Phòng giáo dục & đào tạo Huyện §Ị chÝnh thøc (§Ị thi gåm cã 01 trang) ®Ị thi học sinh giỏi lớp thcs cấp huyện năm học: 2014 - 2015 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: : 01 Câu ( ®iĨm):  3x2 + x −1  2x2 − 5x + − − Cho biÓu thøc: A =  ÷: x −1  x −1 x + x +1 x −1 a) Rót gọn A b) Tìm giá trị lớn A Câu ( điểm): Cho đa thức P ( x) = x + x3 + x − 40 x + m − 1979 a) T×m m cho P ( x) chia hÕt cho x b) Với m tìm đợc, hÃy giải phơng trình P ( x) = Câu (4 điểm): Lúc giờ, An rời nhà để đến nhà Bình với vận tốc km/h Lúc 20 phút, Bình rời nhà ®Ĩ ®i ®Õn nhµ An víi vËn tèc km/h An gặp Bình đờng hai nhà Bình, sau An trở nhà Khi đến nhà An tính quÃng đờng dài gấp bốn lần quÃng đờng Bình đà HÃy tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình Câu (6 điểm): Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC ( E khác B C ) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE , Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E , song song víi AB c¾t AI ë G a) Chøng minh AE = AF tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF vµ AF = FK FC c) Khi E thay đổi BC , chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Câu (2 điểm): Cho số a, b lần lợt thoả mÃn hệ thức sau: a − 3a + 5a − 2011 = , b3 − 3b + 5b + 2005 = H·y tÝnh a + b -HÕt Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng giáo dục đào tạo Hun Híng dÉn chÊm Kú thi chän học sinh giỏi lớp năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán lớp Câu Câu1 ý a (2đ) Tóm tắt lời giải Điểm ĐK: x 0.5 3x + − x + x − − x − x − x −1 A= x −1 x − 5x + 4® 0.5 x2 + x + x −1 = x − x 5x + = b (2đ) Câu2 a 4® (2®) x − 5x + 1 25 15 = 15 Ta cã A = = 2( x − ) + x − x + 2( x − x + ) + 16 8 15 15 15 ≤ ∀x (1) V× 2( x − ) + ≥ ∀ x nªn 2( x − ) + 8 15 DÊu “=” x¶y x = ≠ (2) Tõ (1) vµ (2) suy max A = 15 P ( x) = ( x − ) ( x + 3x + 12 x − 16 ) + m − 2011 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 0.5 ⇔ m = 2011 b (2®) Do ®ã P ( x) chia hÕt cho ( x − 2) ⇔ m − 2011 = 0.5 Víi m = 2011, P ( x) = ( x − ) ( x + 3x + 12 x − 16 ) Do ®ã: P ( x ) = ⇔ P ( x) = ( x − ) ( x + 3x + 12 x − 16 ) = ⇔ ( x − ) ( x − 1) ( x + x + 16) = ⇔ ( x − ) ( x − 1) = 0.5 0.5 1.0 x = 2 ( V× x + x + 16 = ( x + ) + 12 > ∀x ) ⇔  x =1 C©u 4đ Câu 6đ Gọi khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình x ( x >0, x đo km) Theo ta có quÃng đờng An ®· ®i ®· lµ x , suy 2x x = raquÃng đờng Bình đà x Do quÃng đờng Bình từ nhà đến gặp An , quÃng đ4 x 3x ờng An đI từ nhà đến gặp Bình x − = 4 3x Thêi gian An ®i từ nhà đến gặp Bình (giờ), thời gian 16 x Bình từ nhà đến gặp An lµ (giê) 12 3x x − = Theo bµi ra, ta có phơng trình: 16 12 16 9x - 4x =16 ⇔ x = = 3,2 (km) a 2.0® 1.0 1.0 1.0 0.5 0.5 B A E G I F D K C x · · Xét hai tam giác vuông ABE ADF có AB = AD, BAE = CAF · ( Cïng phơ víi DAE ) VËy ∆ABE = ∆ADF ⇒ AE = AF Vì AE = AF AI trung tuyến tam gi¸c AEF ⇒ AI ⊥ · · EF Hai tam giác vuông IEG IFK có IE=IF, IEG = IFK ( So le trong) nªn ∆ IEG= ∆ IFK EG=FK Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG FK song song nên hình bình hành Hình bình hành EGFK có hai đờng chéo GK EF vuông góc nên hình thoi 0.5 0.5 0.5 b 2.0® · XÐt hai tam giác AKF CAF ta có à AFK = CFA ( gãc chung), · KAF = · ACF = 450 ( AC đờng chéo hình vuông ABCD, AK trung tuyến tam giác vuông cân AEF) Suy tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nên ta cã: AF FK = ⇔ AF = FK FC FC AF Theo ý a, ta cã ∆ABE = ADF nên EB = FD c Tứ giác EGFK hình thoi nên EK=KF 2.0 đ Do đó, chu vi tam giác EKC -EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( không đổi) Câu5 2đ Tõ ®iỊu kiƯn ®· cho ta cã: 3 ( a − 1) + ( a − 1) − 2008 = (1), ( b − 1) + ( b − 1) + 2008 = (2) Céng theo vÕ cđa (1) vµ (2) ta cã 3 ( a − 1) + ( b − 1) + (a + b − 2) = ⇔ ( a + b − 2) (a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1)  + 2(a + b − 2) =   ⇔ ( a + b − 2) (a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) +  =   V× (a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) + 1 2 = ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) + > ∀a, b 2 Nªn a + b − = ⇔ a + b = 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 0.5 Ghi chó: - Bµi hình học học sinh không vẽ hình hình sai không chấm điểm - Mọi cách giải khác, cho điểm tối đa tơng øng -HÕt PHÒNG GD&ĐT Đề thi có 01 trang KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN LỚP Ngày thi: …./4/2015 Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề: 02 Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + 2013x + 2012 x + 2013  x2 − x 2x2    − − ÷ Rút gọn biểu thức sau: A =  − ÷  2x + 8 − 4x + 2x − x   x x  Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: (2 x + x − 2013) + 4( x − x − 2012) = 4(2 x + x − 2013)( x − x − 2012) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x + 2x + 3x + = y3 Câu (4,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x + dư 10, f(x) chia cho x − dư 24, f(x) chia cho x − thương −5x dư Chứng minh rằng: a (b − c)(b + c − a ) + c (a − b)(a + b − c ) = b(a − c )(a + c − b) Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF Chứng minh rằng: 1 = + 2 AD AM AN Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc = Chứng minh : 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a ) c (a + b) -Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN THI: TỐN LỚP Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Hướng dẫn giải (2.0 điểm) (4.0 điểm) 0,5 Ta có x + 2013 x + 2012 x + 2013 = ( x − x ) + 2013x + 2013x + 2013 = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2013 ( x + x + 1) 0.5 = ( x + x + 1) ( x − x + 2013) 0.5 2 Kết luận x + 2013 x + 2012 x + 2013 = ( x + x + 1) ( x − x + 2013) x ≠ x ≠ 0.25 ĐK:   x2 − x (2.0 điểm) 0.5 2x2   − 1− − ÷ Ta có A =  2 ÷  2x + 8 − 4x + 2x − x   x x   x2 − x  x − x −  2x2 = − ÷ ÷ 2 x2  2( x + 4) 4(2 − x) + x (2 − x)   0.25 0.25 0.5  x2 − 2x   ( x + 1)( x − 2)   x( x − 2) + x   ( x + 1)( x − 2)  2x2 = − ÷ ÷ ÷=  ÷ 2 x2 x2   2( x − 2)( x + 4)     2( x + 4) ( x + 4)(2 − x)   x − x + x + x x + x( x + 4)( x + 1) x + = = 2( x + 4) x x ( x + 4) 2x x ≠ x +1 Vậy A = với  2x x ≠ = 0.5 0.25 Câu (4.0 điểm)  a = x + x − 2013  Đặt:  b = x − x − 2012  0.25 Phương trình cho trở thành: (2.0 điểm) 0.5 a + 4b = 4ab ⇔ ( a − 2b) = ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b Khi đó, ta có: x + x − 2013 = 2( x − x − 2012) ⇔ x + x − 2013 = x − 10 x − 4024 −2011 ⇔ 11x = −2011 ⇔ x = 11 −2011 Vậy phương trình có nghiệm x = 11 0.5 0.5 0.25 3  Ta có y − x = 2x + 3x + =  x + ÷ + > 4  3 ⇒x  16  (2.0 điểm) ⇒ y< x+2 Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) KL Câu Giả sử f(x) chia cho x − thương −5x dư ax + b Khi đó: f ( x) = ( x − 4).(−5 x) + ax+b 0.25 0.5 0.25 (4 điểm) Theo đề bài, ta có: (2.0 điểm)  f (2) = 24 2a + b = 24  a = ⇔ ⇔   f (−2) = 10 −2a + b = 10 b = 17  Do đó: f ( x) = ( x − 4).(−5 x) + x+17 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x) = −5 x + 0.5 0.5 0.5 47 x + 17 0.5 Ta có: a (b − c)(b + c − a ) + c (a − b)(a + b − c) − b(a − c)(a + c − b) = (1) (2.0 điểm)  a = a + b − c = x    Đặt: b + c − a = y => b = a + c − b = z    c =  x+z x+ y y+z 0.25 Khi đó, ta có: x+z x+ y y+z y+z x+z x+ y 2 VT(1) = − −  ÷ y +  ÷.x − ( x + y )( x − y ).z  2   2  x+z x−z y+z z− y 2 = y + x − ( x − y ) z 2 2 2 2 = ( x − z ) y + ( z − y ).x − ( x − y ).z 4 1 = ( x − y ).z − ( x − y ).z = = VP(1) (đpcm) 4 KL:… 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 Câu (6 điểm) E A B H F D C M N (2.0 điểm) Ta có DAM = ABF (cùng phụ BAH ) · · · AB = AD ( gt) · · BAF = ADM = 900 (ABCD hình vng) ⇒ ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) 0.75 0.5 Suy tứ giác AEMD hình bình hành · Mặt khác DAE = 900 (gt) 0.5 Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g) (2.0 điểm) => 0.5 AB BH BC BH = = hay ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH · · · Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH ) ⇒ ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) 2 SΔCBH SΔCBH  BC  = (gt) ⇒  BC  = nên BC2 = (2AE)2 ⇒ = ÷ , mà S  ÷ SΔEAH  AE  ΔEAH  AE  ⇒ BC = 2AE ⇒ E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.5 0.5 0.5 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: ⇒ AD AM AD CN = ⇒ = CN MN AM MN 0.5 Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: (2.0 điểm) ⇒ MN MC AB MC AD MC = ⇒ = = hay AN AB AN MN AN MN 2 0.5 AD   AD   CN   CM  CN + CM MN ⇒  + = + = = =1  ÷ ÷ ÷ ÷ MN MN  AM   AN   MN   MN  0.5 (Pytago) 2 1 AD   AD  ⇒   ÷ + ÷ = => AM + AN = AD  AM   AN  Câu 2.0 điểm (đpcm) 0.5 Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với ∀ a, b, c ∈ R x, y, z > ta có a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z a b c Dấu “=” xảy ⇔ = = x y z Thật vậy, với a, b ∈ R x, y > ta có a b2 ( a + b ) + ≥ x y x+ y ⇔ (a 2 điểm 0.75 (*) y + b x ) ( x + y ) ≥ xy ( a + b ) (**) ⇔ ( bx − ay ) ≥ (luôn đúng) Dấu “=” xảy ⇔ a b = x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b2 c ( a + b ) c2 ( a + b + c ) + + ≥ + ≥ x y z x+ y z x+ y+z a b c Dấu “=” xảy ⇔ = = x y z 1 2 1 Ta có: + + = a + b + c a (b + c) b (c + a ) c (a + b) ab + ac bc + ab ac + bc 2 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 1 1 1 1 1  + + ÷  + + ÷ a + b2 + c2 ≥  a b c  =  a b c  (Vì abc = ) ab + ac bc + ab ac + bc 2(ab + bc + ac ) 1 1 2 + + ÷ a b c 1 2 11 1 Hay a + b + c ≥  + + ÷ ab + ac bc + ab ac + bc  a b c  1 Mà + + ≥ nên a b c Vậy 1 2 a + b + c ≥ ab + ac bc + ab ac + bc 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a ) c (a + b) (đpcm) Điểm toàn 0.5 0.25 0.25 0.25 (20 điểm) Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm UBND HUYỆN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT I Năm học: 2014-2015 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a/ x2 – x – b/ ( x2 -2x)(x2-2x-1) - c/ x4 – 14x3 + 71x2 – 154x +120 x + x − x − x − x + 2006 − + ) Câu 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức : A = ( x −1 x +1 x2 − x 10 0,25 = (1 + x )(1 − x) Tại x = − b) c)    + (− ) .1 − (− )   3  0,25 25    34 272 = 10 .1 +  = =    27 27 0,25 = − A = 3   = 1 + Với x ≠ x ≠ −1 A < (1 + x )(1 − x) < (1) 0,25 Vì + x > với x nên (1) xảy − x < ⇔ x > 0,25 Bài 2: (2,0 điểm) Ý/ Phần đáp án 2 Điểm 3x – 7x + = 3x – 6x – x + a) 0,25 = 3x(x – 2) – (x – 2) = (x – 2)(3x – 1) 0,25 3 3 (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x  −  y + z      2 2 = ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x  − ( y + z ) ( y − yz + z )   0,25 0,25 = ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx ) = ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y )    = ( x + y) ( y + z ) ( z + x ) 0,25 x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x − x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 ) c) 0,25 2 = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) 0,25 2 = ( x + x + 1) ( x − x + 2010 ) 0,25 Bài 3: (2,5 điểm) Ý/ Phần đáp án Điểm 68 a) x − 30x + 31x − 30 = ( x − x + 1) ( x − ) ( x + ) = (*) ) + >0 Suy (*) (x - 5)(x + 6) = x − = x = ⇔  x + = x = − Vì x2 - x + = (x - 0,25 0,25 x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 + + + = 10 17 19 21 23 x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 ⇔ −1+ −2+ −3+ −4=0 17 19 21 23 b) ⇔ x − 258 x − 258 x − 258 x − 258 + + + =0 17 19 21 23  1 1 ⇔ ( x − 258 )  + + + ÷= ⇔ x = 258  17 19 21 23  c) 0,25 xy + yz + xz 1 + + =0⇒ = ⇒ xy + yz + xz = x y z xyz 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ yz = –xy – xz x2 + 2yz = x2 + yz – xy – xz = x(x – y) – z(x – y) = (x – y)(x – z) Tương tự: y2 + 2xz = (y – x)(y – z) ; z2 + 2xy = (z – x)(z – y) 0,25 0,25 yz xz xy + + ( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) (z − x )(z − y) Tính A = 0,25 Do đó: A = Bài 4: (3,5 điểm) Ý/ Phần đáp án D Điểm C P M F I E A O B 69 a) Gọi O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ABCD ⇒ PO đường trung bình tam giác CAM ⇒ AM // PO ⇒ Tứ giác AMDB hình thang 0,25 0,25 0,25 Do AM // BD suy góc OBA = góc MAE ( đồng vị) 0,25 Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB b) 0,25 Gọi I giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật AEMF tam giác 0,25 AIE cân I nên góc IAE = góc IEA Từ chứng minh có góc FEA = góc OAB, EF // AC (1) Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1)&(2) suy E,F, P thẳng hàng c) 0,25 0,25 Tam giác MAF đồng dạng với tam giác DBA (g.g) nên MF AD = FA AB 0,5 không đổi PD PD PB = = = k ⇒ PD = 16.k PB 16 16 Nếu CP ⊥ BD tam giác CBD đồng dạng với tam giác DCP (g.g) CP PB ⇒ = PD CP CP = PB.PD hay 2,4 = 9.16.k ⇒ k = 0,2 Do Nếu d) PD = 9k = 1,8 (cm) PB = 16k = 3,2(cm) BD = 5(cm) 0,25 0,5 0,25 Chứng minh BC = BP.BD = 16 Do BC = 4(cm), CD = 3(cm) 0,25 -UBND HUYỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014 - 2015 70 Mơn thi: Tốn Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2,0điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + c) x3 – 5x2 + 8x – Bài 2: (2,0 điểm) Cho biểu thức : +x 4x2 −x x −3 x A =( − − ):( ) −x x −4 + x x −x a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > ? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Bài 3: (2,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho a b c x y z x2 y2 z + + = + + = Chứng minh : + + = x y z a b c a b c Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 Bài 5: (0,5 điểm) Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tính: a2011 + b2011 - Hết -(Đề thi gồm 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh ; Số báo danh 71 UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn Lớp Bài 1: (2,0 điểm) Ý/Phần đáp án =x +x + 0,25 = x + x + x − ( x − 1) a) Điểm 0,25 = ( x + x + 1)( x − x + 1) b) = x ( x + x + 1) − ( x − 1)( x + x + 1) 0,25 x + = ( x + x + 4) − x = ( x + 2) − (2 x) 0,25 = ( x − x + 2).( x + x + 2) 0,25 x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) c) =(x–1)(x–2)2 0,25 0,25 0,25 Bài 2: (2,0 điểm) Ý/ Phần đáp án Điểm ĐKXĐ : a) 2 − x ≠  x ≠ x − ≠   ⇔  x ≠ ±2 2 + x ≠  x − 3x ≠ x ≠   2 x − x3 ≠  0,25 72 A=( 2+x x2 2−x x − 3x (2 + x) + x − (2 − x) x (2 − x) − − ):( )= = 2− x x −4 2+ x x − x3 (2 − x)(2 + x) x( x − 3) 4x2 + 8x x(2 − x) = (2 − x)(2 + x) x − = b) 0,25 x( x + 2) x(2 − x) x Vậy với 4x x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ A = = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − x −3 0,25 x2 > ⇔ x−3> x−3 0,25 Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > ⇔ ⇔ x > 3(TMDKXD) Vậy với x > A > c) 0,25 x − = x =11(TMDKXD) x−7 = ⇔  ⇔  x − = −4 x = 3( KTMDKXD ) 121 Với x = 11 A = 0,25 0,25 0,25 Bài 3: (2 điểm) Ý/ Phần a) đáp án 2 9x + y + 2z – 18x + 4z – 6y + 20 = ⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = ⇔ 9(x – 1)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x − 1)2 ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) Từ : 0,25 0,25 0,25 0,25 a b c ayz+bxz+cxy + + =0 ⇔ =0 x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z x y z + + = ⇔ ( + + )2 = a b c a b c Ta có : b) Điểm ⇔ x2 y z xy xz yz + + + 2( + + ) = a b c ab ac bc 0,25 0,25 0,25 73 ⇔ x2 y2 z cxy + bxz + ayz + + +2 =1 a b c abc x2 y z ⇔ + + = 1(dfcm) a b c 0,25 Bài 4: (3,5 điểm) Ý/ Phần đáp án Điểm H C B F O A E D K Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF 0,25 Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO ( g − c − g ) => BE = DF 0,5 Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành 0,25 ˆ ˆ ˆ ˆ Ta có: ABC = ADC ⇒ HBC = KDC 0,25 Chứng minh : ∆CBH ∆CDK (g - g) 0,5 a) b) CH CK = ⇒ CH CD = CK CB CB CD Chứng minh : ∆AFD ∆AKC (g - g) ⇒ 0,25 0,5 74 ⇒ AF AK = ⇒ AD AK = AF AC AD AC 0,25 Chứng minh : ∆CFD ∆AHC (g - g) ⇒ Mà : CD = AB ⇒ CF AH = CD AC CF AH = ⇒ AB AH = CF AC AB AC Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 0,25 0,25 Bài 5: (0,5 điểm) Ý/ Phần (a 2001 +b 2001 ).(a+ b) - (a 2000 đáp án + b ).ab = a2002 + b2002 Điểm 2000 ⇒ (a+ b) – ab = 0,25 ⇒ (a – 1).(b – 1) = ⇒ a = b = Vì a = => b2000 = b2001 => b = 1; b = (loại) Vì b = => a2000 = a2001 => a = 1; a = (loại) 0,25 Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = UBND HUYỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO Năm học 2014 - 2015 TẠO Môn thi:Toán - Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ SỐ Bài 1: (2.5 điểm ) a Phân tích đa thức thành nhân tử: x + xy + y − x −1 x − x − x − 2012 + + + + = 2012 b Giải phương trình: 2013 2012 2011 75 c Tìm đa thức f ( x) biết: f ( x) chia cho x − dư 5; f ( x) chia cho x − dư 7; f ( x) chia cho ( x − 2)( x − 3) thương x −1 đa thức dư bậc x Bài 2: (2.0 điểm) ( x + n)(1 + n) + n2 x + n n với n ∈ N ; Q = Cho: P = 7.2014 + 12.1995 Chứng minh: ( x − n)(1 − n) + n x + a P chia hết cho 19 b Q không phụ thuộc vào x Q > Bài 3: (1,5 điểm) a Chứng minh: a + 5b − (3a + b) ≥ 3ab − b Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x + y + x = 19 Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB6 HE HF HG Bài 5: (1 điểm) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c + + ≥3 b+c −a a+c −b a+b−c HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi:Tốn - Lớp Bài 1: (2.5 điểm ) 76 Ý/Phần a) Đáp án x + xy + y − = ( x2 – 9) + 2y(x + 3) = (x – 3)(x + 3) + 2y(x + 3) =(x+ 3)(x + 2y – 3) x −1 x − x − x − 2012 + + + + = 2012 ⇔ 2013 2012 2011 x −1 x−2 x −3 x − 2012 −1+ −1+ − + + −1 = ⇔ 2013 2012 2011 x − 2014 x − 2014 x − 2014 x − 2014 + + + + = ⇔ (x – 2014)( 2013 2012 2011 1 + + + ) = 2013 2012 ⇔ x = 2014 b) Gọi dư phép chia f(x) cho x2 - ax + b Ta có : f(x) = (x – 2)(x – 3)(x2- 1) + ax + b Theo : f(2) = nên ta có 2a + b = ; f(3) = nên 3a + b = HS tính a = ; b = Vậy đa thức cần tìm : f(x) = (x – 2)( x – 3)(x2 - 1) + 2x + c) Điểm 0.5 0.5 0,25 0.25 0.25 0.25 Bài 2: (2,0điểm) Ý/Phần Đáp án P = 7.2014 + 12.1995 = 19.2014n -12.2014n + 12.1995n = 19.2014n 12(2014n -1995n) Ta có : 19 2014n  19 ; (2014n -1995n)  19 nên P  19 Điểm 0.25 0.5 ( x + n)(1 + n) + n x + x + x n + n + n + n x + = Q= ( x − n)(1 − n) + n x + x − x n + n − n + n x + x (n + n + 1) + n + n + (n + n + 1)( x + 1) (n + n + 1) = = 2 = x (n − n + 1) + n − n + (n − n + 1)( x + 1) ( n − n + 1) 0,25 Vậy Q không phụ thuộc vào x 0.25 n a) b) n (n + ) + n2 + n + >0 = Q= n − n + (n − ) + 0.5 0.25 Bài 3: (2,0điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm 77 a) a2 + 5b – (3a + b) ≥ 3ab – ⇔ 2a2 + 10b2 – 6a -2b – 6ab +10 ≥ ⇔ a2 – 6ab +9b2 + a2 – 6a + + b2 - 2b +1 ≥ ⇔ (a – 3b)2 +(a - 3)2 + (b – 1)2 ≥ Dấu « = » xảy a = ; b = 0.25 0.25 0.25 b) x + y + x = 19 ⇔ 2x2 + 4x + = 21 – 3y2 ⇔ 2(x + 1)2 = 3(7 – y2) (*) Xét thấy VT chia hết 3(7 – y2) 2 ⇔ y lẻ (1) Mặt khác VT ≥ ⇔ 3(7 – y2) ≥ ⇔ y2 ≤ (2) Từ (1) (2) suy y2 = thay vào (*) ta có : 2(x + 1)2 = 18 HS tính nghiệm ngun (2 ; 1) ; (2 ; -1) ; (-4 ; -1) ; (-4 ; 1) 0,25 0.25 0.25 Bài 4: (3,0điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm A F K G H I B E M C N D a) Ta có ∆ AEC đồng dạng ∆ BFC (g-g) nên suy Xét ∆ ABC ∆ EFC có b) CE CA = CF CB CE CA = góc C chung nên suy ∆ ABC CF CB đồng dạng ∆ EFC ( c-g-c) Vì CN //IK nên HM ⊥ CN ⇒ M trực tâm ∆ HNC ⇒ MN ⊥ CH mà CH ⊥ AD (H trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD Do M trung điểm BC nên ⇒ NC = ND ⇒ IH = IK ( theo Ta let) 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 78 c) AH S S S +S S AHC + S ABH S BHC CH S BHC + S AHC CG = S BHA AHC AHC ABH ABH Ta có: HE = S = S = S + S = CHE BHE CHE BHE BH Tương tự ta có BF = S BHC + S BHA S AHC AH BH CH S AHC + S ABH S BHC + S BHA S BHC + S AHC + + + + = S BHC S AHC S BHA HE HF HG S AHC S ABH S BHC S BHA S BHC S AHC = S + S + S + S + S + S ≥ Dấu ‘=’ tam giác ABC BHC BHC AHC AHC BHA BHA 0.25 0.25 0.25 đều, mà theo gt AB < AC nên không xảy dấu Bài 5: (1,0điểm) Ý/Phần Đáp án Đặt b+c-a = x >0; c+a-b = y >0; a+b-c = z >0 y+z x+z x+ y ;b = ;c = ; 2 y+z x+z x+ y 1 y x x z y z  + + = ( + ) + ( + ) + ( + )  Thay vào ta A= 2x 2y 2z 2 x y z x z y  Từ suy A ≥ (2 + + 2) hay A ≥ Từ suy a= Điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 79 UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT Năm học 2014 - 2015 Mơn thi:Tốn - Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ SỐ  x + x − x − 4x −  x + 2014 − − Bài (1.5điểm) Cho A =  (với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 ) ữì x2 x + x −1 x +1 1) Rút gọn A 2) Với giá trị ngun x A có giá trị nguyên? Bài (2.5điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a x + x + b x + 2008x + 2007 x + 2008 2) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác A = 4a2b2 – (a2 + b2 - c2)2 luôn dương Bài (2điểm) 1) Cho x, y thoả mãn xy ≥ Chứng minh rằng: 1 + ≥ 2 +x 1+y +xy 2) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x + y2 + = cho tích x.y đạt giá trị x2 lớn Bài (3điểm) Cho tam giác ABC, cạnh BC lấy điểm M, Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AC AB thứ tự cắt AB AC E F 1)Chứng minh ME MF + có giá trị khơng đổi AC AB 2) Cho biết diện tích tam giác MBE MCF thứ tự a b2 Tính diện tích tam giác ABC theo a b 80 3)Xác định vị trí M để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài (1điểm) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: y + xy − 3x − = HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mơn thi:Tốn - Lớp Bài 1: (1.5 điểm ) Ý/Phần 1) Đáp án 4x + x − 4x − x + 2014 x − x + 2014 x + 2014 = × = × = x2 −1 x +1 x −1 x + x +1 x + 2014 2013 = 1+ Ta có A = x +1 x +1 2) Điểm Với x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ −1 ta có 0.5 2  x + x − x − 4x −  x + 2014 ( x + 1) − ( x − 1) + x − 4x − x + 2014 A= + = ì ữì x2 −1  x + x2 −1 x +1  x −1 x +1 0.25 0.5 Suy với x ngun A có giá trị ngun x + ước 2013 Ước 2013 gồm -2013;-671; -183; -61; -33; -11; -3; -1; 1; 3; 11; 0.25 33; 61; 183; 671; 2013 Từ tìm đối chiếu điều kiện ta có với x nhận giá trị -2014; -672; -184; -62; -34; -12; -4; -2; 2; 10; 32; 60; 182; 670; 2012 A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2,5điểm) Ý/Phần 1) Đáp án a x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) 2 Điểm 0.5 = ( x + 1) ( x + ) b x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) − x + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2008 ) 0.25 0.25 0.25 0.25 81 Ta có A = [2ab + (a2 + b2 - c2)][2ab – (a2 + b2 - c2)] = [(a + b)2 – c2][c2 – (a – b)2] = (a + b + c)(a + b – c)(c + b – a)(c + a – b) 0.25 Do a, b, c ba cạnh tam giác nên a, b, c > theo bất đẳng 0.5 thức tam giác ta có a + b – c > 0; c + b – a > 0; c + a – b > từ suy điều 0.25 phải chứng minh 2) Bài 3: (2,0điểm) Ý/Phần 1) Đáp án Điểm 1 + ≥ (1) + x + y + xy x( y − x) y ( x − y)  1   1  ⇔ − − + ≥0 ÷+  ÷≥ ⇔ 2 ( + x ) ( + xy ) ( + y ) ( + xy )  + x + xy   + y + xy  0.5 ( y − x ) ( xy − 1) ≥ ⇔ ( ) ( + x ) ( + y ) ( + xy ) Vì x ≥ 1; y ≥ => xy ≥ => xy − ≥ 0.25  BĐT (2) => BĐT (1) (dấu ‘’=’’ xảy x = y) 0.25 2) 2 y2 y + = ⇔  x −  +  x −  + xy = ⇒ xy ≤  ÷  ÷ x  2  x Dấu xảy (x;y) ∈ { ( 1; ) ; ( −1; −2 ) } Kết luận x2 + 0.5 0.25 0.25 Bài 4: (3,0điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm A F E B C M Vẽ hình ghi ghi GT, KL 0.25 82 ... + ) b x + 20 08 x + 2007 x + 20 08 = x − x + 20 08 x + 20 08 x + 20 08 = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 20 08. ( x + x + 1) 0.25 0.25 = ( x + x + 1) ( x − x + 20 08 ) 2 0.25 9x + y + 2z – 18x + 4z - 6y +... 1)( 28 + 1) (210 08 + 1) + = ( − 1) ( + 1) ( 22 + 1) ( + 1) ( 28 + 1) K ( 210 08 + 1) + 0,25 = ( 24 − 1) ( 24 + 1) ( 28 + 1) K ( 210 08 + 1) + 0,25 = ( 22 − 1) ( 22 + 1) ( 24 + 1) ( 28 + 1) K ( 210 08. .. ⇔a=b=c Mà a +b +c ≠ ⇒ a = b = c ≠ (*) Thay (*) vào N ta có: N = a 2015 + a 2015 + a 2015 ( a + a + a) 2015 = 3a 2015 ( 3a ) 2015 Bài 3: (1,5 điểm) Phần Nội dung đáp án 2 ( 2009 − x ) + ( 2009