Chuyờn MT TRềN XOAY- MT CU Luyn thi i Hc 2014 Giỏo viờn: Lấ B BO CLB Giỏo viờn tr TP Hu 1 Ch 1: MT NểN TRềN XOAY I- Lí THUYT: 1/ nh ngha: Cho ng thng . Mt ng thng l ct ti O v to vi mt gúc khụng i ( ) 0 0 0 90 < < . Mt trũn xoay sinh bi ng thng l khi quay quanh gi l mt nún trũn xoay (hay n gin l mt nún). : trc ca mt nún. l : ng sinh ca mt nún. O : nh ca mt nún. 2 : gúc nh. 2/ Hỡnh nún v khi nún : a/ Hỡnh nún : Cho mt nún N vi trc , nh O v gúc nh l 2 . Gi ( ) P l mt phng vuụng gúc vi ti I ( ) I O , ct mt phng theo thit din l ng trũn ( C ); ( ) ' P l mt phng vuụng gúc vi ti O. Khi ú phn ca mt nún N gii hn bi hai mt phng ( ) P v ( ) ' P cựng vi ng trũn ( C ) c gi l hỡnh nún. b/ Khi nún: L phn khụng gian gii hn bi hỡnh nún, k c hỡnh nún ú. Nhn xột: + Thit din ca hỡnh nún v mt phng qua nh ca hỡnh nún l 1 tam giỏc cõn ti nh mt nún (cú cnh tam giỏc l l ). + ( ) , : M C O R SM l = : cỏch xỏc nh 1 ng sinh ca hỡnh nún. 3/ Din tớch hỡnh nún v th tớch khi nún : Cho hỡnh nún N cú chiu cao h , ng sinh l v bỏn kớnh ỏy R . * Din tớch xung quanh v din tớch ton phn: ( ) ( ) 1 2 xq S Rl = = chu vi ủaựy . ủửụứng sinh 2 tp xq S S S Rl R = + = + đáy * Th tớch: ( ) ( ) 2 1 1 3 3 V R h = = dieọn tớch ủaựy . chieu cao O l P' P I r l O Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 2 II- BÀI TẬP MINH HỌA: Bài tập 1: Cho hai điểm , A B cố định. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và cách B một đoạn không đổi 2 = AB a . Chứng minh rằng d luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay. Bài giải: Xét tam giác AHB vuông tại H: 0 1 sin 60 2 HB AB α = = ⇒ α = . Suy ra đường thẳng d là đường sinh của mặt nón với góc ở đỉnh 0 2 120 α = (không đổi), trục là đường thẳng AB (cố định). Nhận xét: Để chứng minh một đường thẳng đã cho luôn nằm trên một mặt nón tròn xoay, cần chỉ rõ mặt tròn xoay với các thuộc tính không đổi. Bài tập 2: Cho khối nón tròn xoay có đường cao 20 = h cm , bán kính đáy 25 = R cm . Một mặt phẳng ( ) P đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm . Hãy xác định thiết diện của ( ) P với khối nón và tính diện tích thiết diện đó. Bài giải: 2 2 5 41 cm l SO OA = + = Thiết diện tà tam giác SAB cân tại S. Gọi I là trung điểm AB Ta có: ( ) OI AB AB SOI SO AB ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  suy ra ( ) ( ) SOI SAB ⊥ và ( ) ( ) SOI SAB SI ∩ = . Dựng ( ) OH SI OH SAB ⊥ ⇒ ⊥ hay ( ) ( ) d , O SAB OH = . Xét tam giác SOI vuông tại O: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 225 OH OS OI OI OH OS = + ⇔ = − = suy ra 15 cm OI = . Xét tam giác OIA vuông tại I: 2 2 20 cm 40 cm AI OA OI AB= − = ⇒ = và 2 2 25 cm SI SA AI= − = . Vậy 2 1 1 . .40.25 500 cm 2 2 SAB S SI AB ∆ = = = . Bài tập 3: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và 0 0 ˆ ˆ 30 , 60 SAO SAB= = . Tính độ dài đường sinh của hình nón theo a. Bài giải: Đặt SA l = . Gọi I là trung điểm AB OI AB SI AB ⊥  ⇒  ⊥  . Xét tam giác SOA vuông tại O: cos cos 2 SO l SAO SO SA SAO SA = ⇔ = = 30 0 60 0 S A B O I I O H B A S H d d α αα α h h B A Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 3 Xét tam giác SAI vuông tại I: 3 sin sin 2 SI SAI SI SA SAI l SA = ⇔ = = Xét tam giác SOI vuông tại O: 2 2 2 2 2 2 3 2 4 4 l l SO OI SI a l a + = ⇔ + = ⇔ = . Nhận xét: Hoàn toàn chúng ta có thể biểu diễn l theo OA và AI, để áp dụng định lí Pitago trong tam giác AIO. Bài tập 4: Cho khối nón có bán kính đáy 12 = r cm và có góc ở đỉnh là 0 120 α = . Tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau. Bài giải: Nhận xét: Thiết diện là tam giác cân SAB với . SA SB l = = Xét tam giác SOA vuông tại O: sin sin 2 OA r OSA SA l α = ⇔ = 2 24 cm 3 3 sin 2 r r l⇔ = = = α Lúc đó: 2 2 2 1 1 24 96 cm 2 2 3 SAB S l ∆   = = =     . Bài tập 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi 1 2 3 , , V V V lần lượt là thể tích của khối nón sinh ra khi lần lượt cho tam giác ABC quay quanh AB, AC và BC. CMR: 2 2 2 3 1 2 1 1 1 V V V = + . Bài giải: Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Dễ thấy: 2 1 2 2 1 . 3 1 . 3 V AB AC V AC AB  = π     = π   Nhận xét: Khối tròn xoay nhận được khi quay tam giác ABC quanh BC là hợp của hai khối nón chung đường tròn đáy với bán kính . AH Ta có: ( ) ( ) 2 2 3 1 1 . . ' 3 3 V BH AH CH A H = π + π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 . . 3 3 1 1 3 3 BH AH CH AH AH BH CH AH BC = π + π = π + = π Lúc đó: 2 2 2 2 4 2 2 4 1 2 1 1 9 9 . . V V AB AC AC AB + = + π π 60 0 S A B O C B A A B C H A' B A C Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 4 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 9 1 1 1 9 1 . . . AB AB AH AB AC AH BC   = + =     π π ( ) 2 2 2 4 2 3 2 9 1 1 . 1 3 BC AH V AH BC = = =       (®.p.c.m) π π III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60 0 . Gọi (T) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích hình nón có đỉnh S và đáy (T). Bài tập 2: Trong mặt phẳng ( ) P cho điểm O cố định. Xét những đường thẳng d thay đổi luôn đi qua O và hợp với ( ) P một góc 30 0 . Chứng minh rằng d luôn nằm trên một mặt nón xác định. Bài tập 3: Cho hình lập phương . ' ' ' ' ABCD A B C D cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ' ' ' ' A B C D . Bài tập 4: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60 0 . Tính diện tích của thiết diện này. Bài tập 5: Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và có góc giữa các mặt bên và mặt đáy là α . Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và α . Bài tập 6: Tính thể tích khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh a? Bài tập 7: Xét tam giác vuông OAB, vuông tại O có 4, 3 OA OB = = . Nếu tam giác vuông quay quanh cạnh OA thì mặt nón tạo thành có diện tích xung quanh bằng bao nhiêu? Bài tập 8: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng α . Tính thể tích khối nón. Bài tập 9: Nếu hình nón có góc ở đỉnh bằng 0 60 và diện tích đáy bằng 9 π thì thể tích hình nón bằng bao nhiêu? Bài tập 10: Tính diện tích thiết diện lớn nhất của hình nón có độ dài đường sinh l , chiều cao h khi cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh hình nón? Chuyờn MT TRềN XOAY- MT CU Luyn thi i Hc 2014 Giỏo viờn: Lấ B BO CLB Giỏo viờn tr TP Hu 5 Ch 2: MT TR TRềN XOAY I- Lí THUYT: 1) nh ngha: Cho ng thng . Mt ng thng l song song vi v cỏch mt khong khụng i R. Mt trũn xoay sinh bi ng thng l khi quay quanh gi l mt tr trũn xoay (hay n gin l mt tr). : trc ca mt tr. l : ng sinh ca mt tr. R : bỏn kớnh ca mt tr. 2) Hỡnh tr v khi tr: a) Hỡnh tr: Cho mt tr cú trc , ng sinh l v bỏn kớnh R. Ct mt tr bi 2 mt phng ( ) P v ( ) ' P cựng vuụng gúc vi ta c thit din l 2 ng trũn ( ) C v / ( ) C . Khi ú phn ca mt tr gii hn bi hai mt phng ( ) P v ( ) ' P cựng vi hai ng trũn ( ) C v / ( ) C c gi l hỡnh tr. b) Khi tr: L phn khụng gian gii hn bi hỡnh tr, k c hỡnh tr ú. 3) Din tớch hỡnh tr v th tớch khi tr: Cho hỡnh tr cú chiu cao h, ng sinh l v bỏn kớnh ỏy R. * Din tớch xung quanh v din tớch ton phn: ( ) ( ) 2 xq S Rl = = chu vi ủaựy . ủửụứng sinh 2 2 2 tp xq S S S Rl R = + = + đáy * Th tớch: ( ) ( ) 2 V R h = = dieọn tớch ủaựy . chieu cao Nhn xột: + Rừ rng h l = + Mt phng bt kỡ song song vi trc ca tr (hay qua trc) ct hỡnh tr theo thit din l hỡnh ch nht . + ( ) , : // ' M C O R MN OO : cỏch xỏc nh 1 ng sinh ca hỡnh tr. II- BI TP MINH HA: Bi tp 1: Cho mt ng trũn nm trờn mt phng ( ) P . T mt im M nm trờn ng trũn ta k ng thng m vuụng gúc vi mt phng ( ) P . Chng minh rng nhng ng thng m nh vy nm trờn mt mt tr trũn xoay. Bi gii: Do ng trũn (O) cú bỏn kớnh R khụng i nờn ng thng m song song v cỏch 1 khong R vi ng thng OO qua O, vuụng gúc (P). T õy suy ra, ng thng m luụn nm trờn mt tr vi O' O l R P M m m A M O O' R M l h l R O O' Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 6 trục của trụ là đường thẳng OO’ và có h R = (y.c.b.t) Nhận xét: Để chứng minh một đường thẳng đã cho luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay, cần chỉ rõ mặt tròn xoay với các thuộc tính không đổi. Bài tập 2: Cho hình trụ có bán kính đáy 53 cm R = , chiều cao 56 h = cm . Một thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục của trụ đến mặt phẳng thiết diện. Bài giải: Gọi thiết diện là hình vuông ABCD và H là trung điểm AB. Ta có: ( ) OH AB OH ABCD OH AD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  . Do ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '// d ', d , OO ABCD OO ABCD O ABCD OH ⇒ = = Xét tam giác OAH vuông tại H: 2 2 2 2 2 2 45 cm 2 2 AB h OH OA AH R R     = − = − = − =         Kết luận: ( ) ( ) d ', 45 cm OO ABCD = . Bài tập 3: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ theo R. Bài giải: Gọi thiết diện là hình vuông ABCD. Lúc đó, dễ thấy: 2 2 l AD AB R h l R = = =   = =  Vậy 2 2 4 xq S Rl R = π = π (đ.v.d.t) và 2 3 . 2 V h R R = π = π (đ.v.t.t) Bài tập 4: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao 50 cm = h . a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích khối trụ được tạo nên. b) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn của đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục của hình trụ. Bài giải: a) 2 2 5000 cm xq S Rl= π = π và 2 3 . 12500 cm V h R = π = π b) Dựng BB’ // OO’ ( ) '// ' OO ABB ⇒ ( ) ( ) ( ) d ', d ', ' OO AB OO ABB ⇒ = Gọi H là trung điểm AB’. Ta có: ( ) ' ' ' OH AB OH ABB OH BB ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) d ', ' d , ' OO ABB O ABB OH ⇒ = = Xét tam giác ABB’ vuông tại B’: 2 2 2 2 ' ' ' 50 3 cm AB AB BB AB OO= − = − = H O' O D A B C O' O D C A B P K B' B A H O O' Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 7 Xét tam giác OHB’: 2 2 2 2 ' ' ' ' 25 cm 4 AB OH OB B H OB= − = − = Kết luận: ( ) d ', 25 cm OO AB OH = = . Mở rộng: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng OO’ và AB. + Dựng HK // OO’ + Dựng KP // OH Suy ra, đoạn PK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng OO’ và AB. Bài tập 5: (Khối A- 2006 ) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a . Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho 2 AB a = == = . Tính thể tích khối tứ diện OO’AB. Bài giải: Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xứng với A’ qua O’ và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A’D. Do ' BH A D ⊥ và ' BH AA ⊥ nên ( ) ' ' . BH AOO A ⊥ Suy ra: ' ' ' 1 . . 3 OO A A OO A V BH S ∆ = Ta có 2 2 2 2 ' ' 3 ' ' A B AB A A a BD A D A B a = − = ⇒ = − = ' BO D ⇒ ∆ đều 3 2 a BH⇒ = . Vì AOO’ là tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng a nên 2 ' 1 2 AOO S a ∆ = . Vậy thể tích khối tứ diện OO’AB là 2 3 1 3 3 . . 3 2 2 12 a a a V = = (đ.v.t.t) Bài tập 6: Cho hình trụ có bán kính đáy 70 cm R = , chiều cao 20 cm h = . Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy và mặt phẳng hình vuông không song song với trục hình trụ. Tính diện tích hình vuông đó. Bài giải: Gọi H là K lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD của hình vuông ABCD. Ta có: { } // ' ' OH O K HK OO I ⇒ ∩ = Dễ thấy: ( ) ' ' c.g.c OI O I OIH O IK HI KI =  ∆ = ∆ ⇒  =  hay I là trung điểm của OO’ và HK. Đặt ( ) 0 2 140 cm AB x x R = < ≤ = Xét tam giác OHB vuông tại H: 2 2 2 2 4 x OH OB HB R= − = − (1) Xét tam giác OHI vuông tại O, ta có: 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 BC h x h OH HI OI= − = − = − (2) Từ (1) và (2) suy ra: H O' O C A B D K I H D A' A B O O' Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 100 cm 4 4 4 4 4 4 4 x x h x x h h R R x R   − = − ⇔ − = − ⇔ = + =     III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Cho mặt phẳng ( ) P , một điểm A nằm trên ( ) P , một điểm B nằm ngoài ( ) P sao cho hình chiếu H của B lên ( ) P không trùng với A. Một điểm M di động trong mặt phẳng ( ) P sao cho ta luôn có ˆ ˆ ABM BMH = . Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là AB. Bài tập 2: Cho khối trụ có bán kính 5 = R cm , khoảng cách hai đáy bằng 7 cm . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm . Tính diện tích của thiết diện. Bài tập 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a , chiều cao 3 a . Tính diện tích toàn phần mặt trụ nội tiếp, mặt trụ ngoại tiếp lăng trụ. Bài tập 4: Cho khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm . Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lược trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 0 30 . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện. Bài tập 5: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tích của khối trụ tương ứng. c) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho. Bài tập 6: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng 3 R ; A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 0 30 . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ. Xác định đoạn vuông góc chung. c) Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B. d) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ. Bài tập 7: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’; ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn tâm O, AA’, BB’ là các đường sinh của hình trụ. Biết bán kính đáy của hình trụ là R và mặt phẳng(A’B’BA) hợp với đáy một góc 60 0 . Tính diện tích tứ giác A’B’CD. Bài tập 8: Cho hình trụ nội tiếp một mặt cầu bán kính R (đường tròn đáy của hình trụ ở trên mặt cầu). a) Cho biết chiều cao của hình trụ bằng h. Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ đã cho. b) Tính giá trị lớn nhất của thể tích hình trụ nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước. Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 9 Chủ đề 3: MẶT CẦU I- LÝ THUYẾT: 1/ Định nghĩa: Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R. K/h: ( ) ; S I R ( ) { } ; / S I R M IM R ⇒ = = 2/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng: Cho mặt cầu ( ) ; S I R và mặt phẳng ( ) P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ( ) P d IH ⇒ = là khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ) P . Khi đó: + Nếu d R > : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung. + Nếu d R = : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Lúc đó: ( ) P đgl mp tiếp diện của mặt cầu. H: tiếp điểm. + Nếu d R < : Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm H và bán kính 2 2 r R IH= − Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mp(P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn. 3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng : Cho mặt cầu ( ) ; S I R và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ . Khi đó: + IH R > : ∆ không cắt mặt cầu. + IH R = : ∆ tiếp xúc với mặt cầu. ∆ : Tiếp tuyến của (S) + IH R < : ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt. * Lưu ý: Lúc đó bán kính R của (S) được tính như sau: + Xác định: ( ; ) . d I IH ∆ = + Lúc đó: 2 2 2 2 2 AB R IH AH IH   = + = +     4/ Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu : Cho ( ) ; S I R . Khi đó: * Diện tích mặt cầu: 2 4 π = S R * Thể tích khối cầu: 3 4 3 = V R π ππ π R I ∆ H R I H B A I R ∆ H α I R Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 10 II- BÀI TẬP MINH HỌA: Dạng 1: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG Bài tập 1: Cho mặt cầu ( ) ; S O R và một điểm A biết 2 OA R = . Qua A kẻ 1 tiếp tuyến với mặt cầu tại B và kẻ 1 cát tuyến cắt ( ) ; S O R tại C, D. Biết 3 CD R = . a) Tính độ dài đoạn AB. b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD. Bài giải: a) Tính độ dài đoạn AB: Xét OAB ∆ vuông tại B, ta có: 2 2 3 AB OA OB R = − = . b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD: Gọi H là trung điểm CD OH CD ⇒ ⊥ . Xét OHC ∆ vuông tại H, ta có: 2 2 2 2 2 2 3 4 4 2 CD R R OH OC HC OC R = − = − = − = . Bài tập 2: Cho mặt cầu ( ) ; S O R tiếp xúc với mp(P) tại I. Gọi M là 1 điểm nằm trên ( ) ; S O R nhưng không phải đối xứng với I qua O. Từ M kẻ 2 tiếp tuyến với ( ) ; S O R và hai tiếp tuyến này vuông góc, cắt (P) tại A, B. Chứng minh rằng: 2 2 2 AB AI BI = + . Bài giải: Do MAB ∆ vuông tại M, ta có: 2 2 2 MA MB AB + = (1) Dễ thấy, do ( ) OI P ⊥ và ( ) , A B P ∈ nên AI và BI là các tiếp tuyến của ( ) ; S O R Lúc đó, do từ A dựng được 2 tiếp tuyến AM và AI tới ( ) ; S O R với các tiếp điểm M, I nên ta có: AM AI = (2) Tương tự: BM BI = (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2 2 2 AB AI BI = + (đ.p.c.m) Bài tập 3: Cho mặt cầu với ( ) ; S O R . Lấy 1 điểm A trên mặt cầu và gọi ( ) α là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa OA và ( ) α bằng 30 0 . a) Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( ) α và hình cầu. b) Đường thẳng ∆ qua A và vuông góc với ( ) α cắt mặt cầu tại B. Tính AB. H R D C B A R O R R P B A M O I ∆ ∆∆ ∆ B O [...]... kính AA’ Gọi H là một điểm trên AA’ sao 4R Mặt phẳng (P) qua H và vuông góc với AA’ cắt mặt cầu với thi t diện là một 3 đường tròn (C) Tính diện tích (C) 11 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế cho AH = Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Bài tập 4: Cho mặt cầu (S) tâm O với R = 13 cm Thi t diện do mặt phẳng (P) cắt (S) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có các cạnh là.. .Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Bài giải: a) Tính diện tích thi t diện tạo bởi (α ) và hình cầu: Gọi thi t diện của (α ) và S ( O; R ) là đường tròn tâm H và bán kính AH Do AH ⊥ (α ) ⇒ góc giữa OA và (α ) là góc giữa OA và Luyện thi Đại Học 2014 A, tức là góc OAH = 300 Xét ∆AOH vuông tại H, ta có: AH 3R cos OAH = ⇔ AH... Tính bán kính mặt cầu: Trong ∆SAB vuông tại A, ta có: SB = SA2 + AB 2 = 2a SB Kết luận: Bán kính mặt cầu R = = a 2 III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 3: Chứng minh 8 đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu Tính bán kính của mặt cầu ấy, biết hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 13 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Bài... IS  Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 2 d I O C CLB Giáo viên trẻ TP Huế A 300 B Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU AB AC.BC AB AC.BC Mặt khác: S∆ABC = ⇔R= = a 5−2 3 4R 4 S∆ABC Thay vào (*) ta được: Luyện thi Đại Học 2014 RcÇu = IA = OA2 + OI 2 = a 6 − 2 3 Bài tập 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 3a Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình... cạnh đều bằng a CMR: Hình chóp đó có 1 mặt cầu ngoại tiếp Xác định tâm và bán kính của mặt cầu Bài tập 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại B với AB= 2a Từ trung điểm M của AB dựng đường thẳng vuông góc với mp(ABC) và chọn trên đó điểm S sao cho tam giác SAB đều Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 22 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện. .. ) Tuỳ vào từng trường hợp D A C H B Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 1 Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy ∆ M ∀M ∈ ∆ : MA = MB = MC Tính chất: Suy ra: MA = MB = MC ⇔ M ∈ ∆ A H C B Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 14 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014... Theo giả thi t AB = AS = AC ⇒ A nằm trên trục đường a a tròn ngoại tiếp ∆SBC (1) K a Gọi O là trung điểm BC ( SBC ) ⊥ ( ABC )  O Ta có:  B ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC  I và AO ⊥ BC suy ra AO ⊥ ( SBC ) (2) a x Từ (1), (2) suy ra: AO là trục đường tròn ngoại tiếp ∆SBC Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 21 S CLB Giáo viên trẻ TP Huế C Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Vậy I là tâm đường tròn ngoại... TIẾP MẶT CẦU I- PHƯƠNG PHÁP: Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện: Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một số nhận xét quan trọng sau: - Điểm M thuộc S(O;R) ⇔ OM = R - Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính dưới 1 góc vuông II- BÀI TẬP MINH HỌA: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 12 CLB Giáo viên trẻ TP Huế Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại. .. ngoại tiếp hình chóp S.ABC và RcÇu = IS A * Xét ∆KSI đồng dạng với ∆OSB : Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 18 CLB Giáo viên trẻ TP Huế C C Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU SI KS SB.KS Ta có: = ⇔ SI = = SB OS OS Vậy RcÇu Luyện thi Đại Học 2014 SB 2 = 2 SB − OB 2 SB 2a 2 a 2 4a −    2  2 2a 14 7 = 2 2a 14 32πa 2 2 = IS = ⇒ ScÇu = 4πRcÇu = (đ.v.d.t) 7 7 Thuật toán 2: XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP Cho...  I ∈ d : IA = IS Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Rõ ràng: I là trung điểm AC Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 15 a 3 B CLB Giáo viên trẻ TP Huế C Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU 2 Luyện thi Đại Học 2014 2 SA AC a 10 + = Ta có: RcÇu = IA = IO + AO = 4 4 2 b) Tam giác ABC vuông cân tại A, với AB = a 3 Do ∆ABC vuông cân tại A nên trung điểm O của AC là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC + Qua O dựng . cho 4 3 R AH = . Mặt phẳng (P) qua H và vuông góc với AA’ cắt mặt cầu với thi t diện là một đường tròn (C). Tính diện tích (C). H a 3 a C B O S A Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014. Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO CLB Giáo viên trẻ TP Huế 10 II- BÀI TẬP MINH HỌA: Dạng 1: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ. trụ và thể tích khối trụ đã cho. b) Tính giá trị lớn nhất của thể tích hình trụ nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước. Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY- MẶT CẦU Luyện thi Đại Học