1 BẤT ĐẲNG THỨC A. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức I. Sử dụng định nghĩa, các phép biến đổi đương đương VD1. Chứng minh với a, b, c tùy ý, ta có: 1. 2 2 2 a b c ab bc ca      2.     2 3 a b c ab bc ca      Giải 1.       2 2 2 2 2 2 0 a b c ab bc ca a b b c c a             2.           2 2 2 2 3 0 a b c ab bc ca a b b c c a             VD2. Chứng minh rằng nếu 0 x y z    thì ta có     1 1 1 1 1 y x z x z x z y x z                   Giải. Biến đổi tương đương đến:     0 y x z x    luôn đúng. VD3. Ba số dương a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:       2 2 2 3 a b c a b c a b c a b c abc          Giải. Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên 0 b c a    . Do đó:     2 0 b c b c a     , hay 3 3 2 2 2 2 2 0 b c b c bc ab ac abc        (1) Tương tự ta có: 3 3 2 2 2 2 2 0 c a c a ca bc ba abc        (2) 3 3 2 2 2 2 2 0 a b a b ab ca cb abc        (3) Cộng từng vế (1), (2) và (3) rồi nhóm lại ta được:       2 2 2 2 2 2 6 0 a b c a b c a b c a b c abc            Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. BÀI TẬP Bài 1. (1970) CMR với mọi a, b, c, d:     2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d        HD. BĐT     2 2 2 2 a b c d ac bd      Nếu 0 ac bd   , BĐT đúng Nếu 0 ac bd   , bình phương hai vế biến đổi thành   2 0 ad bc   . Bài 2. (TL, 95) Cho 0 a b c    . CMR:       3 2 2 3 2 2 3 2 2 0 a b c b c a c a b       HD. Biến đổi tương đương đến:         0 b c a c a b ab bc ca       Bài 3. (HH, 96). Cho 1 xy  , CMR: 2 2 1 1 2 1 1 1 x y xy      . HD. Ta có: 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1x y xy x xy y xy                                    2 2 2 1 0 1 1 1 b a ab a b ab        II. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết Những bất đẳng thức thường sử dụng: 1. Bất đẳng thức Cô-si: 2  Với hai số không âm a và b ta có: 2 a b ab   . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b  .  Với ba số không âm a, b và c ta có: 3 3 a b c abc    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c   . 2. Bất đẳng thức Bunhia-Côpxki (Cauchy – Schwarz):  Với mọi số thực a, b, x, y, ta có:       2 2 2 2 2 ax by a b x y     . Đẳng thức xảy ra khi: a b x y  .  Với mọi số thực a, b,c, x, y,z, ta có:       2 2 2 2 2 2 2 ax by cz a b c x y z        . Đẳng thức xảy ra khi: a b c x y z   . 3. Bất đẳng thức tam giác:  , , a b a b a b     (BĐT tam giác thứ nhất). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 ab  .  , , a b a b a b     (BĐT tam giác thứ nhất). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 ab  . VD1. Với a, b là các số dương tùy ý, ta luôn có: 1.   1 1 4 a b a b          2. 1 1 4 a b a b    HD. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si VD2. Với a, b, c là các số dương tùy ý, ta luôn có: 1.   1 1 1 9 a b c a b c            2. 1 1 1 9 a b c a b c      HD. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si VD3. Với x, y không âm, chứng minh:      2 1 1 1 x y xy     Giải. Ta có:          2 2 1 1 1 1 2 1 x y x y xy xy xy xy            VD4. 1. Nếu 2 2 1 x y   thì 2 5 x y  . 2. Nếu 3 4 1 x y   thì 2 2 1 25 x y  . HD. Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-côp-xki: 1.         2 2 2 2 2 2 2 1. 2. 1 2 5 x y x y x y        . Suy ra: 2 5 x y  2.         2 2 2 2 2 2 2 1 3 4 3 4 25 x y x y x y        . Suy ra: 2 2 1 25 x y  BÀI TẬP 3 Bài 1. (BK HN, 90) Cho , , 0 x y z  , CMR: 2 2 2 1 1 1 2 x y z x yz y zx z xy xyz         . HD. Theo BĐT Cô-si: 2 2 1 1 2 2 x yz x yz x yz x yz      Tương tự: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 yz zx xy x yz y zx z xy xyz x yz y zx z xy            Tiếp tục sử dụng BĐT Cô-si ta có đpcm. Bài 2. (QGHN, B, 95) Cho hai số dương a, b, CM BĐT: 3 3 3 3 1 1a a b b a b a b      HD. Áp dụng BĐT Cô-si: 3 3 3 1 1 3 1 1 3 .1.1 a a a     , tương tự …. ta có đpcm. Bài 3. (HH Tp.HCM, 99) Cho , , 0 x y z  và 3 x y z    , CMR: 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 x y z x y z x y z             HD. BĐT bên trái: 2 2 1 1 2 1 2 x x x x      BĐT bên phải, dựa vào BĐT Cô-si cho 3 số. III. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số VD1. Chứng minh rằng , với mọi số thực x ta đều có: 2 2 1 1 3 3 1 x x x x       . HD. Đặt     2 2 2 1 1 1 1 0 1 x x y y x y x y x x             . Ta tìm y để PT này có nghiệm. VD2. Chứng minh rằng:     2 2 2 2 cos cos cos 6 0, , , 0;a b c a b c a b c           Giải. Xét hàm số 2 2cos y x x   . Ta có ' 2 2sin y x x   , " 2 2cos 0, y x x     , nên y’ đơn điệu tăng trên miền   0;  , suy ra   ' ' 0 0 y y   . Từ đó y đơn điệu tăng trên miền   0;  . Do vậy, với   , , 0;a b c    , ta có:               2 2 2 2 2 2 0 2 2cos 2 0 2 2cos 2 2 cos cos cos 6 0 2cos 2 0 2 y a y a a y b y b b a b c a b c c c y c y                               VD3. Cho tam giác ABC có 0 90 A B C     . Chứng minh: 2cos3 4cos2 1 2 cos C C C    . HD. Ta có: 2cos3 4cos2 1 2 cos C C C        3 2 2 4cos 3cos 4 2cos 1 1 2 cos c C C C       3 2 8cos 8cos 8cos 5 0 C C C      Từ giả thiết suy ra 1 60 90 0 cos 2 C C        . Đặt 1 cos , 0; 2 t C t         , xét hàm số: 4 3 2 1 8 8 8 5, 0; 2 y t t t t            Lập bảng biến thiên, suy ra đpcm. BÀI TẬP Bài 1. Cho , , 0 x y z  và 1 x y z    , CMR: 18 2 xyz xy yz zx xyz     HD. Ta có:   2 3 3 xy yz zx xyz    Đặt 3 1 ,0 3 t xyz t    , ta chỉ cần CM: 3 2 3 3 18 3 6 2 0 2 t t t t t       . Đến đây xét hàm số:   3 1 6 2, 0; 3 f t t t t           IV. Phương pháp hình học VD1. Chứng minh BĐT tam giác:     2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 a b a b a a b b        , với mọi bộ số 1 2 1 2 , , , a a b b . HD. Xét   1 1 ; M a b ,   2 2 ; N a b   , thế thì: 2 2 1 1 OM a b   , 2 2 2 2 ON a b   ,     2 2 1 2 1 2 MN a a b b     . Ta bất đẳng thức: OM ON MN   , suy ra điều phải chứng minh. VD2. Chứng minh với mọi x ta có: 2 2 1 1 1 1 x x x x         . HD. Ta có: 2 2 2 2 1 3 1 3 1 1 2 4 2 4 x x x x x x                        Đặt 1 3 1 3 ; , ; 2 2 2 2 M x N x                   Thế thì: 2 1 3 2 4 OM x          , 2 1 3 2 4 ON x          , 1 NM  Từ BĐT: OM ON NM   , suy ra điều phải chứng minh. BÀI TẬP Bài 1. Chứng minh với mọi giá trị của x, y ta có:     2 2 2 2 2 2 4cos cos sin 4sin sin sin x y x y x y x y      HD. Đặt     2cos cos ;sin M x y x y  ,     2sin sin ; sin N x y x y    và   0;0 O . Từ BĐT OM ON MN   , suy ra điều phải chứng minh. Bài 2. CMR với x, y, z là ba số tùy ý thì ta có: 2 2 2 2 2 2 x xy y x xz z y yz z         HD. Xét 3 điểm:   0;0 O , 1 3 ; 2 2 M x y y          , 1 3 ; 2 2 N x z z           . Từ BĐT OM ON MN   , suy ra điều phải chứng minh. Bài 3. CMR với mọi số a, b, c ta có:     2 2 2 2 2 2 2 a c b a c b a b        . HD. Xét 3 điểm:   0;0 O ,   ; M a c b  ,   ; N a c b    . Từ BĐT OM ON MN   , suy ra điều phải chứng minh. 5 Bài 4. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : 2 2 2 1 x y z    . Hãy tìm GTLN của P = xy + yz +2zx. Giải. Ta có 2 2 2 2 2 2 2 | | ( ) 2 | | 2( ) ( ) ( ) P y x z zx y x z x z x z x z            2 2 1 1 | | 2 2 ( ) 2 2 y y y      xét ( 2;1) u  và 2 2 (| | 1 ;1/ 2 ) v y y y    ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 3 1 3 1 | || | (2 1) ( 1 ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 P uv u v y y y                  . V. Phương pháp quy nạp toán học VD1. Chứng minh bát đẳng thức Becnuli:     1 1 , , 1 n h nh n h         . VD2. Chứng minh với n là số nguyên lớn hơn 1 thì: 1 1 1 1 2 n n     . BÀI TẬP Bài 1. CMR với mọi n nguyên và 2 n  thì: 1 1 1 2 1 2 n n     1 1 1 13 1 2 2 24 n n n       2 2 2 1 1 1 2 1 2 n     Bài 2. Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có: sin sin n n    VI. Phương pháp phản chứng VD1. Cho   , , 0;1 a b c . Chứng minh rằng trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất đẳng thức sai:   1 1 4 a b   ,   1 1 4 b c   và   1 1 4 c a   . VD2. Chứng minh rằng nếu 2 a b cd   thì ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: 2 c a  , 2 d b  . BÀI TẬP Bài 1. (NT Tp.HCM, A, D, 2000) Cho , 0 x y  và 2 3 3 4 x y x y    , CMR 3 3 2 2 2 x y x y x y       . Bài 2. (NT Tp.HCM, A, 2001) Cho tam thức bậc hai   2 f x x ax b    . CMR với mọi giá trị của a và b, trong ba số   0 f ,   1 f ,   1 f  có ít nhất một số 1 2  VII. Phương pháp lượng giác hóa VD1. Biết 2 2 1 x y   . Chứng minh: 2 2 x y    . VD2. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:        2 2 1 1 1 2 2 1 1 a b ab a b        . BÀI TẬP Bài 1. CMR 1 1 1 1 1 1 , , , 1 a b c a b c a b c b c a a b c                                  6 HD. Đặt 1 cos a x  ; 1 cos b y  ; 1 cos c z  với x, , 0; 2 y z         Khi đó đưa BĐT về       2 2 2 1 cos cos 1 cos cos 1 cos cos sin .sin .sin x y y z z x x y z     Sau đó lưu ý: 1 cos cos sin sin       ta suy ra đpcm. Bài 2. CMR từ bốn số bất kì cho trước luôn tìm được hai số x, y thỏa mãn 0 1 1 x y xy     . VIII. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai VD1. Cho 3 36 a  và 1 abc  . Chứng minh rằng: 2 2 2 3 a b c ab bc ca      . VD2. Chứng minh bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki đối với bộ ba số tùy ý       2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 , , , , , , a a a b b b a b a b a b a a a b b b          BÀI TẬP Bài 1. Chứng minh rằng với mọi x và y thì: 2 2 5 4 2 6 3 0 x y xy x y       . Bài 2. Cho tam giác ABC, CMR:   2 1 1 cos cos cos , 2 x A x B C x      Bài 3. Cho 2 2 2 2 2 2 0. p q a b c d       CMR:       2 2 2 2 2 2 2 p a b q c d pq ac bd        Bài 4. Tìm a, b để sao cho với mọi x hàm số 2 1 ax b y x    đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng – 1. IX. Phương pháp đánh giá VD1. Chứng minh: * 1 1 1 , 2 1 2 n n n n n         . VD2. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 2 3 n     Giải. Ta có:   2 1 1 1 1 1 1 n n n n n      với mọi số tự nhiên 1 n  , nên: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 2 3 1 n n n n               , với mọi số tự nhiên 1 n  (đpcm) BÀI TẬP Bài 1. CMR với n nguyên dương ta có: 1 1 1 1 2 1 1 2 3 n n       HD. Ta có:   1 2 2 2 1 1 n n n n n n n         Bài 2. CMR với n nguyên dương ta có: 1 3 5 2 1 1 . . 2 4 6 2 2 1 n n n    HD. Ta có:     2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 4 1 k k k k k k k k          Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. CMR: 1 2 a b c d a b c b c d c d a d a b              X. Phương pháp quy về một biến 7 VD. Cho 2 2 2 2 a b c    , 1 ab bc ca    , chứng minh rằng 4 4 3 3 a    . Giải. Từ giả thiết ta có:   2 2 4 2 b c a a b c b c a               Từ đó ta có:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 2 2 2 2 b c a a a a b c a a              Suy ra: 2 3 4 0 a a   . Vậy 4 4 3 3 a    XI. Phương pháp đổi biến VD. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 2 2 2 3 a b c    , chứng minh rằng:   3 1 ab bc ca c a b    . Giải.   2 2 2 2 2 2 1 3 a b b c c a abc     . Đặt 2 3 x a x y z    , 2 3 y b x y z    , 2 3 z c x y z    , với , , 0 x y z  Khi đó (1) trở thành     3 2 xy yz zx xyz x y z     Ta có       2 2 3 xy yz zx xyz x y z             2 2 2 1 0 2 xy yz yz zx zx xy            đúng BÀI TẬP Bài 1. Cho x, y, z dương và x + 2y + 4z = 12. Tìm GTLN của biểu thức: 2 8 4 2 2 4 4 xy yz zx P x y y z z x       . HD. Đặt a = x, b = 2y, c = 4z ta được a + b + c = 12 và : 6 4 4 4 ab bc ca a b b c c a P a b b c c a              . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 4. Bài 2. CMR nếu a, b, c không âm và 1 abc  thì: 1 1 1 1 2 2 2 a b c       HD. Đặt x a y  , y b z  , z a x  thay vào ta được:       2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 y z x x y z y x z y x z x x y y y z z z x              Đến đây sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz sẽ có kết quả. B. Một số bài tập rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức Bài 1. Với ba số thực bất kì a, b và c. CMR: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a            Bài 2. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: 1.       b c a c a b a b c abc        2. Nếu a b c   thì       3 2 2 3 2 2 3 2 2 0 a b c b c a c a b       HD. 8 1. Chú ý đến các BĐT dễ thấy sau đây:      2 2 2 a a b c a b c a b c              2 2 2 b b c a b c a b c a              2 2 2 c c a b c a b c a b         Nhân từng vế ba BĐT trên, ta có BĐT cần chứng minh. 2. Phân tích vế trái thành tích:         a b b c a c ab bc ca      Bài 3. (BĐT Nesbit) Cho ba số dương a, b và c. CM BĐT: 3 2 a b c b c c a a b       . Khi nào đẳng thức xảy ra? Bài 4. Cho ba số dương a, b và c. CM BĐT: 2 2 2 1 1 1 12 a b c b c a                         . Khi nào đẳng thức xảy ra? HD. Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số. Hoặc theo các bước:  2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 a b c a b c b c a b c a                                                                   2 1 1 1 1 1 1 4a b c a b c a b c a b c                                1 1 1 9 a b c a b c            Bài 5. Cho ba số dương a, b và c. CM BĐT: a b c a b c a b b c c a b c c a a b            . Khi nào đẳng thức xảy ra? HD. Dễ chứng minh 2 a b c a b b c c a       . Ta chứng minh 2 a b c b c c a a b       theo gợi ý:   1 2 a a a b c a b c a b c       Bài 6. Cho ba số dương x, y và z, Gọi s x y z    . Chứng minh: 3 1 1 1 3 1 1 1 1 x y z s                              HD. Sử dụng BĐT Cô-si đi đến: 3 3 2 1 1 1 9 27 3 3 1 1 1 1 1 x y z s s s s                                        Bài 7. CMR nếu x, y và z là ba số không âm thì:     2 4 2 3 2 3 3 y z x y z x x y z              . HD. Ta có các bất đẳng thức sau:      1 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 y z y x y z x x y z x z                        2 3 2 3 3 1 1 7 2 4 4 3 2 12 2 y x y z x z y x z                                  9      2 2 2 1 7 1 4 4 4 4 4 4 12 2 12 3 y x z x y z x y z               (do 7 4 2 y y  ) Bài 8. 1. Nếu ba số a, b, c thỏa mãn 1 1 1 1 a b c    thì 1 1 1 1 2 2 2 4 a b c a b c a b c          . 2. Trong một tam giác với ba cạnh a, b, c và chu vi là 2p, ta có BĐT: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c               Bài 9. Với mọi x, y mà (x + y)  0 ta luôn có 3 3 3 ( ) 4( ) y y xx   . Đẳng thức xảy ra khi nào? Giải. Với mọi số x, y ta có 2 ( ) 4 x y xy   . Đẳng thức xảy ra kvck x = y. Do (x + y)  0 nên 3 ( ) ( ) 4 x y xy x y    . Do đó: 2 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) 4 4 x y x y x y x y xy x y x y x y             . Bài 10. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 x y z M y z z x x y       Giải. Ta có 2 4 x y z x y z     , 2 4 y z x y z x     và 2 4 z x y z x y     nên: 2 x y z M x y z       Do đó, 3 3 3 2 2 2 xyz x y z M      . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Bài 11. Cho 2 số thực dương x, y. Chứng minh 2 9 (1 ) 1 1 256 y x x y                   . Giải. Áp dụng BĐT 2 (1 )(1 ) (1 ) a b ab     , đẳng thức xảy ra kvck a = b. 2 2 2 2 2 4 9 9 9 (1 ) 1 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 3) 256 y y x x y x x y y y                                           . Bài 12. Cho a, b, c >0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 a bc b ac c ab       . Giải. Áp dụng BĐT 1 1 1 1 1 1 9 ( )( ) 9x y z x y z x y z x y z            với x , y, z > 0. Ta được 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 9 1 2 2 2 2 2 2 ( )a bc b ac c ab a bc b ac c ab a b c                . Bài 13. Cho x, y, z dương, thỏa đẳng thức 1 1 1 1 x y z    . Chứng minh: 10 2 2 2 4 x y z x y z x yz y zx z xy         . Giải. Ta có 1 1 1 1 x y z     xy + yz + zx = xyz. Do đó: 2 3 3 3 2 2 ( )( ) x x x x x yz x xyz x xy yz zx x y x z           . 2 3 3 (1) 8 8 ( )( ) 8 8 4 x x y x z x x y x z x x yz x y x z               Tương tự: 2 3 (2) 8 8 4 y y z y x y y zx       và 2 3 (3) 8 8 4 z z x z y z z xy       . Cộng (1), (2) và (3) ta được đpcm. Bài 14. Cho x, y z là các số dương và 3 2 x y z    . CMR: 1 1 1 7 2 2 2 2 x y z x y y z z x          . Giải. Cách 1: Theo BĐT Côsi ta có 1 4( 2 ) 4 2 9 3 x y x y     , 1 4( 2 ) 4 2 9 3 y z y z     và 1 4( 2 ) 4 2 9 3 z x z x     . Cộng 3 BĐT này ta được 1 1 1 4( ) 4 2 2 2 3 x y z x y y z z x           1 1 1 ( ) 4 2 2 2 3 x y z x y z x y y z z x             (1). Vì 3 2 x y z    nên 1 2 3 x y z    . Do đó: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 x y z x y z x y z x y y z z x x y y z z x                      (2) Từ (1) và (2) ta được 1 1 1 1 4 2 2 2 2 x y z x y y z z x           . Suy ra BĐT cần CM. Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, dễ dàng chứng minh được: 1 1 1 [( 2 ) ( 2 ) ( 2 )]( ) 9 2 2 2 x y y z z x x y y z z x            nên 1 1 1 9 3 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) x y y z z x x y y z z x x y z               Do đó, 3 VT x y z x y z       . Đặt t = x + y + z, xét hàm số: 3 ( ) f t t t   với 3 (0; ] 2 t  . Ta có 2 / 2 2 3 3 3 ( ) 1 0, (0; ] 2 t f t t t t        nên f(t) giảm trên 3 (0; ] 2 . Vì vậy, 3 7 3 ( ) ( ) , (0; ] 2 2 2 f t f t    [...]... z  z  2x 1  Do đó, VT  f(t)  7/2 Đẳng thức xảy ra kvck  x yz 3 2 x  y  z  2  Bài 15 (Đề dự bị 1 khối A, năm 2007) Cho x, y, z là các biến số dương Tìm GTNN của x y z P = 3 4( x3  y 3 )  3 4( y 3  z 3 )  3 4( z 3  x 3 )  2( 2  2  2 ) y z x ( a  b) 2 Giải Với mọi số a, b không âm, ta có ab  và 0  (a + b) nên 4 ( a  b) 2 ( a  b)3 Đẳng thức xảy ra kvck a a3  b3  (a  b)3... b, c >0 và a  b  c  1 CM:    1  2bc 1  2ca 1  2ab 5 2 2 2 2 a b c a b2 c2 HD Ta có:      1  2bc 1  2ca 1  2ab 1  b 2  c 2 1  c 2  a 2 1  a 2  b 2 Thay giả thi t và cộng thêm 3, ta sẽ đưa về bất đẳng thức đơn giản Bài 30 Cho a, b, c là các số thực dương và abc  1 CMR: 1 1 1 1  2  2  2 2 2 2 a  2b  3 b  2c  3 c  2a  3 2 1 1 HD Áp dụng BĐT Cô-si: a 2  b 2  2ab, b 2... có  y   a  c  b  , thay và giả thi t, ta được: 2 y  z  c   1   z  2 b  c  a   2 1 1 1 1 2 2  a  b  c   a  b  c   3  a  c  b   b  c  a    a  b   c 2  3 c   a  b     2 2 2 2 2 2 2  c  a  b  ab 2 Ta có: c  a  b  ab   a  b   3ab   a  b  2 2 2 2  a  b 3 2  4 1 2  a  b   a  b  2c (1) 4 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: a 3 ... có: f '  t   t  2  0, t  2 2 1 9  Nên: min f  t   f    1  t ;    2  16 2   9 1 9 ; đẳng thức xảy ra khi x  y  Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 16 2 16 Bài 21 (ĐH-D-2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x  y  1 Tìm Suy ra: A  GTLN và GTNN của biểu thức S   4 x 2  3 y  4 y 2  3x   25 xy Giải Ta có: 3 S  12  x3  y 3   16 x 2 y 2  34 xy  12... thực x, y không âm thay đổi Tìm GTLN và GTNN của biểu  x  y 1  xy  thức P  2 2 1  x  1  y  Giải Ta có: P   x  y 1  xy  2 2 1  x  1  y  Khi x  0, y  1 thì P     x  y 1  xy   1   1  P  1 2 4 4 4  x  y   1  xy     1 4 1 4 1 1 Vậy, GTLN của P bằng , GTNN của P bằng  4 4 Bài 24 Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3 Tìm GTNN của biểu thức: a b c... HN,D,2000) Với a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức: ab  bc  ca  abc , CMR: b 2  2a 2 c 2  2b 2 a 2  2b2    3 ab bc ca Bài 2 (BK HN,A,2000) Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a  b  0 , CMR: 3 a 3  b3  a  b    2  2  Bài 3 (Nông nghiệp I, A, 2000) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc  1 Hãy bc ca ab tìm GTNN của biểu thức: P  2  2  2 2 2 a b  a c b c  b a c... b  c   3   2 6 6 2 Đẳng thức xảy ra khi : a = 1 , b = 1 , c = 1 Giải Ta có Bài 18 Cho x  0, y  0 và x  y  1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P  x y  y 1 x 1 11 2 x y x 2  y 2  x  y  x  y   x  y  2 xy 2  2 xy HD Ta có: P      y  1 x  1 x  y  xy  1 x  y  xy  1 2  xy 1 Đặt t  xy  0 , ta có 1= 1  x  y  2 xy  t  xy  4 2  2t  1 Quy về tìm GTLN và GTNN của hàm...  xy  y 2   x  y  …… 2 HD Ta có x 2  xy  y 2  Suy ra: Bài 26 Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 1 1 1    2 CMR: 1 a 1 b 1 c abc  0,125 Bài 27 (SP HN 2-1997) Chứng minh bất đẳng thức: 6  6   6  30  30   30  9       n dÊu c¨n 3 n dÊu c¨n 3 3 3 29a  b 29b  c 29c3  a 3    4 a  b  c ab  6a 2 bc  6b 2 ca  6c 2 29a3  b3 HD Tìm m, n để... y  z  Từ (1) và (2) ta được P  12 Đẳng thức xảy ra kvck  x y z  x  y  z  1  x  y 2 , y  z 2 , z  x2  Vậy, min P =12 khi x = y = z = 1 1 1 Bài 16 Cho x,y > 0, x + y = 1 Chứng minh:  2  6 xy x  y 2 Giải Ta có: 1 1 2  1 1  2 2 4  2    2    2  6 2 2  2 2 2 xy x  y 4 xy  2 xy x  y  ( x  y) ( x  y )2 2 xy( x  y ) Bài 17 Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3 CMR: a b...  4 ; 4     x  y  1 25  1 1 Giá trị lớn nhất của S bằng ; khi  1   x; y    ;  2 2 2  xy  4  Bài 22.(ĐH-B-2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x 2  y 2  1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P  2  x 2  6 xy  1  2 xy  2 y 2 Giải Cách 1 P  2  x 2  6 xy  1  2 xy  2 y 2  2  x 2  6 xy  x 2  y 2  2 xy  2 y 2  2  x 2  6 xy  x 2  2 xy  3 y 2 Khi . Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết Những bất đẳng thức thường sử dụng: 1. Bất đẳng thức Cô-si: 2  Với hai số không âm a và b ta có: 2 a b ab   . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ. các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất đẳng thức sai:   1 1 4 a b   ,   1 1 4 b c   và   1 1 4 c a   . VD2. Chứng minh rằng nếu 2 a b cd   thì ít nhất một trong hai bất đẳng. ra khi và chỉ khi a b  .  Với ba số không âm a, b và c ta có: 3 3 a b c abc    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c   . 2. Bất đẳng thức Bunhia-Côpxki (Cauchy – Schwarz):  Với