GV:Lương Thanh Phượng WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán 11 I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Chú ý : 1) A B có nghĩa khi B 0≠ (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A 0≥ 2) 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ 3) sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2 2 2 x x k k k π π π π π = ⇔ = ⇔ + ⇔ − + 4) os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2 2 c x x k c k c k π π π π π = ⇔ = + ⇔ ⇔ + 5) Hàm số y = tanx xác định khi 2 x k π π ≠ + Hàm số y = cotx xác định khi x k π ≠ Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1 2 x x + + 3) y = sin 4x + 4) y = cos 2 3 2x x− + 5) y = 2 os2xc 6) y = 2 sinx− 7) y = 1 osx 1-sinx c+ 8) y = tan(x + 4 π ) 9) y = cot(2x - ) 3 π 10) y = 1 1 sinx 2 osxc − II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin 2 (-x) = [ ] 2 sin(-x) = (-sinx) 2 = sin 2 x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra ,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀ Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng − = →   − = − →   − ≠ ± →  0 0 0 ( ) ( ) ch½n ( ) ( ) lÎ Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n, kh«ng lÎ f x f x f f x f x f f x f x f Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 4) y = 1 2 tan 2 x 5) y = sin x + x 2 6) y = cos 3x Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [ ] ;−π π 2) y = -2cos 2 3 x π   +  ÷   trên đoạn 2 ; 3 3 π π   −     IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ ; 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ; A 2 + B ≥ B Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x- 2 π ) + 3 2) y = 3 – 1 2 cos2x 3) y = -1 - 2 os (2x + ) 3 c π 4) y = 2 1 os(4x )c+ - 2 5) y = 2 sinx 3+ 6) y = 5cos 4 x π + 7) y = 2 sin 4sinx + 3x − 8) y = 2 4 3 os 3 1c x− + Chú ý : Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 1 GV:Lương Thanh Phượng WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn 11 Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = sinx trên đoạn ; 2 3 π π   − −     2) y = cosx trên đoạn ; 2 2 π π   −     3) y = sinx trên đoạn ;0 2 π   −     4) y = cos π x trên đoạn 1 3 ; 4 2       1/Phương trình lượng giác cơ bản . sin u = sin v ⇔    +−= += ππ π 2 2 kvu kvu ( k ∈ Z ) cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z ) tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) 2/ Phương trình đặc biệt : sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = - 2 π + k2π cosx = 0 ⇔ x = 2 π + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π . 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a 2 + b 2 ≠ 0 Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ )cos(. 22 ϕ −+ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ asinx +bcosx = c ⇔ )sin(. 22 ϕ ++ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ . Cách 2 : Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z Với x ≠ π + kπ đặt t = tan 2 x ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t 2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a 2 + b 2 - c 2 ≥ 0 . Bài tập :Giải các phương trình sau: 1. 2sincos3 =− xx , 2. 1sin3cos −=− xx 3. xxx 3sin419cos33sin3 3 +=− , 4. 4 1 ) 4 (cossin 44 =++ π xx 5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− , 6. tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x − = + 7. 3(1 cos 2 ) cos 2sin x x x − = 8. 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2cos 2 x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin 4 x + cos 4 x) = 2sin2x – 1 5. sin 4 2x + cos 4 2x = 1 – 2sin4x 6. x x 2 cos 3 4 cos = 7. 2 3 3 2tan cos x x = + 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 2 GV:Lương Thanh Phượng WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn 11 9. 2 6sin 3 cos12 4x x+ = 10. 4 2 4sin 12cos 7x x+ = 5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin 2 x +b sinx cosx + c cos 2 x = 0 . Cách 1 : • Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . • Xét cos 0x ≠ chia hai vế của phương trình cho cos 2 x rồi đặt t = tanx. Cách 2: Thay sin 2 x = 2 1 (1 – cos 2x ), cos 2 x = 2 1 (1+ cos 2x) , sinxcosx = 2 1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = 2 π + kπ ,k∈Z. Bài tập : 1. 2sin 2 x – 5sinx.cosx – cos 2 x = - 2 2. 3sin 2 x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos 2 x = 0 3. 4sin 2 x +3 3 sin2x – 2cos 2 x = 4 4. 6sinx – 2cos 3 x = 5sin2x.cosx. 5. 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x+ − = 6/ Phương trình dạng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . Đặt t = cosx + sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 2 1 2 −t Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t . Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 2 1 2 t − Bài tập : Giải các phương trình sau : 1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7. Các phương trình lượng giác khác. Bài 1: Giải các phương trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos 2 x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg 2 x + 3 = xcos 3 , 6/ 4sin 4 +12cos 2 x = 7 Bài 2 : Giải các phương trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx 2/ x x 2 cos 3 4 cos = ĐS : x = k3π , x= ± 4 π +k3π , x = ± 4 5 π +k3π 3/ 1+ sin 2 x sinx - cos 2 x sin 2 x = 2cos 2 ( − 4 π 2 x ) ĐS: sinx =1 v sin 2 x = 1 Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 3 GV:Lương Thanh Phượng WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn 11 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - 4 π + k π 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = xcos 1 ĐS : x = k2π , x = ± 3 π +k2π 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos 2 x ĐS : cosx = 0 , cos 2x = 2 1 7/ 2cos 2 2x +cos 2x = 4sin 2 2xcos 2 x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan 2 x 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin 2 x + sin 2 3x = 3cos 2 2x HD :đặt t =cos 2x 12/ tan 3 ( x - 4 π ) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x = 4 π + kπ 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = 4 π + kπ 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX. Giải các phương trình sau : 1/ sin 2 x + 2sin 2x –3 +7cos 2 x = 0 . 2/ cos 3 x – sin 3 x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x 4/ sin 3 x + cos 3 x = 2( sin 5 x + cos 5 x ) ĐS : x= 4 π + 2 π k 5/ sin 3 (x - 4 π ) = 2 sinx ĐS : x = 4 π +kπ 6/ 3cos 4 x – sin 2 2x + sin 4 x = 0 ĐS :x = ± 3 π + kπ v x= 4 π + 2 π k 7/ 3sin 4 x +5cos 4 x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos 3 x = 5sin 2x cosx III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG . Giải các phương trình sau : 1/ cos 3 x + sin 3 x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos 3 x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin 3 x + cos 3 x = 2 3 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin 3 x – cos 3 x = 1 + sinxcosx 6/ 3 10 cossin sin 1 cos 1 =+++ xx xx 7/ tanx + tan 2 x + tan 3 x + cotx+cot 2 x +cot 3 x = 6 8/ x 2 sin 2 + 2tan 2 x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos 3 x – sin 3 x = sin 2x 10/ cos 3 x – sin 3 x = - 1 11/ 2cos 2x + sin 2 x cosx + cos 2 x sinx = 2( sinx + cosx ). IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC . Giải các phương trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 4 GV:Lương Thanh Phượng WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán 11 3/ sin 2 x + sin 2 3x – 3cos 2 2x = 0 4/ cos3x cos 3 x – sin3xsin 3 x = cos 3 4x + 4 1 5/ sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x 8/ sin 4 x + cos 4 x – cos 2 x = 1 – 2sin 2 x cos 2 x 9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin 3 x. 10/ x x xx sin cos1 sincos = − + 11/ sin 2 ) 42 ( π − x tan 2 x – cos 2 2 x = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = xsin 1 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin 2 x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan 2 x + tan2x ) 15/ 32cos) 2sin21 3sin3cos (sin5 += + + + x x xx x 16/ sin 2 3x – cos 2 4x = sin 2 5x – cos 2 6x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 2 4 4 (2 sin 2 )sin3 tan 1 cos x x x x − + = 19/ tanx +cosx – cos 2 x = sinx (1+tanx.tan 2 x ) 20/ cotx – 1 = 2 cos2 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x + − + 21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx = Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 5 GV:Lương Thanh Phượng WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán 11 D. TOÅ HÔÏP Tóm tắt giáo khoa I. Quy tắc đếm 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P n là: P n = n! = 1.2.3…n 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số k ∈¥ mà 1 k n≤ ≤ . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k n A là: ( ) ( ) ( ) k n n! A n. n 1 n k 1 n k ! = − − + = − . 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k ∈¥ mà 1 k n≤ ≤ . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k n C là: ( ) ( ) ( ) k n n n 1 n k 1 n! C k! n k ! k! − − + = = − c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: ( ) ( ) * k n k n n k k k 1 n 1 n n Cho a, k : C C 0 k n C C C 1 k n − − + ∈ = ≤ ≤ = + ≤ ≤ ¥ III. Khai triển nhị thức Newton ( ) n n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n n n n n n k 0 a b C a b C a C a b C a b C b − − − = + = = + + + + + ∑ Nhận xét: – Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng. – Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. – Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. – Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu T k+1 thì: k n k k k 1 n T C a b − + = – 0 1 2 n n n n n n C C C C 2 + + + + = – ( ) ( ) k n 0 1 2 3 k n n n n n n n C C C C 1 C 1 C 0 − + − + + − + + − = Chú ý: – ( ) n n k n k k n k 0 a b C a b − = + = ∑ là khai triển theo số mũ của a giảm dần. – ( ) n n k k n k n k 0 a b C a b − = + = ∑ là khai triển theo số mũ của a tăng dần. Các Dạng bài toán cơ bản Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 6 GV:Lương Thanh Phượng WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán 11 Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân. Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2: Cho tập { } A 0;1;2;3;4= . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? Bài 3: Từ tập { } A 1,2,3,4,5= hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị Phương pháp giải: • Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: P n = n! = 1.2.3…n • Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử: ( ) ( ) ( ) k n n! A n. n 1 n k 1 n k ! = − − + = − Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? Bài 6: Từ tập { } A 0,1,2,3,4,5= có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử: ( ) ( ) k n n! C 0 k n k! n k ! = ≤ ≤ − Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? Dạng 5: Tìm * n ∈ ¥ trong phương trình chứa k k n n n P , A ,C Phương pháp giải: Dùng các công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k n n n n! n! P n! n 1 ; A n n 1 n k 1 1 k n ; C 0 k n n k ! k! n k ! = ≥ = − − + = ≤ ≤ = ≤ ≤ − − Bài 8: Tìm * n ∈¥ , nếu có: ( ) 3 n n n 1 2P A 1 P − = . Bài 9: Tìm * n ∈¥ , nếu có: ( ) 3 3 n n 1 6n 6 C C . 2 + − + ≥ Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b) n . Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton: ( ) n n k n k k 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n n n n n n n k 0 a b C a b C a C a b C a b C a b C b − − − − = + = = + + + + + + ∑ (khai triển theo lũy thừa của a tăng, b giảm) (Chú ý: ( ) n n k k n k n k 0 a b C a b − = + = ∑ khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần) Bài 10: Tìm số hạng chứa x 3 trong khai triển (11 + x) 11 . Bài 11: Trong khai triển 10 3 3 2 x x   −  ÷   , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x. Bài 12: Tìm hệ số của x 8 trong khai triển ( ) 8 2 1 x 1 x   + −   Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 7 GV:Lương Thanh Phượng WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn 11 Bài 13: Cho khai triển: ( ) 10 2 10 0 1 2 10 1 2x a a x a x a x+ = + + + + , có các hệ số 0 1 2 10 a ,a , a , , a . Tìm hệ số lớn nhất Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau 1) Số hạng thứ 13 trong khai triển 25 (3 x)- 2) Số hạng thứ 18 trong khai triển 2 25 (2 x )- 3) Số hạng khơng chứa x trong khai triển 12 1 x x ỉ ư ÷ ç + ÷ ç ÷ ÷ ç è ø 4) 32) Số hạng khơng chứa x trong khai triển 12 28 3 15 x x x - ỉ ư ÷ ç ÷ ç + ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø 5) 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển 21 3 3 a b b a ỉ ư ÷ ç ÷ + ç ÷ ç ÷ ç è ø Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau 1) Hệ số của số hạng chứa 4 x trong khai triển 12 x 3 3 x ỉ ư ÷ ç - ÷ ç ÷ ÷ ç è ø 2) Hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển 12 5 3 1 x x ỉ ư ÷ ç + ÷ ç ÷ ÷ ç è ø 3) Hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển 8 2 1 x (1 x) é ù + - ê ú ë û 4) Hệ số của số hạng chứa 5 x trong khai triển ( ) 10 2 3 1 x x x+ + + 5) Hệ số của số hạng chứa 3 x trong khai triển 2 10 (x x 2)- + 6) Hệ số của số hạng chứa 4 x trong khai triển 2 10 (1 x 3x )+ + 7) Hệ số của số hạng chứa 3 x trong khai triển: 8) 3 4 5 50 S(x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x)= + + + + + + + + 9) Hệ số của số hạng chứa 3 x trong khai triển: 10) 3 4 5 22 S(x) (1 2x) (1 2x) (1 2x) (1 2x)= + + + + + + + + 11)Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển 10 10 (1 x) (x 1)+ + . Dạng 7: Tìm tổng có chứa k n C Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết quả. Bài 16: Tính tổng: ( ) ( ) k n 0 1 2 n 0 1 2 k n 1 n n n n 2 n n n n n S C C C C ; S C C C 1 C 1 C= + + + + = − + − + − + + − Bài 17: Tính tổng: 0 2 4 2n 1 3 2n 1 3 2n 2n 2n 2n 4 2n 2n 2n S C C C C ; S C C C − = + + + + = + + + Bài 18: Tính tổng: ( ) n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n T C 2C 2 C 2 C 2 C= − + − + + − E. CẤP SỐ CỘNG Kiến thức cần nhớ: Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 8 GV:Lương Thanh Phượng WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn 11 1. Đònh nghóa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai. Gọi d là công sai, theo đònh nghóa ta có: u n+1 = u n + d (n = 1, 2, ). Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau. Để chỉ rằng dãy số (u n ) là một cấp số cộng,ta kí hiệu ÷ u 1 , u 2 , , u n , 2. Số hạng tổng quát Đònh lí: Số hạng tổng quát u n của một cấp số cộng có số hạng đầu u 1 và công sai d được cho bởi công thức: u n = u 1 + (n - 1)d 3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng Đònh lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là 2 11 +− + = kk k uu u (k ≥ 2). 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng Đònh lí: Để tính S n tacó hai công thức sau: • S n tính theo u 1 và d [ ] dnu n S n )1(2 2 1 −+= • S n tính theo u 1 và u n )( 2 1 nn uu n S += BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: , 8,5,2/÷a tìm u 15 . , 32,4,32/ −+÷b tìmu 20 . ĐS: 31840/ 44/ 20 15 −= = ub ua Bài 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30. Bài 3: Cho cấp số cộng:    =+ =−+ 26 10 64 352 uu uuu Tìm số hạng đầu và công sai của nó. Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165. Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140. Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25. Bài 7: Cho cấp số cộng ÷ u 1 , u 2 , u 3 , Biết u 1 + u 4 + u 7 + u 10 + u 13 + u 16 = 147. Tính u 1 + u 6 + u 11 + u 16 . Bài 8: Một cấp số cộng (a n ) có a 3 + a 13 = 80. Tìm tổng S 15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 9 GV:Lương Thanh Phượng WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn 11 Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó. Bài 10: cho cấp số cộng (a n ) có a 1 = 4, d = -3. Tính a 10 . Bài 11: Tính u 1 , d trong các cấp số cộng sau đây:    = =    = =+ 35 19 /2 129 14 /1 9 5 13 53 u u S uu    =− −=+      = = 72 31 /4 2 45 9 /3 94 103 6 4 uu uu S S ĐS: 1/ u 1 = 13 53 và d = 39 38 ; 2/ u 1 = 3 và d = 4. 3/ u 1 = 0 và d = 2 3 ; 4/ u 1 = và d = . Bài 12: Cho cấp số cộng (u n ) có u 3 = -15, u 14 = 18. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên. Bài 13: Cho cấp số cộng (u n ) có u 1 = 17, d = 3. Tính u 20 và S 20. ĐS: u 20 = 74, S 20 = 910 Bài 14: Cho cấp số cộng (u n ) có a 10 = 10, d = -4. Tính u 1 và S 10 . ĐS: u 1 = 46, S 10 = 280 Bài 15: Cho cấp số cộng (u n ) có u 6 = 17 và u 11 = -1. Tính d và S 11 . ĐS: d = 5 18 − và S 11 = 187 Bài 16: Cho cấp số cộng (u n ) có u 3 = -15, u 4 = 18. Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên. ĐS: S 20 = 1350 CẤP SỐ NHÂN Kiến thức cần nhớ: 1. Đònh nghóa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội. Gọi q là công bội, theo đònh nghóa ta có u n+1 =u n .q (n = 1, 2, ). Đặc biệt: Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u 1 , 0, 0, , 0, Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u 1 , u 1 , , u 1 , Nếu u 1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, , Để chỉ dãy số (u n ) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu u 1 , u 2 , , u n , 2. Số hạng tổng quát Đònh lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức: u n = u 1 1−n q (q 0≠ ) 3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 10 [...]... ≠ 1) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết: 1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 và u6 = 1 2/ Cho q = 1 , n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6 4 Bài 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486 Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó Bài 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết: u 4 − u 2 = 72  u 5 − u 3 = 144 Bài 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48 Bài 5:... 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S khơng nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác Tìm giao tuyến của : a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC) Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 13 WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn 11 2)Cho hình chóp S.ABCDE Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với các mặt phẳng (SAD) ; (SCE) GV:Lương Thanh Phượng 1 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M... 3 = 13  u 4 + u 5 + u 6 = 351 Bài 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21 Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân Tìm ba số đó Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 11 GV:Lương Thanh Phượng Bài tập Tốn 11 WWW.ToanCapBa.Net PHẦN... N a) Chứng minh MN ln đi qua một điểm cố định ? b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ? c)Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN ? 9 Cho hình chóp SABC Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả : SA’ = 1 1 1 SA ; SB’ = SB ; SC’ = SC n +1 2n + 1 3n + 1 a) Chứng minh A’B’ đi qua một điểm cố định I và A’C’ đi qua điểm cố định J khi n thay đổi ? b) Chứng minh (A’B’C’) chừa một đường thẳng... WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn 11 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia 8.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi H,I,K lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC a) Chứng minh (HIK)// (ABCD) b) Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI Chứng minh (SMN) //(HIK) 8.2 Cho hình hộp ABCD.ÁB’C’D’ a) Chứng minh (BA’D) // (B’D’C) b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G và G’ của tam giác A’BD... và G’ của tam giác A’BD và CB’D’ 8.3 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA ,CD a) Cm: (OMN) //(SBC) b) Giả sử tam giác SAD, ABC đều cân tại A Gọi AE,A F là các đường phân giác trong của tam giác ACD và SAB Cm: E F //(SAD) 8.4 Cho hai hình vuông ABCD, ABE F không cùng nằm trong một mặt phẳng Trên các đường chéo AC,BF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho... phẳng – đồng phẳng  Chứng minh hai đường thẳng tạo thành từ bốn A điểm đó cắt nhau hoặc α • song song với nhau Trường THPT Lăk • C • D • B WWW.ToanCapBa.Net α A C • D• B • • 15 GV:Lương Thanh Phượng Bài tập Tốn 11 WWW.ToanCapBa.Net 3 1: Cho bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng a)Chứng minh ba trong số 4 điểm này khơng thẳng hàng b)Chứng minh AB chéo với CD ? 3 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Trên... 5: Cho tứ diện SABC I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ? Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 16 WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn 11 b)Gọi M là trung điểm HI Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ? GV:Lương Thanh Phượng 4 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB I; J; K là ba điểm trên SA; SB; SC Tìm... ; ND = 1 2 NC a)Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ? b)Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ? c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ? Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 17 WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn 11 *5 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lượt là trọng tâm ABC ; DBC ; M là trung điểm AD Tìm tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ? 2) Cho hình chóp S.ABCDE Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA... thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp 5.10 Cho hình chóp SABCD Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ? b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp BÀI TẬP TỔNG HỢP 1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngồi đoạn BD Mặt phẳng α qua I cắt AB; BC; CD; DA tại M; N; P; Q a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ? b) Chứng minh