PHÒNG GIÁO DỤC THÀNH PHỐ VĨNH YÊN Trường THCS Vĩnh Yên  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI BÀI TẬP  Giáo viên :DƯƠNG THỊ BÍCH THUỶ Tổ : KHTN Trường THCS Vĩnh Yên Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên Năm học :2007-2008 PHẦN I : PHẦN MỞ ĐẦU  I.Lý chọn đề tài: Giáo dục THCS có vai trị quan trọng GDPT n ớc ta Nó cầu nối Tiểu học THCS Giáo dục THCS góp phần hình thành cho học sinh phẩm chất, lực người lao động : động, sáng tạo, thích ứng với phát triển đa dạng với tốc độ nhanh xã hội Vì vậy, học sinh phải học tiếp cận với tất môn khoa học bản, mơn tốn đóng vai trị then chốt Với mục tiêu việc dạy mơn tốn trường THCS em cần cung cấp kiến thức, phương pháp tốn học phổ thơng, bản, thiết thực Chính em cần tăng cường luyện tập, rèn luyện kỹ tính tốn vận dụng kiến thức toán học vào đời sống vào mơn học khác Trong chương trình mơn tốn THCS, mơn Đại số có nhiều ứng dụng Các toán đại số giúp em giải nhiều toán cách thuận lợi đặc biệt nhiều toán liên hệ với thực tiễn sống Đầu học kỳ lớp 8, học sinh học “Bảy đẳng thức đáng nhớ” Các đẳng thức quan trọng nội dung kiến thức mơn tốn khơng lớp mà lớp sau Học đẳng thức, học sinh phải ghi nhớ khắc sâu “Bảy đẳng thức đáng nhớ” , đồng thời phải biết sử dụng đẳng thức vào giải số dạng tập : Rút gọn biểu thức, tìm x, chứng minh đẳng thức… Sử dụng đẳng2thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên Tuy nhiên, để nhìn nhận đẳng thức số trường hợp học sinh lúng túng Để giúp học sinh có phương pháp biến đổi thành thạo biểu thức có liên quan đến đẳng thức việc cần thiết, thao tác giúp em không mặt kiến thức mà cịn rèn luyện tư tốn học tốt Trong khuôn khổ chuyên đề này, đa số ví dụ minh hoạ với tình từ đơn giản đến phức tạp nhằm hình thành kỹ biến đổi biểu thức có vận dụng đến đẳng thức II.Phạm vi : - Môn Đại số lớp - Chương I : Phép nhân phép chia đa thức - Các toán : Rút gọn, tính tốn, chứng minh… - Các tập sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo III.Đối tượng : Học sinh lớp IV.Mục đích : - Nâng cao chất lượng dạy học - Học sinh hiểu vận dụng đẳng thức vào giải tập PHẦN II : NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI  A.NỘI DUNG : Sử dụng đẳng3thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên I Cơ sở lý luận,khoa học đề tài: Để góp phần hình thành phẩm chất lao động khoa học cần thiết người lao động mơn tốn học vai trị quan trọng Học sinh học tốn hình thành rèn luyện kỹ tính tốn, biến đổi, đo đạc, vẽ hình Các em rèn luyện khả suy luận hợp lý hợp lô gic, khả quan sát dự đoán; bồi dưỡng phẩm chất tư linh hoạt, độc lập sáng tạo Bước đầu hình thành khả vận dụng kiến thức tốn học vào đời sống môn học khác Do việc dạy học toán cần đạt yêu cầu sau: - Đảm bảo tính hệ thống, khoa học - Học đơi với hành - Tích cực, tự lực, say mê học tập - Rèn luyện kỹ tính toán, vận dụng kiến thức toán học vào đời sống vào môn học khác Để vận dụng đẳng thức vào giải tập yêu cầu học sinh phải nắm đẳng thức sau:  Bảy đẳng thức đáng nhớ : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 a2 - b2 = (a + b)(a – b) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)  Một số đẳng thức tổng quát: Sử dụng đẳng4thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên (a1+ a2+… + an) = a12 + a22 +…+an2 + 2a1a2 +….+2a1an +….+2an-1an an – bn = (a - b)(an-1+ an-2b +an-3b2 + … + abn-2 + bn ) (với n nguyên dương) 10 an + bn = (a + b)(an-1- an-2b +an-3b2 - … – abn-2 + bn ) (với n lẻ) 11 (a + b)n = an +c1 an-1b +c2 an-2b2 + … +cn-1 abn-1 + bn Khi khai triển (a + b)n ta đa thức có n+1 hạng tử, hạng tử đầu an, hạng tử cuối bn , hạng tử khác chứa a b; bậc hạng tử tập hợp biến a, b n Các hệ số c1 , c2 , … cn-1 xác định bảng tam giác Pa – xcan sau: n=0 n =1 n =2 n=3 n=4 n=5 1 1 1 c1 10 c2 10 c3 c4 ……………………………… Nhận xét : - Mỗi dòng bắt đầu kết thúc - Mỗi số dòng kể từ dòng thứ hai số liền cộng với số bên trái số liền II.Đối tượng : Môn Đại số III.Nội dung, phương pháp nghiên cứu : Sử dụng đẳng5thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên  Xuất phát từ tập sách giáo khoa kiến thức học để học sinh làm dạng tập : Rút gọn biểu thức, tính giác trị biểu thức, chứng minh đẳng thức  Để hình thành kỹ cho học sinh giảng dạy giáo viên phải tạo tình có vấn đề Học sinh phải thực hành nhiều sở vận dụng kiến thức học vào việc giải tập  Về nguyên tắc phải từ biết đến chưa biết,từ đơn giản đến phức tạp , từ trực quan sinh động đến t trừu tượng  Phương pháp nghiên cứu là: - Tiến hành giảng dạy theo phương pháp đổi - Tổng kết rút học kinh nghiệm - Bước đầu áp dụng thử nghiệm 3.1 Các ví dụ minh hoạ: Bài tốn 1: Rút gọn biểu thức I Cách làm : - Để rút gọn biểu thức, ta cần vận dụng đẳng thức học để rút gọn - Các đẳng thức vận dụng theo hai chiều ngược Chẳng hạn : (A- B)2= A2- 2AB + B2 ngược lại A2- 2AB + B2 = (A- B)2 II Bài tập : Sử dụng đẳng6thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên 1, Bài : Rút gọn biểu thức: a A = (x2+2)2 – (x +2)(x – 2)(x2 + 4) b B = (x2-xy + y2)(x - y)(x +y)(x2 + xy+y2) c C = (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 d D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 +(b – c - a)2 +(c –a - b )2 Giải: a, A = (x2+2)2 – (x +2)(x – 2)(x2 + 4) = x4 + 4x2+4 – (x2 - 4)(x2 + 4) = x4 + 4x2+4 - x4 +16 = 4x2 + 20 = 4(x2 +5) b, B = (x2-xy + y2)(x - y)(x +y)(x2 + xy+y2) = [(x+y)( (x2-xy + y2)].[(x- y)(x2 + xy+y2)] = (x3- y3)(x3+y3) = x6 – y6 c C = (2x + 3)2 – 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)2 = [(2x+3) – (2x +5)] = ( 2x +3 – 2x – 5)2 = (-2)2 = d D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 +(b – c - a)2 +(c –a - b )2 = a2 +b2+c2 +2ab + 2ac + 2bc + a2 +b2+c2 -2ab - 2ac + 2bc + a2 +b2+c2 +2ab - 2ac - 2bc = 4(a2 +b2+c2) +2(ab –ac + bc) Bài tốn : Tính giá trị biểu thức I Cách làm : Để tính giá trị biểu thức ta làm theo hai cách : + Thay trực tiếp giá trị biến vào để tính Sử dụng đẳng7thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên + Rút gọn biểu thức sau thay giá trị biến vào để tính II Bài tập : Bài Tính hợp lý: A = 2632 + 74 263 + 372 B= 63  47 215  105 C = (3 +1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) D = (502 + 482 + 462 +….+22) – (492 + 472 +… +12) Giải : A = 2632 + 2.37 263 + 372 = (263 + 37)2 = 3002 = 90 000 B= (63  47)(63  47) (215  105)( 215  105) = 110.16 16   320.110 320 20 C = (3 +1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) 2C = (3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) = (32-1) )(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) =(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) = (38-1)(38+1)(316+1)(332+1) = (316-1)(316+1)(332+1) = (332-1)(332+1) = 364-  C 64  Sử dụng đẳng8thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên D = (502 + 482 + 462 +….+22) – (492 + 472 +… +12) = (502- 492) +(482-472) +…….+(22 – 1) = 50 + 49 + 47 + … +2 +1 = (50  1).50 = 1275 Bài : a Cho x = -2 Tính giá trị biểu thức: A = (x-1)3 – 4x(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x2+x+1) b Cho x – y = Tính giá trị biểu thức : B = x(x+2) + y(y-2) – 2xy +65 c Cho x+y = a , x2+y2 = b Tính x3+y3 theo a b Giải : a A = (x-1)3 – 4x(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x2+x+1) = x3 – 3x2 + 3x – – 4x(x2-1) + 3(x3 – 1) = x3 – 3x2 + 3x – – 4x3 + 4x + 3x3 – = – 3x2+7x – Thay x = -2 vào biểu thức, ta : A = -3(-2)2 + 7.(-2) – = -30 b B = x(x+2) + y(y-2) – 2xy +65 = x2 + 2x + y2 – 2y – 2xy +65 = (x – y)2 + 2(x- y) +65 Thay x – y =5 vào biểu thức, ta : B = 52 + 2.5 + 65 = 100 c Ta có : Sử dụng đẳng9thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên x3+y3 = (x +y)(x2- xy +y2) = (x +y)[( x2+y2) – xy] = a(b – xy) (1) Từ x+y = a , x2+y2 = b  (x +y)2 = a2  x2+ 2xy + y2 = a2 = a2  2xy + b  Từ (1) (2) ta có : xy  a2  b x  y  a (b  (2) a2  b 3ab  a ) 2 Bài toán : Chứng minh đẳng thức I Cách làm : Để chứng minh đẳng thức ta có nhiều cách để biến đổi: + Biến đổi VT VP ngược lại + Biến đổi VT VP biểu thức + Xét hiệu VT – VP = VP – VT = II Bài tập : Bài : Chứng minh : a a3+ b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b) b (a2+b2) (c2+d2) = (ac + bd)2+(ad – bc)2 c 20002+20032+20052+20062 = 20012+20022+20042+20062 Giải : a a3+ b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b) VP = (a+b)3 – 3ab(a+b) = a3 + 3a2 b +3ab2 +b3 – 3a2 b – 3ab2 = a3+ b3 Vậy VT = VP , đẳng thức chứng minh Sử dụng đẳng10thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên b (a2+b2) (c2+d2) = (ac + bd)2+(ad – bc)2 VT = (a2+b2) (c2+d2) = a2c2+ a2 d2+ b2c2+ b2d2 (1) VP = (ac + bd)2+(ad – bc)2 = a2c2+2abcd + b2d2 + a2 d2 – 2abcd + b2c2 = a2c2+ a2 d2+ b2c2+ b2d2 (2) Từ (1) (2) suy VT = VP , đẳng thức chứng minh c.20002+20032+20052+20062 = 20012+20022+20042+20072 Xét hiệu VT – VP , ta : (20032- 20022) +(20052 - 20042 ) - (20012- 20002 ) – (20072 – 20062) = 4005 + 4009 – 4001 – 4013 = VT - VP = , đẳng thức chứng minh Bài : Chứng minh : a Nếu a + b + c = a3+b3+c3 = 3abc b Nếu a2 – b2 – c2 = (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2 Giải : a Nếu a + b + c = a3+b3+c3 = 3abc Do a + b + c =  a = - (b +c) Ta có a3+b3+c3 = [- (b+c)]3 +b3+c3 = - b3- 3b2c – bc2 -c3 +b3+c3 = - 3b2c – bc2 = -3bc(b+c) = -3bc(-a) = 3abc Vậy a + b + c = a3+b3+c3 = 3abc Sử dụng đẳng11thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên b Nếu a2 – b2 – c2 = (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2 Từ a2 – b2 – c2 =  c2= a2 - b2 Ta có (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (5a – 3b) – (4c)2 = 25a2 – 30 ab +9b2 – 16c2 = 25a2 – 30 ab +9b2 – 16(a2 – b2) = 25a2 – 30 ab +9b2 – 16a2 +16b2 = 9a2 – 30 ab +25b2 = (3a – 5b)2 Vậy a2 – b2 – c2 = (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)2 Bài toán : Tìm x, y a (x+2)(x2 – 2x +4) – x(x2 +2) = 15 b (x-2)3 – (x- 3)(x2 +3x +9) + 6(x2+1) = 15 c x2 – 2x + y2 + 4y +5 = Giải : a (x+2)(x2 – 2x +4) – x(x2 +2) = 15 x3 + - x3 – 2x = 15 2x x b = -7 =  (x-2)3 – (x- 3)(x2 +3x +9) + 6(x2+1) = 15 x3 – 6x2 + 12x – - x3 + 27 + 6x2 + 12x +6 = 15 24x = -10 x= c  12 x2 – 2x + y2 + 4y +5 = (x2 – 2x+1) +( y2 + 4y +4) = Sử dụng đẳng12thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên (x-1)2 +(y+2)2 =0 Vì (x-1)2 ≥ với x, y+2)2 ≥ với y nên (x-1)2 +(y+2)2   0 ( x  1)   0 ( y  2)  =0  x 1   y  Bài tốn : Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: I Các bước giải toán cực trị: Để tìm GTNN biểu thức A(x) tập xác định D ta làm sau : + Chứng minh A(x) ≥ m với m số + Chỉ A(x0) = m (x0 D) + Kết luận GTNN A m  x = x0 Để tìm GTLN biểu thức A(x) tập xác định D ta làm sau : + Chứng minh A(x) ≤ m với m số + Chỉ A(x0) = m (x0 D) + Kết luận GTLN A m  x = x0 II Các kiến thức cần sử dụng : x2 ≥ 0; x2n ≥ (n N*) với x Do để tìm GTNN (GTLN) đa thức, ta thường phải sử dụng đẳng thức bậc hai (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 để biến đổi đa thức dạng bình phương tổng bình phương hiệu III Bài tập : Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a A = x2 + 2x + b B = 2x2 – x +5 c C = (x-3)2 + (x+1)2 d D = x2 - 2x + y2 – 4y + Giải : Sử dụng đẳng13thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên a A = x2 + 2x + = (x+1)2 + Vì (x+1)2 ≥ với x nên A≥ với x Dấu “=” xảy x= -1 b B = 2x2 – x +5 B = 2(x2 - x)+5 = 2(x2 – x + = 2(x Vì (x - 4 )2 + 16 ) + – 16 )2 ≥ với x nên A ≥ Dấu “=” xảy x= với x c C = (x-3)2 + (x+1)2 = x2 – 6x + + x2 + 2x + = 2x2 – 4x + 10 = 2(x2 – 2x + 1) + = 2(x-1)2 + Vì (x- 1)2 ≥ với x nên A≥ với x Dấu “=” xảy x= d D = x2 - 2x + y2 – 4y + = (x – 1)2 + (y- 2)2 + Vì (x- 1)2 ≥ với x ; (y- 2)2 ≥ với y nên A≥ với x, y Dấu “=” xảy x= y = Sử dụng đẳng14thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên Bài : Tìm giá trị lớn biểu thức: a A = - x2 + 6x - b B = - 3x2 +2x +4 c C= - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y- Giải : a A = - x2 + 6x – = - (x2 - 6x + 9) +4 = – (x – 3)2 Vì (x- 3)2 ≥ với x nên A ≤ với x Dấu “=” xảy x=3 b B = - 3x2 +2x +4 = -3(x2 – x + Vì (x- )+4+ = 13 3 )2 ≥ với x nên A ≤ - 3(x - )2 Dấu “=” xảy x = 13 với x c C = - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y- = - (x2 - 2xy + y2) – 3(y2 – 4y + 4) + 2(x – y) + = - [(x- y)2 - 2(x –y) +1] – 3(y – 2)2 + = – [(x – y – 1)2 + 3(y – 2)2 ] Vì (x- y - 1)2 ≥ với x,y ; (y- 2)2 ≥ với y nên A≤ với x, y Dấu “=” xảy x   y  y  0 0   x 3   y 2 Sử dụng đẳng15thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên Bài toán : Sử dụng đẳng thức để giải số toán chia hết I Kiến thức sử dụng : Với số nguyên a, b số tự nhiên n : an - bn chia hết cho a – b ( a ≠ b) a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b ( a ≠ - b) (a + b)n = BS a + bn (BS a bội a) Đặc biệt : (a + 1)n = BS a + (a - 1)2n = BS a + (a - b)2n+1 = BS a – II Bài tập Bài : Chứng minh rằng: a 251 – chia hết cho b 1719 + 1917 chia hết cho 18 Giải : a Ta có 251 – = (23)17 – chia hết cho 23 – = b 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 – 1) Vì 1719 + chia hết cho 17+1 =18 1917 – chia hết cho 19 -1 = 18 nên 1719 + 1917 chia hết cho 18 Bài : Tìm số tự nhiên n cho 2n – chia hết cho Giải : - Nếu n = 3k (kN) 2n – = 23k – = 8k – chia hết cho - Nếu n = 3k + (kN) 2n – = 23k+1 – = 2.( 23k – 1) + = BS + - Nếu n = 3k +2 (kN) 2n – = 23k+2 – = 4.(23k – 1+3 = BS +3 Vậy 2n – chia hết cho n = 3k (kN) Sử dụng đẳng16thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên Bài toán : Sử dụng đẳng thức để chứng minh số số phương Bài : Cho M tích số nguyên liên tiếp Chứng minh M + số phương Giải : Đặt M = n(n+1)(n+2)(n+3) (n Z)  M +1 = n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) +1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Vậy tích số nguyên liên tiếp cộng số phương Bài : Chứng minh số sau số phương   44     (n N) A = 11 2n n Giải :  = a 9a + = 10n Đặt 11 n A = a 10n + a + 4a + = a(9a+1) + 5a +1    34 = (3a+1)2 = 33 n Vậy A số phương 3.2 Các tập tự luyện: Bài Rút gọn biểu thức: a x(x- a)(x + a) – (x + a)(x2 – ax + a2) Sử dụng đẳng17thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên b (a+b+c)3 + (a - b – c)3 + (b – c – a)3 + (c – a – b)3 c (x – y – 1)3 – (x – y +1)3 + 6(x –y)2 Bài :Chứng minh đẳng thức: a (a+b+c)3 - a3 - b3 – c3 = 3(a+b)(a+c)(b+c) b (a2- b2)2 + (2ab)2 = (a2+b2)2 Bài : Cho a + b +c = 2p Chứng minh : a a2 – b2 – c2 + 2bc = 4(p - b)(p - c) b p2+ (p – a)2 +(p – b)2 +(p – c)2 = a2 + b2 + c2 Bài : Chứng minh số sau số phương  155     (n N) B = 11 n n Bài : Tìm GTLN biểu thức: A = - x2 + 6x +1 B = - x2 + 4x C = - 3x2 – 2xy – 2x – y2 + 2y + D = - x4 + 16x2 + 12x + Bài : Tìm GTNN biểu thức : A = x2 – 3x + B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) C = x4 + x2 – 6x + D = 2x2 + y2 – 2xy – 2x – 2y + 12 Bài : Cho số tự nhiên a b Chứng minh : a Nếu a2 + b2 chia hết cho a b chia hết cho b Nếu a2 + b2 chia hết cho a b chia hết cho  Sử dụng đẳng18thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên B ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN CÔNG TÁC GIẢNG DẠY: Qua trình giảng dạy cho cho học sinh nhận thấy em ham học Các em tìm tịi, suy nghĩ, chủ động tiếp thu kiến thức hướng dẫn giáo viên Các em rèn luyện khả tư toán học kỹ tính tốn tương đối thành thạo Từ việc nắm chắc, ghi nhớ “Hằng đẳng thức” giúp em biết vận dụng lý thuyết vào giải tập đặc biệt biết vận dụng kiến thức học để giải tập có ứng dụng thực tế cách thành thạo Học sinh biết vận dụng đẳng thức để có lời giải ngắn gọn, khoa học Cũng từ việc nắm đẳng thức giúp em tiếp cận với dạng toán cách tự tin PHẦN III : KẾT LUẬN  Sử dụng đẳng19thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên Thông qua việc thực chuyên đề giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức hơn, phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học tập cho học sinh Giáo viên chuẩn bị hệ thống tập có chất lượng để tạo cho học sinh hứng thú học tập, tự tìm tịi, khám phá để khắc sâu kiến thức , nâng cao chất lượng môn Các tập chuyên đề phần học sinh thực tương đối thành thạo trình bày lời giải tốt Với cách khai thác từ tập sách giáo khoa nên áp dụng với tất đối tượng học sinh Có số tập nâng cao dành cho học sinh giỏi em vận dụng làm tốt Tuy nhiên áp dụng tránh khỏi khiếm khuyết Tôi mong đóng góp bổ sung đồng chí để đề tài hoàn thiện  TÀI LIỆU THAM KHẢO - SGK toán tập - NXBGD - Ôn tập Đại số 8- Nguyễn Ngọc Đạm – Vũ Dương Thuỵ - Toán nâng cao chuyên đề Đại số 8- Vũ Dương Thuỵ - Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán8- Bùi Văn Tuyên - Nâng cao phát triển Toán – Tập – Vũ Hữu Bình Sử dụng đẳng20thức để giải tập ... 0 0   x 3   y 2 Sử dụng đẳng1 5thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên Bài toán : Sử dụng đẳng thức để giải số toán chia hết I Kiến thức sử dụng : Với số nguyên a,... dụng đẳng thức vào giải số dạng tập : Rút gọn biểu thức, tìm x, chứng minh đẳng thức? ?? Sử dụng đẳng2 thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên Tuy nhiên, để nhìn nhận đẳng thức. .. 2n – chia hết cho n = 3k (kN) Sử dụng đẳng1 6thức để giải tập Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên Bài toán : Sử dụng đẳng thức để chứng minh số số phương Bài : Cho M tích số nguyên liên