Đang tải... (xem toàn văn)
Tạp chí Online dành cho cộng đồng những người yêu toán Epsilon Số 1, ngày 13 tháng 2 năm 2015. Ra đều đặn 2 tháng 1 lần, vào ngày 13 các tháng chẵn. Chủ biên: Trần Nam Dũng Biên tập viên: Võ Quốc Bá Cẩn Lê Phúc Lữ Chủ đề của Epsilon đa dạng nhưng chủ yếu là về toán và các vấn đề liên quan, mức độ thường thức phổ thông, truyền bá toán học.
[...]... xn + 1 chia ht cho a thc x2 + x + 1? Bi toỏn 5 Cú bao nhiờu tp con ca X = {1, 2, , 2015} cú tng cỏc phn t chia ht cho 3? Bi toỏn 6 (IMO 2014 Training Camp) Cú bao nhiờu s t nhiờn cú 9 ch s khụng cha ch s 0 v chia ht cho 11? Bi toỏn 7 Cho ba s nguyờn dng m, n, p, trong ú m > 1 v n + 2 0 (mod m) Tỡm s b (x1 , x2 , , xp ) gm p s nguyờn dng sao cho tng (x1 + x2 + ã ã ã + xp ) chia ht cho m, trong... cỏc s cú n ch s lp t cỏc ch s 3, 4, 5, 6 v chia ht cho 3 Li gii Gi cn l s cỏc s cú n ch s lp t cỏc ch s 3, 4, 5, 6 v chia ht cho 3 Gi l mt nghim ca phng trỡnh 2 + + 1 = 0 Khi ú 3 = 1 v 2k + k + 1 nhn giỏ tr = 0 nu k khụng chia ht cho 3 v = 3 nu k chia ht cho 3 Xột a thc P(x) = (x3 + x4 + x5 + x6 )n D thy cn chớnh l bng tng cỏc h s ca cỏc s m chia ht cho 3 trong khai trin ca P(x) Núi cỏch khỏc, nu P(x)... nờn ta cú 2n cn = a3k = k=0 4n + 2 3 Bi toỏn 11 (VMO, 2015) Cho K N Tỡm s cỏc s t nhiờn n khụng vt quỏ 10K tha món ng thi cỏc iu kin sau: i) n chia ht cho 3 ii) Tt c cỏc ch s trong biu din thp phõn ca n u thuc tp hp A = {2, 0, 1, 5} 14 Tp chớ online ca cng ng nhng ngi yờu Toỏn Li gii Vỡ 10K khụng chia ht cho 3 nờn ta ch cn xột cỏc s t 0 cho n 99 ã ã ã 9 (K ch s 9) B sung cỏc ch s 0 vo trc nu cn thit,... 0 vo trc nu cn thit, ta a v xột cỏc s cú dng a1 a2 ã ã ã aK vi ai thuc {2, 0, 1, 5} Ta cn m cỏc s nh vy v chia ht cho 3 Chỳ ý l a1 ã ã ã aK chia ht cho 3 khi v ch khi a1 +ã ã ã+aK chia ht cho 3, ta a bi toỏn v vic m s cỏc b (a1 , a2 , , aK ) AK sao cho a1 + a2 + ã ã ã + aK chia ht cho 3 Tip theo, hon ton tng t nh bi trờn, xột a thc: P(x) = (x2 + 1 + x + x5 )K Ta cú P(x) = (x2 + x + 1 + x5 )k... cht (), ta suy ra S = 4 3 nu K khụng chia ht cho 3 v K +2 S = 4 3 nu K chia ht cho 3 15 Tp chớ online ca cng ng nhng ngi yờu Toỏn Khi ta lm vic vi cỏc tp con, tc l cỏc t hp khụng lp thỡ mụ hỡnh nhng a thc trờn õy khụng s dng c na Vi cỏc bi toỏn ny, ta cn n mt mụ hỡnh khỏc Bi toỏn 12 Cho X = {0, 1, , 25} Tỡm s cỏc tp con 7 phn t cú tng cỏc phn t chia ht cho 19 Li gii Vi mi tp con A X, gi S(A) l tng... cos 2n + 1 = 0, 3 tc n phi l s khụng chia ht cho 3 Vy vi n = 3k + 1 hoc n = 3k + 2 thỡ P(x) chia ht cho Q(x) Trong vớ d di õy, mt ln na, cn ca n v li úng vai trũ then cht trong vic i n li gii Bi toỏn 8 (USAMO, 1976) Cho P(x), Q(x), R(x), S(x) l cỏc a thc sao cho P(x5 ) + x ã Q(x5 ) + x2 ã R(x5 ) = (x4 + x3 + x2 + x + 1) ã S(x) (1) Chng minh rng P(x) chia ht cho x 1 2i Li gii t = e 5 thỡ 5 = 1 Thay... 4K Hn na s cỏc b (a1 , , aK ) AK sao cho a1 + a2 + ã ã ã + aK bng tng cỏc h s ca cỏc s m chia ht cho 3 trong P(x) t P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + ã ã ã Ta cn tớnh: S = a0 + a3 + a6 + ã ã ã Gi l nghim ca phng trỡnh x2 + x + 1 = 0 thỡ ta cú 3 = 1 T ú d dng suy ra 1 + k + 2k nhn giỏ tr bng 0 vi mi k khụng chia ht cho 3 v bng 3 vi k chia ht cho 3 () Ta cú P(1) = a0 + a1 + a2 + a3 +... nh toỏn hc c ngi Hy lp ó mụ t thut toỏn ny trong cun c s (Elements) 19 Tp chớ online ca cng ng nhng ngi yờu Toỏn í tng chớnh ca thut toỏn ny l: Nu k, r l hai s nguyờn sao cho a = kb + r thỡ: SCLN(a, b) = SCLN(r, b) Trong thut toỏn Euclid, ta s chn k l phn nguyờn ca phộp chia a cho b (k = a/b ), cũn r l phn d khi chia a cho b (r = a a/b ã b) Thut toỏn ny c mụ t dng biu Hỡnh 4.1 Vớ d nu mun tỡm SCLN... húa bi toỏn trờn chỳng ta xột vn sau õy: VN PHC HI S HU T: Cho hai s nguyờn dng K, M hóy tỡm hai s nguyờn dng u, v sao cho: DK1 : DK2 : 0 u, v < N u K 1 v M M (N l s nguyờn dng cho trc) u K (2 phõn s , gn bng nhau) v M (1) (2) Paul Wang ó nghiờn cu vn phc hi s hu t trong trng hp N = M 2 Vi la chn ny ta cú th chng minh rng nu tn ti li gii cho vn phc hi s hu t thỡ li gii ny l duy nht Thc vy, gi s... sao cho q 2 < 0, 001 27 28 Lt Q r1 r2 v1 v2 r = 158 v = 727 u = Kv r = 142 M 1 2 3 4 5 6 5 8 2 1 5 195323246 23383770 8253086 6877598 1375488 Xut 23383770 8253086 6877598 1375488 158 (158, 727); 1 5 41 87 128 5 41 87 128 727 STOP; M/2 = 22360, 7 Bng 1.1: Vớ d minh ha cho thut toỏn RATCONVERT 1000000000 195323246 0 1 Bt u M = 1000000000 K = 195323246 Tp chớ online ca cng ng nhng ngi yờu Toỏn Tp chớ online . chí online của cộng đồng những người yêu Toán LỜI NGỎ Ban biên tập Epsilon Epsilon, tức là rất nhỏ, nhưng không bằng 0. Và nhiều epsilon cộng lại có thể trở thành những cái đáng kể. Có thể là 1,. thể là 1, là 2, có thể là vô cùng. Điều quan trọng là ta có biết cách kết hợp các epsilon khác nhau lại hay không. Epsilon là tờ báo của cộng đồng, dành cho cộng đồng. Nó là một sự khởi đầu. Còn. đều đặn, đúng hạn, Epsilon sẽ không có bất cứ một giới hạn về số trang của một kỳ, số trang của một bài, và cũng không giới hạn chủ đề, không bắt buộc phải có mục này, mục kia. Chủ đề của Epsilon đa