Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G IA HÀ N Ộ I TR Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C K H O A H Ọ C T ự N H IÊ N ĩỊc ĩỊí ĩỊ* *Ịí'Ị' ĩỊ* B À I T O Á N Đ Ộ N G ổ L ự c \ Đ ỊN H T R Ê N C Ủ A P H Ư Ơ N G T H A N G T H Ờ I G T R ÌN H I M M Ã SỐ: QT -07-01 C H Ủ T R Ì Đ Ể TẢI: PG S.T S Đ Ặ N G Đ ÌN H C H Â U A I H O C q u ố c g i a h a N Ọ i ' R U N G T Â M T H Ô N G TIN T H Ư V I Ê N HÀ NỘI-2008 DT / Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G IA H À N Ộ I T R Ư Ờ N G Đ Ạ I H Ọ C K H O A H Ọ C T ự N H IÊ N B À I T O Á N Đ Ộ N G ổ L ự c \ Đ ỊN H T R Ê N C Ủ A P H Ư Ơ N G T H A N G T H Ờ I T R Ì N H G IA N MÃ SỐ: Q T 0701 C h ủ trì để tài: PGS TS Đ ặng Đ ình Châu C c c n b ỏ th a m g ia : T s N g u yễn T h iệu H u y T s N g u y ễ n S inh B ả y T h s L ê h u y T iễ n Th s N g u y ễ n Bùi C n g Cn N guyễn N g ọ c H uy H À N Ộ I-2008 BÁO CÁO TÓ M TẮ T : a T ên đề t i : M ã số: B i toán Ổn địn h củ a hệ đ ộ n g lực th a n g th ỏ i g ia n QT 07-01 b C hủ trì đề tà i: c C ác cán bỏ p hối hơp : PGS.TS Đ ặ n g Đ ình C hâu T s Nguyễn Thiệu Huy, T s Nguyễn Sinh Bảy , Thạc s ĩ Lê Huy Tiễn T hs N g u y ễ n B ù i C ươ ng, Cn N guyễn N g ọ c H uy d Muc tiêu nối dung nghiên cứu: Việc nghiên cứu hệ động lực tổng quát vấn đề có ý nghĩa quan trọng lý thuyết tốn học Mặt khác nhiều mơ hình phát triển thiên nhiên sống hàng ngày tuân theo quy luật hệ động lực tốn học kết nghiên cứu có nhiều ứng dụng rộng rãi thực tế Những cơng trình nghiên cứu Lý thuyết hệ động lực tổng quát bắt đầu xuất từ nửa đầu kỷ XVII phương h n g n g h iê n u c ủ a lý th u y ế t to án h ọ c đư ợ c n h iều n h k h o a h ọ c q u a n tâm tiếp tục phát triển theo nhiều phương hướng khác Gần xu hướng lý thuyết Giải tích đời nhiều người quan tâm nghiên cứu “Giải tích thang thời gian Đề tài Q T -0 -0 tiếp tục theo phương hướng nghiên cứu truyền thống Bộ m n G iải tíc h to n h ọ c th u ộ c k h o a T o n - C - T in h ọ c , T rư n g Đ i h ọ c k h o a học Tự nhiên từ nhiều năm nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm cá c hệ đ ô n g lực v ph n g trìn h vi p h â n c ủ a c hệ đ ô n g lực tổ n g q u t B ài to n cụ thể đề tài xác lập điều đủ cho tính ổn định hệ động lực th a n g thời g ian P hư ơng p h p c h ín h sử d ụ n g đ â y p h n g p h p x ấ p x ỉ th ứ n h ấ t Lý thuyết Giải tích thang thời gian hình thành phát triển từ sau n ãm 1998 , với m ụ c đ íc h x â y d ự n g m ộ t c c h trìn h bày c h u n g c h o c c h m liê n tục (th e o n g h ĩa cổ đ iể n ) c c h àm rời rạc VI có ý n g h ĩa ứng d ụ n g tro n g lý th u y ế t tín h iệu s ố , m h ìn h s in h th m ố t số to n cụ th ể c ủ a p h n g trìn h vi p h â n h àm N ội d u n g c h ín h c ủ a b ả n b o c o tro n g đề tài g m b a c h n g : Chương I :Trình bày lại kiến thức Lý thuyết Giải tích thang thời gian (GTTTTG) C h n g II : T rìn h b y tổ n g q u a n L ý th u y ế t ổn đ ịn h c ủ a p h n g trìn h đ ộ n g lực th a n g thời g ian C h n g III : T rìn h bày m ộ t s ố k iế n thức c b ả n c ủ a n g h iệ m c ủ a h ệ c c p h n g trìn h đ ộ n g lực th an g thời g ian đ iều k iệ n đú c h o ổn đ ịn h m ũ c ủ a n ó T ro n g đ ề tài đ ã x â y dự ng nh iều ví dụ m in h h o lý th u y ế t ứng d ụ n g thực tiễ n Viết báo(gưỉ đăng) hoàn thành (đã gửi đãng ký) báo cáo hội nghị khoa học Tốn học tồn quốc năm 2008 Hoàn thành luận văn thạc sĩ (đã bảo vệ), Cử nhân nghành Toán Tình hình kinh phí đ ề tài: X ác nhận củ a B C N khoa Đã toán theo dự định C hủ trì đ ề tài ,u u (yS.TC P G S TS Đ ặ n g Đ ì n h C h â u Trường Đại học Khoa học tự nhiên M U C LUC M Ở ĐẦU C H Ư Ơ N G 1: C c k iế n th ứ c c s I C c k h i n iệ m c ủ a g iải tíc h trê n th a n g th i g ia n v b ấ t đ ẳ n g th ứ c G ronvvall- B e lm a n II C ác ví d ụ v ứ n g d ụ n g CHƯƠNG 2: Sự ổn định phương trình động lực thang th i g ia n I.M Ột số k h i n iệ m b ả n II.S ự ổ n đ ịn h c ủ a p h n g trìn h đ ộ n g lự c v ô h n g C H Ư Ơ N G 3: v ề m ộ t đ iều k iện đ ủ c ủ a ổn đ ịn h m ũ đ ề u c ủ a h ệ p h n g trìn h động lực thang thời g ia n 10 Đ ặ t t o n 10 C ác k h n iệm c s 10 B ài to n ổ n đ ịn h m ũ c ủ a hệ đ ộ n g lự c tu y ế n t í n h 16 K êt lu ận 21 T ài liệu th a m k h ả o 22 MỞ ĐẦU Lý thuyết giải tích thang thời gian khời xướng Steían H ilg e r từ n ă m 1988 Sau đ ó đ ợ c n h iề u n g i q u a n tâ m n g h iê n c ứ u áp d ụ n g v m ộ t số m ô h ìn h th ự c tế ứ n g d ụ n g T ro n g s ố n h ữ n g c ô n g bô' gần kết lý thuyêt Giải tích thang thời gian kể đến Aganval R., Aubach B Kaymakcalan B., Bohner M , Kaymakcalan B , Peterson A , Oregan D (xem [1] [2] [3 [4]) Ở lĩnh vực người ta thường cố găng tìm phương pháp biểu diễn chung cho kết nghiên cứu toán học lớp hàm liên tục c ũ n g n h rời rạc T ro n g đ ó n h ữ n g vấn đ ề liên q u a n đ ế n lý th u y ế t đ ịn h tính c ủ a Phương trình vi phân Phương trình sai phân tromg to n đư ợ c q u a n tâm n h iều hơ n c ả C c k h i n iệ m p h é p tín h vi p h â n , tíc h p h â n tro n g g iải tíc h c ổ đ iể n đ ợ c x ây d ự n g lại v n g h iê n c ứ u m ộ t c ch có h ệ th ố n g (x e m [1] [2] [3 [4]) T rê n c sở đ ó n h ữ n g n g h iê n c ứ u c b ả n c ủ a lý th u y ế t đ ịn h tín h củ a p h n g trìn h vi p h â n v p h n g trìn h sai p h â n đ ợ c trìn h b y lại d i d n g tổ n g q u t p h ù h ợ p c h o p h n g trìn h vi p h â n lẫn sai p h â n v có th ể đ ú n g c h o n h ữ n g m h ìn h rời rạc trê n n h ữ n g m iề n x c đ ịn h tổ n g q u t h n c ủ a tập h ợ p R , đ ó th a n g th i g ian b ất kì T, tứ c m ộ t tậ p đ ó n g n o đ ó c ù a R T ro n g đề tài Q T - 07 - 01 c h u o n g c h ú n g tơi trìn h b ày m ộ t c c h sơ lư ợ c n h ữ n g khái n iệm sở c ủ a g iải tíc h trê n th a n g th i g ia n v đ a m ộ t số ví dụ m inh h ọ a đ iển h ìn h T iế p đ ó tro n g c h n g th ứ c h ú n g d n h c h o v iệc trìn h bày m ộ t số k ết q u ả v ề v iệ c n g h iê n c ứ u tín h ổ n địn h c ủ a p h n g trìn h đ ộ n g lực tu y ế n tín h c ó n h iễ u trê n th a n g th i g ian T ro n g c h n g n ày c h ú n g tô i đ ã đ a m ộ t đ iều k iệ n đ ủ d ù n g k iể m tra tín h ổn đ ịn h c ủ a p h n g trìn h đ ộ n g lực tu y ế n tín h vớ i hệ số b iế n th iê n trê n th a n g th i g ian d n g tu y ế n tin h T ro n g c h n g c u ố i k ế t q u ả n y đ ợ c m rộ n g c h o h ệ p h n g trìn h đ ộ n g lực d i d n g tổ n g q u t đ ể có th ể đ ế n cá c ứ n g d ụ n g tro n g m ô h ìn h th ự c tế T ro n g m ộ t th i g ian h ữ u h n đ ể có th ể h o n th iệ n trọ n v ẹ n n h ữ n g to án p h ứ c tạp tro n g m ộ t lĩn h v ự c m i m ộ t v iệc tư n g đ ố i k h ó N h ữ n g k êt q u ả đ t đ ợ c tro n g đề tài n y n h ữ n g p h ầ n tiế p nối liê n tụ c c ủ a m ộ t hệ th ô n g n g h iê n u c ủ a n h ó m c n g iả n g d y v sin h v iê n th u ộ c n g h n h p h n g trìn h vi p h â n trư n g Đ ại H ọ c K h o a H ọ c T ự N h iê n , Đ ại H ọ c Q u ô c G ia H N ộ i k ết h ợ p với m ộ t s ố c n b ộ g iả n g d y c c trư n g Đ ại h ọ c k h c th u ộ c T h ủ đ ô H nội P h â n đ ó n g g ó p củ a đ ề tài p h t triể n n h ữ n g k ế t q u ả c ổ đ iể n sa n g m ộ t lo ại h ìn h m ới c ủ a G iả i tích c c n g h iê n c ứ u đ â y v a có ý n g h ĩa n h ấ t đ ịn h m ặ t kh o a h ọ c đ n g th i c ũ n g g ó p p h ần q u a n trọ n g c h o lĩnh v ự c đ o tạ o tro n g trư n g Đ ại học Chương CÁC KHÁI NIỆM c SỞ I CÁC KHÁI NIỆM C BẢN CỦA GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN VÀ BẤT ĐẢNG THỨC GRONWALL-BELLMAN Trước tiên xin nhắc lại số khái niệm kết trích dẫn từ cống trình Hilger [1] tài liệu Bohner Peterson [2] Giả sử T tập đóng R ta có thang thời gian Cho t e T, ta định nghĩa tốn tử nhảy tiến (íorvvard jumper operator) : T -> T xác định sau: ơ(t) := inf{s £ T : s > t} toán tử nhảy lùi (backvvard jumper operator) p : T —> T xác định p(t ) := sup{s T : s < t} Một điểm t € T gọi điểm trù mật trái (left dense) p(t) = í điểm trù mật phải (right dense) ơ(t) — t Một điểm t e T gọi tán xạ trái p(t) < t điểm tán xạ phải ơ(t) > t Một hàm g : T —> R gọi liên tục trù mật phải (rd - continuous) g liên tục điểm trù mật phải giới hạn bẽn trái tồn hữu hạn điểm trù mật trái Lớp hàm liên tục trù mật phải biểu thị Crd{T) Hàm hạt (graininess íưnction) thang thời gian T xác định ụ,(t) := ơ(t) - t Tập T k T - {m} T có tán xạ trái lớn m T k = T sup T = oo Định nghĩa l.l(a ) (Đạo hàm A cấp một) Cho t e T k X : T -» R Nếu tồn xA(í) cho với e > 0, tồn lân cận u t thoả mãn |[x(cr(í)) - x(s)] - x A ( t ) [ ( t ) - s] ^ eịa(t) - s| với s € u ta nói x A (t) đạo hàm delta X t X khả vi delta Đ ịnh lý 1.1 Cho hàm g : T —>■R t e T Khi t (i) Nếu g khả vi t g liên tục t (ii) Nếu g liên tục t t tán xạ phải g khả vi t _ (v(t)) - g(t) s [ >~ Át) (iii) Nếu g khả vi t t điểm trù mật phải g*( t ) = Ịim g ( t) - g W /?, ta nói đạo hàm cấp hai / AA tồn nêu đạo hàm cấp / A khả vi T kỉ = ( T k)k / AA = ( / A)A : T k2 - í R Tưcmg tư ta đinh nghía đạo ham cấp cao / A" : T kn ->• = ( / A"”') A Ta qui ước / A° = / T k° = T Định nỊỉhĩa 1.2 (Định nghĩa tích phân A) Nếu G A (t) = g(t) tích phân delta Cauchy g xác định bời Ta g G Crd{T ) tích phân Cauchy Gị t ) := / fỄg ( s ) A s tồn tại, t G T thoả mãn G A(t) = g( t ) , t £ T Định nghĩa chi tiết tích phân delta xem [1] [2] Định nghĩa 1.3 Hàm p : T -» R gọi thoái lui (regressive) Lớp hàm thoái lui liên tục trù mật phải biểu thị 7z — 7Z(T) = 7Z(T,TZ) Ta biểu thị 71+ = 'R+ (T,'1V) = {p e : + ụ,(t)p(t) > 0, Ví e T } lớp hàm thoái lui dương Định lý 1.2 Nếu ta định nghĩa phép ”cộng khép kín” Tí xác định Định nghĩa 1.4 (.V ® ợ )(t) := p( t ) + g(t) + t e T (71, ) nhóm Abel Phần tử đối p(t) p (0 ■= + /x(t)p(t) Định nghĩa 1.5 Phép ”trừ khép kín” 7Z xác định (p ỡ q )(t) := p e ( G q ) Định nghĩa 1.6 (Hilger [1]) Giả sử h > số thực , ta định nghĩa iập Gh Ch sau Ch = { z e C \ z ^ - ị } h c c Trong trường hợp h = , ta ký hiệu Co = ta có z0 = Co = tập sô' phức Để dẫn đến khái niệm hàm mũ tương tự giải tích cổ điển xét số hàm sau Định nghĩa 1.7 Cho h ^ 0, ta xét phép biến đổi th : G h xác định sau ch Zh(z) \ Log { + zh), z, h > h= Log hàm logarit thông thường Định nghĩa 1.8 (Hàm mũ) Cho p G 71, ta định nghĩa hàm mũ xác định bời phép biến đổi £h(z) xác định định nchĩa 1.7 Định lý 1.3 ( Các tính chát hàm mũ) Cho p q £ 71 t r (i) e0( t s ) = Cpự t ) = 1; (ii) cp( { t ị s ) = (1 + ụự) p{ t ) ) ep{t,s): s T, (»“ > ^ b ) = ee P( M ) ; ( i v ) e p ( í , s ) = ;T ( 7^ y = ee p (s ,f); (v) ep(í,s)ep(s, r) = ep(t,r); (vi) ep(í, s)eí (í>s) = epeg(í, s); (vii) ẵ ẽ ỉ = epeọ(t ’ s )' Tiếp theo ta đưa hai công thức biến thiên số [1], tương ứng với hai phương trình động lực tuyến tính cấp Định lý 1.4 (Công thức biến thiên hàng số 1) Giả sử f hàm liên tục trù mật phải T p G Tt, nghiệm toán Cauchy x A (t) = - p ( t ) x ( ( t ) ) + x ặ o ) = Xo /(í), t G Ĩ x € R, cho x ( t) = e - p( t , t 0)x + [ e _ p ( í , ( r ) ) / ( r ) A r Jtữ Định lý 1.5 (Công thức biến thién sỏ 2) Giả sử f hàm liên tục trù mật phải T p £ 7Z, nghiệm tốn Cauchy x A( t ) = p ( t ) x ( t ) + f ( t ) , x ( t 0) = Xo t £ T Xo € R, cho x ( t) = ep( t , t 0)x + í ep(t, { r ) ) f ( r ) A r J to Định lý 1.6 (Bất đảng thức Gronvvall) Cho y, f e Crd g e TZ+, g ^ Khi 2/(0 < / ( + Ị y( T )ỡ(T)AtVí e T Jto ta có y(t)^ĩ(t) +Jtữ / es ( í - ( r ) ) / ( T ) p ( r ) A r V í € r Định lý 1.7 (Bất đảng thức Becnuli) Cho Q e R~ ea {t, s) ^ ì + a ( t - s), Ví ^ s II CÁC v í DỤ VÀ ỨNG DỤNG Ví d ụ 1.1 Cho h > T — h z = { h k : k e Z } Khi với t E T , ta có ơ(t) = inf{s £ T : s > t} = inf{í 4- nh,Ti e X } = t + h p(t) = t - h Hàm hạt //(f) = ơ(t) - t = h hàm hăng Ví du 1.2 Cho a,b > xét thang thời gian P(ì,b = q[/t(ũ + 6), Ả,'(ữ + ò) + o! K h i Ịt, t e U^L0[k(a + b),k(a + b) + a) + b, t e u ^L0{k(a + b) 4- a} (2 ) = / ° ’ 1^6, t e u ^ =0[k{a + b),k{a + b) + a) t G U^=q{/l(q + 6) + ữ} Ví dụ 1.3 Xét mạch điện đơn giản với điện trở R, cuộn cảm L điện dung c Giả sử ta thay đổi điện dung tuần hoàn theo đơn vị thời gian > Khi với thang thời gian Pl-6,6 — UjtỄ/v0[^> 4- — ổ] Gọi Q(t) tổng điện dung và/(í) cường độ thời mạch thời điểm t Khi t € u k€N{k — 5} bQ(t), /, othervuhise 7A fí) Í°1 \ — t e u keN{ k - S } — £Ỉ(t ) , otheruuhise b số thoả mãn —1 < bỗ < Ví dụ 1.4 Cho q > qz ;= {qk : k € z}, q2 := qz u {0} Xét thang thời gian T = qz Ta có ơ(t) = inf{ợu : n G [ra + 1, oo)} = qm+1 = qqm — qt Do ta có ơ(t) — qt p(t) — w E T Và fi(t) = ơ(t) - t = (q - 1)t, Cho hàm / : T —> R, ta có - f ^ t ) - / ( Ể) f &( f \ J u Ví e T Ịi(t) (q-l)t Ví e T \ {0} ’ ... ịnh lý 3.1 ta gọi tập ổn định (7) thang thời gian T Ví dụ A e R tập ổn định (7) T = R R ~ ,nếu T = z ( —1,1) Bài tốn ổn định mũ hệ động lực tun tính A Hệ phương trình động lực tuyến tính khơng... ự Ổ n ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG L ự c VƠ HƯỚNG TRÊN THANG THỜI GIAN I Một sô niệm Trong phần sử dụng số khái niệm kết sau đây: Định nghĩa (Hàm mũ) Cho p e 1Z, ta định nghĩa hàm mũ xác định phép... ( ) ổn định mũ Trường hợp p = A, A sơ'' phức, ta có định lý sau (xem [5]) Định lý 3.1 Cho T thang thời gian không giới nội (sup T = oo) X e C Phương trình vơ hướng XA — Xx, X £ c (7) ổn định