ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC BÀI TẬP LỚN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI CUNG VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY TRONG MAPLE Sinh viên thực hiện: Phạm Hương Giang Lớp: K56A1T2 Môn học: Thực hành tính tốn Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Hữu Điển Hà Nội - 12/2013 Mục lục 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Giới thiệu Maple 0.1.1 Maple gì? 0.1.2 Các chức Tích phân 0.2.1 Tích phân khơng xác định 0.2.2 Tích phân xác định Tính độ dài cung 0.3.1 Xây dựng cơng thức giải tích 0.3.2 Xây dựng thuật toán Maple Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay 0.4.1 Xây dựng cơng thức giải tích 0.4.2 Xây dựng thuật tốn Maple Maple ? 3 4 6 11 11 14 19 MỤC LỤC Lời nói đầu Tích phân xác định có nhiều ứng dụng Trong đó, tính độ dài cung diện tích vật thể trịn xoay số Thơng thường, tính trực tiếp nhiều thời gian công sức Nhưng với phần mềm Maple, phần mềm tính tốn thơng minh việc trở nên dễ dàng nhiều Nội dung tập lớn này, em muốn trình bày việc sử dụng Maple để tính độ dài cung diện tích vật thể tròn xoay Nhân em xin gửi lời cảm ơn, lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Nguyễn Hữu Điển hướng dẫn em nhiệt tình, giúp giải đáp thắc mắc em cần thiết để em hồn thành tốt tập lớn Nhờ có giảng thầy mà em tiếp cận phần mềm thú vị hữu ích Maple VieTeX Bài tập lớn cịn nhiều sai sót Mọi đóng góp xin gửi địa email: giangbeo1612@gmail.com Một lần xin chân thành cảm ơn Sinh viên trình bày: Phạm Hương Giang Lớp : K56 - Toán học A1T2 Mã sinh viên: 1100 1604 0.1 Giới thiệu Maple 0.1 Giới thiệu Maple 0.1.1 Maple gì? Maple phần mềm Toán học Đại học Tổng hợp Waterloo (Canada) xây dựng đưa vào sử dụng năm 1985 Phần mềm ngày hoàn thiện sau nhiều lần cải tiến phát triển qua nhiều phiên khác Maple chạy tất hệ điều hành, có trình trợ giúp (Help) dễ sử dụng Từ phiên 7, Maple cung cấp ngày nhiều cơng cụ trực quan, gói lẹnh tự học gắn liền với tốn phổ thơng đại học Ưu điểm khiến ngày có nhiều nước giới chọn sử dụng Maple dạy - học tốn tương tác trước địi hỏi thực tiễn phát triển giáo dục 0.1.2 Các chức Maple phần mềm đặc biệt, có tính ứng dụng cao nhiều ngành khoa học kỹ thuật Trong đó, ta nêu vắn tắt số chức Maple sau: - Thực tính tốn với khối lượng lớn, với thời gian nhanh độ xác cao - Ngơn ngữ lập trình đơn giản, mạnh mẽ, có khả tương tác với ngơn ngữ lập trình khác - Sử dụng gói lệnh chuyên dụng Maple để giải toán cụ thể như: Vẽ đồ thị (gói plots), Hình học giải tích (gói geometry), Đại số tuyến tính (gói linalgs), Giải tích (gói student), Phương trình vi phân (gói DEtools), Lý thuyết số (gói numtheory), Dữ liệu rời rạc (gói DiscreteTransforms), - Tính tốn biểu thức đại số - Thiết kế đối tượng chiều - Minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị tĩnh động đường mặt cho hàm tùy ý nhiều hệ tọa độ khác - Có thể thực hầu hết phép tốn chương trình tốn đại học sau đại học - Một công cụ biên soạn giáo án giảng điện tử, thích hợp với lớp học tương tác trực tiếp 0.2 Tích phân - Một cơng cụ hữu ích cho học sinh, sinh viên việc tự học Ngồi ra, Maple cịn nhiều tính vấn đề khác 0.2 Tích phân Có hai loại tích phân là: Tích phân khơng xác định Tích phân xác định 0.2.1 Tích phân không xác định Cho hàm f xác định khoảng U (một đoạn, khoảng hay nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn tập số thực) Hàm khả vi F U gọi nguyên hàm f khoảng F ( x ) = f ( x ) với x ∈ U Tập hợp tất nguyên hàm hàm f khoảng U gọi tích phân khơng xác định hàm f U ký hiệu f ( x )dx Giả sử F nguyên hàm f U, đó: f ( x )dx = F ( x ) + C, C số tùy ý * Cách tính tích phân khơng xác định với Maple > int(,); Ví dụ: - Với lệnh >int(x3 cos( x ), x); ta tìm x3 cos( x )dx = x3 sin ( x ) + x2 cos ( x ) − cos ( x ) − x sin ( x ) - Với lệnh >int(sqrt( x2 + a), x); ta tìm x2 + adx = 1/2 x x2 + a + 1/2 a ln x + x2 + a 0.2.2 Tích phân xác định Cho đoạn thẳng ∆ tập số thực R với hai đầu mút a, b (không thiết a ≤ b) xét cách chia đoạn ∆ thành đoạn ∆i với đầu mút xi−1 , xi điểm chia tùy ý a = x0 , x1 , , xn = b Ta gọi phép chia phân hoạch đoạn ∆ ký hiệu T Gọi ∆xi = xi − xi−1 , a ≤ b ∆xi ≥ a ≥ b ∆ ≤ 0∀i = 1, 2, , n 5 0.2 Tích phân Số d( T ) = max |∆xi | = max | xi − xi−1 | gọi đường kính phân i i hoạch T Gọi P (∆) tập hợp tất phân hoạch ∆ Giả sử T1 ∈ P (∆), ta nói T2 mịn T1 ký hiệu T2 ≥ T1 tập hợp điểm chia T2 bao gồm điểm chia T1 hay nói cách khác đoạn phân hoạch T2 chứa đoạn phân hoạch T1 Giả sử f hàm xác định đoạn ∆ Trên đoạn ∆1 với hai đầu mút xi−1 , xi ta lấy điểm ξ i tùy ý lập thành tổng n σ f ( T, ξ ) = ∑ n f (ξ i )( xi − xi−1 ) = ∑ f (ξ i )∆xi i −1 i =1 Tổng σ f ( T, ξ ) gọi tổng tích phân hàm f đoạn ∆ ứng với phân hoạch T điểm chọn ξ = (ξ , ξ , , ξ n ) với ξ i ∈ ∆i (i = 1, 2, , n) Khi phân hoạch T điểm ξ thay đổi ta có họ khơng đếm tổng tích phân {σ f ( T, ξ )} Ta nói họ tổng tích phân có giới hạn I ∈ R d( T ) → cho trước ε > bé tùy ý ln tồn số δ(ε) > cho với T ∈ P (∆) với d( T ) < δ với cách lấy điểm ξ ta có |σ f ( T, ξ ) − I | < ε Khi ta viết lim σ f ( T, ξ ) = I d( T )→0 Giới hạn I tồn gọi tích phân xác định hàm f đoạn ∆ với hai đầu mút a, b ký hiệu: b I= f ( x )dx a * Cách tính tích phân xác định Maple > int(,=,); Ví dụ: - Với lệnh > f := arcsin(sqrt( x/( x + 1))) : > int( f , x = 3); ta tính √ x dx = − + 4/3 π arcsin x+1 - Với lệnh g := 1/( x2 + x + 1); > int( g, x = −1 1); ta tìm √ = 1/3 π x2 + x + 0.3 Tính độ dài cung 0.3 Tính độ dài cung 0.3.1 Xây dựng cơng thức giải tích Định nghĩa Trước hết ta hiểu cung ánh xạ liên tục γ : [ a, b] → R3 , ta thường yêu cầu thêm ánh xạ γ đơn ánh (cung Jordan) đồng γ với ảnh γ([ a, b]) ⊆ R3 Bài toán đặt đưa định nghĩa cách tính độ dài cung γ Đặt A = γ( a), B = γ(b), lấy phân hoạch T [ a, b] với điểm chia a = t0 < t1 < < tn = b từ ta có phân hoạch γ([ a, b]) điểm chia A = γ( a) = M0 , γ(t1 ) = M1 , , γ(tn ) = Mn = B Nối điểm Mi−1 , Mi đoạn thẳng (i = 1, 2, , n) ta đường gấp khúc ký hiệu γ( T ), cách tự nhiên ta lấy độ dài đường gấp khúc γ( T ) làm giá trị gần độ dài cung γ Đặt ρ(γ( T )) = max ρ( Mi−1 , Mi ) ρ( Mi−1 , Mi ) khoảng cách 1≤ i ≤ n hai điểm Mi−1 , Mi khơng gian R3 Do tính liên tục ánh xạ γ ta suy d( T ) → (d( T ) đường kính phân hoạch T) ρ(γ( T )) tiến đến không Định nghĩa Nếu độ dài đường gấp khúc γ( T ) có giới hạn hữu hạn ρ(γ( T )) → ta nói cung γ có độ dài (hay cịn gọi đo được) giới hạn lấy làm độ dài cung γ Cơng thức tính độ dài cung Bây ta lập cơng thức tính độ dài cung thuộc lớp C1 , để đơn giản ta xây dựng công thức cho cung R2 , R3 làm tương tự Giả sử cho cung γ : [ a, b] → R2 với γ(t) = ( x (t), y(t)) ∈ R2 , x (t), y(t) hai hàm có đạo hàm liên tục [ a, b] x (t) + y (t) > 0∀t ∈ [ a, b], cung gọi cung trơn Xét phân hoạch T [ a, b] a = t0 < t1 < t < < < tn = b gọi d( T ) đường kính phân hoạch T, Mi = γ(ti ) = ( x (ti ), y(ti )), i = 0, 1, 2, , n Theo công thức số gia giới nội x (ti ) − x (ti−1 ) = x (ξ )∆ti y(ti ) − y(ti−1 ) = y (ηi )∆ti 0.3 Tính độ dài cung ∆ti = ti − ti−1 Khi độ đài đoạn thẳng [ x (ti ) − x (ti−1 )]2 + [y(ti ) − y(ti−1 )]2 Mi − Mi = [ x (ξ i )]2 + [y (ηi )]2 ∆ti = độ dài đường gấp khúc γ( T ) n pn = ∑ [ x (ξ i )]2 + [y (ηi )]2 ∆ti i =1 n Đặt σ( T, ξ ) = ∑i=1 [ x (ξ i )]2 + [y (ηi )]2 ∆ti √ √ Áp dụng bất đẳng thức | u2 − v2 − u2 − w2 | ≤ |v − w|, với số thực u, v, w n | pn − σ( T, ξ )| ≤ ∑| [ x (ξ i )]2 + [y (ηi )]2 − [ x (ξ i )]2 + [y (ξ i )]2 |∆ti i =1 n ≤ ∑ |y (ηi ) − y (ξ i )|∆ti i =1 Vì y (t) liên tục [ a, b] nên liên tục Khi ∀ε > cho trước ∃ số δ > cho ∀ T ∈ P ([ a, b]) mà d( T ) < δ1 ta có: |y (ξ i ) − y (ηi )| < ε 2( b − a ) điều có ξ i , ηi thuộc ∆i nên |ξ i − ηi | < d( T ) < δ1 Vì vậy: n pn − σ( T, ξ ) ≤ ε ε ∑ |y (ξ i ) − y (ηi )|∆ti < 2(b − a) (b − a) = i =1 Mặt khác x (t), y (t) hàm liên tục [ a, b] nên [ x (t)]2 + [y (t)]2 khả tích đoạn a [ x (t)]2 + [y (t)]2 dt ∃δ2 > cho ∀ T ∈ P ([ a, b]) Đặt L = b ε mà d( T ) < δ2 ta có |σ( T, ξ ) − L| < Nếu chọn δ = min(δ1 , δ2 )), ∀ T ∈ P ([ a, b]) mà d( T ) < δ thì: | pη − L| ≤ | pη − σ( T, ξ )| + |σ( T, ξ ) − L| < ε ε + =ε 2 0.3 Tính độ dài cung a [ x (t)]2 + [y (t)]2 dt có nghĩa lim pn = d(t)→0 b a [ x (t)]2 + [y (t)]2 dt Vậy công thức tính độ dài cung phẳng L = b R3 , với Nếu γ : [ a, b] → γ(t) = ( x (t), y(t), z(t)) hàm véc tơ có đạo hàm cấp liên tục [ a, b] γ có độ dài độ dài tính theo cơng thức: a [ x (t)]2 + [y (t)]2 + [z (t)]2 dt L= b Trường hợp đặc biệt γ : [ a, b] → R2 đường cong phẳng γ( x ) = ( x, f ( x )) f ∈ C1 ([ a, b]) a + [ f ( x )]2 dx L= b Các ví dụ x2 , O Ví dụ 1: Tính độ dài cung OA nằm parabol y = 2p gốc tọa độ, A điểm nằm parabol có hồnh độ t t + [ f ( x )]2 dx L= = p t x2 + p2 dx = p = x t 2p x2 + p2 t2 + p2 + t p2 + ln ( x + x2 t2 p2 p t+ ln + p2 ) + p   x = a cos t  Ví dụ 2: Tính độ dài cung xoắn ốc Archimede y = a sin t   z = at 2π [x L= (t)]2 + [y (t)]2 + [z (t)]2 dt √ 2π =a 0 ≤ t ≤ 2π a>0 √ dt = πa2 0.3 Tính độ dài cung 0.3.2 Xây dựng thuật toán Maple +) Thuật toán: Bước Khai báo gói lệnh "Student[Calculus1] " "plots" Bước Nhập f(x), g(x) a, b (nếu có) Bước Vẽ đồ thị hàm số Tính độ dài cung theo công thức +) Trên Maple > with(Student[Calculus1]): >with(plots); > sapxeptang := proc(danhsach::list) local tg, i, j, A, n; A:= danhsach; n:=nops(danhsach); for i to n for j from i + to n if eval f ( A[ j]) < eval f ( A[i ]) then tg := A[i ]; A [ i ] : = A [ j ]; A[ j] := tg fi; od; od; return A end; >dodaicung := proc local t, q, a, b, f , g, L, i ; f :=readstat("Nhap f ( x ) = "); g:=readstat("Nhap g( x ) = "); a := readstat("Nhap a = «neu khong co Enter bo qua» "); b:= readstat("Nhap b = «neu khong co Enter bo qua» "); print("——————–Bai giai——————–"); if a = NULL and b = NULL then print("Do dai cung gioi han boi cac duong "); print(y = f , y = g, x = a, x = b); print("Do thi cac duong cong "); print(plot({ f , g}, x = −10 10, y = −10 10, color=[red, green])); print(("Vay dai cung la: S="Int([ Di f f ( f , x )]2 + [ Di f f ( g, x )]2 , x = a b) = (int(([di f f ( f , x )]2 + [di f f ( g, x )]2 ), x = a b))" fi; if a=NULL and b=NULL 10 0.3 Tính độ dài cung then print("Do dai cung gioi han boi cac duong "); print(y = f , y = g); print("Hoanh giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh : "); print( f − g = 0); print("Ta duoc "solve({ f = g}, {x})); print("Do thi "); print(plot({ f , g}, x = −5 5, y = −8 8)); t := solve( f = g, x ); t : = [ t ]; q:=sapxeptang(t); L := 0; i := 1; while i < nops(q) L := L + int(4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt([di f f ( f , x )]2 ) + ([di f f ( g, x )]2 ), x = q[1] q[i + 1]); i := i + 1; od; print("Vay dai cung la: "); print(L); fi; end; +) Ví dụ: Tính độ dài cung đường cong y = 2x − x2 đoạn [0,1] "——————–Bai giai——————–" "Do dai cung gioi han boi cac duong " y = 2x − x2 , y = 0, x = 0, x = "Do thi cac duong cong " Vay dai cung la:  L= d 2x − x2 dx d + dx  ([2 − 2x ]2 + [0]2 )dx dx  = 11 0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay Hình 1: 0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay 0.4.1 Xây dựng cơng thức giải tích Cho hình thang cong giới hạn a≤x≤b ≤ y ≤ f (x) với f ( x ) hàm thuộc lớp C1 [ a, b] Quay hình thang cong quanh trục Ox ta hình trịn xoay Ω Bài tốn đặt tính diện tích xung quanh vật thể Ta xác định khái niệm diện tích xung quanh xây dựng cơng thức tính Xét phân hoạch T đoạn [ a, b] a = x0 < x1 < < xn = b Khi đường cong y = f ( x ) chia làm n phần điểm ( a, f ( a)) = A = M0 , M1 , , Mn = (b, f (b)) Khi quay xung quanh trục Ox đoạn thẳng Mi−1 Mi tạo thành mặt xung quanh hình nón cụt có diện tích xung quanh Si = πli [ f ( xi−1 ) + f ( xi )] i = 1, 2, , n 12 0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay li độ dài đoạn thẳng Mi−1 Mi Áp dụng công thức Lagrange li = ( xi − xi−1 )2 + [ f ( xi ) − f ( xi−1 )]2 = + [ f (ξ i )]2 ∆xi Khi tổng n Pn = ∑π + [ f (ξ i )]2 [ f ( xi ) − f ( xi−1 )]∆xi i =1 lấy làm giá trị xấp xỉ diện tích xung quanh vật thể tròn xoay Ω Nếu d( T ) → mà pn dần đến giới hạn hữu hạn giới hạn lấy làm diện tích xung quanh hình trịn xoay Ω Vì f có đạo hàm liên tục đoạn [ a, b] nên tồn tích phân a + [ f ( xi )]2 dx = I 2π f ( x ) b n + [ f (ξ i )]2 ∆xi , ∀ε > 0, ∃δ1 > Đặt σ ( T, ξ ) = ∑ 2π f (ξ ) i =1 cho ∀ T ∈ P ([ a, b]) mà d( T ) < δ1 , ta có: ε |σ( T, ξ ) − I | < Mặt khác, f hàm liên tục [ a, b] nên tồn δ2 < cho d( T ) < δ2 | f ( xi ) + f ( xi−1 ) − f (ξ i )| < M = max [ a,b] ε 2πM(b − a) + [ f ( x )]2 Chọn δ = (δ1 , δ2 ) ∀ T ∈ P ([ a, b]) mà d( T ) < δ n | Pn − σ( T, ξ )| = π ∑ [ f (xi ) + f (xi−1 ) − f (ξ i )] + [ f (ξ i )]2 ∆xi i =1 =π n ε ε ∑ ∆xi = 2πM (b − a) i−1 Kết hợp với điều kiện |σ ( T, ξ ) − I | < ε ta suy | Pn − I | < ε hay b lim Pn = d( T )→0 2π f ( x ) a + [ f ( x )]2 dx 13 0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay Vậy cơng thức tính diện tích xung quanh vật thể trịn xoay b f (x) s = 2π + [ f ( x )]2 dx a Ví dụ: Tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay tạo thành 2 quay hình phẳng giới hạn đường astroid x + y = a , ( a > 0) quanh trục Ox Do tính đối xứng đường cong ta xét miền x ≥ 0, y ≥ 0, xét dạng tham số đường cong x = a cos3 t 0≤t≤ y = a sin3 t π Khi diện tích xung quanh a s = 4π f (x) + [ f ( x )]2 dx Bằng phép biến đổi x = a cos3 t, ta có: π 2 y(t) y(t) s = 4π y (t) 1+ x (t) [ x (t)]2 + [y (t)]2 dt x (t)dt π = 4π π a sin3 t3a sin t cos tdt = 4π π = 12πa2 sin4 t cos tdt = 12πa2 0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay 0.4.2 Xây dựng thuật toán Maple +) Thuật tốn Bước Khai báo gói lệnh "Student[Calculus1] " "plots" Bước Nhập f(x), g(x) a, b (nếu có) Bước Nếu có a, b: Vẽ đồ thị hàm số Tính theo cơng thức Bước Nếu khơng có a,b: Tìm giao điểm đường cong Vẽ hình Tính theo cơng thức +) Trong Maple > with(Student[Calculus1]): >with(plots); > sapxeptang := proc(danhsach::list) local tg, i, j, A, n; A:= danhsach; n:=nops(danhsach); for i to n for j from i + to n if eval f ( A[ j]) < eval f ( A[i ]) then tg := A[i ]; A [ i ] : = A [ j ]; A[ j] := tg fi; od; od; return A end; >dientichxq := proc local t, q, a, b, f , g, S, i ; f :=readstat("Nhap f ( x ) = "); g:=readstat("Nhap g( x ) = "); a := readstat("Nhap a = «neu khong co Enter bo qua» "); b:= readstat("Nhap b = «neu khong co Enter bo qua» "); print("——————–Bai giai——————–"); if a = NULL and b = NULL then print("Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong "); print(y = f , y = g, x = a, x = b); print("Do thi cac duong cong "); print(plot({ f , g}, x = −10 10, y = −10 10, color=[red, green])); print(("Vay dien tich xung quanh la: S="( Int(4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt([ Di f f ( f , x )]2 + [ Di f f ( g, x )]2 ), x = a b)) = (int(4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt([di f f ( f , x )]2 + 14 0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay [di f f ( g, x )]2 ), x = a b))" fi; if a=NULL and b=NULL then print("Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong "); print(y = f , y = g); print("Hoanh giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh : "); print( f − g = 0); print("Ta duoc "solve({ f = g}, {x})); print("Do thi "); print(plot({ f , g}, x = −5 5, y = −8 8)); t := solve( f = g, x ); t : = [ t ]; q:=sapxeptang(t); S := 0; i := 1; while i < nops(q) S := S + int(4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt([di f f ( f , x )]2 ) + ([di f f ( g, x )]2 ), x = q[1] q[i + 1]); i := i + 1; od; print("Vay dien tich xung quanh la: "); print(S); fi; end; +) Ví dụ: Tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay giới hạn đường y = 2x − x2 , y = x3 "——————–Bai giai——————–" "Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong " y = 2x − x2 , y = x3 "Hoanh giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh : " 2x − x2 − x3 = "Ta duoc " ({ x = 0}, { x = 1}, { x = −2}) "Do thi " "Vay dien tich xung quanh la: " 4πx3 [2 − 2x ]2 + [3x2 ]2 dx + −2 −2 [2 − 2x ]2 + [3x2 ]2 dx 15 0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay Hình 2: Tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay giới hạn đường y = x − 12 , y = x "——————–Bai giai——————–" "Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong " y = x4 − 1, y = x3 "Hoanh giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh : " x4 − − x3 = "Ta duoc " ({ x = RootO f (_Z4 − − _Z3 , index = 1)}, { x = RootO f (_Z4 − − _Z3 , index = 2)}, { x = RootO f (_Z4 − − _Z3 , index = 4)}, { x = RootO f (_Z4 − − _Z3 , index = 4)}) "Do thi" "Vay dien tich xung quanh la: " 16 0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay Hình 3: RootO f (_Z4 −1−_Z3 ,index =2 4πx3 [4x3 ]2 + [3x2 ]2 dx + RootO f (_Z4 −1−_Z3 ,index =3 RootO f (_Z4 −1−_Z3 ,index =1 4πx3 [4x3 ]2 + [3x2 ]2 dx + 4πx3 [4x3 ]2 + [3x2 ]2 dx RootO f (_Z4 −1−_Z3 ,index =3 RootO f (_Z4 −1−_Z3 ,index =4 RootO f (_Z4 −1−_Z3 ,index =3 17 0.4 Diện tích xung quanh vật thể tròn xoay Tài liệu tham khảo Giáo trình Giải tích Tập Phép tính tích phân hàm biến - Chuỗi số Dãy hàm - Chuỗi hàm Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hồng Quốc Toàn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội LATEX Tra cứu soạn thảo Nguyễn Hữu Điển - Nguyễn Minh Tuấn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội baitaplon-mau.tex Bài tập lớn vuthixuyen www.google.com Ket thuc van ban 18 0.5 Maple ? 0.5 Maple ? 19 ... 13 0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay Vậy cơng thức tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay b f (x) s = 2π + [ f ( x )]2 dx a Ví dụ: Tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay tạo... dien tich xung quanh la: " 4πx3 [2 − 2x ]2 + [3x2 ]2 dx + −2 −2 [2 − 2x ]2 + [3x2 ]2 dx 15 0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay Hình 2: Tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay giới... Tích phân xác định có nhiều ứng dụng Trong đó, tính độ dài cung diện tích vật thể trịn xoay số Thơng thường, tính trực tiếp nhiều thời gian cơng sức Nhưng với phần mềm Maple, phần mềm tính tốn