Đang tải... (xem toàn văn)
Giải phương trình bằng cách lập phương trình hệ phương trình
Phần mở đầu Lý chọn đề tài: Dạng toán Giải bải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình chơng trình đại số lớp 8, lớp trờng THCS dạng toán tơng đối khó học sinh Do đặc trng cuả loại toán thờng loại toán có đề lời văn thờng đợc kết hợp toán học, lý học hoá học Hầu hết toán có liệu giằng buộc lẫn buộc học sinh phải có suy luận tốt tìm đợc mối liên quan đại lợng để lập đợc phơng trình hệ phơng trình Trong phân phối chơng trình toán trờng THCS lớp học sinh đợc học khái niệm phơng trình, nhng việc giải phơng trình đà có chơng trình toán từ lớp dới với mức độ yêu cầu đơn giản Đặc thù riêng loại toán hầu hết toán đợc gắn liền với nội dung thực tế Vì mà việc chọn ẩn thờng đại lợng có liên quan đến thực tế Do giải toán học sinh thờng mắc sai lầm thoát ly khỏi thực tế dẫn đến quên điều kiện ẩn số Học sinh không khai thác hÕt mèi quan hÖ gi»ng buéc thùc tÕ… tõ lý dẫn đến hầu hết học sinh ngại giải dạng toán Mặt khác trình giảng dạy cho học sinh điều kiện khách quan giáo viên dạy cho học sinh truyền thụ theo sách giáo khoa mà cha biết phân loại dạng toán, cha khai thác đợc phơng pháp giải cho dạng toán, kỹ phân tích, tổng hợp học sinh yếu trình đặt ẩn , liên hệ số liệu toán dẫn đến lúng túng việc giải dạng toán Vì muốn giải đợc toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình điều quan trọng phải biết diễn đạt mối liên hệ toán thành quan hệ toán học Do nhiệm vụ ngời thầy phải dạy cho học sinh cách dẫn giải tập Vì hớng dẫn cho học sinh học giải dạng toán cách lập PT, hệ PT phải dựa nguyên tắc sau: + Yêu cầu giải toán + Quy tắc giải toán cách lập phơng trình + Phân loại dạng toán dựa vào trình biến thiên đại lợng ( tăng giảm, thêm bớt) + Làm sáng tỏ mối quan hệ đại lợng dẫn đến lập đợc PT, hệ PT dễ dàng Với mong muốn trao đổi với bạn bè đồng nghiệp kinh nghiệm trình giảng dạy dạng toán Giải toán cách lập PT, hệ PT đà chọn đề tài Dạy giải toán cách lập PT, hệ PT Trong trình giảng dạy trờng THCS không ngừng học hỏi từ bạn bè đồng nghiệp, từ tài liệu tham khảo, đặc biệt đợc hớng dẫn tận tình Giáo s Lê Mậu Hải Giảng viên khoa Toán - Tin trờng ĐHSP Hà Nội đà giúp hoàn thành đề tài Nội dung Chơng I Phơng pháp nghiên cứu yêu cầu giải toán I Phơng pháp nghiên cứu - Dựa vào phân phố chơng trình chung Bộ giáo dục - Đào tạo ban hành chơng trình toán THCS với nội dung: Phơng trình hệ PT - Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán dựa vào nguyên tắc chung: Giải toán cách lập phơng trình, hệ PT * Nội dung quy tắc gåm c¸c bíc sau: Bíc 1: LËp PT ( gåm) + Chọn ẩn ( Chỉ rõ đơn vị điều kiện ẩn) + Biểu thị số liệu cha biết đà biết qua ẩn + Dựa vào mối quan hệ số liệu để lập PT, hệ PT Bớc 2: Giải PT hệ PT ( Chọn cách giải cho phù hợp) Bớc 3: Nhận định kết trả lời - So sánh kết tìm đợc với điều kiện cuả ẩn xem có phù hợp không trả lời kết II Yêu cầu giải toán Yêu cầu 1: Lời giải không phạm phải sai lầm, không sai sót dù nhỏ Muốn giáo viên phải cho học sinh hiểu kỹ đề bài, trình giải sai sót kiến thức bản, phơng pháp suy luận, kỹ tính toán, cách ký hiệu ẩn phải xác, phải phù hợp với toán phù hợp với thực tế Ví dụ 1: Bẩy năm trớc tuổi mẹ năm lần tuổi cộng thêm Năm tuổi mẹ vừa gấp lần tuổi Hỏi năm ngời tuổi + Phân tích đề bài: Năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Nên tuổi x tuổi mẹ 3x Bẩy năm trớc tuổi mĐ lµ 3x – 7, ti lµ x – Giải: Gọi tuổi năm x Tuổi mẹ năm 3x ( x N * , y N * ; x>7 tuổi) Trớc năm tuổi x Trớc năm tuổi mẹ 3x Vì trớc năm tuổi mẹ lần tuổi cộng thªm nªn ta cã PT: 3x – = 5(x - 7) +4 ↔ 3x – = 5x – 35 +4 ↔ 3x – 5x = - 35 + + ↔ - 2x = -24 ⇒ x = 12 ( TMĐK) Vậy năm tuổi lµ 12 ti vµ ti mĐ lµ 36 ti Yêu cầu 2: Lời giải toán phải có xác Trong trình thực bớc phải có Loogic chặt chẽ với nhau, có sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải ý tới việc thỏa mÃn điều kiện nêu giả thiết Xác định ẩn phải khéo léo, mối quan hệ ẩn kiện đà cho phải làm bật đợc ý phải tìm Nhờ mối tơng quan đại lợng toán thiết lập đợc phơng trình, từ tìm đợc giá trị ẩn Muốn giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ đâu ẩn, đâu kiện, đâu điều kiện Điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn hay không Từ mà xác định đợc hớng đi, xây dựng đợc lời giải Ví dụ 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 5m Tính chu vi mảnh đất Biết diện tích mảnh đất 500m2 *Phân tích đề bài: Nếu chiều dài cuả mảnh đất HCN x (m) → chiỊu réng lµ x – (m) Khi diện tích mảnh đất HCN x (x - 5)(m2) * Giải: Gọi chiều dài mảnh ®Êt HCN lµ x ( 0AB → CH> BH B H C Vµ AH2 = BH.CH ( theo hệ thức lợng ) Giải: Gọi độ dài BH x ( x>0; m) Độ dài CH x+ 1,4 (m) Theo hệ thức lợng tam giác vuông ta có: AH2 = HB HC ↔ 2,42 = x ( x+ 1,4) ↔ x2 + 1,4x – 5,76 = ∆ = ( 1,4)2 – 4.1 ( - 5,76) = 1,96 + 23,04 = 25 → ∆= x1 = −1,4 + = >0 1,8 x2 = −1,4 − = -3,2 ( lo¹i) VËy BH = 1,8m → CH = 1,8 + 1,4 = 3,2m → BC = 1,8 + 3,2 = 5(m) Yêu cầu 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ Các bớc lập luận không đợc chồng chéo, phủ định lẫn Muốn cần rèn cho học sinh có thói quen sau giải xong cần phải thử lại kế tìm n0 toán, tránh bỏ sót n0 đặc biệt PT bậc 2, hệ PT Ví dụ 6: Độ dài cạnh huyền tam giác 25m, tổng độ dài hai cạnh góc vuông 35m Tìm độ dài cạnh tam giác Giải: Gọi độ dài cạnh góc vuông tam giác đà cho x,y (080; phút) Gọi y thời gian vòi chảy đầy bể ( y>80; phút) Trong phút vòi chảy đợc x Trong phút vòi chảy đợc y ( bể) ( bể) 20 15 bể Hỏi vòi Trong hai vòi chảy đợc Ta có PT: 1 + = x y 80 80 (1) Khi më vòi 10 phút đợc 10 x Khi mở vòi 12 phút đợc 12 y Theo đầu bµi ta cã bĨ 10 12 + = x y 15 bÓ bÓ ( 2) 1 + = x y 80 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ PT: 10 12 + = x y 15 Giải hệ PT ta đợc x = 120 y = 240 Vậy vòi thứ chảy sau 120 phút đầy bể Vòi thứ hai chảy sau 24 phút đầy bể Bài toán Hai đội công nhân công việc 16 ngày xong, đội thứ làm ba ngày đội thứ hai làm ngày đợc 25 % công việc Hỏi đội làm hoàn thành công việc Giải: Gọi x thời gian đội làm xong công việc (x>16; ngày) Gọi y thời gian đội làm xong công việc ( y >16; ngày) Một ngày đội làm đợc Một ngày đội làm đợc x y công việc công việc Trong ngày hai đội làm ®ỵc Ta cã 1 + = x y 16 16 (1) 21 công việc Đội làm ngày làm đợc x công việc Đội làm ngày làm đợc y công việc Theo đầu ta có PT: 25 + = = x y 100 Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ PT: (2) 1 + = x y 16 + = x y Gi¶i hƯ PT ta đợc x = 24 ; y = 48 ( TMĐk) Vậy đội làm 24 ngày hoàn thành công việc Đội làm 48 ngày hoàn thành công việc * Tóm lại Với loại toán cần làm cho học sinh thấy rõ đợc quan hệ thời gian suất làm việc: Nếu công việc làm x ngày ( giờ) ngày ( giờ) làm đợc x công việc V Dạng toán tỷ lệ chia phần Bài toán 1: Một đội công nhân hoàn thành công việc với mức 420 ngày công thợ HÃy tính số công nhân đội, biết đội tăng thêm ngời số ngày hoàn thành công việc giảm ngày Giải Gọi số công nhân đội x ( x N * ) Sau tăng ngời đội có x+5 ( ngời) Số ngày hoàn thành công việc với x ngời 420 (ngày) Số ngày hoàn thành công việc với x+ ngời Theo đầu ta có PT: 420 x +5 ( ngµy) 420 420 − =7 x x +5 Giải PT ta đợc x1 = 15 ( TMĐK); x2 = - 20 ( Không TMĐK) 22 Vậy số công nhân đội 15 ngời Bài toán 2: Một đội xe cần trở 12 hàng Khi làm việc xe cần điều nơi khác xe pahir chở thêm 16 hàng Hỏi lúc đầu đội có xe * Phân tích đề bài: Ta có bảng sau: Dự định Thực tÕ Sè xe x x–2 Sè hµng ( tÊn) 12 12 Sè hµng xe chë ( tÊn) 12 x Giải: Gọi số xe đội lúc đầu x ( xe) ( x∈ N ; x > ) Theo dự định xe phải chở 120 x ( hàng) Số xe thực tế x ( xe) 120 x Khi xe phải chở Theo đầu ta có PT: ( tÊn hµng) 120 120 − = 16 x −2 x ↔ x2 – 2x – 15 = → x1 = -3 ( loại) x2 = ( TMĐK) Vậy lúc đầu đội có xe VI Dạng toán có liên quan đến hình học Bài toán 1: Cho tam giác vuông A có AB = 8cm, AC = 6cm M điểm AB Qua M kẻ đờng thẳng // AC BC chúng lần lợt cắt BC; AC P Q HÃy xác định điểm B M để diện tích hình bình hành MNCD = diƯn tÝch tam gi¸c ABC * Phân tích đề bài: M S ABC = AB ⋅ AC 23 A C S ∆MNCP = AM NC Giải: Gọi độ dài AM x ( cm; 0200) Khối lợng riêng chất thứ x – 200 ( kg/m3) ThĨ tÝch cu¶ chÊt thø nhÊt lµ: ThĨ tÝch cđa chÊt thø hai lµ: 0,008 x 0,006 x 200 Thể tích cuả hỗn hợp chất lỏng là: 0,008 + 0,006 700 Vì trớc sau trén th× tỉng thĨ tÝch cđa hai chÊt không đổi, ta có PT: 0,008 0,006 + x x 200 Giải PT ta đợc = 0,008 + 0,006 700 x1 = 800 (TM§K) x2 = 100 ( không TMĐK) Vậy khối lợng riêng chất thứ 80kg/m3 26 Khối lợng riêng cuả chất thứ hai lµ 800 – 200 = 600 kg/m2 Bµi toán 2: Một vật hợp kim đồng kẽm có khối lợng 124 (g) tích 15cm3 Tính xem có gam đồng gam kẽm, biết 89 gam đồng tích 10cm3 gam kẽm tích 1cm3 Giải Gọi số gam đồng có hợp kim x (0