ĐỀ TÀI : CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU I- ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học môn khoa học em học sinh làm quen từ bắt đầu học từ trường tiểu học Nó mơn khoa học dễ gây hứng thú cho em, gây tò mò khám phá kiến thức để phát triển trí tuệ em Song bên cạnh cịn khơng học sinh học sinh bị ức chế học mơn tốn, trí gây chán nản học tập, sợ hãi bước vào học Tốn Đặc biệt mơn hình học em bắt đầu làm quen từ bậc trung học sở em lại cảm thấy khó khăn phải làm tập chứng minh hình học, bắt đầu chứng minh từ đâu, trí gây hoang mang cho em Là giáo viên dạy mơn tốn nhiều năm, tiếp xúc với nhiều hệ học trò, qua thực tế giảng dạy, qua chấm học sinh trao đổi với đồng nghiệp đúc kết kinh nghiệm, muốn gây hứng thú cho học sinh học mơn Tốn nói chung làm tập hình chứng minh nói riêng Người giáo viên dạy mơn Toán truyền thụ kiến thức cho em phải để tự em khám phá kiến thức sở dẫn dắt giáo viên để em hiểu kiến thức cần truyền thụ lớp Ngoài để nhớ kiến thức lâu biết vận dụng kiến thức học vào giải tập ứng dụng người giáo viên phải biết trang bị cho trị phương pháp học mơn Tốn để kiến thức Thầy trang bị đến đâu em chiếm lĩnh đến đó, biết tích luỹ vào kho kiến thức từ làm tập biết lấy kiến thức cần sử dụng để giải yêu cầu tốn cho phù hợp có hiệu Có gây hứng thú cho em học mơn Tốn môn khác, gây cho em phấn khởi bước tới trường phát triển trí tuệ cho em Sau tơi trình bày cách dạy cho học sinh giải tập hình học chứng minh hai đoạn thẳng Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền II- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ : Khi học hình học học thuộc lòng tiên đề, định nghĩa, định lý mà Thầy cung cấp cho mà vận dụng tiên đề, định nghĩa, định lý vào giải tập việc học học vẹt không mang lại hiệu trí gây hoang mang cho thân Muốn vận dụng tiên đề, định nghĩa, định lý vào trình giải tập chứng minh ta cần phải nghiên cứu phương pháp chứng minh Ở ta phân loại phương pháp chứng minh theo kết luận định lý không theo cách thức chứng minh ( trực tiếp, gián tiếp) Ta dựa vào tính chất kết luận mà phân loại tập, loại tập chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau, hai đường thảng song song v.v., Chúng ta nghiên cứu phương pháp chứng minh cho loại định lý cần dùng đến đem qui nạp chỉnh lý, sau làm tập, gặp phải tập loại ta từ phương pháp định lý nghiên cứu cho thấy phương pháp định lý thích hợp để ứng dụng Cho nên việc nghiên cứu phương pháp chứng minh hội tốt để luyện tập vận dụng định lý học vào giải tập khắc sâu trí nhớ cho học sinh, giúp ích nhiều cho việc học tập mơn hình học - Bài tập chứng minh hai đoạn thẳng có nhiều, trước tiên ta nghiên cứu phương pháp chứng minh loại tập Những định lý dùng để chứng minh loại tập có nhiều học sách giáo khoa nhắc lại hết được, định lý nhiều song thường dùng nhiều chứng minh khơng ngồi định lý sau: 1) Lợi dụng trường hợp tam giác để chứng minh đoạn thẳng nhau, ta ghép hai đoạn thẳng vào tam giác H L - Ví dụ A: GT: F Lấy hai cạnh AB E M G Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền B D C AC ABC làm cạnh dựng hình vng ABCF, ACGH phía ngồi tam giác Dựng AD ⊥ BC, kéo dài DA gặp FH M FM = MH KL: -Suy xét: Trong có nhiều góc vng, cạnh hình vuộng lại Vì = ( phụ với 1) Những đại lượng ta phải lợi dụng Nếu dựng FK ⊥ với DM có ∆ AFK = ∆ BAD, FK = AD Tương tự dựng HL ⊥ DM HL = AD, cuối cần chứng minh ∆ FMK = ∆ HML Chứng minh: Chứng minh Dựng FK ⊥ DM, HL ⊥ DM Lý Từ điểm đoạn thẳng dựng đường thẳng vng góc với đường thẳng đó) Từ + = 90 Vì góc kề bù có góc 90 3+1 = 90 Vì hai góc nhọn tam giác vng Có = Cùng phụ với góc Có FKA = ADB Cùng 90 FA = KS Hai cạnh hình vng Nên ∆ AFK = ∆ BAD Trường hợp tam giác vuông => FK =AD Hai cạnh tương ứng hai tam giác Tương tự HL = AD Theo cách chứng minh => HK = HL Cùng AD Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền Ta có FKM = HLM Cùng 90 4=3 Góc đối đỉnh => ∆ FMK = ∆ HML Trường hợp tam giác vuông => FM = MH Hai cạnh tương ứng hai tam giác 2- Dùng đoạn thẳng thứ làm trung gian.(Để chứng minh đoạn thẳng ta dùng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian) VD2 : Nếu tứ giác nội tiếp đường trịn có hai đường chéo vng góc với đường thẳng qua giao điểm đường chéo vng góc với cạnh tứ giác chia đôi cạnh đối diện với A cạnh B G GT Cho Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (0) B AC ⊥ BD Qua E dựng GE ⊥ CD AG = GB KL E D F C Suy xét: Tam giác ABC tam giác vuông ta phải chứng minh AG = GB nghĩa G điểm cạnh huyền Ta phải biết điểm cạnh huyền cách ba đỉnh tam giác vuông Nên lấy GE làm trung gian Muốn chứng minh GE = AG cần phải : = 5, từ 4= 1, =2 1,2 phụ với ta suy = nên = chứng minh được: Chứng minh + = 90 Lý Hai góc nhọn tam giác vuông 2+ = 90 Nên = Cùng phụ với Nhưng = 4, = góc đối đỉnh, nội tiếp chắn  4= cung Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền - Bắc cầu  AG = GE Hai cạnh tam giác chắn góc Tương tự GB = GE Theo cách chứng minh AB = GB 3-Lợi dụng tam giác cân (Để chứng minh đoạn thẳng nhau) Ta ghép đoạn thẳng vào cạnh tam giác chứng minh cho tam giác chứa hai đoạn thẳng tam giác cân VD3: Cho (0) đường thẳng xy ngồi đường trịn Từ O hạ OA ⊥ xy, từ A kẻ cát tuyến cắt đường tròn B C, tiếp tuyến đường tròn B C cắt xy D E Chứng minh: AD = AE GT Cho (0) đường thẳng C xy đường tròn O OA xy BD, CE tiếp tuyến KL B, C DA = AE B x D A E y Suy xét : Ta có OA ⊥ DE, OD = OE DA = AE Muốn chứng minh OB = OE ta lợi dụng góc vng tiếp tuyến bán kính OBD = OCE, bán kính OB = OC dùng trường hợp hai tam giác vuông Nhưng OBD OCE hai cặp đại lượng cịn có cặp đại lượng thứ khơng? Đó mấu chốt Đây điều khó Sau nghiên cứu ta thấy tứ giác ODAB tứ giác ODEA nội tiếp nên suy ODB = OAB = OFC Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền Chứng minh Nối CD, OE,OB,OC Lý Cho hai điểm kẻ đường thẳng Ta có : OBD = OCE = 90 - Hai góc vng ( Tính chất tiếp tuyến) OAD = OAE = 90 Hai góc vng Tứ giác ODAB nội tiếp Bài tốn quĩ tích => ODB = OAB = OEC Góc nội tiếp chắn cung Ta có : OB = OC - Bán kính => ∆ OBD = ∆ OCE - Trường hợp (GCG) Hai cạnh tương ứng tam giác => OD = OE OA = AE Tính chất đường cao tam giác cân 4- Lợi dụng Hình bình hành ( để chứng minh hai đoạn thẳng nhau) ta ghép hai đoạn thẳng vào hai cạnh đối diện hình bình hành đoạn tạo nên đường chéo hình bình hành để kết luận chúng VD4: Cho ∆ ABC cân, AB = BC, AB lấy điểm D, AC kéo dài lấy điểm E cho BD = CE, nối A với E cắt BC F Chứng minh BF = A FE GT Cho ∆ ABC, AB = AC D BD = CE KL DE cắt BC F DF = FE C B F E S`uy xét: Dựng DG // AE, chứng minh tứ giác DGEC hình bình hành DE BC định cắt F trung điểm DE Muốn chứng minh cho DGEC hình bình hành cần có DG = CE đủ Vì Người viết: Ngơ Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền DG //CE mà giả thiết cho DB = CE trước tiên phải chứng minh DGB = B Ta biết DGB = ACB, Chứng minh B = ACB, nên B = DGB thành lập Chứng minh Lý - Đựng DG // AE, nối DC, GE Kẻ đường thẳng qua điểm song song vớiđường thẳng cho - Thì DGB = ACB ( góc đồng vị) - Ta có B = ACB -Tính chất tam giác cân - DBB = B -Tính chất bắc cầu - DG = DB -2 cạnh đối diện góc tam giác Mà CE = DB -Theo giả thiết DG = CE Vì DG //CE Theo cách dựng =>Tứ giác DGEC hình bình Tứ giác có cặp cạnh đối song song hành  Vậy DF = FE Tính chất đường chéo hình bình hành 5- Lợi dụng đường thẳng qua điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai thi qua điểm cạnh thứ ba ( Định lí đường trung bình tam giác ) VD: Cho tam giác ABC có AB = AC , AB lấy D AC lấy E cho BD = CE Nối AE cắt BC F Chứng minh DF = FE A GT ∆ ABC , AB = AC D ∈ AB, E ∈ AC, BD = CE KL D DE cắt BC F DF = EF B G C F E Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền Chứng minh Dựng DG //BC Lý Dựa vào phép dựng hình Ta có : A = = = Tính chất tam giác cân góc đồng vị hai đường thẳng song song Nên AG = AD - Tính chất cạnh đối diện với hai góc tam giác mà AC = AB - Giả thiết nên GC = DB - Hiện hai cặp đoạn thẳng Mà CE = DB - Giả thiết Suy GC = CE - Tính chất bắc cầu DF = FE - Tính chất tam giác đường thẳng qua điểm cạnh song song với cạnh thứ hai qua điểm cạnh thứ ba 6) Lợi dụng đoạn thẳng cho trước biến đổi : Ta dựa vào tính chất 1(gấp hai đoạn thẳng lên số lần, chia hai đoạn thẳng số lần đoạn thẳng nhau.( tổng hay hiệu hai cặp đoạn thẳng tương đối nhau) đơi Biến đổi đoạn thẳng cho trước ta chứng minh định lí 7) Lợi dụng đại lượng đường tròn - Từ định lí “ Khoảng cách từ tâm đến hai dây cung nhau” “ Hai dây cung nhau, tạo góc tâm nhau, hay hai góc nội tiếp hai dây cung tương ứng vv ” Cuối xin đưa số tập quan trọng để em học sinh vận dụng phương pháp chứng minh vào giải tập Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, E F trung điểm BC AD Chứng minh AF DE chia AC thành ba phần Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền Bài 2: Đường kính AB đường tròn tâm O dây cung AC hợp thành góc 30 , tiếp tuyến C cắt AB kéo dài D Chứng minh AC = DC Bài 3: Trên đường tròn tâm O lấy điểm B, dựng tiếp tuyến BC, dựng OC ⊥ OA cắt AB tiếp tuyến B D C Chứng minh BC = CD Bài 4: Cho ∆ ABC vuông Lấy cạnh tam giác vng làm đường kính dựng đường trịn cắt cạnh huyền điểm Chứng minh tiếp tuyến điểm chia đơi cạnh góc vng Bài 5: Cho ABC , dựng ∆ ASD, ∆ ACE phía tam giác ABC Lấy AD, AE làm hai cạnh hình bình hành ADF Chứng minh ∆ FBC Bài 6: Cho ∆ ABC đường cao BD CE, gọi F trung điểm BC, từ F dựng FG ⊥ DE Chứng minh DG = GE Bài 7: Cho ∆ ABC, đường cao AD BE cắt H Đường kính đường trịn ngoại tiếp AF Chứng minh HF cắt BC G HG = GF II- KẾT LUẬN Trên số phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng Là người giáo viên dạy toán nhiều năm qua trao đổi với đồng nghiệp để em học sinh say mê với mơn học Tốn có hiệu cao người giáo viên dạy học lĩnh hội kiến thức sở học sinh khám phá xây Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền dựng đồng thời phải làm cho học sinh hiểu biết, vận dụng thành thạo Có kiến thức thầy truyền thụ đọng lại học sinh khơng “ Chữ thầy lại trả thầy” có chất lượng dạy tốn cao phát triển trí tuệ cho em, giúp cho em niềm đam mê học toán Trên phần nhỏ kinh nghiệm dạy Tốn nói chung dạy toán chứng minh hai đoạn thẳng nói riêng thân qua thực tiễn nhiều năm đạt hiệu cao Rất mong tham gia góp ý đồng nghiệp để sáng kiến có chất lượng, hiệu cao./ Cộng Hiền, ngày tháng năm 2009 Người viết Ngô Công Văn Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK Toán 7,8,9 SGV Toán 7, 8, STK Tốn Người viết: Ngơ Cơng Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền 11 Mục lục: Đặt vấn đề: Trang Giải vấn đề Trang Kết luận Trang Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền 12 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền 13 BẢN CAM KẾT I TÁC GIẢ: Họ tên : Ngô Công Văn Ngày, tháng, năm sinh: 1960 Đơn vị : Trường THCS Cộng Hiền Điện thoại: .Di động E-mail: II SẢN PHẨM: TÊN SẢN PHẨM: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM : CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU III CAM KẾT Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm sản phẩm cá nhân tơi Nếu có xảy tranh chấp quyền sở hữu phần hay toàn sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm, tơi hồn tồn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD&ĐT tính trung thực Cam kết Cộng Hiền, ngày 08 tháng năm 2009 Người cam kết (Ký, ghi rõ họ tên) Ngô Công Văn Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền 14 Người viết: Ngô Công Văn- Hiệu trưởng trường THCS Cộng Hiền 15 ... đoạn thẳng cho trước biến đổi : Ta dựa vào tính chất 1(gấp hai đoạn thẳng lên số lần, chia hai đoạn thẳng số lần đoạn thẳng nhau. ( tổng hay hiệu hai cặp đoạn thẳng tương đối nhau) đôi Biến đổi đoạn. .. chất kết luận mà phân loại tập, loại tập chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau, hai đường thảng song song v.v., Chúng ta nghiên cứu phương pháp chứng minh cho loại định lý cần dùng đến đem...  AG = GE Hai cạnh tam giác chắn góc Tương tự GB = GE Theo cách chứng minh AB = GB 3-Lợi dụng tam giác cân (Để chứng minh đoạn thẳng nhau) Ta ghép đoạn thẳng vào cạnh tam giác chứng minh cho tam