Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách” CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ****** - Giáo viên thực hiện: TRẦN CHÍ PHONG - Tên sáng kiến: ÁP DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH VÀ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH. - Thời gian đã được triển khai thực hiện: Từ tháng 8/2011 đến tháng 3/ 2013. I. SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN Như chúng ta đã biết, hình học không gian là môn học rất khó vì nó đòi hỏi người học phải biết tư duy một cách trừu tượng và phải biết tổng hợp kiến thức để vận dụng vào giải được bài tập. Một trong những dạng toán khó của hình học không gian mà luôn có mặt trong các kì thi Tốt nghiệp và Đại học là tính thể tích của khối đa diện và tính khoảng cách. Để tính được thể tích của một khối đa diện hay tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng nói chung là không dễ đối với học sinh. Đa phần các em rất “ngán” học hình học không gian lớp 11 nên khi lên lớp 12 gặp bài toán tính thể tích thì các em rất khó khăn để tính được đường cao và diện tích mặt đáy của khối đa diện hay khi gặp bài toán tính khoảng cách thì các em không biết phải xác định khoảng cách đó như thế nào. Trong quá trình giảng dạy, tôi rút ra kinh nghiệm để giúp học sinh học tốt hơn dạng toán này, đó là dùng tỉ số thể tích để tính thể tích và dùng thể tích để tính khoảng cách. Và rõ ràng với phương pháp này thì học sinh rất dễ để giải được các dạng toán đã nêu trên mà không cần phải vận dụng nhiều kiến thức tổng hợp về hình học không gian. Do đó tôi chọn đề tài “ÁP DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH VÀ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH” với mong muốn góp một phần nhỏ giúp giáo viên phát huy vai trò định hướng của mình và cũng như giúp học sinh tránh được những khó khăn khi giải các dạng toán có liên quan. II. PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN Trong nội dung chuyên đề này, tôi xin trình bày ba bài toán cơ bản có mặt trong chương trình lớp 11, 12 và luôn xuất hiện trong các đề thi Đại học - cao đẳng. - Một là: Áp dụng tỉ số thể tích để tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện; - Hai là: Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện; - Ba là: Áp dụng thể tích khối đa diện để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. GV thực hiện: Trần Chí Phong Trang 1 Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách” III. MÔ TẢ SÁNG KIẾN 1. Cơ sở lý luận của vấn đề 1.1 Các công thức tính thể tích • Thể tích khối chóp: V = 1 3 Bh B: diện tích đáy; h: đường cao của hình chóp. • Thể tích khối lăng trụ: V = Bh B: diện tích đáy; h: đường cao của lăng trụ. 1.2. Công thức tính tỉ số thể tích • Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳn SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác điểm S. Khi đó: . ' ' ' . ' ' ' . . S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC = (1) • Trong công thức (1), đặc biệt hoá khi B’ ≡ B và C’ ≡ C ta được . ' ' ' . ' S A B C S ABC V SA V SA = (1’) • Ta lại có . . ' '. . . '. ' . (1') . S ABC S A BC A ABC S ABC S ABC A ABC SA V V V V V V SA = + ⇒ = + '. . ' ' 1 A ABC S ABC V SA A A V SA SA ⇒ = − = . Vậy: '. . ' A ABC S ABC V A A V SA = (2) • Tổng quát: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A 1 A 2 …A n ( 3)n ≥ , trên đoạn thẳng SA 1 lấy điểm A 1 ’ không trùng với A 1 . Khi đó ta có 1 1 2 1 2 '. 1 1 . 1 ' n n A A A A S A A A V A A V SA = (2’) 1.3. Một số công thức khác a. Diện tích tam giác và công thức hình chiếu • µ 1 . . .sin 2 ABC S AB AC A ∆ = ; 1 . . 2 ABC S BC AH ∆ = . • Công thức hình chiếu: 2 2 2 2 ; BH AB BH AB BC BC CH AC = = (*). b. Diện tích tứ giác − Hình vuông + Diện tích hình vuông : 2 ( ) ABCD S AB= (Diện tích bằng cạnh bình phương) GV thực hiện: Trần Chí Phong Trang 2 S A’ B’ C’ C B A h H A B C O B D A C h B B h Sỏng kin kinh nghim p dng t s th tớch tớnh th tớch v th tớch tớnh khong cỏch + ng chộo hỡnh vuụng: = = . 2AC BD AB (ng chộo hỡnh vuụng bng cnh x 2 ) + OA = OB = OC = OD Hỡnh ch nht + Din tớch hỡnh ch nht: . ABCD S AB AD= (Din tớch bng di nhõn rng). + ng chộo hỡnh cha nht bng nhau: AC = BD. c. Gúc gia ng thng d v mp(P): + Xỏc nh hỡnh chiu d ca d lờn mp(P) + Gúc gia d v d chớnh l gúc gia d v mp(P) d. Gúc gia 2 mt phng: (P) v (Q): + Xỏc nh giao tuyn d ca (P) v (Q) + OH d, vụựi OH (P) Tửứ O d ta keỷ OK d, vụựi OK (Q) + Khi ú: ( ) ã ã ( ),( ) ( , )P Q HO OK = 2. Thc trng v vic gii cỏc bi toỏn tớnh liờn quan n th tớch khi a din trong dy v hc trng THPT m Di 2.1 Thun li Ban giỏm hiu nh trng luụn quan tõm v to iu kin tt cho GV trong vic ging dy; Thy cụ dy nhit tỡnh v tn tõm vi ngh; a phn cỏc thy cụ gii bi toỏn tớnh th tớch khi a din theo phng phỏp xỏc nh ng cao v din tớch mt ỏy; a phn hc sinh ca trng l ngoan v cú ý thc tt trong vic hc; Cht lng i tr b mụn toỏn ngy c nõng cao. 2.2 Khú khn Hc sinh hiu cỏch lm nhng k nng lm bi cha tt, cha ỏp dng vo gii c cỏc bi toỏn tng t; Nhiu hc sinh cũn gii toỏn theo khuụn mu, cha cú nhiu sỏng to; Hc sinh cú tõm lý chung l ngỏn v s toỏn v hỡnh hc khụng gian. 2.3 Kt qu kho sỏt thc nghim kho sỏt: Trong nm hc 2010 2011, khi dy chng I ca hỡnh hc lp 12, tụi ó tin hnh kim tra hc sinh vi ni dung nh sau: GV thc hin: Trn Chớ Phong Trang 3 O A B D C Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách” Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, mặt đáy là tam giác vuông tại B. Biết SA = AB = a, BC = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.AHK theo a. • Kết quả khảo sát Lớp Sĩ số Tỉ lệ khảo sát (%) Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 12T1 40 25 30 12,5 7.5 0 12C10 42 0 11.90 23.81 35.71 28.58 • Nhận xét về bài giải của học sinh: - Đa phần các em lớp 12T1 biết cách làm và làm khá tốt; - Một số em lớp 12C10 giải được ý đầu nhưng không giải được ý 2 và nhiều em không biết phải làm ý 2 như thế nào; - Một số bài giải của học sinh lớp 12T1 thiếu tính lôgic, rất ít em đạt điểm tối đa. 2.4 Nguyên nhân dẫn đến kết quả thấp • Lỗi chủ yếu là do các em không xác định được đường cao của hình chóp và không vận dụng được công thức tỉ số thể tích; • Rất nhiều em trình bày lời giải bài toán còn lủng củng, lập luận chưa tốt; • Tâm lý chung các em là “sợ” bài toán về hình học không gian. 2.5 Định hướng khắc phục Cần tìm hướng giúp học sinh tiếp cận dạng toán trên một cách đơn giản hơn và đặc biệt là giúp các em tự tin hơn khi gặp dạng toán này. Từ đó tôi triển khai sáng kiến dùng công thức tỉ số thể tích để làm đơn giản dạng toán này. 3. Nội dung sáng kiến 3.1 Áp dụng tỉ số thể tích để tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.MNP và S.ABC. * Phân tích: Dựa vào giả thiết, ta có diện tích tam giác ABC bằng 4 lần diện tích tam giác MNP và đường cao của hình chóp S.ABC bằng 2 lần đường cao của hình chóp S.MNP. Do đó suy ra . . 1 8 S MNP S ABC V V = . GV thực hiện: Trần Chí Phong Trang 4 Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách” Tuy nhiên bài toán trên nếu chúng ta áp dụng công thức tính tỉ số thể tích thì cách giải sẽ hay hơn nhiều và học sinh cũng dễ hiểu hơn. * Giải: Dựa vào công thức tính tỉ số thể tích, ta có: . . 1 1 1 1 . . . . 2 2 2 8 S MNP S ABC V SM SN SP V SA SB SC = = = . Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM và S.ABCD. * Phân tích: Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của hai khối sau đó suy ra tỉ số thể tích của chúng. Tuy nhiên cách giải này phải đưa ra thêm một số giả thiết khác về độ dài cạnh và rất khó để giải. Còn nếu chúng ta dùng công thức tính tỉ số thì cách giải sẽ hay hơn, dễ dàng hơn nhiều và bản thân các em học sinh cũng sẽ làm được. * Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD. Suy ra BI = 3IM. Do đó theo công thức (2), ta có: . 1 3 ISCM B SCM V V= . Mà . . . . 1 1 . ; 2 2 B SCM D SBC D SBC S ABCD V V V V = = . Suy ra . . . . 1 1 1 1 1 1 . . . . 3 3 2 3 2 2 I SCM B SCM D SBC S ABCD V V V V= = = Vậy . . 1 12 I SCM S ABCD V V = . Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và mặt đáy là tam giác vuông tại A. Biết SA = AB = a, BC = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AHK và S.ABC. * Phân tích: Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của khối chóp S.ABC (không khó) và thể tích của khối chóp S.AHK (rất khó vì chưa có đường cao và cũng chưa có diện tích đáy) rồi sau đó suy ra tỉ số thể tích của chúng. Tuy nhiên nếu chúng ta áp dụng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn nhiều và bản thân các em học sinh cũng sẽ làm tốt hơn. GV thực hiện: Trần Chí Phong Trang 5 S P C B A N M S A B C D M I O Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách” * Giải: Dựa vào công thức tính tỉ số thể tích, ta có: . . . . . S AHK S ABC V SA SH SK SH SK V SA SB SC SB SC = = . Do tam giác SAB cân tại A nên SB = 2SH. Do tam giác SAC vuông tại A và có K là hình chiếu của A lên SC nên 2 2 SK SA SC SC = . Từ giả thiết, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ; 4aAC BC AB a SC SA AC = − = = + = . Vì vậy 2 . 2 . 1 1 . . 2 4a 8 S AHK S ABC V SH SK a V SB SC = = = . * Nhận xét chung: Nếu cả ba ví dụ trên chúng ta giải theo cách “thông thường” thì mất rất nhiều thời gian và khó trong khâu lập luận cũng như trình bày lời giải. Còn nếu chúng ta giải theo cách dùng công thức tỉ số thể tích thì được rất nhiều ưu điểm: nhanh, gọn, chính xác, ít phải lập luận và dễ trình bày lời giải. * Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP theo a. ĐS: . . 1 32 H MNP S ABC V V = . Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’). ĐS: . ' ' ' ' . 1 6 S A B C D S ABCD V V = . Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng ( α ) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính SM SC để mặt phẳng ( α ) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. ĐS: 3 1 2 SM SC − = . GV thực hiện: Trần Chí Phong Trang 6 A S K C B H Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách” 3.2 Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, mặt đáy là tam giác vuông tại A. Biết SA = AB = a, BC = 2a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCKH theo a. * Phân tích: Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của khối chóp S.ABC (không khó) và thể tích của khối chóp S.AHK (rất khó chưa có đường cao và cũng chưa có diện tích đáy) sau đó thể tích của của khối chóp A.BCKH. Tuy nhiên cũng giống như các ví dụ trên, nếu chúng ta dùng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn nhiều cho cả giáo viên và học sinh. * Giải: Theo ví dụ 3, ta có . . . . 1 7 8 8 S AHK A BCKH S ABC S ABC V V V V = ⇒ = Hay . . 7 8 A BCKH S ABC V V= . Mà 3 . 1 1 1 3 . . . 3 3 3 2 6 S ABC ABC a V SA S a a a= = = . Suy ra 3 3 . 7 3 7 3 . 8 6 48 A BCKH a a V = = (đvtt). Ví dụ 5: (CĐ khối B – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, · · 0 90BAD ABC = = , ,AB BC a = = 2 , ( )AD a SA ABCD= ⊥ và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a. * Phân tích: Để giải theo cách thông thường thì chúng ta đi tính thể tích của khối chóp S.BCNM (rất khó khi chưa có đường cao và chưa có diện tích đáy). Tuy nhiên cũng giống như các ví dụ trên, nếu chúng ta áp dụng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn nhiều cho cả giáo viên và học sinh. * Giải: Theo giả thiết, ta có 3 . 1 1 1 . .2 . .3 3 3 2 S ABCD ABCD V SA S a a a a= = = . Áp dụng công thức (1) ta có . . . . 1 1 ; . 2 4 S BCM S CMN S BCA S CAD V V SM SM SN V SA V SA SD = = = = . GV thực hiện: Trần Chí Phong Trang 7 S M B N D C A A S K C B H Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách” Suy ra . . . . . 1 1 2 4 S BCNM S BCM S CNM S BCA S CAD V V V V V = + = + ( ) . . . 1 1 2 4 S BCA S ABCD S BCA V V V = + − ( ) 3 . . 1 4 3 S ABCD S BCA a V V = + = (đvtt). Ví dụ 6: (ĐH khối B – 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) và tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a. * Phân tích: Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH) thì đã rõ ràng. Vấn đề là để tính thể tích của khối chóp S.ABH thì làm sao xác định được đường cao và diện tích đáy. Cũng giống như các ví dụ trên, nếu chúng ta dùng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn. * Giải: • Chứng minh: ( )SC ABH⊥ . Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, D là trung điểm của AB. Do S.ABC là hình chóp đều nên ( ) SO ABC SO AB⊥ ⇒ ⊥ . Mà CD AB⊥ ( ) AB SCD AB SC⇒ ⊥ ⇒ ⊥ (1). Mặt khác AH SC⊥ (2). Từ (1) và (2) suy ra ( )SC ABH⊥ (đpcm). • Tính .S ABH V . Ta có 2 2 2 2 2 2 2 15 15 1 15 15 (2 ) 4 . 2 4 4 2 2 2 4 SAB a a a a a a SD a a SD S a   = − = − = ⇒ = ⇒ = =  ÷   2 2 1 15 15 15 . . 2 4 2.2 4 SAB SAC a a a S S AH SC AH a ⇒ = = = ⇒ = = Mà 2 2 2 2 2 2 15 49 7 7 7 (2 ) 4 16 16 4 4.2 8 a a a SH a SH a AH a SH SC a = − = − = ⇒ = ⇒ = = . 2 2 2 2 2 2 . . 7 15 3 15 44 11 ; 8 2 3.2 4 12 12 3 S ABH S ABC V SH a a a a a a SO SO V SC     = = = − = − = ⇒ =  ÷  ÷     . Vậy 2 3 . 7 1 3 11 7 11 . . . 8 3 4 96 3 S ABH a a a V   = =  ÷   (đvtt). Ví dụ 7: (ĐH khối D – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng GV thực hiện: Trần Chí Phong Trang 8 O S A D C B H Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách” AC sao cho 4AH = AC. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. * Phân tích: Để chứng minh M là trung điểm của SA ta chỉ cần chứng minh ∆ SAC cân tại C (không khó). Còn muốn tính thể tích khối tứ diện SMBC thì cũng giống như các ví dụ trên, nếu chúng ta giải theo cách tính thể tích trực tiếp thì rất khó. Tuy nhiên nếu dùng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ hơn nhiều. * Giải: • Chứng minh M là trung điểm của SA. Từ giả thiết ta tính được 2 14 3 2 , , , 2 4 4 4 a a a AH SH CH SC a SC AC = = = = ⇒ = . Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA (đpcm). • Tính SMBC V . Ta có . . . . 1 1 2 2 S MBC S MBC S ABC S ABC V SM V V V SA = = ⇒ = Vậy 2 3 3 . . 1 1 14 14 14 . . . . 3 6 4 2 48 96 S ABC ABC S MBC a a a a V SH S V ∆ = = = ⇒ = (đvtt). Ví dụ 8: (ĐH khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2 SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a. * Phân tích: Muốn tính thể tích khối tứ diện ANIM thì cũng giống như các ví dụ trên, nếu chúng ta giải theo cách tính thể tích trực tiếp thì rất khó. Tuy nhiên nếu dùng công thức tính tỉ số thể tích để giải thì bài giải sẽ dễ dàng hơn nhiều. * Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC Do đó 2 1 3 3 AI AI AO AC = ⇒ = . Suy ra 1 1 1 . . 3 2 6 AIMN ACDN V AI AM V AC AD = = = (1) GV thực hiện: Trần Chí Phong Trang 9 H O S A B C D M Sáng kiến kinh nghiệm “Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách” Mặt khác 1 2 ACDN ACDS V NC V SC = = (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 12 AIMN ACDS V V = . Mà 3 1 1 2 2 . . . 3 3 2 6 SACD ACD a a a V SA S a ∆ = = = . Vậy 3 1 2 . 12 72 AIMN SACD a V V= = (đvtt). * Nhận xét chung: Nếu cả năm ví dụ trên chúng ta giải theo cách “thông thường” thì phải đi xác định đường cao và diện tích mặt đáy (mất rất nhiều thời gian) và khó trong khâu lập luận cũng như trình bày lời giải. Còn nếu chúng ta giải theo cách dùng công thức tỉ số thể tích thì được rất nhiều ưu điểm: nhanh, gọn, chính xác, ít phải lập luận và dễ trình bày lời giải. * Bài tập tương tự: Bài 1: Cho khối tứ diện ABCD có · · · 0 0 90 , 120 ,ABC BAD CAD = = = , 2 ,AB a AC a = = 3AD a= . Tính thể tích tứ diện ABCD theo a. ĐS: 3 2 2 ABCD a V = . Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a. ĐS: 3 . ' ' ' ' 16 45 S A B C D a V = . Bài 3: (ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2 3a và · SBC = 30 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. ĐS: 3 . 2a 3 S ABC V = (đvtt); d(B,(SAC)) = 6 7 a . 3.3 Áp dụng thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Ví dụ 9: (ĐH khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD). GV thực hiện: Trần Chí Phong Trang 10 I O S A B C D M N [...]... Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách MỤC LỤC THỨ TỰ NỘI DUNG TRANG 1 Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến 1 2 Phạm vi triển khai thực hiện 1 3 Mô tả sáng kiến 2 4 Cơ sở lí luận của vấn đề 2 5 Thực trạng về việc giải bài liên quan đến thể tích 3 6 Nội dung sáng kiến 4 7 3.1 Áp dụng tỉ số thể tích để tính tỉ số thể tích hai khối đa diện 4 8 3.2 Áp dụng. .. 3 và SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a 6a ĐS: VS ABC = 2a 3 3 ; d(B, (SAC)) = 7 4 Kết quả, hiệu quả mang lại 4.1 Hiệu quả từ thực tiễn Ban đầu học sinh gặp rất nhiều khó khăn và “sợ” các bài toán về tính thể tích và khoảng cách trong hình học không gian Tuy nhiên khi giáo viên áp dụng cách dùng tỉ số để tính thể tích và dùng thể tích để tính. ..Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách * Phân tích: Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) thì ta phải dựng được đường vuông góc từ A xuống mp(BCD) Rõ ràng đây là một công việc không dễ Tuy nhiên nếu dùng thể tích để tính khoảng cách thì bài toán sẽ đơn giản hơn D * Giải: I Ta có AB2 + AC2 =... nghiệm Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách Ví dụ 12: (Thi thử ĐH lần I năm 2013) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) trùng với trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách từ A đến mp(BCC’B’) * Phân tích: Muốn tính khoảng cách từ A đến mp(BCC’B’) theo cách. .. theo nghĩa đơn giản nhất là đổi mới cách dạy sao cho bài dạy dễ hiểu và mang lại hiệu quả cao hơn Trên tinh thần đó thì việc áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và áp dụng thể tích để tính khoảng cách sẽ đơn giản hóa một số bài toán khó về hình học không gian Qua đó giúp học sinh tiếp cận nội dung bài học một cách nhẹ nhàng hơn và quan trọng hơn là tạo được niềm tin để các em học sinh giải tốt bài... cô chúng ta Với cách làm này, chúng ta giúp học sinh yêu thích thêm về bộ môn, giúp các em có niềm tin trong học tập và phấn đấu học tốt hơn để có kết quả tốt nhất trong kì thi Đại học – Cao đẳng phía trước GV thực hiện: Trần Chí Phong Trang 14 Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách 4.2 Kết quả thực nghiệm Sáng kiến này tôi đã áp dụng từ năm học... hiệu nhà trường và các cấp quản lý GV thực hiện: Trần Chí Phong Trang 15 Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách • Hiện nay thư viện nhà trường có nhiều sách tham khảo nhưng chưa có nhiều sách viết về “Đổi mới phương pháp dạy học” Vì vậy nhà trường cần trang bị thêm sách tham khảo loại này để thầy cô và học sinh đọc nhằm tìm ra những cách giải toán... với các em bài toán tính thể tích hay khoảng cách không phải là quá khó đối với các em nữa Từ đó giúp các em có động cơ tốt hơn và ham thích hơn bộ môn hình học không gian - dù trước đó các em có cảm giác rất “ngán” và “sợ” môn học này GV thực hiện: Trần Chí Phong Trang 13 Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách * Bài tập tương tự: Bài 1: (ĐH khối... M là trung điểm của BC Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C * Phân tích: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C ta cần đưa về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng rồi sau đó dùng thể tích để tính sẽ dễ dàng hơn * Giải: Gọi E là trung điểm của BB’, ta có EM//CB’ Suy ra B’C //(AME) nên d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) Theo công thức tỉ số thể tích, ta có VC AEM MC... theo cách “thông thường” thì chúng ta phải đi xác định được khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng (phải dựng được đường vuông góc hạ từ điểm đó đến mặt phẳng) Rõ ràng công việc đó khó hơn rất nhiều lần so với cách dùng thể tích để tính Hơn nữa nếu chúng ta giải theo cách áp dụng thể tích để tính thì được ưu điểm là học sinh trung bình có thể giải tốt bài toán này, và đối với các em bài toán tính thể tích . thể tích 3 6 Nội dung sáng kiến 4 7 3.1 Áp dụng tỉ số thể tích để tính tỉ số thể tích hai khối đa diện 4 8 3.2 Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện 7 9 3.3 Áp dụng tỉ số thể tích. nghiệm Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách Tuy nhiên bài toán trên nếu chúng ta áp dụng công thức tính tỉ số thể tích thì cách giải sẽ hay hơn nhiều và học. 6 A S K C B H Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích và thể tích để tính khoảng cách 3.2 Áp dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối đa diện Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC