 2 x + 1) 2 + Xét hàm s ( 2 x + 1) ( 2 ) ( + 3 = ( −3x ) 2 + ) f ( t ) = t 2 + t 2 + 3 , là hàm ( −3x ) 2 ) + 3 ⇔ f ( 2 x + 1) = f ( −3x ) ng bi n trên R, ta có x = − 1 5 Bài . 1 HÀM SỐ ☯ ☯☯ ☯1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K: + Hàm số y = f(x) được. giá trị nhỏ nhất của hàm số 7 • Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên ( ) ; a b : +B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) + B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thi n . Cho hàm số 4 2 9 2 4 4 x y x = a. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số 2 2 y k x = Bài 7 Cho hàm số 4