Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B 2 học tốt tích phân A. MỞ ĐẦU: 1. Lí do chọn đề tài: Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học nói riêng và trong toán học nói chung, không những như là đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, lý thuyết về hàm số. Ngoài ra phép tính vi phân còn được sử dụng nhiều trong các khoa học khác như vật lý thiên văn học, cơ học…nó như là một giải pháp hữu hiệu của các mô hình toán học cụ thể. Bài toán tích phân đổi biến dạng 1, từng phần chiếm tần suất cao trong các đề thi nhưng học sinh lớp12 khi ôn thi Tốt nghiệp phổ thông, thi Đại học – Cao đẳng thường gặp khó khăn khi giải các bài tập tích phân. Những người mới học chưa có phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán thực tế Một lý do không kém phần quan trọng là trong chương trình sách giáo khoa giải tích lớp 12 (chuẩn) hiện hành được trình bày rất ít, hạn hẹp trong 4 tiết lý thuyết và 3 tiết luyện tập, giới thiệu sơ lược ví dụ và bài tập đưa ra sau bài học rất hạn chế. Do số tiết phân phối chương trình nên trong quá trình giảng dạy giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho mỗi dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế để giải được bài toán tích phân đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn, thuần thục. Với tất cả những lí do trên thúc đẩy tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm “Giải pháp giúp học sinh lớp 12B 2 học tốt tích phân” 2. Đối tượng nghiên cứu: - 1 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B 2 học tốt tích phân - Học sinh lớp 12B2 trường THPT Lộc Hưng. - Giải pháp giúp học sinh học tốt Tích phân (theo chuẩn Toán 12 cơ bản). 3. Phạm vi của đề tài: Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12B2 trường THPT Lộc Hưng. 4. Phương pháp nghiên cứu: 4.1 Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài: - Sách giáo khoa, sách giáo viên Giải tích lớp 12, tài liệu chuẩn kiến thức kỹ năng 4.2 Điều tra: - Nắm chất lượng học sinh: Đa số là học sinh yếu, kém; khả năng tư duy không có. Các em thường sợ tích phân, bỏ qua và không hứng thú. Các em thụ động và không biết bắt đầu bài toán từ đâu. Thường xuyên cho các em làm kiểm tra khoảng 5 – 7 phút (xác suất hoặc cả lớp) vào đầu giờ để kịp thời phát hiện, điều chỉnh những sai sót của các em trong tiếp thu, trình bày bài giải - Đàm thoại: - 2 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B 2 học tốt tích phân + Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp với phân môn. + Thường xuyên trao đổi với các em để biết được khả năng tiếp thu bài, khả năng vận dụng lý thuyết vào giải bài tập của các em. - Thực nghiệm và kiểm tra: Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực nghiệm lớp 12B2 của trường như sau: Lớp: 12B2 (2010-2011): thực nghiệm Lớp: 12B2 (2009-2010): đối chứng 4.3 Giả thuyết khoa học: Trong tiết dạy tích phân giáo viên hướng dẫn, giúp các em nhận dạng, nêu rõ ràng về phương pháp giải của từng dạng từ đó học sinh sẽ hiểu bài, làm bài tốt; kết quả kiểm tra một tiết, thi HKII khả quan hơn B. Nội dung: 1. Cơ sở lí luận: Định lí: (phương pháp đổi biến số) Cho hàm số f(x) liên tục trên [ ] ;a b . Giả sử hàm số x = ( ) t ϕ có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] ; α β sao cho ( ) ( ) ,a b ϕ α ϕ β = = và ( ) a t b ϕ ≤ ≤ với mọi t [ ] ; α β ∈ Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) b a f x dx f t t dt β α ϕ ϕ ′ = ∫ ∫ - 3 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B 2 học tốt tích phân Định lí: (phương pháp tích phân từng phần) Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì ( ) '( ) b a u x v x dx ∫ ( ( ) ( )) '( ) ( ) b b a a u x v x u x v x dx= − ∫ hay b b b a a a u dv uv vdu= − ∫ ∫ Nếu lần đầu tiên tiếp xúc bài toán tích phân mặc dù có nhớ định lí học sinh không biết bắt đầu từ đâu (do không nhận được dạng; không biết đó là bài tích phân loại nào, cách giải ra sao) Với đặc điểm, đặc thù như vậy, giáo viên cần giúp học sinh nhận đúng dạng, nắm chắc phương pháp giải của từng dạng. 2. Cơ sở thực tiễn: 2.1 Thực trạng sách giáo khoa và sách giáo viên lớp 12: - Sách giáo khoa: trình bày lý thuyết, cho ví dụ và bài tập nhưng ví dụ và bài tập khác dạng - Sách giáo viên: Có hướng dẫn cụ thể nhưng về chi tiết và thủ thuật thì chưa cụ thể. 2.2 Thực trạng việc học của học sinh: Đa số học sinh từ trung bình trở xuống - Học sinh thường lúng túng. - Kiến thức hệ thống bài tập cơ bản chưa nắm chắc - Khả năng tưởng tượng, tư duy logic còn hạn chế. - Ý thức học tập của học sinh chưa được tốt - 4 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B 2 học tốt tích phân - Đa số học sinh có tâm lí sợ gặp bài toán tích phân Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2009-2010: Lớp TSHS Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu TS % TS % 12B2 42 19 45.2 23 54.8 2.3 Sự cần thiết của đề tài: Tích phân là môn học khó đòi hỏi sự tư duy phân tích của người học và khó cho giáo viên trong việc truyền thụ kiến thức. Người dạy cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ, việc này cần thực hiện ngay từ đầu và trong từng tiết học bằng biện pháp rèn luyện tích cực: phân dạng và phương pháp giải cụ thể cho từng dạng 3. Nội dung vấn đề: 3.1 Vấn đề được đặt ra: Điều quan tâm lớn nhất của người giáo viên làm sao giúp học sinh phát triển năng lực và trí tuệ, rèn cho học sinh kỹ năng tư duy tích cực, độc lập sáng tạo. Đối với đối tượng học sinh yếu kém để đạt được điều đó giáo viên cần giúp học sinh nhận dạng cùng cách giải đối với những bài đơn giản để từ đó hình thành kỹ năng cho các em; giúp nâng cao chất lượng học tập cũng như chất lượng dạy trong từng tiết học. 3.2 Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm: Để hoàn thành đề tài, chúng tôi đã tiến hành các bước sau: - Chọn đề tài. - Điều tra thực trạng. - 5 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B 2 học tốt tích phân - Nghiên cứu đề tài. - Xây dựng đề cương và lập kế hoạch. - Tiến hành nghiên cứu. - Thống kê so sánh. - Viết đề tài. 3.3 Những giải pháp giúp học sinh lớp 12B2 trường THPT Lộc Hưng học tốt Tích phân: Do Tích phân khó đối với học sinh lớp 12 nên giáo viên cần phải nắm vững thủ thuật giải toán, các cách giải khác nhau của cùng bài toán (nếu có) Học sinh cần phải: - Thuộc bảng nguyên hàm, định nghĩa, định lí - Nắm từng dạng cùng cách giải - Dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả 3.3.1 Phương pháp đổi biến số dạng 1: Khi đổi biến điều quan trọng là chọn được biến mới sao cho tích phân theo biến mới đơn giản hơn so với tích phân ban đầu và gắn liền với việc đổi biến là phải đổi cận Trên tinh thần giúp cho học sinh nhận được dạng làm quen dần từ dễ đến khó, tôi chia thành 4 dạng phổ thông thường gặp sau: Dạng 1: Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo lũy thừa thì ta đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có lũy thừa cao nhất - 6 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B 2 học tốt tích phân Ví dụ1: Tính tích phân 1 2 3 0 ( 1)( 2 1)I x x x dx= + + − ∫ Nhận xét đề bài có chứa hai ngoặc trong đó ngoặc có lũy thừa 3 cao nhất, do đó ta đặt t = x 2 + 2x – 1 Bài giải: Tính 1 2 3 0 ( 1)( 2 1)I x x x dx= + + − ∫ Đặt t = x 2 + 2x – 1 dt = ( 2x + 2)dx = 2( x + 1)dx ( ) 1 2 dt x dx⇒ + = Đổi cận x = 0 ⇒ t = -1; x = 1 ⇒ t = 2 Do đó 1 2 3 0 ( 1)( 2 1)I x x x dx= + + − ∫ = ( ) 2 4 2 4 4 3 1 1 1 2 15 2 8 8 8 8 dt t t − − − = = − = ∫ Ví dụ 2: Tính ( ) 2 5 1 1J x x dx= − ∫ Tương tự ví dụ 1, ta thấy ngoặc chứa lũy thừa cao nhất là 5 nên đặt t = 1 – x Đặt t = 1 – x dt = - dx dx dt⇒ = − Đổi cận x = 1 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = -1 Nhưng khi thay vào J còn chứa hai biến x, t (không thỏa). Muốn vậy ta thay x = 1 – t (vì đặt t = 1 – x) Lúc đó: ( ) 2 5 1 1J x x dx= − ∫ = ( ) 1 0 5 5 6 0 1 (1 ) ( )t t dt t t dt − − − − = − ∫ ∫ = 0 6 7 1 13 6 7 42 t t −   = − = −  ÷   - 7 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B 2 học tốt tích phân Ví dụ 3: Tính K = ( ) 2 1 ln ( 2010) 2 ln e x dx DHKB x x − + ∫ Đặt t = 2 + lnx, dt = 1 dx x Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2; x = e ⇒ t = 3 Khi đó K = 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ln t dt dt t t t t t −     = − = +  ÷  ÷     ∫ ∫ ( ) 2 3 1 ln3 ln2 1 ln 3 2 3   = + − + = −  ÷   Lưu ý đối với bài này học sinh có thể đặt t = lnx, nhưng việc tính tích phân khi chuyển về biến t phức tạp hơn Ví dụ 4: Tính L = 2 3 2 3 sin cosx xdx π π ∫ Đối với bài này mặc dù mũ 3 cao nhất nhưng ta không đặt t = sinx được (vì tích phân mới không chuyển hoàn toàn về theo biến t) Gặp tích phân chứa hàm lượng giác đôi khi ta phải dùng các công thức lượng giác cơ bản, công thức hạ bậc, nhân đôi, biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích …trước rồi mới đặt Bài giải: L = 2 3 2 3 sin cosx xdx π π ∫ = ( ) 2 2 2 3 1 cos cos sinx x xdx π π − ∫ Đặt t = cosx, dt = -sinxdx sin xdx dt⇒ = − - 8 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B 2 học tốt tích phân Đổi cận: x = 3 π 1 2 t⇒ = ; x = 2 π 0t ⇒ = Do đó L = ( ) ( ) 1 0 2 2 2 2 4 1 0 2 1 ( )t t dt t t dt− − = − ∫ ∫ 1 3 5 2 0 17 3 5 480 t t   = − =  ÷   Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau a. ( ) 3 2 3 0 2 1 x dx x+ ∫ HD: đặt t = 1 + x ( ) ln 3 3 0 . 1 x x e b dx e + ∫ HD: đặt t = e x + 1 12 2 0 1 . cos 3 (1 tan3 ) c dx x x π + ∫ HD: đặt t = 1 + tan 3x Dạng 2: Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số Ví dụ 1: Tính I = ( ) 1 0 1 1 x x e x dx xe + + ∫ Bài giải: Đặt t = 1 + xe x ⇒ dt = (1 + x)e x dx Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 1 + e Khi đó: I = ( ) 1 0 1 1 x x e x dx xe + + ∫ = 1 1 1 1 1 ln ln(1 ) e e dt t e t + + = = + ∫ - 9 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B 2 học tốt tích phân Ví dụ 2: Tính J = 2 1 ln e e dx x x ∫ Nhận xét: ta có mẫu chứa xlnx nhưng ta không đặt hoàn toàn t = xlnx vì như thế dt = (lnx + 1)dx không có trong đề bài. Khi làm bài tập về đổi biến giáo viên nhắc nhở học sinh không đặt t = x và không tham lam khi đặt; ta đặt biến t và thử nhẩm xem đạo hàm của t có trong đề bài không, nếu có yên tâm khả năng chuyển hết về biến mới rất cao. Bài giải: Tính J = 2 1 ln e e dx x x ∫ = 2 1 1 . ln e e dx x x ∫ Đặt t = lnx; dt = 1 dx x Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = e 2 ⇒ t = 2 Khi đó J = 2 2 1 1 1 ln ln 2dt t t = = ∫ Bài tập tự luyện: 2 0 sin . 1 3cos x a dx x π + ∫ 1 2 1 2 . 1 x b dx x − + ∫ 3 2 2 2 1 . 2 x c dx x x + + − ∫ Dạng 3: Nếu hàm có chứa căn thức, đặt t bằng căn thức (hoặc biểu thức dưới dấu căn) Ví dụ 1: Tính I = ln6 ln4 1 x x e dx e − ∫ Đặt t = 1 x e − Suy ra 2tdt = e x dx - 10 - [...]... tập kinh nghiệm từ đồng nghiệp 1 Bài học kinh nghiệm: - 25 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân Qua thử nghiệm đã nêu, Tôi thấy giờ dạy tích phân không còn không khí nặng nề như trước, học sinh đã bước đầu nhận được dạng, biết xuất phát từ đâu, tự giải được bài toán tích phân Điều đó cho thấy để giúp được học sinh yếu kém lớp 12 học tốt toán tích phân giáo viên cần hướng dẫn cụ thể, giúp. .. viên lớp 12 .03 2.2 Thực trạng việc học của học sinh 03 2.3 Sự cần thiết của đề tài 03 3- Nội dung vấn đề .03 3.1- Vấn đề được đặt ra 03 - 28 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân 3.2- Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm 03 3.3- Những giải pháp giúp học sinh lớp 12B2 trường THPT Lộc Hưng học tốt Tích phân 3.3.1 Phương pháp. .. dụng tích phân lại trở về ban đầu π 2 Bài tập tự luyện: Tính M = e3 x sin 5 xdx ∫ 0 3π du = 3e3 x dx u = e3 x  3e 2 + 5 ⇒ HD: Đặt  KQ: M = 1 dv = sin 5 xdx v = − cos5 x  34 5  3.4 Kết quả cụ thể: Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều tiến bộ qua tiết học, lớp được dạy thử nghiệm 12B2 - 24 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân Đối tượng học sinh 12B2... phương pháp giảng dạy tích phân tốt hơn 2 Hướng phổ biến áp dụng đề tài: Đề tài đã được thực hiện có hiệu quả ở lớp 12B 2và sẽ được phổ biến trong tổ chuyên môn khối 12 cơ bản trường THPT Lộc Hưng 3 Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài: Hướng dẫn học sinh khối 12 trường THPT Lộc Hưng kỹ năng giải hoàn chỉnh bài toán tích phân - 26 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân Lộc Hưng, ngày 20... học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân 4 Sách bài tập giải tích 12 – Nguyễn Huy Đoan chủ biên 5 Tài liệu bồi dưỡng giáo viên – Khu Quốc Anh 6 Các đề thi TNPT, ĐH-CĐ - 30 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân NHẬN XÉT GÓP Ý 1 Ý kiến phê duyệt đề tài của tổ chuyên môn trường THPT Lộc Hưng 2 Ý kiến. .. thấy học sinh có tiến bộ qua kiểm tra Nhiều em yếu, kém giải rất tốt toán tích phân Tạo điều kiện cho tôi tiếp tục áp dụng kết quả đạt được cho những năm học sau C- KẾT LUẬN: Để có thể đạt được mục đích đề ra của sáng kiến kinh nghiệm là giúp học sinh 12B2 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân, Tôi nghiên cứu tìm hiểu thêm các tài liệu chuyên môn, chọn lọc sắp xếp bài tập cùng dạng từ dễ đến khó; học. .. pháp tích phân từng phần 3.4- Kết quả cụ thể 18 C- KẾT LUẬN 19 1- Bài học kinh nghiệm 19 2- Hướng phổ biến áp dụng đề tài 19 3- Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa giải tích 12 – Trần Văn Hạo chủ biên 2 Sách giáo khoa giải tích 12 – Đoàn Quỳnh chủ biên 3 Sách bài tập giải tích 12 – Vũ Tuấn chủ biên - 29 - Giải pháp giúp học. .. thích hợp đảm bảo hai nguyên tắc cơ bản sau - Chọn u,v sao cho du đơn giản, dv dễ tính - 15 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân b b a a - Tích phân ∫ vdu dễ tính hơn so với ∫ udv Giáo viên lưu ý khi tính tích phân từng phân không có bước đổi cận Sau đây là một số dạng (thường được dùng trong tích phân từng phần) b k 1 Dạng 1: I = ∫ P( x) ln f ( x ) dx a  f ′( x) du = k ln k −1 f ( x)... giúp các em nhìn nhận dạng cùng cách giải, đi từ bài toán dễ đến nâng cao dần; để thực hiện được điều đó giáo viên cần phải tích cực nghiên cứu tài liệu, trao dồi năng lực chuyên môn, lắng nghe ý kiến góp ý của đồng nghiệp cùng sự phản hồi từ học sinh Khi nghiên cứu đề tài Giải pháp giúp học sinh lớp 12B 2 học tốt tích phân , Tôi nhận thấy bản thân tôi đã mở rộng thêm kiến thức, nâng cao sự hiểu biết... vdu b a a Nhận dạng: hàm số dưới dấu tích phân thường là tích hai hàm số khác nhau Ý nghĩa: đưa một tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn Trong nhiều trường hợp khi sử dụng tích phân từng phần sẽ giảm bớt hàm số dưới dấu tích phân và chỉ còn một hàm số dưới dấu tích phân b Như vậy để tính ∫ udv ta chuyển về tính a b ∫ vdu , điều quan trọng nhất a khi tính tích phân từng phần là phải chọn u, v thích . tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp giúp học sinh lớp 12B 2 học tốt tích phân 2. Đối tượng nghiên cứu: - 1 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B 2 học tốt tích phân - Học sinh lớp 12B2 trường. logic còn hạn chế. - Ý thức học tập của học sinh chưa được tốt - 4 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B 2 học tốt tích phân - Đa số học sinh có tâm lí sợ gặp bài toán tích phân Chất lượng thực tế. Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B 2 học tốt tích phân A. MỞ ĐẦU: 1. Lí do chọn đề tài: Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học nói riêng và trong toán học nói