Lời nói đầu Dạng toán Giải toán cách lập phơng trình chơng trình đại số lớp trờng trung học sở dạng toán tơng đối khó học sinh Do đặc trng loại thờng loại toán có đề lời văn thờng đợc xen trộn nhièu dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thờng, ngôn ngữ toán học, vật lý) Hầu hết toán có dự kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dới dạng lời văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt tìm đợc liên quan đại lợng dẫn đến việc lập phơng trình hệ phơng trình mà thực chất vấn đề khoa học giải toán giải phơng trình Trong phân phối chơng trình toán trờng trung học sở đến lớp học sinh đợc học khái niệm phơng trình phép biến đổi tơng đơng phơng trình Nhng việc giải phơng trình đà có chơng trình toán từ lớp với mức độ yêu cầu tuỳ theo đối tợng học sinh lớp 1, phơng trình đợc cho dới dạng: Điền số thích hợp vào ô trống: -2=5 lớp đợc nâng dần dới dạng: x + = 10 ë líp 4, 5, cho díi d¹ng phøc tạp nh: x:3=4:2 x + = 11; (x – 15) = 21 ë líp 7, 8, mối liên hệ nh toán cho dới dạng lời văn có kiện kèm theo Vì muốn giải đợc loại toán học sinh phải suy nghĩa để thiết lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phơng trình (hệ phơng trình) Một đặc thù riêng loại toán hầu hết toán đợc gắn liền với nội dung thực tế Chính mà việc chọn ẩn số thờng số liệu có liên quan đến thực tế Do giải toán học sinh thờng mắc sai lầm thoát ly thực tế Từ lý mà học sinh ngại làm loại toán Mặt khác, trình giảng dạy lực, trình độ giáo viên dạy cho học sinh mức độ truyền thụ tinh thần sách giáo khoa mà cha biết phân loại toán, cha khái quát đợc cách giải cho dạng Kỹ phân tích tổng hợp học sinh yếu trình đặt ẩn số, mối liên hệ liệu toán, dẫn đến lúng túng việc giải loại toán Chính vậy, muốn giải toán lập phơng trình hay hệ phơng trình điều quan trọng phải biết diễn đạt mối liên hệ cho thành quan hệ toán học Do vậy, nhiệm vụ ngời thầy giáo giải tập cho học sinh mà vấn đề đặt ngời thầy phải dạy cho học sinh cách giải tập Do hớng dẫn cho học sinh giải loại toán dựa vào trình biến thiên đại lợng (tăng, giảm, thêm, bớt ) làm sáng tỏ mối quan hệ đại lợng, dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng Đây bớc quan trọng khó khăn học sinh Trong thời gian giảng dạy trờng trung học sở, qua học hỏi kinh nghiệm thầy giáo lớp trớc đồng nghiệp nhóm đề tài Đợc hớng dẫn tận tình thầy giáo Trịnh Khang Thành, mạnh dạn viết đề tài với mong muốn đợc trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm trình giảng dạy dạng toán Giải toán cách lập phơng trình Nội dung đề tài gồm: Chơng I: Phơng pháp nghiên cứu yêu cầu giải toán Chơng II: Phân loại toán giai đoạn giải toán cách lập phơng trình Chơng III: Những loại toán hớng dẫn học sinh giải Chơng IV: Phần thực nghiệm Do trình độ có hạn nên đề tài không tránh đợc sai sót mong thầy giáo lợng thứ bảo để thân rút đợc kinh nghiệm giảng dạy áp dụng Thái Bình, ngày tháng năm 200 Tác giả Chơng I Phơng pháp nghiên cứu yêu cầu giải toán I Phơng pháp nghiên cứu: Dựa vào phân phối chơng trình chung Bộ giáo dụ - đào tạo ban hành chơng trình toán bậc THCS lớp có tất 25 tiết nghiên cứu phơng trình bậc ẩn giải toán cách lập phơng trình lớp có 36 tiết nghiên cứu phơng trình bậc hai ẩn Trong chơng trình sách giáo khoa hai lớp có 74 tập Một phơng pháp hớng dẫn học sinh giải loại toán dựa vào quy tắc chung: Giải toán cách lập phơng trình Nội dung quy tắc gồm bớc: Bớc 1: Lập phơng trình (gồm công việc) - Chọn ẩn số, ý ghi rõ đơn vị đặt điều kiện cho ẩn - Dùng ẩn số số đà biết, đà cho toán để biểu thị số liệu khác có liên quan, diễn giải phận hình thành phơng trình (hệ phơng trình) Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình) Tuỳ thuộc vào dạng phơng trình mà chọn cách giải cho thích hợp ngắn gọn Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại trả lời - Chú ý so sánh với điều kiện đặt cho ẩn xem có thích hợp không? sau trả lời kết (có kèm theo đơn vị) Mặc dù đà có quy tắc xong ngời giáo viên trình hớng dẫn giải loại toán cần cho học sinh vận dùng theo sát yêu cầu giải toán nói chung II Yêu cầu giải toán Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm sai sót nhỏ Muốn cho học sinh không mắc sai phạm giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán trình giải không sai sót kiến thức, phơng pháp suy luận, kỹ tính toán, ký hiệu, điều kiện ẩn Phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn số xem xét đối chiếu kết với điều kiện ẩn đà hợp lý cha Ví dụ 1: (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp 1995 1996) Tỷ số tuổi em tuổi anh 0,5 Sau năm tỷ số tăng thêm 0,1 Hái ti anh vµ em hiƯn nay? NÕu gäi ti em lµ x(x > 0, x ∈ N) NÕu ti em x tuổi anh 2x (phân tích) Theo ta có phơng trình: x+3 = 0,5 + 0,1 = 0,6 2x + x + = 0,6 (2x + 3) x = (thoả mÃn điều kiện đà đặt) => Tuổi em 6, tuổi anh 12 Yêu cầu 2: Lời giải toán lập luận phải có xác Trong trình thực bớc có logic chặt chẽ với nhau, có sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải ý đến việc thoả mÃn điều kiện nêu giả thiết Xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ ẩn kiện đà cho làm bật đợc ý phải tìm Nhờ mối tơng quan đại lợng toán thiết lập đợc phơng trình (hệ phơng trình) từ tìm đợc giá trị ẩn số Muốn giáo viên cần làm cho học sinh hiểu đợc đâu ẩn số? đâu kiện? đâu điều kiện? điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn không? Từ mà xác định đợc hớng đi, xây dựng đợc cách giải Ví dụ 2: (Toán phát triển đại số 1996 Nguyễn Ngọc Đạm Trơng Công Thành NXB Giáo dục) Hai cạnh khu đất hình chữ nhật 4m TÝnh chu vi cđa khu ®Êt ®ã nÕu biÕt diƯn tích 1200m2 Hớng dẫn: toán hỏi chu vi hình chữ nhật, học sinh thờng có xu toán hỏi thứ gọi ẩn số Nếu gọi chu vi hình chữ nhật ẩn số toán vào bế tắc khó có lời giải Giáo viên cần hớng dẫn học sinh phát triển sâu khả suy diễn để từ đặt vấn đề Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần gì? => (cạnh hình chữ nhật) Từ gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật x (x> 0) Từ ta có phơng trình x(x + 4) = 1200 x2 + 4x + 1200 = Giải phơng trình ta có: x1 = 30 x2 = -34 Giáo viên giúp học sinh từ điều kiện để loại nghiệm x chØ lÊy x1 = 30 => chiỊu dµi lµ 30 + = 34 vµ chu vi lµ: 2(30 + 34) = 128m (ở toán nghiệm x2 = - 34 có giá trị tuyệt đối chiều dài hình chữ nhật, học sinh dễ mắc sai sót coi kết toán Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ mang tính toàn diện Hớng dẫn học sinh không đợc bỏ sót khả chi tiết nào, không thừa nhng không thiếu Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải đà đầy đủ cha? Kết toán đà đại diện phù hợp với nói chung Nếu thay đổii điều kiện toán rơi vào trờng hợp đặc biệt kết luôn Ví dụ 3: (Bài ôn luyện toán NXB Hà Nội) Một tam giác có chiều cao ắ cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3dm cạnh đáy giảm dm diện tích tăng thêm 12 dm Tính chiều cao cạnh đáy Lu ý học sinh: Dù có thay đổi chiều cao, cạnh đáy tam giác diện tích (S) đợc tính theo công thức: S= (cạnh đáy chiều cao) Từ gọi chiều dài cạnh đáy (lúc đầu) x(x > 0, dm) chiều cao x (lúc đầu) => S lúc đầu => S sau là: x x (x-2) ( x + 3) Theo bµi ta có phơng trình: ( x 2). x + Giải phơng trình ta tóm đợc: x = 20 thoả mÃn điều kiện => chiều cao tam giác x 20 = 15dm 4 Yêu cầu 4: Lời giải toán phải đơn giản Bài giải phải đảm bảo đợc yêu cầu Không sai sót, có lập luận, mang tính toàn diện phù hợp kiến thức, trình độ học sinh, đại đa số học sinh hiểu làm đợc Ví dụ 4: (Bài toán cổ) Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Một trăm chân chẵn Hỏi có gà, chó? Với toán giải nh sau: Gọi số gà x(x>0), x N) số chó 36x x Gà có chân => Số chân gàn 2x chân Chó có chân => Số chân chó 4(36 x) chân Theo ta có phơng trình: 2x + 4(36 x) = 100 Giải ta cã: x = 22 => gµ = 22 => sè chã cã lµ 36 – 22 = 14 Thì toán ngắn gọn dễ hiểu Nhng học sinh giải theo cách dùng ẩn (x, y) gọi số chân gàn x => số chân chó 100 x => Phơng trình: x 100 x + = 36 Kết gàn 22 con, chó 14 nhng đà vô tình biến giải khó hiểu hay không hợp với trình độ học sinh Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học Đó lu ý đến mối liên hệ bớc giải toán phải logic, chặt chẽ với nhau, bớc sau đợc suy từ bớc trớc nó, đà đợc kiểm nghiệm, chứng minh đúng, điều ®· biÕt tõ tríc VÝ dơ 5: (To¸n ph¸t triĨn đại Nguyễn Ngọc Đạm Trơng Công Thành – NXB Gi¸o dơc 1996) ChiỊu cao cđa mét tam giác vuông 9,6m chia cạnh huyền thành đoạn 5,6m Tính độ dài cạnh huyền cđa tam gi¸c A B h b' H c’ C Theo hình vẽ ta có: Bài toán yêu cầu tìm độ dài BC đà biết AH Trớc giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cè c«ng thøc h2 =b’.c’ AH = BH HC Để từ đó: Gọi BH có độ dài x(x > 0) => HC có độ dài x + 5, Theo công thức (đà biết phần hình học) ta có phơng trình: x (x + 5, 6) = (9,6)2 Giải phơng trình ta có x = 7, = 20m Yêu cầu 6: Lời giải toán phải rõ ràng đầy đủ (có thể nên thử lại) Lu ý đến việc giải bớc lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau, phủ định lẫn nhau, kết phải Muốn cần rèn cho häc sinh cã thãi quen sau gi¶i xong cần thử lại kết tìm hết nghiệm toán, tránh bỏ sót, phơng trình bậc 2, hệ phơng trình Ví dụ 6: (Toán phát triển đại Nguyễn Ngọc Đạm Trơng Công Thành NXB Giáo dục 1996) Độ dài cạnh huyền tam giác vuông 25, tổng độ dài hai cạnh góc vuông 35 Tìm độ dài cạnh góc vuông tam giác? Hớng dẫn: Gọi độ dài cạnh góc vuông tam giác x, y (x,y > 0) Ta có hệ phơng trình: x + y = 35 (1) x2 + y2 = 252 = 625 (2) Rót y tõ ph¬ng trình (1) thay vào phơng trình (2) ta có phơng trình: x27 35x + 330 = Giải phơng trình bậc ta tìm đợc x1 = 20; x2 = 15 Đến học sinh hay hoang mang hái kết (thực chất toán tam giác vuông 1) lấy kết nào? Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết với điều kiện đầu đảm bảo nghiệm hợp lý Một toán không thiết có kết đợc kiểm chứng lại việc thử lại tất kết với yêu cầu toán Chơng II: Phân loại toán Giải toán cách lập ph ơng trình giai đoạn giải toán I Phân loại toán giải cách lập phơng trình hệ phơng trình Trong 74 tập lớp lớp giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình phân loại nh sau: Loại toán chuyển động Loại toán có liên quan đến số học Loại toán suất lao động (tỷ số phần trăm) Loại toán công việc làm chung, làm riêng (toán quy đơn vị) Loại toán tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỷ số chúng) Loại toán có liên quan hình học Loại toán có chứa tham số Loại toán có nội dung vật lý, hoá học II Các giai đoạn giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Phần giai đoạn: - Với toán bậc ẩn số: Là dạng toán sau xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng dạng ax + b = (a ≠ 0) - Với toán giải phơng trình bậc dạng toán sau xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng đa dạng: ax2 + bx + c = (a 0) - Với toán: Giải toán hệ phơng trình bậc ẩn dạng sau xây dựng biến đổi tơng đơng dạng nguyên (nh mẫu số) có dạng: ax + by = c a’x + b’y = c’ Trong ®ã a, b, a, b không đồng thời Để đảm bảo yêu cầu giải toán bớc quy tắc giải toán cách lập phơng trình (hệ phơng trình) nh phần I đà trình bày giải toán loại chia thành giai đoạn cụ thể rõ bớc quy tắc giải toán cách lập phơng trình ( hệ phơng trình) * Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết kết luận toán giúp học sinh hiểu toán cho kiện gì? cần tìm gì? (có thể mô tả hình vẽ đợc không?) * Giai đoạn 2: Nêu rõ vấn đề liên quan để lập phơng trình Tức chọn ẩn số cho phù hợp, điều kiện ẩn cho thoả mÃn * Giai đoạn 3: Lập phơng trình, dựa vào quan hệ ẩn số đại lợng đà biết, đa vào công thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng để đa phơng trình đà xây dựng phơng trình dạng đà biết, đà giải đợc * Giai đoạn 4: Giải phơng trình (bớc 2) Vận dụng kỹ giải phơng trình đà biết để tìm nghiệm phơng trình * Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm phơng trình để xác định lời giải toán, với thực tiễn xem có phù hợp không? * Giai đoạn 6: Trả lời toán, kết luận nghiệm toán xem có nghiệm, sau đà thử lại * Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải Phần thờng mở rộng cho học sinh tơng đối khá, giỏi Sau giải xong gợi ý cho học sinh biến đổi toán đà cho thành toán khác, ta có thể: - Giữ nguyên ẩn số thay đổi yếu tố khác (dữ kiện giả thiết) - Giữ nguyên kiện, thay đổi yếu tố khác (ẩn số giả thiết) nhằm ph¸t triĨn t to¸n häc cho häc sinh - Giải toán cách khác tìm cách giải hay Ví dụ minh hoạ cho giai đoạn giải toán cách lập phơng trình Ví dụ 1: (Đại số lớp Nguyễn Duy Thuận NXB Giáo dục 1995) Nhà bác Điền thu hoạch đợc 480 kg cà chua khoai tay khối lợng khoai gấp lần khối lợng cà chua Tính khối lợng loại Hớng dẫn giải: * Giai đoạn 1: Giả thiÕt Khoai + cµ chua = 480 Khoai = lần cà chua * Giai đoạn 2: Thờng điều cha biết đợc gọi ẩn số số lợng cà chua số lợng khoai cha biết nên coi hai loại (hoặc loại) Cụ thể: Gọi số lợng khoai x(x > 0kg) số lợng cà chua 480 x (hoặc số lợng cà chua y) => x + y = 480 * Giai đoạn 3: Lập phơng trình Vì số lợng khoai lần số lợng cà chua Do mối quan hệ khoai = cà chua Ta có phơng trình: x = 3(480 – x) (*) hc x = 3y x + y = 489 (**) * Giai đoạn 4: Giải phơng trình: Tiếp theo cách lập phơng trình dẫn đến giải phơng trình bậc (*) hay hệ phơng trình (**) Giải (*) ta đợc x = 360kg Giải (**) ta đợc x = 360kg, y = 120kg cách thay x = 3y vào x + y = 480 * Giai đoạn 5: Đối chiếu nghiệm đà giải với điều kiện đà xem mức 10 x( x > 5) x–5 x x−5 x( x > 5) Làm riêng xong công việc y( y > 5) x–y=5 x y 1 + = x y Phần công việc 1ngày Làm riêng xong công việc Phần công việc 1ngµy 1 + = (*) x x−5 Giải phơng trình (*) ta có x2 17x + 30 = x1 = 15, x2 = (loại) Vậy máy làm riêng 15 ngày, máy làm riêng mất: 15 = 10 ngày Bài 2: (Ôn luyện thi tốt nghiệp THCS Sở GD-ĐT Hải Hng 1996) Hai vòi nớc chảy vào bể nớc 12 đầy bể Nếu mở vòi thứ chảy vòi thứ chảy đầy bể Hỏi vòi chảy phải đầy bể * Lời giải: Gọi x thời gian vòi chảy đầy bể (x > 0) y thời gian vòi chảy đầy bể (y >0) Sau vòi chảy => 1 + = y x 12 1 vòi chảy y x (1) Trong 4h vòi chảy 6 , vòi chảy => + = y x y x (2) Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình: 1 + = y x 12 + = x y Giải hệ phơng trình ta đợc x = 20, y = 30 thoả mÃn điều kiện đà nêu Vậy vòi chảy riêng hết 20h, vòi chảy riêng hết 30h 20 toán mấu chốt cho học sinh hiểu đầu biết đặt ẩn, từ tính thời gian 1h lập đợc phơng trình V Dạng toán tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng hiệu, tỷ số chúng) Bài 1: (Bài sách đại số Ngun Duy Thn – NXB gi¸o dơc 1995) HTX Hång Châu có kho thóc Kho thứ nhiều kho thø hai 100 tÊn Nõu chuyÓn tõ kho thø sang kho thứ 60 lúc sè thãc ë kho thø nhÊt 12 sè thãc ë kho thứ hai Tính số thóc kho lúc đầu 13 * Lời giải: Hớng dẫn học sinh theo bảng sau: Cách Quá trình Cha chuyển Kho x + 100 Kho x(x > 0) §· chuyÓn x + 40 x + 60 Cha chuyÓn x(x > 0) y (y > 0) §· chun x - 60 y + 60 Phơng trình xây dựng x + 40 = 12 (x + 60) (*) 13 x – y = 100 x – 60 = 12 (y + 60) 13 Giải phơng trình (*) ta có x = 200 thoả mÃn Vởy kho lúc đầu có 200 thóc Kho lúc đầu có 300 thóc Bài 2: (Bài Sách đại số Ngô Hữu Dũng Trần Kiều NXB Giáo dục 1996) Một đội xe cần phải chuyên chở 120 hàng làm việc cho xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 hàng Hỏi đội xe có xe * Lời giải: Gọi x số xe đội lúc đầu ( x z+) Theo dự định xe phải chở 120 hàng Nhng làm việc có (x 2) xe chở Thực tế xe phải x chở 120 hàng x2 21 Theo ta có phơng trình: 120 120 = 16 x2 – 2x – 15 = x−2 x Gi¶i ta đợc x1 = 15, x2 = - (loại) Vậy đội có xe ô tô lúc đầu VI Dạng toán có liên quan hình học Bài 1: (Bài Sách đại số Ngô Hữu Dũng Trần Kiều NXB Giáo dục 1996) Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng 2m, diện tích đất lại để trång trät lµ 4256m2 TÝnh kÝch thíc cđa vên? * Hớng dẫn học sinh: Đối với dạng toán có liên quan đến hình học để học sinh dễ hiểu cần vẽ hình vận dụng kiến thức hình học để tìm lời giải A 2m B A B 4m D M B’ E C’ 4m D C D N C H×nh b H×nh a Qua h×nh vÏ ta thÊy nưa chu vi AB + BC = 140m NÕu vÏ l¹i hình (hình a) thành (hình b) toán dễ nhìn Ta thấy diện tích phần lối đà đợc vẽ chuyển phía Nếu vẽ thêm chuyển phần diƯn tÝch MECN sang BB’C’E ta thÊy AB’ nưa chu vi – 4m = 140 – = 136 Và AD = 4m Vậy tìm diện tích lối * Lời giải: Theo hình vẽ ta thấy: Diện tích lối 136 = 544m2 Gọi cạnh ban đầu hình chữ nhật x(x > 0), m) cạnh thứ hai 22 140 x Theo ta có phơng tr×nh: x(140 – x) = 4256 + 544 = 4800 x2 140x + 4800 = Giải phơng trình ta có x1 = 80, x2 = 60 thoả mÃn điều kiện toán Vậy cạnh ban đầu hình chữ nhật 60m, cạnh 80m Bài 2: (Bài trang 68 - Đại số Ngô Hữu Dũng Trần Kiều NXB Giáo dục 1996) Cho tam giác vuông tăng cạnh góc vuông lên 2cm, 3cm diện tích tam giác tăng thêm 50cm2 Tính cạnh góc vuông tam giác * Lời giải: Gọi cạnh tam giác cuông x(cm), y(cm) (x, y > 0) diện tích tam giác xy Theo ta có hệ phơng trình: 1 ( x + 2)( y + 3) − xy = 50 2 1 xy − ( x − 2)( y − 2) = 32 2 3x + 2y = 94 2x + 2y = 68 Gi¶i ta cã x = 26, y = thoả mÃn điều kiện Vậy cạnh góc vuông tam giác vuông 26cm 8cm Bài 3: (Bài Sách đại Ngô Hữu Dũng Trần Kiều NXB Giáo dục 1996) Cho đờng tròn đồng tâm Tìm bán kính đờng tròn Biết khoảng cách lớn điểm đờng tròn đồng tâm 18cm khoảng cách nhỏ điểm đờng tròn 10cm * Hớng dẫn học sinh: Cần phân tích cho học sinh hiểu đợc khoảng cách điểm lớn đờng tròn đồng tâm tổng bán kính đờng tròn Khoảng cách điểm nhỏ hiệu bán kính đờng tròn 23 Hớng dẫn học sinh vẽ hình => M, O, N, M thẳng hàng * Lời giải: Theo bảng sau ta giải phơng trình (2) ta tìm M, O, N, M đợc x = 14cm Bán kính đờng tròn nhỏ 18 14 = 4cm Quá trình B.kính Đ.tròn lớn B.kính Đ.tròn nhỏ Khoảng cách lớn x y Khoảng cách nhỏ Khoảng cách lớn x(x > 0) x y(y > 0) 18 – x C¸ch M Phơng trình xây dựng x + y = 18 (1) x – y = 10 18 – x = x 10 (2) Khoảng cách nhỏ x X - 10 Tóm lại: Dạng toán việc hớng dẫn học sinh giải toán cách phơng trình cần lu ý đến học sinh kiến thức hình học, mối quan hệ hình học nh cách tính diện tích hình tam giác, hình chữ nhật, định lý Pitago, hệ thức lợng tam giác vuông kỹ vẽ hình thành thạo Từ thiết lập mối liên hệ để xây dựng phơng trình Trong hình học cần lu ý đến điều kiện ẩn dơng (diện tích, chu vi, cạnh ) VII Dạng toán có chứa tham số Bài 1: (Ôn luyện thi tốt nghiệp THCS Sở GD- ĐT Hải Hng 1996) Thả vật rơi tự do, không vận tốc ban đầu từ tháp cao xuống đất Ngời ta ghi đợc quÃng đờng rơi S vật theo thời gian t bảng sau: t(giây) S(m) 20 45 80 125 a) Chứng minh quÃng đờng vật rơi tỷ lệ với bình phơng thời gian tơng ứng, tính hệ số tỷ lệ b) Viết công thức biểu thị quÃng đờng vật rơi theo thời gian * Lời giải: a) Dựa vào bảng ta có: = 5; 12 20 = 5; 22 45 = 5; 33 24 80 = 5; 42 125 =5 52 VËy S 20 45 80 125 = = = = = =5 t Do hệ số tỷ lệ b) Công thức biểu thị quÃng đờng vật rơi theo thời gian lµ: S = hay S = 5t2 t2 Bµi 2: (Bài Sách đại Ngô Hữu Dũng NXB Giáo dục 1989) Một hình tròn có diện tích S = 3,14R2 với R bán kính a) Khi R tăng lần S tăng thêm hay giảm lần Khi R giảm lần S tăng hay giảm lần b) Khi S tăng lần R tăng hay giảm lần Khi S giảm 10 lần R tăng hay giảm lần Gọi R = a S1 = 3,14 a2 a) Nếu R tăng lần R1 = 2a S2 = 3,14 (2a)2 = 3,14 4a2 = 3,14a2 => S2 = S1 Vậy diện tích tăng lần Nếu R giảm lần R3 = 1 R1 = a 3 S3 = 3,14  a  = 3,14a = S1   9 Vậy S giảm lần b) Nếu S tăng lên lần tức S4 = S1 th× 3,14 R42 = 3,14 R12 => R42 = R12 = (2R1)2 => R4 = 2R1 Vậy bán kính tăng lần Tơng tự, S giảm 16 lần bán kính tăng lần Tóm lại: Bài toán đà xác định mối tơng quan tỷ lệ độ dài bán kính diện tích Độ tăng bán kính độ tăng diện tích bình phơng độ tăng bán kính ngợc lại VIII Dạng toán có nội dung vật lý hoá học Bài 1: (Bài - Đại số Nguyễn Duy Thuận NXB Giáo dục 25 1995) 200g dung dịch chứa 50gam muối cần pha thêm gam nớc để đợc dung dịch chứa 15% muối * Lời giải: Gọi x lợng nớc cần pha thêm vào dung dịch ®· cho (x > 0, g) ®ã lỵng dung dịch nớc 200 + x Nồng độ dung dịch lµ 50 Theo bµi ta 200 + x có phơng trình: 50 10 = 200 + x 100 5000 = 2000 + 10x x = 3000 (thoả mÃn) Vậy phải thêm 300g nớc vào dung dịch ®· cho Chó ý: CÇn cho häc sinh hiĨu dung dịch gồm chất tan nớc Nồng độ dung dịch tỷ số chất tan với dung dịch chất Bài 2: (Ôn luyện thi tốt nghiệp THCS Sở GD Hải Hng 1996) Dùng hai lợng nhiệt, lợng 168KJ để đun nóng hai khối nớc kg khối nớc nhỏ lớn khối nớc lớn 200C Tính xem khối nớc nhỏ đợc đun nóng thêm độ * Hớng dẫn học sinh: Cần cho häc sinh hiĨu kü vỊ kiÕn thøc vËt lý đà học cần sử dụng công thức tính nhiƯt Q = Cm (t2 – t1) Trong ®ã: t2 t1 nhiệt độ đợc tăng thêm => m = Q C (t t1 ) Vì cần nhớ: nhiệt dung riêng nớc C = 4,2KJ/kg độ * Lời giải: Giả sử khối nớc nhỏ đợc ®un nãng thªm x ®é, x > Nh vËy khối lợng khối nớc nhỏ là: m= Q 168 = kg C (t − t1 ) 4,2 x 26 Vì khối nớc đợc đun nóng khối nớc nhỏ 20C nên khối lợng khối nớc lín lµ: 168 kg 4,2( x − 2) Theo ta có phơng trình: 168 168 +1 = 4,2 x 4,2( x 2) Giải ta đợc x1 = 10, x2 – (lo¹i) VËy khãi níc nhỏ đun nóng 100C Kết luận chơng Trên dạng toán thờng gặp chơng trình trung học sở (lớp lớp 9) Mỗi dạng toán có đặc điểm khác chia thành dạng nhỏ dạng Việc chia dạng chủ yếu dựa vào lời văn để phân loại, nhng chung việc bớc giải toán bớc Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Mỗi dạng, chọn số toán điển hình có tính chất giới thiệu việc xây dựng phơng trình theo cách - Bài toán đa phơng trình bậc ẩn - Bài toán đa hệ phơng trình bậc ẩn - Bài toán đa phơng trình bậc hai ẩn Đó loại phơng trình (hệ phơng trình) em đà đợc học làm quen với cách giải THCS Những ví dụ ý thiên hớng dẫn cách giải phơng trình (hệ phơng trình) mà chủ yếu gợi ý giúp em xây dựng đợc phơng trình Để gặp dạng toán nh em biết cách làm Chơng IV: Phần thực nghiệm Bài soạn Luyện tập giải toán cách lập phơng trình (tiết 1) 27 Mục đích yêu cầu; - Giúp cho học sinh nắm vững yêu cầu giải toán đợc cụ thể hoá quy tắc: Giải toán cách lập phơng trình theo bớc giai đoạn dạng toán - Rèn luyện kỹ biểu diễn số liệu đà biết từ dạng văn thành biểu thức đại số xây dựng đợc phơng trình Chuẩn bị: - Giáo viên: Bài soạn, bảng phụ hình vẽ sơ đồ toán - Học sinh: Học kỹ bớc chuẩn bị tập Bài 2, 8, 10, 11 trang 81 sách đại số Các bớc lên lớp * ổn định tổ chức * Kiểm tra: Nêu quy tắc giải toán cách lập phơng trình giai đoạn cụ thể để giải dạng toán * Bài mới: Khi kiểm tra cũ giáo viên hệ Nội dung: thống lại giai đoạn để giải toán Nhắc lại giai đoạn giải toán cách lập phơng trình cách lập phơng trình áp dụng: Bài 2- 77 Giáo viên gọi học sinh lên bảng, dựa Anh Đại, Anh Tự khởi hành vào bớc giải để học sinh tự xây dựng bớc giải lúc VĐại = VTự VĐại + 1km/h, VTự 1km/h sau 3h STự dài SĐại 3km Giáo viên treo bảng phụ đà vẽ trớc Tính V thực anh? giải thích cho học sinh, ta biểu diễn vận tốc anh Đại anh Tự a) Giai đoạn 1: Minh hoạ vận tốc anh Tự, anh Đại hình vẽ sơ đồ đoạn thẳng đại lợng có liên quan - HÃy nêu yếu tố đà biết? Những yếu tố cần tìm? Chúng liên VĐại 28 hệ với nh nào? VTự x - Theo sơ đồ hÃy chọn cách đặt ẩn? b) Mối quan hệ vận tốc, quÃng Đơn vị điều kiện ẩn? đờng vµ thêi gian - H·y tÝnh vËn tèc cđa an Đại? - Gọi vận tốc thực anh Tự x - Vận tốc anh Tự giảm (x>0, km/h) 1km/h? lại - Thì vận tốc anh Đại 4/5x - VĐại tăng 1km/h đợc là? - Khi vận tốc anh Tự giảm - S cđa anh Tù sau 3h víi vËn tèc 1km/h th× vËn tèc míi lµ (x - 1) míi? - Khi vận tốc anh Đại tăng lên 1km/h - S anh Đại sau 3h với vận tốc vận tốc (4/5x+1) mới? - QuÃng đờng anh Tự sau 3h 3(x1)km/h Dựa vào mối liên hệ đề ta tìm - QuÃng đờng anh Đại sau h 3(4/5x + 1)km phơng trình c) Giai đoạn lập phơng trình: Theo ta có phơng trình 3(x – 1) = + x + 1) (*) - Cả lớp giải phơng trình d) Giải phơng trình (*) - Kiểm tra x = 15 cã phï hỵp víi 15x – 12x = 45 ®iỊu kiƯn kh«ng? 3x = 45 x = 15 x = 15 nói điều gì? Từ tìm VĐại? e) Kiểm tra x = 15 thoả mÃn điều kiện toán phơng trình (*) g) Vận tốc thực anh Tự 15km/h Vận Trả lời toán tốc - Ngoài cách giải em có 15 = 12km / h cách giải khác? - Có thể chọn ẩn khác đợc không? Chọn vận tốc anh Đại ẩn 29 anh Đại - Có thể chọn ẩn khác? Nh có mối liên hệ? - Ta phải tìm thêm mối liên hệ mà toán đà cho cha sử dụng? * Củng cố: Nhắc lại mối quan hệ bớc dẫn đến lập phơng trình toán áp dụng gợi ý số toán khác có nội dung tơng tự * Hớng dẫn nhà: Bµi 8, 10, 11 – 81 Híng dÉn bµi 11- 81 Đờng rộng từ A -> B ngắn đợng 10km Ca nô A -> B hết 3h20 Ô tô A -> B hết 2h VCanô nhỏ Vôtô 17km/h tính Vca nô? - §æi 3h20’ = ? h(3 h ) - NÕu biÕt Vcanô x Vôtô ? ( x + 17) - Scanô h ? - Sôtô 2h là? - Xây dựng phơng trình * Rút kinh nghiệm dạy Học sinh nắm đợc giai đoạn, ý uốn nắn học sinh đặt điều kiện đơn vị, phát huy hết lực häc sinh NhËn xÐt cña nhãm dù giê Bài soạn: Luyện tập (tiết 2) Giải toán cách lập phơng trình Mục đích yêu cầu Tiếp tục rèn luyện kỹ giải toán cách lập phơng trình theo 30 giai đoạn Phát huy khả sáng tạo học sinh trình t với dạng toán phức tạp Học sinh tìm đợc cách giải hay phân biệt đợc dạng toán Chuẩn bị: Giáo viên: Dùng bảng phụ Học sinh: Chuẩn bị 1, 2, 80 Các bớc lên lớp * ổn định tổ chức * Kiểm tra cũ (kết hợp với giảng) * Bài giảng Giáo viên cho học sinh đọc kỹ đầu Bài 80 - Đại số bài, ghi tóm tắt lên bảng, nêu hớng Mẫu số phân số lớn tử số suy nghĩ tìm cách giải Nếu tăng tử mẫu - Tìm phân số nghĩa tìm gì? thêm đơn vị đợc phân số chẵn Tìm phân số ®· cho? (mÉu, tö) - Theo em chän Èn sè gì? (mẫu * Hớng dẫn giải: hay tử) - Cã thĨ chän tư sè lµ x - Sau chän h·y t×m tư sè sau - Cã thĨ chọn mẫu số x tăng? - Tử số sau tăng x + - Sau tăng mẫu? - Mẫu số sau tăng x + - Dựa vào quan hệ lập phơng trình Cách Quá trình Tử số - Dựa vào đề ta có bảng Mẫu số Phơng trình xây dựng Cha tăng x(x 0) x+3 Đà tăng x+2 x+5 Cha tăng x-3 x Đà tăng x-1 x+2 x+2 = (*) x+5 x −1 = (**) x+2 Gọi học sinh lên bảng giải phơng Giải phơng trình (*) ta có: trình, dới lớp tìm so s¸nh kÕt 2x + = x + 31 x = (thoả mÃn điều kiện) - Nhận xét cách giải phơng trình? Mẫu phân số phải tìm là: - Xem xét điều kiện? x+3=1+3=4 - Kết luận Vậy phân số đà cho 1/4 - Yêu cầu học sinh tìm lời giải khác Bài 14- 81 - Gọi học sinh đọc tóm tắt nội dung Cho sè cã ch÷ sè, ch÷ sè hàng toán chục nửa chữ số hàng đơn vị - Một số có chữ số đợc biểu diễn Nếu đặt chữ số xen vào hai chữ số ta đợc số lớn số đà nh nào? cho 370 Tìm số đà cho? - Nêu cách chọn ẩn số? Điều kiện * Lời giải: ẩn số? - Gọi chữ số hàng chục x(x N, - Tìm chữ số hàng đơn vị - Viết số có chữ số thành tổng đại 1;2 9) ssó qua hàng chia theo cách đặt Thì chữ số hàng đơn vị a lËp sè? Ta cã a = 2x - Khi viết chữ số vào số ta Vậy chữ số đà cho xa đợc số nào? - BiĨu diƠn sè míi theo cÊu t¹o sè? xa = 10x + - So sánh số số cũ có liên quan? xa = 12 x a = 10x + 2x 12 - Viết phơng trình - Khi viết số xen vào ta đợc số - Giải phơng trình x1a - Kiểm tra ®iỊu kiƯn vµ kÕt ln x1a = 100x + 10 + a = 100x + 10 + 2x = 102x + 10 - Theo ta có phơng trình: 102x + 10 = 12x + 370 90x = 360 x = (thoả mÃn) Vậy số đà cho 48 32 * Củng cố: Gợi ý học sinh giải cách khác thay đổi ẩn Tìm toán khác tơng tự cách thay đổi kiện, thay đổi lời văn VD: Bài thay lời văn nh sau: Tuổi anh tuổi em 3, sau năm tuổi anh gấp đôi tuổi cđa em T×m ti cđa anh, em * Híng dÉn nhà: Bài 4, làm tơng tự nh 80 Bài 12 81 làm tơng tự nh 14 Tìm cách giải khác * Rút kinh nghiệm dạy - Học sinh đà biết cách giải - Chú ý cách phân tích cấu tạo số bµi * NhËn xÐt cđa nhãm dù giê * Nhận xét Ban giám hiệu 33 Tài liệu tham khảo Nguyễn Duy Thuận SGK Đại NXB Giáo dục năm - 1995 Ngô Hữu Dũng Trần Kiều SGK Đại NXB Giáo dục- 1996 Phạm Văn Hoàn SGK Toán lớp 1, NXB Giáo dục - 1996 Trơng Công Thành Các toán khó 4, NXB Giáo dục - 1990 Nguyễn Ngọc Đạm Trơng Công Thành Toán phát triển Đại số - NXB Giáo dục 1996 Bài ôn luyện Toán NXB Giáo dục 1990 Ôn thi tốt nghiệp THCS Sở Giáo dục Hải Hng 1996 Vũ Hữu Bình Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều Tập toán bồi dỡng học sinh Đại số 8, 9 Nhóm tác giả: Ngô Hữu Dũng Nguyễn Bá Kim Nguyễn Đình Thọ Trịnh Khang Thành Tập ôn luyện thi tốt nghiệp THCS NXB Giáo dục 1990 10 Bộ sách để học tốt đại số 7, 8, NXB Hà Nội – 1993 ... cầu toán Chơng II: Phân loại toán Giải toán cách lập ph ơng trình giai đoạn giải toán I Phân loại toán giải cách lập phơng trình hệ phơng trình Trong 74 tập lớp lớp giải toán cách lập phơng trình. .. nghiệm trình giảng dạy dạng toán Giải toán cách lập phơng trình Nội dung đề tài gồm: Chơng I: Phơng pháp nghiên cứu yêu cầu giải toán Chơng II: Phân loại toán giai đoạn giải toán cách lập phơng trình. .. giải toán bớc quy tắc giải toán cách lập phơng trình (hệ phơng trình) nh phần I đà trình bày giải toán loại chia thành giai đoạn cụ thể rõ bớc quy tắc giải toán cách lập phơng trình ( hệ phơng trình)