Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao Phần I Đặt vấn đề Toán học là môn khoa học tự nhiên có từ rất lâu đời. Nó tồn tại và phát triển cùng với sự tồn tại và phát triển của xã hội loài ngời. Từ 2000 năm trớc công nguyên ngời Cổ đại đã biết cách giải các phơng trình bậc nhất, ngời cổ Babilon đã biết giải phơng trình bậc hai và đã dùng các bảng đặc biệt để giải phơng trình bậc ba. Nhng để giải các phơng trình bậc cao hơn phải đến đầu thế kỷ 19, nhà Toán học Nauy là Abet ( 1802 1829) chứng minh đợc rằng phơng trình tổng quát bậc 5 và lớn hơn bậc 5 là không để giải đợc bằng các phơng tiện thuần tuý đại số. Sau cùng nhà toán học Pháp là Galoa ( 1811 1832) đã giải quyết một cách trọn vẹn về vấn đề phơng trình đại số. Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy mảng giải phơng trình bậc cao đợc đa ra ở sách giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lợc, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi. Bên cạnh đó là các nội dung bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp. Các phơng trình bậc cao là một nội dung thờng gặp trong các kỳ thi ở Bậc THCS, THPT và đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và cao đẳng. Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với phơng trình bậc cao. Cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm có đợc của bản thân qua nhiều năm giảng dạy. Kết hợp với những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội đợc trong chơng trình Đại học Toán mà đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình của các thầy cô giáo. Tôi mạnh dạn chọn đề tài Những phơng pháp giải phơng trình bậc cao. Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tự phân loại đợc một số dạng toán giải phơng trình bậc cao, nêu lên một số phơng pháp giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc giải phơng trình bậc cao. Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy đợc khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua cá bài tập nhỏ. Từ đó hình thành cho học sinh khả năng t duy sáng tạo trong học tập. 1 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao Phần II : Nội dung đề tài nghiên cứu Để giải một bài toán đòi hỏi ngời giải phải biết phân tích để khai thác hết giả thiết, các điều kiện yêu cầu của đề bài, thể loại bài toán để từ đó định hớng cách giải. Đại bộ phận học sinh chúng ta không hiểu rõ sự quan trọng cần thiết của việc phân tích và nhận định hớng giải, nhiều em không học lý thuyết đã vận dụng ngay, không giải đợc thì chán nản, bỏ không giải hoặc giở sách giải ra chép v.v Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt khi dạy chơng phơng trình ta thấy các dạng phơng trình đa dạng và phong phú, mà ta phải vận dụng nhiều kỹ năng biến đổi đại số nh sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức mở rộng, dùng các phép biến đổi tơng đơng và các phép biến đổi đại số, phân tích đa thức thành nhân tử Công cụ giải phơng trình đòi hỏi không cao xa, chỉ với kiến thức toán cấp hai là đủ. Cái quan trọng là yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có sự lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ các khía cạnh, các trờng hợp cụ thể của từng vấn đề. Đặc biệt là yêu cầu đối với những học sinh khá, giỏi phải hết sức sáng tạo, linh hoạt trong khi giải phơng trình, biết đặc biệt hoá và tổng quát hoá những vấn đề cần thiết. Là giáo viên trong quá trình giảng dạy việc cung cấp kiến thức cho học sinh phải thực sự đúng quy trình các bớc biến đổi, phải đảm bảo lôgíc, có hệ thống, không tự tiện cắt bỏ kiến thức để rèn cho các em học sinh thói quen cẩn thận, kỹ năng giải bài tập hợp lôgíc toán học. Việc giải phơng trình bậc cao quy về bậc một nằm trong chơng trình bậc nhất một ẩn phần cuối chơng, đây là một vấn đề khó với các em học sinh trung bình và học sinh đại trà, số tiết dạy cho phần này lại ít. * Đối với giáo viên : Phải hệ thống đợc các khái niệm và các định nghĩa cơ bản của các dạng phơng trình, các tính chất và các cách giải phơng trình từ đơn giản đến phức tạp. Nghiên cứu, tìm tòi, khai thác để tìm đợc những ứng dụng đa dạng, phong phú của phơng trình. Mặt khác phải lựa chọn các phơng pháp thích hợp đối với từng đối tợng học sinh, đồng thời nâng cao nghiệp vụ của giáo viên. * Đối với học sinh : Nắm chắc một cách có hệ thống các khái niệm, định nghĩa, các phép biến đổi tơng đơng, các tính chất và các hệ quả. Từ đó phát triển khả năng t duy, lôgíc cho ngời học. Giúp cho học sinh có một khả năng độc lập, 2 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao suy diễn và vận dụng, rèn trí thông minh cho học sinh. Đồng thời cho học sinh thấy đợc sự thuận tiện hơn rất nhiều trong giải phơng trình. II- Những kiến thức cơ bản trong giải phơng trình : 1- Các định nghĩa : 1.1 Định nghĩa phơng trình : Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x. Khi nói A(x) = B(x) là một phơng trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tơng ứng của hai biểu thức này bằng nhau. Biến x đợc gọi là ẩn. Giá trị tìm đợc của ẩn gọi là nghiệm. Việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình Mỗi biểu thức gọi là một vế của phơng. 1.2. Định nghĩa phơng trình bậc nhất một ẩn : Phơng trình có dạng ax + b = 0, với a, b là những hằng số; a 0 đợc gọi là phơng trình bậc nhất một ẩn số, b gọi là hạng tử tự do. 1.3. Tập xác định của phơng trình : Là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa. 1.4. Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng : Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. 1.5. Các phép biến đổi tơng đơng : Khi giải phơng trình ta phải biến đổi phơng trình đã cho thành những phơng trình tơng đơng với nó ( nhng đơn giải hơn). Phép biến đổi nh thế đợc gọi là phép biến đổi tơng đơng. 1.6. Định nghĩa phơng trình bậc hai một ẩn : Phơng trình bậc hai một ẩn số là phơng trình có dạng ax 2 + bx + c = 0; trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a 0. 1.7. Định nghĩa phơng trình bậc cao : Ta gọi phơng trình đại số bậc n trên trờng số thực là các dạng phơng trình đợc đa về dạng : a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 + a 0 = 0 3 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao Trong đó n nguyên dơng; x là ẩn; a 1 , a 2 , a 3 , , a n là các số thực xác định ( a n 0). 2- Các định lý biến đổi tơng đơng của phơng trình : a) Định lý 1 : Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một phơng trình thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. Ví dụ : 2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 +5x. * Chú ý : Nếu cộng cùng một biểu thức chứa ẩn ở mẫu vào hai vế của một phơng trình thì phơng trình mới có thể không tơng đơng với phơng trình đã cho. Ví dụ : x 2 (1) Không tơng đơng với phơng trình 2 1 2 1 2 = + xx x Vì x = 2 là nghiệm của (1) nhng không là nghiệm của (2) * Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phơng trình đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. Ví dụ : 8x 7 = 2x + 3 <=> 8x 2x = 7 + 3 * Hệ quả 2 : Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. Ví dụ : -9 7x = 5 ( x +3) 7x <=> -9 = 5 x ( x + 3) * Chú ý : Nếu nhân hai vế của một phơng trình với một đa thức của ẩn thì đợc phơng trình mới có thể không tơng đơng với phơng trình đã cho. III- Một số cách giải phơng trình bậc cao : A- Phơng hớng : 4 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao ở phổ thông không học phép giải tổng quát cho phơng trình bậc ba, bậc bốn còn phơng trình bậc 5 không có phép giải tổng quát. Tuy nhiên trong một số trờng hợp đặc biệt có thể đa phơng trình cần giải về những phơng trình bậc 1, bậc 2. Ta phải dựa vào đặc thù của phơng trình cần giải để có phơng pháp thích hợp. Giải và giảng dạy các bài toán về giải phơng trình bậc cao quy về bậc nhất một ẩn hoặc bậc hai nằm trong quá trình giải phơng trình bậc nhất, bậc 2. Nói chung bao gồm nhiều dạng và phong phú đợc các nhà toán học và s phạm quan tâm và đề cập tới trong nhiều tài liệu, tập san toán học v.v Căn cứ vào mục đích ý nghĩa kết quả điều tra và thực tế giảng dạy chơng phơng trình. Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi đã nghiên cứu, áp dụng lý luận trong quá trình dạy học, các phơng pháp đặc trng bộ môn, áp dụng các kiến thức đã học để đa các phơng trình bậc cao về bậc nhất, bậc hai bằng nhiều cách. Các dạng cơ bản của phơng trình bậc cao thờng gặp là các phơng trình trùng phơng, phơng trình đối xứng, phơng trình thuận nghịch B- Các bài toán và phơng pháp giải : 1- Phơng pháp đa về phơng trình tích : 1.1. áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử : Để giải các phơng trình dạng này trớc hết ta phải nắm vững các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng mọi cách đa phơng trình đã cho về dạng tích. f(x).g(x) h(x) = 0 <=> f(x) = 0 g(x) = 0 = 0 h(x) = 0 Vì một tích bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất 1 phần tử bằng 0. Nghiệm của ph- ơng trình đã cho chính là tập hợp nghiệm của các phơng trình : f(x) = 0; g(x) = 0; ; h(x) = 0. * Bài toán 1 : Giải phơng trình (x-1) 3 + x 3 + ( x+1) 3 = (x+2) 3 (1) Giải : (x-1) 3 + x 3 + ( x+1) 3 = (x+2) 3 <=> x 3 3x 2 +3x 1+ x 3 + x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = x 3 + 6x 2 + 12x + 8 <=> x 3 - 3x 2 - 3x 4 = 0 <=> x 3 1 3x 2 3x 3 = 0 5 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao <=> (x-1) ( x 2 + x+ 1) 3 (x 2 + x + 1) = 0 <=> ( x 2 + x + 1) ( x 4) = 0 (2) Với học sinh lớp 8 ta làm nh sau: Do x 2 + x + 1 0 nên phơng trình có một nghiệp x 4 = 0 <=> x = 4 Với học sinh lớp 9 : (2) <=> x 2 + x + 1 = 0 (*) x 4 = 0 (**) Giải phơng trình (*) : = 1 4 = -3 < 0 nên (*) vô nghiệm. Giải (**) : x = 4. Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm là x = 4. 1.2 . Nhẩm nghiệm rồi dùng lợc đồ Hoócne để đa về phơng trình tích. * Lợc đồ Hoócne : Nếu f(x) có nghiệm là x = x 0 thì f(x) chứa nhân tử ( x x 0 ) tức là : f(x) = ( x x 0 ).g(x). Trong đó : f(x) = a n x n + a n -1 x n -1 + + a 1 x + a 0 = 0 g(x) = b n x n + b n - 2 x n - 2 + + b 1 x + b 0 = 0 với : b n 1 = a n b n 2 = x 0 b n 1 + a n 1 . b i 1 = x 0 b 1 + a i b 0 = x 0 b 1 + a 1 . Ta có bảng sau ( Lợc đồ Hoócne). x i a n a n - 1 a 1 a 0 x 0 b n-1 x 0 b 1 x 0 b 1 x = x 0 b n-1 =a n b n-2 b 0 0 Việc nhẩm nghiệm các phơng trình dựa trên các cơ sở sau : 1.2.1. Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là một nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số x 1 . 1.2.2. Nếu đa thức có tổng các hệ số của một số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì -1 là một nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số ( x + 1). 1.2.3. Mọi nghiệm nguyên của đa thức đều là ớc số của hệ số tự do a 0 . 1.2.4. Mọi nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên : x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 = 0 đều là số nguyên. 6 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao * Bài toán 2 : Giải phơng trình : x 4 + x 3 x 1 = 0 (2) Nhận thấy : a 4 + a 3 + a 2 + a 1 + a 0 = 1 + 1 + 0 + (-1) + (-1) = 0 Và : a 4 + a 2 + a 0 = 1 + 0 + (-1) = a 3 + a 1 = 1 + (-1) . áp dụng mục 1.2.1 và 1.2.2 ta có 2 nghiệm của phơng trình (2) là : x 1 = 1; x 2 = -1. áp dụng lợc đồ Hoócne ta có : x i a 4 =1 a 3 =1 a 2 =0 a 1 =-1 a 0 =-1 x =1 1 2 2 1 0 x = - 1 1 1 1 0 Phơng tình (2) có dạng phân tích nh sau : (x-1) (x+1) (x 2 + x + 1 ) = 0 Ta dễ dàng nhận thấy phơng trình(2) có 2 nghiệm là : x 1 = 1; x 2 = -1. * Bài toán 3 : Giải phơng trình : x 3 5x 2 + 8x 16 = 0 (3) ở bài toán này ta không thể áp dụng đợc việc nhẩm nghiệm theo nhận xét ở 1.2.1 và 1.2.2. áp dụng nhận xét mục 1.2.3 và 1.2.4 ta có: Ư (4) { 1; 2; 3; 4; 8; 16} Kiểm tra thấy x = 4 là 1 nghiệm áp dụng lợc đồ Hoocne ta đa phơng trình (3) về dạng (x 4) ( x 2 x + 4) = 0 <=> x 4 = 0 (*) x 2 x + 4 = 0 (**) (*) <=> x 4 = 0 <=> x = 4 (**) <=> x 2 x + 4 = 0 = 1 4.4 = 1 16 = - 15 < 0 => (**) vô nghiệm Vậy nghiệm của pt (3) là x = 4 * Bài toán 4: Giải pt: 2x 3 5x 2 + 8x 3 = 0 ( 4) Việc áp dụng nhận xét các mục 1.2.1; 1.2.2 ; 1.2.3 không thể giải quyết đợc vấn đề ( vì ở phơng trình này không có nghiệm nguyên). Ta nghĩ đến cơ hội cuối cùng nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ và áp dụng nhận xét ở mục 1.2.4 (4) <=> 8x 3 20x 2 + 32x 12 = 0 7 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao <=> (2x) 3 5 (2x) 2 + 16(2x) 12 = 0 Đặt y= 2x ta có: y 3 - 5y 2 + 16y 12 = 0 ( 4) Nhận thấy: a 3 + a 2 + a 1 + a 0 = 1 + ( -5) +16 + ( -12) = 0 áp dụng 1.2.1 ta có y = 1 áp dụng lợc đồ Hoócne (4) về dạng ( y 1) ( y 2 4y + 12) = 0 <=> y 1 = 0 (*) y 2 4y + 12 = 0 (**) (*) <=> y 1 = 0 <=> y = 1 => x = 1/2 (**) <=> y 2 4y + 12 = 0 vô nghiệm vì <=> ( y 2) 2 + 8 > 0 y Vậy phơng trình ( 4) có một nghiệm và x = 1/2 1.2.5. Việc nhẩm nghiệm nh ở trên sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu số hạng tạ do a 0 lớn và có nhiều ớc số. Trong trờng hợp này ta sẽ áp dụng nhận xét sau để đi loại trừ bớt các ớc không là nghiệm của phơng trình một cách nhanh chóng. - Nếu x 0 là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1) 0; f(-1) 0 thì 1 )1( 0 x f và 1 )1( 0 + x f đều là các giá trị nguyên. *Bài toán 5 : Giải phơng trình : 4x 3 13x 2 + 9x 18 = 0 (0) Giải : U(18) { 1, 2, 3, 6, 9, 18} Hiển nhiên 1, 1 không là nghiệm của (5) =>f(1) 0, f(-1) 0. Ta thấy : Z f = = 9 2 18 13 )1( Z f = = + 11 4 44 13 )1(` => Phơng trình (5) có khả năng có nhiệm là x 1 = 3. áp dụng lợc đồ Hoócne ta đa (5) về dạng sau : (x-3) ( 4x 2 x + 6 ) = 0 <=> x 3 = 0 (*) 8 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao 4x 2 x + 6 = 0 (**) (*) <=> x = 3 (**) <=> 4x 2 x = 6 = 0 = (-1) 2 4.4.6 < 0 => (**) vô nghiệm. Nên phơng trình (5) có một nghiệm là : x = 3. * Chú ý : - Việc nhẩm nghiệm phơng trình có thể nhẩm miệng rồi dùng thuật toán chia đa thức cho đa thức để hạ bậc và đa phơng trình về dạng tích. - Có thể dùng lợc đồ Hoócne để xác định ớc số nào của a 0 là nghiệm, ớc số nào không là nghiệm và đa ngay ra dạng phân tích. VD : Xét phơng trình : x 3 5x 2 8x - 4 = 0 (*) Ư(4) {1, 2, 4} áp dụng lợc đồ Hoócne ta có : x 0 a 3 =1 a 2 =-5 a 1 =8 a 0 =-4 x =1 1 -4 4 0 x = - 1 1 -6 14 -18 x = 2 1 -3 2 0 x = -2 1 -7 22 -48 x = 4 1 -1 4 12 x = -4 1 -9 44 172 Nhận thấy x= 1 và x = 2 là nghiệm của phơng trình (*) lúc đó (*) viết dới dạng phơng trình tích nh sau : ( x 1 ) ( x 2) ( x 2 ) = 0 2- Phơng pháp đặt ẩn phụ : - Phơng pháp này thờng đợc sử dụng với các dạng phơng trình. * Dạng 1 : Phơng trình có dạng ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a0) gọi là phơng trình trùng phơng. + Cách giải : Đặt ẩn phụ y = x 2 ( y 0) đa về phơng trình bậc hai đối với y nh sau : 9 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao ay 2 + by + c = 0 * Bài toán 7 : Giải phơng trình : x 4 5x 2 + 4 = 0 (1) Giải : Đặt y = x 2 ( y 0) (1) <=> y 2 5y + 4 = 0 <=> (y-1)(y-4) = 0 <=> y 1 = 0 <=> y = 1 y 4 = 0 y = 4 x 2 = 1 <=> x 1 = 1; x 2 = -1 x 2 = 4 <=> x 3 = 2; x 4 = -2 Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm : x = 1; x = -1; x = 2; x = -2. * Dạng 2 : Phơng trình có dạng : ( x +a) (x+b) (x+c) (x+d) = m Với a + b = c + d hoặc a + c = b + d hoặc a + d = b + c. * Bài toán 8 : Giải phơng trình ( x 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) = 9 (1) Giải : (1) <=> ( x 1) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) = 9 <=> ( x 2 + 4x 5) ( x 2 + 4x + 3) = 9 Đặt y = x 2 + 4x 5 Ta đợc phơng trình : y ( y+8) = 9 <=> y 2 + 8y 9 = 0 <=> (y-1)(y+9) = 0 <=> y 1 = 0 <=> y = 1 y +9 = 0 y = -9 x 2 + 4x 5 = 1 <=> x 2 + 4x - 6 = 0 <=> x 1,2 = 102 x 2 + 4x 5 = -9 <=> x 2 + 4x + 4 = 0 10 [...]... phơng trình f2n(x) = g2n(x) (2) thành f(x) = g(x) Hai phép biến đổi này có thể làm mất nghiệm 15 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao - Đối với phơng trình đầu nên chuyển vế để đa về phơng trình tích hoặc giải phơng trình f1(x) = f2(x) - Đối với phơng trình (2) giải 2 phơng trình f(x) = g(x) và f(x) = -g(x) * Dạng 8 : x3 + ax2 + bx + c = 0 (Phơng pháp này có thể giải đợc với phơng trình không có nghiệm. . .Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao x3,4 = - 2 Vậy phơng trình ( 1) có 3 nghiệm : x1 = 2 + 10 ; x2 = 2 10 ; x3 = -2 * Dạng 3 : Phơng trình dạng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c + Cách giải :Ta đa phơng trình trên về dạng phơng trình trùng phơng bằng cách đặt y = x + ( a+b)/2 * Bài toán 9 : Giải phơng trình : ( x + 1)4 + ( x +3)4 = 16 Giải : Đặt y = x + 2 ta đợc phơng trình ( y-1)4... Cách giải: Vì 0 không là nghiệm của phơng trình nên chia cả hai vế của phơng trình cho x2 rồi đa về phơng trình bậc n bằng cách đặt y = x + 1/x * Bài toán 10: Giải phơng trình 2x4 + 3x3 3x2 + 3x + 2 = 0 ( 1) Giải: x = 0 không là nghiệm của ( 1) Với x 0 chia 2 vế của (1) cho x2 ta đợc phơng trình tơng đơng 11 Sáng kiến kinh nghiệm: 2 x 2 + 3x 3 + Phơng trình bậc cao 3 2 + =0 x x2 1 1 ) + 3( x + ) 5... thoả mãn phơng trình( ***) thì u,v là nghiệm của hệ u3 + v3 = - 28 uv = 3 u3 + v3 = - 28 u3v3 = 27 => u3, v3 là nghiệm của phơng trình: X2 + 28X + 27 = 0 => u3 = - 1; v3 = - 27 => u = - 1; v = - 3 => y = u + v = - 1 3 = - 4 mà x = y 3 => x = -7 Vậy phơng trình (*) có một nghiệm là x = 7 3 Phơng pháp đa về hai luỹ thừa cùng bậc 16 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao * Cách giải: Ta thêm... trình có 2 nghiệm x1 = 1 + 5 ; Giải (3): x2 = 1 5 x2 + 2 = - 2x 6 x2 + 2x + 8 = 0 = 1 8 = -7 < 0 => phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm : x1 = 1 + 5 ; x2 = 1 5 *Bài toán 16: Giải phơng trình x4 + 8x2 8x + 17 = 0 Giải: (1) (1) x4 - 8x2 + 16 + 16x2 8x + 1 = 0 ( x2 4)2 + ( 4x 1)2 = 0(2) Vì 2 2 ( x 4) 0 (4 x 1) 2 0 17 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc. .. chơng trình Bản thân tôi đã đúc rút đợc trong quá trình giảng dạy ở một chừng mực nào đó vấn đề dạy và học Phơng pháp tìm lời giải cho các bài tập thực sự có tác dụng giúp học sinh làm quen với phơng pháp t duy, phơng pháp làm bài Tìm cách giải trong đó xác định rõ các bớc cần tiến hành theo một trình tự lôgíc để hoàn thành bài giải Một số cách giải phơng trình bậc cao đa về phơng trình bậc nhất và bậc. .. toán 18: Giải phơng trình: 5 6 (1) 6 (1) x 8 + x 9 =1 Giải: Viết phơng trình dới dạng 5 x 8 + x 9 =1 Dễ thấy x = 8 ; x = 9 đều là nghiệm của (1) Xét các giá trị còn lại của x +) Với x < 8 thì 6 9 x >1 9 x >1 5 x8 > 0 Nên vế trái của (1) lớn hơn 1, (1) vô nghiệm 5 +) Với x > 9 thì x 8 > 1 x 8 > 1 18 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao 6 9x > 0 Nên vế trái của (1) lớn hơn 1, (1) vô nghiệm +)... 2: Đặt y = x2 + 16x + 60, ta đợc phơng trình 4y ( y + x) 3x2 = 0 (3) ( 2y x) ( 2y + 3x) = 0 x1 = 2y x2 = -2y/3 Thay vào ( 3) ta tìm đợc 4 nghiệm *Bài toán 13: Giải phơng trình ( x 3) ( x +2) ( x 4)( x + 6) = 14x2 (1) Giải: * Cách 1: Khai triển, thu gọn về phơng trình f(x) = 0 với vế trái là đa thức bậc bốn 14 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao * Cách 2: Nhận thấy ( -3)(-4) = 12... nghiệm của phơng trình 12 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao Với x - 1 chia cả 2 vế của phơng trình ( 1) cho ( x+1) ta có phơng trình 2x4 + 3x3 16x2 + 3x + 2 = 0 ( 3) Dễ dàng thấy rằng x = 0 không là nghiệm của (3) Chia cả 2 vế của ( 3) cho x2 0, ta có phơng trình tơng đơng 2x2 + 3x 16 + 3 1 1 + 2 2 = 0 x x 1 1 2( x + ) 2 + 3( x + ) 20 = 0 x x 1 Đặt y = x + ta đợc phơng trình x 2y2 + 3y... phân tích đợc thành dạng: 19 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao (x2 + a1x + b1) ( x2 + a2x + b2) = 0 a1 + a 2 = 4 a a + b + b = 10 1 2 1 2 b1 = 2; b2 = 7; a1 = 5; a 2 = 1 Ta có: a1b2 + a 2 b1 = 37 b1b2 = 14 Phơng trình (1) có dạng (x2 - 5x + 2) ( x2 + x - 7) = 0 Tiếp tục giải các phơng trình bậc hai: x2 - 5x + 2 = 0 và x2 + x 7 = 0 ta có nghiệm của phơng trình (1) là : x1 = 5 + 17 ; 2 . phơng trình đã cho. III- Một số cách giải phơng trình bậc cao : A- Phơng hớng : 4 Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng trình bậc cao ở phổ thông không học phép giải tổng quát cho phơng trình bậc ba, bậc. trình cần giải để có phơng pháp thích hợp. Giải và giảng dạy các bài toán về giải phơng trình bậc cao quy về bậc nhất một ẩn hoặc bậc hai nằm trong quá trình giải phơng trình bậc nhất, bậc 2. Nói. biết cách giải các phơng trình bậc nhất, ngời cổ Babilon đã biết giải phơng trình bậc hai và đã dùng các bảng đặc biệt để giải phơng trình bậc ba. Nhng để giải các phơng trình bậc cao hơn phải