Giáo trình xác suất thống kê nguyễn hồng quân

77 616 0
Giáo trình xác suất thống kê   nguyễn hồng quân

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Xác suất-Thống kê Xác suất-Thống kê Nguyen Hong Quan Xác suất-Thống kê Chương 1: Xác suất Bổ túc giải tích tổ hợp 1.1 Quy tắc nhân Giả sử cơng việc chia thành k giai đoạn Có n1 cách thực giai đoạn thứ nhất, n2 cách thực giai đoạn thứ hai, , nk cách thực giai đoạn thứ k Khi ta có n = n1 n2 nk cách thực cơng việc Ví dụ Để từ A đến C ta phải qua B Có cách từ A đến B có cách từ B đến C Vậy có = 15 cách từ A đến C 1.2 Hoán vị Hoán vị n phần tử có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử cho Số hoán vị n phần tử Pn = n! Ví dụ Có số khác gồm bốn chữ số thiết lập từ {1, 2, 3, 4}? Mỗi số có bốn chữ số thiết lập từ {1, 2, 3, 4} hoán vị {1, 2, 3, 4} Vậy có P4 = 4! = 24 số Xác suất-Thống kê Chương 1: Xác suất Bổ túc giải tích tổ hợp 1.3 Chỉnh hợp Chỉnh hợp chập k n phần tử (k ≤ n) có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Số chỉnh hợp chập k n phần tử n! Ak = (n−k)! = n(n − 1) (n − k + 1) n Ví dụ Một lớp học gồm 20 sinh viên Hỏi có cách chọn lớp trưởng lớp phó? Mỗi cách chọn lớp trưởng lớp phó chỉnh 20! hợp chập 20 Vậy có A2 = (28)! = 20.19 = 380 cách 20 1.4 Chỉnh hợp lặp Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho, phần tử có mặt 1, 2, , k lần k Số chỉnh hợp lăp chập k n phần tử Bn = nn Ví dụ Có cách chia 12 tặng phẩm cho người? Mỗi cách chia 12 tặng phẩm cho người chỉnh hợp 12 lặp chập 12 Vậy có B3 = 312 cách Xác suất-Thống kê Chương 1: Xác suất Bổ túc giải tích tổ hợp 1.5 Tổ hợp Tổ hợp chập k n phần tử (k ≤ n) không phân biệt thứ tự, gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Số chỉnh hợp chập k n phần tử k Cn = n! k!(n−k)! = n(n−1) (n−k+1) k! Chú ý: Quy ước 0! = Ví dụ Mỗi đề thi gồm câu hỏi lấy từ 25 câu hỏi Hỏi lập đề thi khác nhau? 25! Số đề thi lập là: C25 = 3!(22)! = 2300 Ví dụ Một máy tính có 16 cổng Giả sử thời điểm cổng sử dụng khơng sử dụng hoạt động khơng hoạt động Hỏi có cấu hình (cách chọn) 10 cổng sử dụng, khơng sử dụng hoạt động không hoạt động? Xác suất-Thống kê Chương 1: Xác suất Bổ túc giải tích tổ hợp Gọi số cách chọn 10 cổng sử dụng A, số cách chọn cổng không sử dụng hoạt động B, số cách chọn cổng khơng hoạt động C Khi số cách chọn 10 cổng sử dụng, không sử dụng hoạt động khơng hoạt động ABC 10 Chọn 10 cổng sử dung có: A = C16 = 8008 cách, Chọn cổng không sử dung hoạt động có: B = C6 = 15 cách, Chọn cổng không hoạt động có: C = C2 = cách Vậy số cách chọn ABC = (8008).15.1 = 120120 cách 1.6 Công thức nhị thức Newton n n k Cn ak bn−k (a + b) = k=0 Đặc biệt, n n−k C k n k=0 (−1) = 0, n k k=0 Cn = 2n Xác suất-Thống kê Chương 1: Xác suất Sự kiện quan hệ kiện 2.1 Phép thử kiện Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng gọi phép thử Các kết xảy phép thử gọi kiện (biến cố) Một kiện thường mô tả phát biểu ký hiệu chữ in hoa A, B, C, Ví dụ Tung đồng xu phép thử Có kiện có là: A="đồng tiền lật mặt sấp" , B=" đồng tiền lật mặt ngửa", C="đồng tiền lật mặt sấp lật mặt ngửa" Ví dụ Bắn phát súng vào bia phép thử Có kiện có là: A= "Viên đạn trúng bia" B="Viên đạn trậtbia", C="Viên đạn trúng trật bia" 2.2 Các loại kiện a) Sự kiện chắn: Là kiện định xảy thực phép thử Ký hiệu Ω Xác suất-Thống kê Chương 1: Xác suất Sự kiện quan hệ kiện b) Sự kiện : Là kiện định không xảy thực phép thử Ký hiệu ∅ c) Sự kiện sơ cấp: Là kiện khơng thể phân tích thành kiện khác Tập tất kiện sơ cấp phép thử kiện chắn Ví dụ Tung xúc xắc Sự kiện: Ω = "xuất mặt có số chấm bé " kiện chắn Các kiện Ai (i = 1, , 6): Ai = "xuất mặt có số chấm i " kiện sơ cấp Sự kiện "xuất mặt có số chấm " kiện d) Sự kiện ngẫu nhiên: Là kiện xảy không xảy thực phép thử Phép thử mà kết kiện ngẫu nhiên gọi phép thử ngẫu nhiên Xác suất-Thống kê Chương 1: Xác suất Sự kiện quan hệ kiện 2.3 Quan hệ kiện a) Quan hệ kéo theo Sự kiện A gọi kéo theo (hoặc thuận lợi cho) kiên B, ký hiệu A ⊂ B , A xảy B xảy b) Quan hệ tương đương Sự kiện A gọi tương đương kiên B, ký hiệu A = B , A ⊂ B B ⊂ A c) Các kiện gọi không đồng thời xảy xuất chúng loại trừ xuất kiện khác phép thử d) Các kiện gọi đồng thời xảy chúng xuất phép thử e) Các kiện gọi đồng khả xuất kiện hay kiện khác với khả f) Sự kiện xung khắc Hai kiện gọi xung khắc chúng không đồng thời xảy g) Sự kiện đối lập Sự kiện A gọi kiện đối lập kiện A A xảy A không xảy Xác suất-Thống kê Chương 1: Xác suất Sự kiện quan hệ kiện 2.3 Các phép toán kiện a) Tổng kiện Sự kiện C gọi tổng kiện A B, ký hiệu C= A+B (hoặc C = A ∪ B), C xảy hai kiện A B xảy Ví dụ Hai người bắn vào tên địch Gọi A="người thứ bắn trúng tên địch", B="người thứ bắn trúng tên địch", C=" tên địch bị bắn trúng" Thế C= A+B Chú ý: (i) Mọi kiện sơ cấp biểu diễn dạng tổng kiện sơ cấp (ii) Sự kiện chắn Ω tổng kiện sơ cấp Ω gọi khơng gian kiện sơ cấp Ví dụ Tung xúc xắc Ai = "xuất mặt có số chấm i " (i=1, ,6) kiện sơ cấp Sự kiện A="xuất mặt có số chấm chẳn" = A2 + A4 + A6 Sự kiện B="xuất mặt có số chấm lẻ" = A1 + A3 + A5 Xác suất-Thống kê Chương 1: Xác suất Sự kiện quan hệ kiện b) Tích kiện Sự kiện C gọi tích kiện A B, ký hiệu C= AB (hoặc C = A ∩ B), C xảy hai kiện A B xảy Ví dụ Một gái có hai anh chàng tán tỉnh A="anh chàng thứ không cưa đổ cô gái" B="anh chàng thứ không cưa đổ cô gái" C=" cô gái chưa lấy chồng" Thế C= AB c) Hiệu kiện Sự kiện C gọi hiệu kiện A B, ký hiệu C= A-B (hoặc C = A \ B), C xảy A xảy B không xảy Chú ý Với A gọi kiện đối lập kiện A A + A = Ω, AA = ∅ Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên b) Phân bố mũ Biến ngẫu nhiên X có phân bố xác suất mũ với tham số λ hàm mật độ có dạng ρX (x) = λe−λx x > 0, x ≤ Hàm phân phối: x −λt dt λe x FX (x) = ρX (t)dt = −∞ = x > 0, x ≤ − e−λx x > 0, x ≤ Phân bố mũ dùng để làm mơ hình xác suất cho biến ngẫu nhiên kiểu “khoảng cách hai lần xuất hiện”, ví dụ như: khoảng cách thời gian hai cú điện thoại gọi đến, khoảng cách hai gen đột biến dải DNA, v.v Bài tập Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân bố mũ với tham số λ, c > Chứng minh cX có phân bố mũ với tham số λ/c Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên c) Phân bố Pareto V Pareto (1848–1923) nhà kinh tế người Italia Ông thấy rằng, phân bố tài sản giới không đều, “80 0/0 tài sản 200/0 người làm chủ” (800/0 nhân dân lại làm chủ 200/0 tài sản) Quan sát mang tên nguyên tắc Pareto hay nguyên tắc 80-20 Pareto đưa mơ hình phân bố sau cho biến ngẫu nhiên “giá trị tài sản người”: Biến ngẫu nhiên X có phân bố xác suất Paretovới tham số α > hàm mật độ có dạng: ρX (x) = α xα +1 x ≥ 1, x < Phân bố Pareto dùng làm mơ hình phân bố xác suất gần cho nhiều biến ngẫu nhiên khác, ví dụ: kích thước hạt cát, thiên thạch, khu dân cư; dự trữ dầu hỏa mỏ dầu; mức độ thiệt hại vụ tai nạn, v.v Bài tập Chứng minh X có phân bố Pareto với tham số α, Y = X s với s > 0, Y có phân bố Pareto, tìm tham số phân bố Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 2.1 Kỳ vọng Giá trị kỳ vọng biến ngẫu nhiên X, ký hiệu E(X), trung bình cộng X khơng gian kiện Nếu X có hàm phân phối FX E(X) = xdFX (x) R Cụ thể sau • Trường hợp X biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất sau X x2 xn P (X = xk ) Nếu chuỗi x1 p1 p2 pn i xi pi hội tụ E(X) = xi P (X = xi ) = i xi p i i Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên • Trường hợp X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất fX (x) +∞ xfX (x)dx E(X) = −∞ Từ định nghĩa ta có vài tính chất sau a) Kỳ vọng hằnh số c (biến ngẫu nhiên nhận giá trị) số đó: E(c) = c b) Tuyến tính: Nếu X, Y hai biến ngẫu nhiên a, b hai số thì: E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ) c) Đơn điệu: Nếu X ≥ E(X) ≥ Tổng quát hơn: Nếu X ≥ Y E(X) ≥ E(Y ) d) Nếu g hàm số thực X có hàm mật độ xác suất +∞ fX (x) E(g(X)) = −∞ g(x)fX (x)dx e) Hai biến ngẫu nhiên X Y xác định không gian mẫu gọi độc lập với x, y ∈ R, kiện (X = x) (Y = y) độc lập Nếu X Y độc lập E(XY ) = E(X)E(Y ) Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên Ví dụ Trị chơi đề (một trị đánh bạc): 100 số đề có số thắng, 99 số thua Thắng 70 lần tiền đặt cọc Thua tiền đặt cọc Nếu đặt cọc T tiền, kỳ vọng số tiền nhận bao nhiêu? Kỳ vọng lãi (lỗ) bao nhiêu? Đáp số: kỳ vọng số tiền nhận 990/0 ×0 + 10/0 ×70.T = 0,7.T.Kỳ vọng lãi (lỗ) 0,7.T −T=−0,3.T Tức đặt cọc T tiền chơi đề, kỳ vọng bị thua 0,3.T Ví dụ Một doanh nghiệp đầu tư phát triển sản phẩm mới, xác suất thành cơng 300/0 Chi phí đầu tư bỏ 100 nghìn USD Nếu khơng thành cơng chi phí đầu tư mà khơng thu gì, thành cơng thu triệu USD (trước trừ chi phí đầu tư) Tính kỳ vọng lợi nhuận từ vụ đầu tư Đáp số: Kì vọng lợi nhuận: E = 0, 7.(0 − 100000) + 0, 3.(1000000 − 100000) = 200000 Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên Ví dụ Tuổi thọ trung bình người biến ngẫu nhiên X có phân bố xác suất mũ với tham số λ > với hàm mật độ λe−λx x > 0, ρX (x) = Tính tuổi thọ trung bình (tức x ≤ tính E(X)) +∞ E(X) = xρX (x)dx = −∞ +∞ x.0dx+ −∞ +∞ xλe−λx dx = 0 Đặt t = λx ta có: E(X) = λ +∞ te−t dt = +∞ 1 (−te−t + e−t )|+∞ = λ λ Chú ý: Hàm Γ(a) = xa−1 e−x dx (a > 0) gọi hàm Gamma Người ta tính Γ(a) = (a − 1)Γ(a − 1), Γ(n) = (n − 1)! (n ∈ N) Hãy dùng hàm Gamma tính tích phân xλe−λ Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên Bài tập 1) Tung xúc xắc lần Gọi X số chấm xuất mặt xúc xắc Tính E(X) 2) Tính E(X) với X có phân phối xác suất sau X P (X = xk ) 12 12 12 12 12 10 12 11 12 3) Tính kỳ vọng biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất: siêu bội, nhị thức, hình học, Poisson, chuẩn, mũ, Pareto Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 2.2 Phương sai • Độ lệch chuẩn (standard deviation) biến ngẫu nhiên X là: σ(X) = E((X − E(X))2 ) • Phương sai (variance) X, ký hiệu var(X), bình phương độ lệch chuẩn X, tức E((X − E(X))2 Ta có: var(X) = E((X − E(X))2 = E(X - 2E(X).X + (E(X))2 ) = EX - 2E(X).E(X) + (E(X))2 ) = EX - (E(X))2 ) Vậy var(X) = EX − (E(X))2 Ta dễ dàng kiểm tra rằng: - Nếu c số var(c) = var(cX) = c2 var(X) - Nếu X Y độc lập var(X ± Y ) = var(X) + var(Y ) Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên Ý nghĩa độ lệch chuẩn là: thước đo độ lệch giá trị X so với giá trị trung bình Định nghĩa phương sai cho thấy ln ln lớn 0, và X số hầu khắp nơi, tức khơng bị lệch đâu so với giá trị trung bình Ví dụ Nếu X nhận hai giá trị a −a (a >0), giá trị với xác suất 500/0 , giá trị kỳ vọng X 0, phương sai X a2 500/0 + (−a)2 500/0 = a2 , độ lệch chuẩn a Ví dụ Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ fX (x) = cx3 x ∈ [0, 3], x ∈ [0, 3] / Tìm c, tính E(X) var(X) Đáp số: c = 81c/4, E(X) = 2, 4, var(X) = 0, 24 Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên Bài tập SV dùng kết sau: x +∞ √ e− −∞ 2π dx = 1) Tính phương sai biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất: siêu bội, nhị thức, hình học, Poisson, chuẩn, mũ, Pareto 2) Giả sử X biến ngẫu nhiên với E(X) = 2/3, có phân bố xác suất liên tục với hàm mật độ ρX (x) có dạng sau: ρX (x) = ax2 + b < x < 1, ρX (x) = điểm lại Hãy tính a, b, var(X) Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 2.3 Các moment biến ngẫu nhiên Nếu X biến ngẫu nhiên, k số tự nhiên, đại lượng E(X k ) gọi moment ( mô men) bậc k X, đại lượng E((X − E(X))k ) gọi moment trung tâm bậc k X Như ta thấy, moment bậc 1của X giá trị kỳ vọng nó, moment trung tâm bậc X ln 0, moment trung tâm bậc X phương sai nó, biểu diễn qua moment X theo công thức: E((X − E(X))2 ) = E(X ) − E(X)2 Tương tự vậy, moment trung tâm bậc cao X khai triển dạng đa thức moment X Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên • Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc với phân phối xác suất sau X x1 x2 xn P (X = xk ) p1 p2 pn Thì moment bậc k X tính theo cơng thức E(X k ) = xk p i i i • Nếu X biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất liên tục với hàm mật độ ρX (x) : +∞ E(X k ) = xk ρX (x)dx −∞ Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên Các moment biến ngẫu nhiên cho ta thông tin dáng điệu phân bố xác suất biến ngẫu nhiên Ví dụ, moment trung tâm bậc nhỏ, có nghĩa giá trị X nói chung bị sai lệch so với giá trị kỳ vọng nó, hay nói cách khác phần lớn xác suất phân bổ xác suất X tập trung khoảng nhỏ xung quanh điểm giá trị kỳ vọng Ngược lại, moment trung tâm bậc lớn, phân bố xác suất X nói chung "dàn trải"hơn xa điểm giá trị kỳ vọng Moment trung tâm bậc X gọi hệ số bất đối xứng (skewness), hay cịn gọi độ xiên phân bố xác suất X: Nếu X có phân bố xác suất đối xứng quanh điểm giá trị kỳ vọng (có nghĩa X 2E(X)−X có phân bố xác suất), moment trung tâm bậc Nếu moment trung tâm bậc lớn phân bố xác suất X gọi xiên bên phải, moment trung tâm bậc nhỏ phân bố xác suất X gọi xiên bên trái Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên Bài tập 1) Giả sử Nt số hạt phóng xạ khoảng thời gian (0, t) có phân phối Poisson với tham số λ = Tính kỳ vọng phương sai Nt 2) Gieo 120 hạt giống xác suất nảy mầm hạt 0,6 Gọi X số hạt không nảy mầm 120 hạt Tính kỳ vọng phương sai X 3) Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x1 x2 (x1 < x2 ) Xác suất để X nhận giá trị x1 0.6 Tìm phân phối xác suất X giá trị x1 , x2 mà biến ngẫu nhiên nhận biết kỳ vọng E(X) = 1/4 phương sai var(X) = 0.24 4) Lấy lơ hàng có 500 đơn vị hàng hóa Tỉ lệ hàng phẩm chất 50/0 Lấy ngẫu nhiên 50 đơn vị hàng hóa Gọi X số hàng kếm phẩm chất 50 đơn vị hàng chọn Tìm kỳ vọng phương sai X Xác suất-Thống kê Chương 2: Biến ngẫu nhiên Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 5) xác suất bắn trúng đích súng p Tiến hành bắn liên tiếp điều kiện khơng đổi có k phát trúng đích ngừng bắn Tìm kỳ vọng số lần bắn cần thiết 6) Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ fX (x) = √ π a2 −x2 x ∈ (−a, a) fX (x) = x ∈ (−a, a) Tính kỳ vọng / phương sai X x3 7) Biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối FX (x) = − x3 x > x0 (x0 > 0) FX (x) = x ≤ x0 Tính kỳ vọng phương sai X 8) Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ fX (x) = sin x x ∈ (0, π) fX (x) = x ∈ (0, π) Tính kỳ vọng phương / sai X ... Xác suất- Thống kê Chương 1: Xác suất Xác suất 3.1.3 Xác suất phụ thuộc gì? Xác suất kiện khơng thiết phải số, mà thay đổi, phụ thuộc vào nhiều yếu tố a) Xác suất thay đổi theo thời gian b) Xác. .. xảy hay khơng, coi xác suất lớn nhỏ Sự kiện coi dễ xảy có xác suất lớn (càng gần 1), ngược lại khó xảy xác suất nhỏ (càng gần 0) Xác suất- Thống kê Chương 1: Xác suất Xác suất Ví dụ tơi mua vé... chuyến, xác suất bị chết tai nạn máy bay năm quãng 20×0, 0001330/0 = 0, 002660/0 , tức 1/5 xác suất bị chết tai nạn ô tô năm Xác suất- Thống kê Chương 1: Xác suất Xác suất 3.2.2 Tính xác suất theo

Ngày đăng: 23/03/2015, 21:46

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Chuong 1: Xác sut

    • 1. B túc v giai tích t hp

    • 2. S kin và quan h gia các s kin

    • 3. Xác sut

  • 4. Bài tp chuong 1

  • Chuong 2: Bin ngu nhiên

    • 1. Bin ngu nhiên

    • 2. Các s c trung cua bin ngu nhiên

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan