Mục lục 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2 1.1 Giới hạn của dãy số thực - Mở đầu về hàm số một biến số thực . . . . . . . . . 2 1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Một số tính chất của dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Dãy đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.5 Vô cùng lớn và vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.6 Chú ý cuối cùng về dãy số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.7 Một số định nghĩa mở đầu về hàm số một biến số thực . . . . . . . . . . 6 1.1.8 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đơn điệu . . . . . . . 7 1.1.9 Hàm số hợp, hàm số ngược và đồ thị của hàm số ngược . . . . . . . . . . 8 1.1.10 Các hàm số sơ cấp cơ bản, các hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Giới hạn hàm số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Các tính chất của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Số e và logarith tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.4 Giới hạn một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.5 Vô cùng lớn và vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Điểm gián đoạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2 Các tính chất của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Đạo hàm và vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.2 Đạo hàm một phía, đạo hàm vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.1 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 1.5.2 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6 Các định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6.1 Cực trị địa phương và định lý Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6.2 Ứng dụng các định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.7 Khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 50 2.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.1 Định nghĩa và một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.2 Một số phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.1 Định nghĩa và tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.2 Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2.3 Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2.4 Các phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3.1 Tích phân suy rộng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3.2 Tích phân suy rộng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.4 Một số áp dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.4.1 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.4.2 Tính độ dài đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.4.3 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 85 3.1 Khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1.2 Tập hợp trong R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1.3 Miền xác định của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.1.4 Giới hạn của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.1.5 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.2 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2.1 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2.2 Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2 3.2.3 Đạo hàm của hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.2.5 Hàm số thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2.6 Đạo hàm theo hướng. Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2.7 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3 Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.3.1 Cực trị của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.3.2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trong một miền đóng bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.3.3 Hàm số ẩn. Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3 Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chương này nhắc lại một số khái niệm về dãy số và tính chất của dãy hội tụ, giới thiệu hàm số một biến số thực, các hàm số sơ cấp cơ bản. Bên cạnh đó, còn giới thiệu về giới hạn của hàm số một biến số, các giới hạn cơ bản, số e; cách khử dạng vô định. Từ khái niệm giới hạn chuyển sang khái niệm liên tục của hàm số một biến số và các tính chất cơ bản của hàm số liên tục cùng ứng dụng tìm nghiệm phương trình f(x) = 0. Tuy nhiên, các chứng minh chi tiết của các tính chất được nhắc đến sẽ không được trình bày ở đây. 1.1 Giới hạn của dãy số thực - Mở đầu về hàm số một biến số thực 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Một dãy số thực (nói ngắn gọn là dãy số ) là một ánh xạ từ N ∗ vào R: N ∗  n → x n ∈ R. Người ta thường dùng ký hiệu (x n ), n = 1, 2, 3, để chỉ một dãy số. Ví dụ 1.1.2. a) (x n ) : x n = 1 n , n = 1, 2, 3, ; x 1 = 1, x 2 = 1 2 , , x n = 1 n + 1 , b) (x n ) : x n = 1, n = 1, 2, 3, ; x 1 = 1, x 2 = 1, , x n = 1, c) (x n ) : x n = (−1) n , n = 1, 2, 3, ; x 1 = −1, x 2 = 1, , x n = (−1) n , d) (x n ) : x n = n 2 , n = 1, 2, 3, ; x 1 = 1, x 2 = 4, , x n = n 2 , e) (x n ) : x n = 1 + 1 n n , n = 1, 2, 3, ; x 1 = 2, x 2 = 9 4 , , x n = 1 + 1 n n , 4 Nhận xét sơ lược về các dãy số trong ví dụ trên. • Trong a), dãy số (x n ) có các phần tử có giá trị luôn dương và giảm dần khi n tăng và có "khuynh hướng" giảm về số không. • Trong b), dãy số (x n ) có các phần tử có giá trị không đổi. • Trong c), dãy số (x n ) có các phần tử chỉ lấy hai giá trị −1, 1. • Trong d) và e), dãy số (x n ) có các phần tử có giá trị luôn dương và tăng dần theo n. Qua ví dụ 1.1.2, ta nhận thấy một dãy số (x n ) có thể có hai khả năng: hoặc là các giá trị có "khuynh hướng" tập trung gần một số a nào đó ( dãy số trong a) và b)), hoặc là không có một số a nào để các giá trị của dãy tập trung quanh nó (dãy trong c), d)). Định nghĩa 1.1.3. Dãy số x n được gọi là hội tụ nếu tồn tại a ∈ R sao cho với mọi ε > 0, tìm được n 0 ∈ N ∗ thỏa mãn với mọi n > n 0 , ta có |x n − a| < ε. Khi đó, ta nói rằng dãy (x n ) hội tụ đến a hay a là giới hạn của dãy (x n ) và viết x n → a khi n → ∞, hay lim n→∞ x n = a. Nếu dãy (x n ) không họi tụ, ta nói nó phân kì. Trở lại ví dụ 1.1.2, ta thấy: Trong a), lim n→∞ x n = 0, vì chỉ cần chọn n 0 > 1 ε , ta có ∀n > n 0 , x n − 0 = 1 n − 0 = 1 n < 1 n −0 < ε. Trong b), hiển nhiên lim n→∞ x n = 1. Trong c), dãy (x n ) phân kì. Trong d), dãy (x n ) cũng phân kì, x n lớn lên vô cùng khi n tăng vô hạn. Ta viết x n → +∞ khi n → ∞. Trong e), dãy (x n ) cũng tăng theo n, nhưng hiện nay ta chưa đủ điều kiện để kết luận. Chúng ta sẽ nghiên cứu dãy này sau. 1.1.2 Một số tính chất của dãy hội tụ Ta thừa nhận các tính chất sau của dãy hội tụ Định lý 1.1.4. i) Nếu dãy số (x n ) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất. ii) Nếu dãy số (x n ) hội tụ thì nó giới nội, tức là tồn tại một khoảng (b, c) chứa mọi phần tử x n . 5 Định lý 1.1.5. Cho hai dãy số hội tụ (x n ), (y n ), lim n→∞ x n = a, lim n→∞ y n = b. Khi đó, ta có i) lim n→∞ (x n + y n ) = a + b. ii) lim n→∞ (Cx n ) = Ca, lim n→∞ (C + x n ) = C + a, trong đó C là hằng số. iii) lim n→∞ (x n y n ) = ab. iv) lim n→∞ 1 y n = 1 b , với b = 0, y n = 0 ∀n. v) lim n→∞ x n y n = a b . Định lý 1.1.6. i) Cho hai dãy số (x n ) và (y n ). Nếu x n ≥ y n , ∀n, lim n→∞ x n = a, lim n→∞ y n = b thì a ≥ b. ii) Cho ba dãy số (x n ), (y n ) và (z n ). Nếu x n ≤ y n ≤ z n , ∀n, lim n→∞ x n = lim n→∞ z n = a thì lim n→∞ y n = a. 1.1.3 Dãy đơn điệu Định nghĩa 1.1.7. Dãy số (x n ) được gọi là tăng (giảm) nếu x n ≤ x n + 1, ∀n (x n ≥ x n + 1, ∀n). Dãy tăng hay giảm được gọi là đơn điệu. Dãy (x n ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực c sao cho x n ≤ c, ∀n, bị chặn dưới nếu tồn tại số thực d sao cho x n ≥ c, ∀n. Dãy (x n ) được gọi là bị chặn (giới nội) nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Ví dụ 1.1.8. a) Dãy (x n ) với x n = 1 n là dãy giảm, bị chặn dưới bởi 0, bị chặn trên bởi 1 (bị chặn). b) Dãy (x n ) với x n = (−1) n không đơn điệu, bị chặn dưới bởi -1, bị chặn trên bởi 1 (bị chặn). c) Dãy (x n ) với x n = n là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 1, nhưng không bị chặn trên (không bị chặn). d) Dãy (x n ) với x n = 1 + 1 n n là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 2, bị chặn trên bởi 3 (bị chặn). Định lý 1.1.9. i) Nếu dãy số (x n ) tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ. ii) Nếu dãy số (x n ) giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ. Định lý 1.1.10. Cho hai dãy số (a n ), (b n ) sao cho: ∀n ∈ N, a n ≤ b n , [a n+1 , b n+1 ] ⊂ [a n , b n ] lim n→∞ (a n − b n ) = 0. (1.1) Khi đó tồn tại một số thực duy nhất c ∈ [a n , b n ] với mọi n. 6 Định nghĩa 1.1.11. Dãy các đoạn ([a n , b n ]) thỏa mãn điều kiện (1.1) được gọi là dãy các đoạn lồng (bao) nhau. Định nghĩa 1.1.12. Cho dãy số (x n ). Từ đó trích ra dãy (x n k ): x n 1 , x n 2 , , x n k , với các chỉ số là những số nguyên dương thỏa mãn điều kiện n 1 < n 2 < ··· < n k < ··· (ở đây vai trò thứ tự trong dãy là k). Dãy (x n k ) được gọi là dãy con của dãy (x n ). Định lý 1.1.13 (Bolzano - Weierstrass). Từ mọi dãy số giới nội ta đều có thể trích ra một dãy con hội tụ 1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy Định nghĩa 1.1.14. Dãy số (x n ) được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu với mỗi ε > 0 cho trước, tìm được n 0 ∈ N ∗ sao cho khi m > n 0 và n > n 0 ta có |x m − x n | < ε. Bổ đề 1.1.15. Dãy Cauchy là một dãy giới nội. Định lý 1.1.16 (Tiêu chuẩn Cauchy). Điều kiện cần và đủ để một dãy số thực (x n ) hội tụ là nó là một dãy Cauchy. 1.1.5 Vô cùng lớn và vô cùng bé Dãy số (x n ) được gọi là vô cùng bé (viết tắt là VCB) nếu lim n→∞ x n = 0, tức là nếu với mỗi ε > 0, tìm được n 0 ∈ N ∗ sao cho n > n 0 =⇒ |x n | < ε. Nếu lim n→∞ x n = l thì (x n − l) là một VCB. Dãy số (x n ) được gọi là một vô cùng lớn (viết tắt VCL) nếu với mỗi số A > 0, tìm được n 0 ∈ N ∗ sao cho n > n 0 =⇒ |x n | > A. + Nếu với mỗi số A > 0, tìm được n 0 ∈ N ∗ sao cho khi n > n 0 ta có x n > 0, |x n | > A, ta viết lim n→∞ x n = +∞. + Nếu với mỗi số A > 0, tìm được n 0 ∈ N ∗ sao cho khi n > n 0 ta có x n < 0, |x n | > A, ta viết lim n→∞ x n = −∞. 7 1.1.6 Chú ý cuối cùng về dãy số thực Trong các ví dụ trước, dãy (x n ) được xác định bởi công thức x n = f(n). Đó là cách xác định hiện (hay tường minh) một dãy số. Theo cách xác định ấy, ta có thể tính ngay x n khi biết n. Bây giờ xét dãy số (x n ) được xác định như sau: x 0 = 2 x n = x n−1 − x 2 n−1 − 2 2x n−1 , ∀n ∈ N ∗ , trong trường hợp này ta không biết được x n , nếu không biết được x n−1 , Nếu muốn tính x 3 , ta phải xuất phát từ x 0 tính x 1 , từ x 1 tính x 2 , rồi từ x 2 tính x 3 . Người ta gọi đây là cách xác định ẩn hay xác định thao quy nạp một dãy số. Hãy xét chi tiết hơn dãy trên. Vì x n = x n−1 − x 2 n−1 − 2 2x n−1 , với x 0 = 2 nên x n − x n−1 = − x 2 n−1 − 2 2x n−1 hay x n = − x 2 n−1 + 2 2x n−1 . Suy ra dãy (x n ) giảm dần và x n > 0, ∀n (!), do đó (x n ) hội tụ và hội tụ đến nghiệm dương của phương trình bậc hai x 2 − 2 = 0, tức là hội tụ đến √ 2 (lưu ý rằng √ 2 = 1, 414213562 và x 3 = 1, 41421). 1.1.7 Một số định nghĩa mở đầu về hàm số một biến số thực Cho hai tập hợp X, Y, X ⊆ R, Y ⊆ R, ánh xạ f : X → Y được gọi là một hàm số biến số thực, tập X được gọi là miền xác định, thường ký hiệu là D f của hàm số f và tập f(X) được gọi là miền giá trị, ký hiệu là R f , của hàm số f ; x ∈ D f được gọi là biến độc lập hay đối số, f(x) ∈ R f được gọi là biến phụ thuộc hay hàm số ; để chứng tỏ hàm số f gán mỗi phần tử x ∈ D f với một phần tử xác định f(x) ∈ R f người ta thường viết x → f(x) hay y = f(x). 8 Ví dụ 1.1.17. a) x → x là hàm số đồng nhất, thường ký hiệu là id(x). b) x → 2x + 1 là hàm số bậc nhất. c) x → x 2 + 3x + 7 là hàm số bậc hai. d) x → c, c là hằng số, gọi là hàm số hằng. + Mặt phẳng xác định bởi trục hoành Ox và trục tung Oy (Ox, Oy vuông góc nhau) được gọi là mặt phẳng tọa độ, hệ tọa độ Oxy được gọi là hệ tọa độ Descarte. Khi đó mỗi điểm trên mặt phẳng sẽ hoàn toàn được xác định bởi duy nhất một cặp số (x, y) ∈ R ×R và ngược lại. + Đồ thị của hàm số x → f(x) hay y = f(x) được định nghĩa là tập các điểm trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ dạng (x, f(x)), x ∈ D f . + Tùy theo tính chất cụ thể của hàm số f(x), đồ thị của f(x) có thể là một tập điểm rời rạc hữu hạn hoặc vô hạn, cũng có thể là tập hợp những mảnh cung đứt đoạn, và cũng có thể là một cung liền. + Nhận xét. Trong thực tế nhiều khi người ta phải giải bài toán ngược: người ta không biết chính xác hàm số f(x) mà chỉ biết một tập rời rạc hữu hạn của đồ thị của nó và một vài nét rất khái quát về hàm số f ; người ta muốn dựng lại hàm số f và dĩ nhiên không thể nào dựng được đúng nguyên xi hàm số f (vì bản thân hàm số f chưa biết) nhưng người ta hi vọng rằng dựng được một hàm số có các tính chất như hàm số f và dĩ nhiên đồ thị của hàm số được dựng ít ra thì cũng gần trùng với đồ thị của hàm số f tại tập các điểm rời rạc đã cho trước. 1.1.8 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đơn điệu Giả sử X là một tập hợp số thực (X ⊆ R), X nhận O làm tâm đối xứng. Hàm số f : X → R được gọi là chẵn nếu f(−x) = f(x) ∀x ∈ X, là lẻ nếu f(−x) = −f(x) ∀x ∈ X. Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm số lẻ nhận O làm tâm đối xứng. + Theo định nghĩa trên thì hàm số y = x n là hàm số chẵn nếu n chẵn, là lẻ nếu n là lẻ. Cho X ⊆ R, hàm số f : X → R được gọi là tuần hoànnếu tồn tại hằng số dương p sao cho f(x + p) = f(x) ∀x ∈ X, số p nhỏ nhất sao cho ta có đẳng thức ấy được gọi là chu kì của f. 9 + Các hàm số y = sin x, y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π; các hàm số y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kì π. Nếu J ⊆ I ⊆ R, hàm số f : I → R được gọi là tăng trên J nếu x 1 , x 2 ∈ J, x 1 < x 2 =⇒ f(x 1 ) ≤ f(x 2 ), tăng nghiêm ngặt trên J nếu x 1 , x 2 ∈ J, x 1 < x 2 =⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ), giảm trên J nếu x 1 , x 2 ∈ J, x 1 < x 2 =⇒ f(x 1 ) ≥ f(x 2 ), giảm nghiêm ngặt trên J nếu x 1 , x 2 ∈ J, x 1 < x 2 =⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ). Hàm số tăng hay giảm trên I được gọi là đơn điệu trên I. 1.1.9 Hàm số hợp, hàm số ngược và đồ thị của hàm số ngược Định nghĩa 1.1.18. Cho X, Y, Z ⊆ R, g : X → Y, f : Y → Z, xét hàm số h : X → Z định nghĩa bởi h(x) = f(g(x)) ∀x ∈ X, h được gọi là hàm số hợp của hàm số f và hàm số g, ký hiệu hàm số hợp h: h(x) = f(g(x)) hay h = (f ◦ g)(x), x ∈ X. Ví dụ 1.1.19. Cho X = Y = Z = R, xét các ánh xạ f : x → x 2 , g : x → 2x. Khi đó f(g(x)) = (g(x)) 2 = (2x) 2 = 4x 2 , g(f (x)) = 2f (x) = 2x 2 . Nhận xét. Nói chung là f ◦g = g ◦ f. Định nghĩa 1.1.20. Cho hai tập hợp X ⊆ R, Y ⊆ R, cho song ánh f : X → Y, x → y = f(x), song ánh f chính là một hàm số có miền xác định D f = X và miền giá trị là tập ảnh của X, tức là f(X) = {y ∈ Y |∃x ∈ X, y = f(x)}. Khi đó vì f là song ánh nên f là toàn ánh, nghĩa là f(X) = Y , và f cúng là đơn ánh, nghĩa là với x 1 , x 2 ∈ X, x 1 = x 2 thì f (x 1 ) = f(x 2 ), f(x 1 ), f(x 2 ) ∈ Y . Khi đó, mỗi phần tử y ∈ Y đều là ảnh của đúng một phần tử x ∈ X nên có thể đặt ứng một phần tử y ∈ Y với một phần tử x ∈ X, phép tương ứng đó đã xác định 10 [...]... 41421) 1.1.7 Một số định nghĩa mở đầu về hàm số một biến số thực Cho hai tập hợp X, Y, X ⊆ R, Y ⊆ R, ánh xạ f : X → Y được gọi là một hàm số biến số thực, tập X được gọi là miền xác định, thường ký hiệu là Df của hàm số f và tập f (X) được gọi là miền giá trị, ký hiệu là Rf , của hàm số f ; x ∈ Df được gọi là biến độc lập hay đối số, f (x) ∈ Rf được gọi là biến phụ thuộc hay hàm số ; để chứng tỏ hàm số f... xác hàm số f (x) mà chỉ biết một tập rời rạc hữu hạn của đồ thị của nó và một vài nét rất khái quát về hàm số f ; người ta muốn dựng lại hàm số f và dĩ nhiên không thể nào dựng được đúng nguyên xi hàm số f (vì bản thân hàm số f chưa biết) nhưng người ta hi vọng rằng dựng được một hàm số có các tính chất như hàm số f và dĩ nhiên đồ thị của hàm số được dựng ít ra thì cũng gần trùng với đồ thị của hàm. .. những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia), các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản Chẳng hạn, hàm số y = 2x + x3 + 1 (Sinh vi n tự đọc trình bày chi tiết về hàm số sơ cấp trong [5, tr 58 -59]) 1.2 Giới hạn hàm số thực Ta đã nghiên cứu giới hạn của dãy số, tức là giới hạn của hàm với đối số là n ∈ N Bây giờ ta xét hàm số tổng quát Một. .. các hàm số sơ cấp Các hàm số sau đây được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản: a) hàm số lũy thừa x → xα , α ∈ R b) hàm số mũ x → ax , a > 0, a = 1 c) hàm số logarith x → loga x, a > 0, a = 1 d) các hàm số lượng giác x → sin x, x → cos x, x → tan x, x → cot x và các hàm số lượng giác ngược (Sinh vi n tự đọc trình bày chi tiết về các hàm số sơ cấp cơ bản này trong [5, tr 49 -58]) 11 + Người ta gọi hàm số... quen dùng chữ x để chỉ biến độc lập, chữ y đẻ chỉ hàm số phụ thuộc, với quy ước đó hàm số ngược của f được vi t là f −1 : x → y = f −1 (x) Từ đó nếu biểu diễn hàm số ngược của hàm số y = f (x) dưới dạng y = f −1 (x) thì nếu (x, y) là một điểm của đồ thị hàm số y = f (x) thì (y, x) là một điểm của đồ thị hàm số ngược y = f −1 (x) Hai điểm (x, y) và (y, x) đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất, từ... rạc đã cho trước 1.1.8 Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đơn điệu Giả sử X là một tập hợp số thực (X ⊆ R), X nhận O làm tâm đối xứng Hàm số f : X → R được gọi là chẵn nếu f (−x) = f (x) ∀x ∈ X, là lẻ nếu f (−x) = −f (x) ∀x ∈ X Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm số lẻ nhận O làm tâm đối xứng + Theo định nghĩa trên thì hàm số y = xn là hàm số chẵn nếu n chẵn,... của hàm số ngược y = f −1 (x) đối xứng với đồ thị của hàm số y = f (x) qua đường phân giác thứ nhất Ví dụ 1.1.21 a) Hàm số f : R → R, x → x2 không có hàm ngược vì không đơn ánh (h(1) = h(−1) = 1) b) Hàm số g : R+ → R, x → x2 , trong đó R+ = {x ∈ R|x ≥ 0} cũng không có hàm số ngược vì không là toàn ánh ( x ∈ R+ : g(x) = −1) c) Hàm số h : R+ → R+ , x → x2 có hàm ngược là y = f −1 (x) = 1.1.10 √ x Các hàm. .. ngặt trên J nếu x1 , x2 ∈ J, x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số tăng hay giảm trên I được gọi là đơn điệu trên I 1.1.9 Hàm số hợp, hàm số ngược và đồ thị của hàm số ngược Định nghĩa 1.1.18 Cho X, Y, Z ⊆ R, g : X → Y, f : Y → Z, xét hàm số h : X → Z định nghĩa bởi h(x) = f (g(x)) ∀x ∈ X, h được gọi là hàm số hợp của hàm số f và hàm số g, ký hiệu hàm số hợp h: h(x) = f (g(x)) hay h = (f ◦ g)(x), x ∈ X... một phần tử x ∈ X, phép tương ứng đó đã xác định 10 một hàm số từ Y lên X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của song ánh f và được ký hiệu là f −1 : Y → X, nghĩa là f −1 : y → x = f −1 (y), trong đó y là biến độc lập và x là hàm số phụ thuộc Từ định nghĩa hàm số ngược, ta có y = f (x) ⇔ x = f −1 (y) Do vậy trong cùng một hệ tọa độ, đồ thị hai hàm số y = f (x) và x = f −1 (y) trùng nhau, nhưng thông... 434294 lg e ln 10 lg 10 1 ln 10 = = = 2, 302585 lg e lg e ln x = Từ cơ số e, ta xây dựng hàm số mũ y = ex , là hàm số rất hay gặp trong các bài giảng về sau Từ hàm số ex lại xây dựng các hàm số lượng giác hyperbolic định nghĩa như sau: Hàm số cosh đọc là hàm số cos hyperbolic: cosh x := ex + e−x 2 Hàm số sinh đọc là hàm số sin hyperbolic: sinh x := ex − e−x 2 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Đạo hàm và vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.1 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 1.5.2 Vi phân cấp. Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2.1 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2.2 Vi phân toàn