ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HÀ TRỌNG HẬU CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC H{ Nội – Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HÀ TRỌNG HẬU CÁC BẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ng{nh: Phương phá p toá n sơ cá p M~ số: 604640 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LE ĐÌNH ĐỊNH H{ Nội – Năm 2013 MỤC LỤC MỞ ĐÀ U LỜI CẢ M ƠN NHỮNG KÍ HIẸ U DÙ NG TRONG LUẠ N VAN Chương 1: KIÉ N THỨC CHUẢ N BỊ 1.1 Định lí hà m só sin: 1.2 Định lí hà m só cos: 1.3 Định lí hà m só tan: 1.4 Cong thức tính diẹ n tích tam giá c: 10 1.5 Cong thức tính bá n kính: 10 1.6 Cong thức đường trung tuyé n : 11 1.7 Cong thức phan giá c trong: 11 1.8 Cong thức hình chié u: 11 1.9 Mọ t só đả ng thức bả n tam giá c 11 1.10 Một số bất đẳng thức 17 1.10.1 Bất đẳng thức Cauchy 17 1.10.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki (B.C.S) 17 1.10.3 Bất đẳng thức TrêBưSep 18 Chương 2: 20 TÌM MÓ I LIEN HẸ CHO NHỮNG ĐẠ I LƯỢNG TRONG TAM GIÁ C 20 2.1 Đưa v{o thơng số thích hợp cho tam gi|c 20 2.1.1 Đưa thong só mới và o tam giá c 20 2.1.2 Những đại lượng biểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n bất phương trình (2.1.1) 22 2.1.3 Những miền G, tương ứng với tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam gi|c vuông 24 2.1.4 Tìm biểu thức đại lượng tam gi|c thông qua thông số p,x,y 26 2.1.5.Tìm mối liên hệ đại lượng tam gi|c 28 2.2 Phương trình bạ c ba theo cá c yé u tó tam giá c 35 2.2.1 Phương trình bạ c ba theo yé u tó cạ nh củ a tam giá c 35 Chương 3: 60 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 60 3.1 Phương ph|p chứng minh bất đẳng thức dựa v{o miền gi| trị h{m số cos v{ sin 60 3.2 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức côsi để chứng minh c|c bất đẳng thức tam gi|c 66 3.3 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức Trêbưsep để chứng minh c|c bất đẳng thức tam gi|c 74 3.4 Phương phá p chứng minh bá t đả ng thức tam giá c nhờ bá t đả ng thức Jenxen 81 KẾT LUẬN 94 T{iliệuthamkhảo 95 MỞ ĐÀ U Trong hoạt động dạy v{ học nh{ trường, vấn đề tìm tịi đúc kết n}ng tầm giải to|n theo hướng tổng qu|t, từ l{m rõ nội dung b{i to|n dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu v{ có nhiều hội s|ng tạo, l{ đổi phương ph|p dạy học L{ gi|o viên giảng dạy môn to|n trung học phổ thông, đ~ gặp nhiều trắc trở công t|c giảng dạy nhiều dạng to|n bậc phổ thông trung học Vì b{i to|n có nhiều c|ch giải kh|c nhau, c|ch giải thể kh|i niệm to|n học Trong c|c c|ch giải kh|c đó, có c|ch giải thể tính hợp lí dạy học, có c|ch giải thể tính s|ng tạo to|n học Những vá n đè lien quan đé n tam giá c luon là vá n đè hay và khó ở phỏ thong đó i với cả người dạ y và người họ c Vì cá c hẹ thức tam giá c rá t nhiè u, phong phú và đa dạ ng Trong luạ n van nà y chú ng toi xin đưa mọ t só cá ch phan loạ i cá c hẹ thức, cá ch tìm cá c hẹ thức tam giá c đẻ người họ c thá y vá n đè bả n chá t Luạ n van được chia là m ba chương: Chương 1: KIé n thức chuẩ n bị - Chương nà y hẹ thó ng lạ i cá c định lí, cong thức và mọ t só đả ng thức, bá t đả ng thức bả n nhá t củ a tam giá c định lí hà m só sin, hà m só cos,…, cá c cong thức tính diẹ n tích, đường cao bá n kính… - Phà n 1.9 hẹ thó ng lạ i những đả ng thức vè yé u tó gó c bả n tam giá c - Phà n 1.10 neu lạ i mọ t só bá t đả ng thức bả n dù ng luạ n van đẻ chứng minh cá c bà i toá n bá t đả ng thức tam giá c Chương 2: Tìm mối liên hệ cho những đại lượng tâm giác Trong chương nà y đưa hai cá ch đẻ tìm được cá c hẹ thức tam giá c Cá ch thứ nhá t là đưa và o thong só thích hợp cho tam giá c Cá ch thứ hai là chỉ cá c yé u tó tam giá c là nghiẹ m củ a phương trình bạ c ba tương ứng từ đó dựa và o tính chá t nghiẹ m tìm cá c hẹ thức tam giá c 2.1 Đưâ vào những thơng sớ thích hợp cho tâm giác Bà ng cá ch đạ t 𝑝 = 𝑎+𝑏+𝑐 𝑥= 4𝑏 − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑎+𝑏+𝑐 8𝑏 − 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 + 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) 𝑦= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 Ta sẽ xay dựng cá c đả ng thức và bá t đả ng thức tam giá c Thié t lạ p cá c cong thức củ a cá c yé u tó tam giá c gó c, đọ dà i trung tuyé n, đọ dà i đường cao, đọ dà i cá c loạ i bá n kính, cong thú c diẹ n tích Á p dụ ng đẻ giả i mọ t só bá t đả ng thức tam giá c 2.2 Phương trình bậ c bâ theo cấ c yé u tó tâm giấ c Cá c yé u tó tam giá c có thẻ bié n đỏ i theo ba đạ i lượng, có thẻ gọ i là ba đạ i lượng bả n củ a tam giá c đó là R, r, p Ta sẽ chỉ rà ng cá c yé u tó củ a tam giá c (cạ nh, đường cao, hà m só lượng giá c củ a cá c gó c…) là nghiẹ m củ a phương trình bạ c ba mà hẹ só theo ba yé u tó bả n củ a tam giá c Chương 3Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức tâm giác Chương nà y là dù ng kié n thức phỏ thong, cá c bá t đả ng thức quen thuọ c miè n giá trị củ a hà m sin, hà m cos, bá t đả ng thức Cauchy, bá t đả ng thức Chebyshev, bất đẳng thức Jenxen đẻ chứng minh cũ ng xay dựng cá c bá t đả ng thức tam giá c Phà n nà y là đú c rú t củ a chú ng toi qua quá trình bò i dưỡng , dạ y on thi Đạ i họ c và họ c sinh giỏ i LỜI CẢ M ƠN Luạ n van được hoà n thà nh dưới sự hướng dã n tạ n tình củ a Thà y, Ts Lê Đình Định Thà y đã hé t lò ng giú p đỡ, dạ y bả o, đọ ng vien suó t quá trình họ c tạ p cũ ng là m luạ n văn Toi xin gửi tới Thà y lời cả m ơn sau sá c nhá t! Toi xin bà y tỏ lời cả m ơn chan thà nh đé n tá t cả cá c thà y co khoa toá n – – tin củ a trường ĐHKHTN – ĐHQGHN đã chỉ bả o tạ n tình suó t quá trình toi họ c tạ p tạ i trường Nhan dịp nà y, cho toi bà y tỏ lò ng bié t ơn tới gia đình, cả m ơn tới bạ n bè đã cỏ vũ , đọ ng vien toi suó t quá trình họ c Do thời gian có hạ n, trình đọ bả n than cò n hạ n ché nen luạ n van khong thẻ khong có những thié u só t Toi rá t mong được sự đó ng gó p ý kié n củ a thá y co và cá c bạ n đẻ luạ n van được hoà n thiẹ n Xin chan thà nh cả m ơn Vĩnh Phú c, 10\05\2013 Hà Trọ ng Hạ u NHỮNG KÍ HIẸ U DÙ NG TRONG LUẠ N VĂN ∆ 𝐴𝐵𝐶 ∶ Tam giá c ABC A, B, C : Cá c đỉnh củ a tam giá c hay só đo gó c tam giá c ABC a, b, c : Đọ dà i cá c cạ nh đó i diẹ n cá c gó c A, B, C 𝑙𝑎 , 𝑙𝑏, 𝑙𝑐 : Đọ dà i cá c đường phan giá c xuá t phá t từ A, B, C 𝑅: Đọ dà i bá n kình đường trò n ngoạ i tié p ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑟: Đọ dà i bá n kính đường trò n nọ i tié p ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑟𝑎 , 𝑟𝑏 , 𝑟𝑐 : Đọ dà i bá n kính đường trò n bà ng tié p cá c gó c A, B, C củ a ∆ 𝐴𝐵𝐶 𝑝: Nửa chu vi 𝑆: Diẹ n tích tam giá c Chương1: KIÉ N THỨC CHUẢ N BỊ 1.1 Định lí hầ m só sin: 𝑎 𝑏 𝑐 = = = 2𝑅 𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶 1.2 Định lí hầ m só cos: 𝑎2 = 𝑏 + 𝑐 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑏 = 𝑎2 + 𝑐 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑐 = 𝑎2 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠𝐴 1.3 Định lí hầ m só tan: 𝐴−𝐵 𝑎 − 𝑏 𝑡𝑎𝑛 = 𝑎 + 𝑏 𝑡𝑎𝑛 𝐴+𝐵 𝐵−𝐶 𝑏 − 𝑐 𝑡𝑎𝑛 = 𝑏 + 𝑐 𝑡𝑎𝑛 𝐵+𝐶 𝐶−𝐴 𝑐 − 𝑎 𝑡𝑎𝑛 = 𝑐 + 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝐶+𝐴 1.4 Công thức tính diẹ n tích tâm giấ c: 1 𝑆∆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑕𝑎 = 𝑏𝑕𝑏 = 𝑐𝑕𝑐 2 1 = 𝑎𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 𝑏𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑐𝑎 𝑠𝑖𝑛𝐵 2 = 𝑎𝑏𝑐 = 𝑝𝑟 = (𝑝 − 𝑎)𝑟𝑎 = (𝑝 − 𝑏)𝑟𝑏 = (𝑝 − 𝑐)𝑟𝑐 4𝑅 = 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) (cong thức He-ron) 1.5 Công thức tính bấ n kính:  Bá n kính đường trò n ngoạ i tié p 𝑅= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑏𝑐 = = = 2𝑠𝑖𝑛𝐴 2𝑠𝑖𝑛𝐵 2𝑠𝑖𝑛𝐶 4𝑆  Bá n kính đường trò n nọ i tié p 𝑟 = (𝑝 − 𝑎)𝑡𝑎𝑛 = 𝐴 𝐵 𝐶 = (𝑝 − 𝑏)𝑡𝑎𝑛 = (𝑝 − 𝑐)𝑡𝑎𝑛 2 𝑆 𝑝  Bá n kính đường trò n bà ng tié p: 𝑟𝑎 = 𝑝𝑡𝑎𝑛 𝐴 𝑆 = 𝑝−𝑎 𝑟𝑏 = 𝑝𝑡𝑎𝑛 𝐵 𝑆 = 𝑝−𝑏 𝑟𝑐 = 𝑝𝑡𝑎𝑛 𝐶 𝑆 = 𝑝−𝑐 ... 60 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 60 3.1 Phương ph|p chứng minh bất đẳng thức dựa v{o miền gi| trị h{m số cos v{ sin 60 3.2 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức côsi... dụng bất đẳng thức côsi để chứng minh c|c bất đẳng thức tam gi|c 66 3.3 Phương ph|p sử dụng bất đẳng thức Trêbưsep để chứng minh c|c bất đẳng thức tam gi|c ... n tam giá c 11 1.10 Một số bất đẳng thức 17 1.10.1 Bất đẳng thức Cauchy 17 1.10.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki (B.C.S) 17 1.10.3 Bất đẳng thức