NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC I KIẾN THỨC Công thức tên hàm số Công thức đạo hàm  Các hàm số C  =0 (C số) thường gặp x  =1 (kx)’=k (k số ) x  =n.x n Hàm số lượng giác Hàm logarít (n  N, n  2) n  1 u/     (u  0) u u  u/ (u  0) u  u  sin x   cos x /  cos x    sin x  sin u   cos u.u / /  cos u    sin u.u /   tan x cos x /  cot x      1  cot x  sin x (xα)/= α x α -1 u / cos u /  cot u    u / sin u (uα)/= α u α -1u/ (ex )’ = ex (ax)’ = axlna (lnx )’ = (x>0) x (ln /x/ )’ = (x≠0) x ( log a x )’ = (x>0, 00, 00, 00) ( x ) = x  tanx  Hàm lũy thừa Hàm số mũ n-1 Đạo hàm hàm số hợp x 1 C  1 http://tuyensinh247.com/   u du  u 1 C  1  tan u  /  *Trường hợp đặc biệt u  ax  b, a   1  dx  (ax  b) ( ax  b ) C  a  1 1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C 1  dx    C x x  x dx  x  C 1  dx    C u u  *Nguyên hàm hàm số mũ x x  e dx  e  C e e  x dx  e x  C du  u  C u  u du  eu  C e e ax x  a dx  ln a  C,  a  1 u du  eu  C au u  a du  ln a  C amxn  C, m  m ln a 1  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C 1  cos2 u du  tan u  C  sin u du   cot u  C  sin x dx   cot x  C axbdx  eaxb  C a  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin u.du   cos u  C  cos2 x dx  tan x  C 1 du  ax  b  C a ax  b mxndx  a *Nguyên hàm hàm số lượng giác  cos x.dx  sin x  C  cos u.du  sin u  C  sin x.dx   cos x  C  (ax  b) dx  a ln ax  b  C 1  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C  sin (ax  b) dx   a cot g (ax  b)  C 1 Một số ví dụ trường hợp đặc biệt *Trường hợp đặc biệt u  ax  b  cos kx.dx  k sin kx  C  sin kx.dx   k cos kx  C e kx dx  ekx  C k  1  dx  (ax  b) ( ax  b ) C  a  1 1 Ví dụ  cos x.dx  sin x  C, (k  2)  sin x.dx   cos x  C e x dx  e2 x  C (2 x  1)21 (2 x  1) dx   C  (2 x  1)3  C  2 1  (ax  b) dx  a ln ax  b  C  3x 1 dx  ln 3x 1  C 1 du  ax  b  C a ax  b axb axb C  e dx  a e   http://tuyensinh247.com/  1 du  3x   C  3x   C 3 3x  e2 x1dx  e2 x1  C 2 amxn  C, m  m ln a  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C 1  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C x1 x1dx  5 C  ln mxndu  a 1  cos(2 x  1)dx  sin(2 x  1)  C  sin(3x 1)dx   cos(3x 1)  C 1  sin (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C   sin  ax+b  dx   a cos  ax+b     c /  cos  ax+b  dx  sin  ax+b   a   sin (3x  1) dx   cot(3x  1)  C Chú ý: a/  cos2 (2 x  1) dx  tan(2 x  1)  C b/  d/  sin  ax+b   cos  ax+b   dx   ln cos  ax+b     cos  ax+b   dx  ln sin  ax+b     sin  ax+b   Dạng : I   sin mx cos nxdx  Cách làm: biến đổi tích sang tổng  Dạng : I   sin m x cos n x.dx  Cách làm : Nếu m, n chẵn Đặt t  tan x Nếu m chẵn n lẻ Đặt t  sin x (trường hợp cịn lại ngược lại)  dx Dạng : I    a sin x  b cos x  c Cách làm : 2t  sin x   x  1 t2   Đặt : t  tan 2 cos x   t  1 t2  a sin x  b cos x dx Dạng : I   c sin x  d cos x  Cách làm : a sin x  b cos x B(c cos x  d sin x) Đặt :  A c sin x  d cos x c sin x  d cos x Sau dùng đồng thức  a sin x  b cos x  m dx Dạng 5: I    c sin x  d cos x  n http://tuyensinh247.com/ Cách làm : a sin x  b cos x  m B(c cos x  d sin x) C Đặt :  A  c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n Sau dùng đồng thức Ví dụ Tính tích phân sau :  a ĐH, CĐ Khối A – 2005 I   sin 2x  sin x  cos x dx  sin 2x cos x dx  cos x b ĐH, CĐ Khối B – 2005 I      2cos x  1 s inx dx sin x  sin x dx    3cos x  3cos x 0 a I   1  t2 1 c osx= ;s inxdx=- tdt  3 Đặt : t   3cos x    x   t  2; x    t   2  t 1   1  2     tdt   2t  dt   t  t   34 Khi : I     1 t     27    2 sin x cos x 2sin x cos x cos x b I   dx   dx   s inxdx  cos x  cos x cosx+1 0 1   dt=-sinxdx, x=0  t=2;x=  t 1   Đặt : t   cosx    f ( x)dx   t  1 dt   t    dt    t t   1  1 2 Do : I   f ( x)dx  2  t    dt   t  2t  ln t   2ln  t 2 1 2 Ví dụ Tính tích phân sau  a ĐH- CĐ Khối A – 2006 I   sin 2x cos x  sin x 2 dx KQ:  cos 3x dx sin x  b CĐ Bến Tre – 2005 http://tuyensinh247.com/ I KQ:  3ln  sin 2x a I   dx Đặt : t  cos2 x  4sin x  t  cos2 x  4sin x cos x  sin x  2tdt   2sin x cos x  8sin x cos x  dx  3sin xdx  sin xdx  tdt   Do :   x   t  1; x    t    2  Vậy : I   f ( x)dx  2 tdt 2 2  dt  t    31 t 31 3  cos 3x dx sin x  b I   Ta có : cos3x=4cos3 x  3cos x   4cos2 x  3 cosx=  4-4sin x  3 cosx= 1-4sin x  cosx 1  4sin x  cosxdx cos3x Cho nên : f ( x)dx  dx   1+sinx  s inx   dt=cosxdx,x=0  t=1;x=  t   Đặt : t   s inx   1   t  12     dt    4t   dt f ( x ) dx     t t    3  Vậy : I   f ( x)dx     4t   dt  8t  2t  3ln t    3ln t 1 Ví dụ Tính tích phân sau 2  I a CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 cos 2x  sin x  cos x  3 dx KQ: KQ: ln 32  cos 2x dx  sin 2x I b CĐ KTKT Đông Du – 2006  a I   cos 2x  sin x  cos x  3 Cho nên : f ( x)dx  dx Vì : cos x  cos2 x  sin x   cosx+sinx  cosx-sinx  cos2x  sinx-cosx+3 dx   cosx-sinx  cosx+sinx dx    sinx-cosx+3   dt=  cosx+sinx  dx; x   t  2, x   t  Đặt : t  s inx-cosx+3    f ( x)dx  t  dt     dt t3 t3  t  http://tuyensinh247.com/  1 1  314 Vậy : I   f ( x)dx     3  dt       t t   t t  32 2  dt  cos xdx  c os2xdx= dt  cos 2x b I   dx Đặt : t   2sin x    sin 2x  x   t  1; x    t     3 cos 2x dt dx    ln t  ln  2sin 2x 41 t 4 Vậy : I   Ví dụ 4.Tính tích phân :   2 cos xdx a) I1   (sin x  1) Bài làm :  b) I   cos xdx c) I   tan xdx 0 a) Đặt : t  sin x   dt  cos xdx x   t   Đổi cận :    x   t   2 cos xdx dt   Vậy : I   3t (sin x  1) t b) Đặt : t  sin x  dt  cos xdx x   t   Đổi cận :    x   t   24  Vậy :  I   cos xdx    t  dt   1  t 2   2t dt  t5      t  t    15 0 c) Đặt : t  tan x  dt  (tan2 x  1)dx x   t   Đổi cận :   x   t 1   http://tuyensinh247.com/  t dt     t  t 1 dt t  t    0 I   tan xdx   Vậy :   t5 t3  13      t    du   15 5 0 Ví dụ 5.Tính tích phân sau :   sin x  cos x  dx dx b) I   sin x  cos x  sin x  cos x  0 Bài làm : x x  2dt  a) Đặt : t  tan  dt   tan  1dx  dx  2  t 1  x   t   Đổi cận :    x   t  1 dt 1 t2 I1   dt  2  2t 1 t 0 t  1 3 5 Vậy : 1 t2 1 t2 a) I   1   t2 sin x  cos x  cos x  sin x C  A B  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  Dùng đồng thức ta được: A  , B  , C  b)Đặt :  Vậy : I2    sin x  cos x  cos x  sin x   dx   1   dx sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x   0   x  ln sin x  cos x   02  I1    ln  Ví dụ Tính tích phân sau a I =    sin x  sin x cot gx dx sin x  c I =   x) b I = dx    sin(   x)  sin(   sin x dx d I =  cos x(sin x  cos x)dx giải: http://tuyensinh247.com/ a I =       s inx 1   sin x  sin x sin x   cot gx dx   cot xdx sin x s inx   3      1  sin x  cot xdx    cot x cot xdx        x) cosx-sinx b I = dx  dx     sin(   x)  cosx+sinx  2  sin(  d  cosx+sinx     ln cosx+sinx    cosx+sinx   2     cos2x    cos4x   dx   1  2cos 2x   dx     0   sin x dx    c I =  2   1 3 3  3      cos2x+ cos4x  dx   x  sin 2x  sin 4x   32  8  16 08  4 d I =  cos x( sin x  cos x)dx Vì : sin x  cos4 x   sin 2 x Cho nên :      12 1   I   1  sin 2 x  cos2xdx=  cos2xdx-  sin 2 x cos xdx  sin x  sin x  20  0 0 Ví dụ Tính tích phân sau    cos x  dx (NNI-2001)  sin x cos2x a  tan xdx (Y-HN-2000) b  dx (NT-2000) c sinx+cosx+2    4  sin x 0 cos6 x dx ( GTVT-2000)   d 2 e sin x 0  cos2 x dx  2sin x 0  sin x dx (KB-03) f Giải http://tuyensinh247.com/  sin x 1  cos x  1 a  tan xdx Ta có : f ( x)  tan x    2 1 4 cos x cos x cos x cos x  4     Do : I   f ( x)dx    1 dx  2  1 dx   1  tan x    tan x  x  2  cos x  cos x   cos x  4 3      4          t anx+ tan x                  12   3  12  12    * Chú ý : Ta cịn có cách phân tích khác : f ( x)  tan x  tan x  tan x   1  tan x 1  tan x   tan x  tan x 1  tan x    tan x  1    3   3 dx dx Vậy : I    tan x 1  tan x    tan x  1  1 dx   tan x     dx cos x  cos x    4 4    1   1  1 I   tan x  t anx+x    3            3  12 3   3  b cos2x   sinx+cosx+2  dx Ta có : f ( x)   sinx+cosx+9   4  cos x  sin x    cosx-sinx  cosx+sinx   cos2x  sinx+cosx+9  sinx+cosx+9  cosx+sinx   cosx-sinx dx        sinx+cosx+2    Do : I   f ( x)dx      cosx+sinx=t-2.x=0  t=3;x=  t   2, Đặt : t  s inx+cosx+2   dt   cosx-sinx  dx  f ( x)dx  t  dt     dt  t3 t3  t   2 1 1 1  1  22          1    Vậy : I      dt        2   t t   t t  3   2   9 2    sin t  cost  sin t  cost dt   sin t  cost  cost  sin t dt  f ( x)        sin t  cost+9  sin t  cost+9   http://tuyensinh247.com/     cos x  dx   sin x c cos6 x 1  sin x   3sin x  3sin x  sin x 1 Ta có : f ( x)        sin x 4 sin x sin x sin x sin x sin x   Vậy : I   1  cot x     dx dx   cos2x    dx    dx 2    sin x  sin x     2 4  1 5 23      cot x  3cot x  3x  x  sin x    12        sin x  cos x  1 dx  dx  dx   dx  dx  0 cos6 x 0 cos6 x 0  cos6 x cos4 x  0 cos4 x cos2 x 0 1  tan x  cos2 x d 2  4    1  tan x    1 2 dx   tan x dx   tan x  tan x d tan x        0 0 0 1  tan x  d  t anx  cos x cos x 4   1   1    t anx+ tan x  tan x  t anx- tan x    tan x  tan x   5   3  15    2   d   cos2x  sin x sin x 2sin x e  dx  dx  dx     ln  cos2x  ln     cos2x  cos x  cos2x  cos2x 0 4 0      2sin x cos2 x d 1  sin x  1 f  dx   dx    ln  sin x  ln  sin x  sin x  sin x 2 0 Ví dụ Tính tích phân sau :   2 a  sin x cos xdx b sin 3x   2cos3x dx   6 sin x cos x dx  J   dx  K  c I   s inx+ 3cosx s inx+ 3cosx  cos2x dx s inx  cosx- Giải    a  sin x cos4 xdx   1  cos2 x  cos4 x.s inxdx    cos6 x  cos4 x  d  cosx  2 0 http://tuyensinh247.com/ 10  1    cos7 x  cos5 x   7  35   2   sin 3x 3sin 3x d 1  cos 3x  1 b  dx    dx       ln  cos 3x   ln  2cos3x  cos 3x  cos 3x 6 0    sin x  cos x 1 16 dx   dx   dx  201 20  s inx+ 3cosx sin  x   s inx+ cosx 3  2   x   d  tan     1 1       Do :   x    x  x  x  sin  x   2sin    cos  x+  tan    2cos    tan    3  2 6  6 2 6 2 6 2 6   x    d  tan      1 x      ln tan     ln  ln (1) Vậy : I   20 x  2 6 tan    2 6 c Ta có : I  J   2      sin x  3cosx sin x  3cosx sin x  3cos x dx   dx s inx+ 3cosx s inx+ 3cosx - Mặt khác : I  3J   2   Do : I  3J    s inx- 3cosx  dx   cosx- s inx    (2) 0  3 1   I  ln  I  J  ln  16 4 Từ (1) (2) ta có hệ :    I  3J    J  ln     16    3    Để tính K ta đặt t  x   dt  dx  x  ; t  0.x   t    cos  2t+3      cos  t+3   sin  t+3  2 2   Vậy : K   cos2t 1 dt  I  J  ln  sint+ 3cost dt    III MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG Trong phương pháp đổi biến số dạng * Sử dụng công thức : b  b f ( x)dx   f (b  x)dx Chứng minh : http://tuyensinh247.com/ 11 x   t  b x  b  t   Đặt : b-x=t , suy x=b-t dx=-dt ,    Do : b  b b b 0 f ( x)dx   f (b  t )(dt )   f (b  t )dt   f (b  x)dx Vì tích phân khơng phụ thuộc vào biến số Ví dụ : Tính tích phân sau   a/ 4sin xdx   s inx+cosx  5cos x  4sin x   s inx+cosx    b/ 3 dx sin x 0 sin x  cos6 x dx c/  log 1  t anx  dx d/  sin x cos x 0 sin x  cos3 x dx e/  x m 1  x  dx n f/  4sin xdx giải: a/ I    s inx+cosx  (1) Đặt :    dt  dx, x   t  ; x   t        4sin   t  t   x  x  t   cos t 2  2  f ( x)dx  dt    dt  f (t )dt  cost+sint          sin   t   cos   t         Nhưng tích phân khơng phụ thuộc vào biến số , :    sinx+cosx  I   f (t )dt   4cosx dx  2  Lấy (1) +(2) vế với vế ta có : I     s inx+cosx   s inx+cosx   dx  I    s inx+cosx  dx     I  2 dx  tan  x     4  cos  x    4   b/ I   5cos x  4sin x  s inx+cosx  dx Tương tự ví dụ a/ ta có kết sau : http://tuyensinh247.com/ 12  I   5cos x  4sin x  s inx+cosx  dx    5sin t  cos t   cost+sint  dt   5sin x  4cosx  s inx+cosx  dx  2   Vậy : I    1   dx   dx  tan  x     I   4  cos  x    4   s inx+cosx   c/  log 1  t anx  dx Đặt :    dx  dt , x   t  ; x   t   4    t   x  x  t   4  f ( x)dx  log 1  t anx  dx  log 1  tan    t    dt        tan t  Hay: f (t )  log 1   dt   log 2  log t   dt   log  tan t   tan t    4 0  Vậy : I   f (t )dt   dt   log tdt  I  t    I   sin x dx (1) 6 sin x  c os x d/ I      sin   t  cos6 x 2  d  t           0 cos6 x  sin x dx  I (2)  sin   t   cos   t  2  2     cos x  sin x   Cộng (1) (2) ta có : I   dx  dx  x   I   cos x  sin x 0 6 e/  x m 1  x  dx Đặt : t=1-x suy x=1-t Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx n 0 1 0 Do : I   1  t  t n (dt )   t n (1  t )m dt   x n (1  x)m dx m Ví dụ Tính tích phân sau :   a s inx-cosx+1 0 s inx+2cosx+3 dx ( Bộ đề ) http://tuyensinh247.com/ b cosx+2sinx  cos x  3sin x dx ( XD-98 ) 13   c s inx+7cosx+6 0 4sin x  3cos x  dx d I = cos x  3sin x  dx  sin x  3cos x  Giải  a s inx-cosx+1  s inx+2cosx+3 dx Ta có : f ( x)  B  cosx-2sinx  sinx-cosx+1 C  A  sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 1 Quy đồng mẫu số đồng hệ số hai tử số :  A    A  2B   A  B  s inx+  2A+B  cosx+3A+C     f ( x)   2 A  B  1   B   Thay vào (1) s inx+2cosx+3 3 A  C     C       d  s inx+2cosx+3   1 I      dx     dx    ln s inx+2cosx+3  J 5 s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 10 5 0  4 I    ln  J   10 5 - Tính tích phân J : dx   dt  ; x   t  0, x   t 1  cos x  x 2dt Đặt : t  tan   (3) J  2dt 2dt  t     f ( x)dx    2t 1 t2  t t  2t  2 3  1 t2 1 t2  du t   tan u   u1 ; t   tan u   u2 dt  2 c os u  Tính (3) : Đặt : t   tan u   2du  du  f (t )dt  2 cos u  cos 2u   u2 2  4  tan u1  du  Vậy : j=   u2  u1   I  I    ln   u2  u1   2 10 5 u  tan u    B  3cos x  4sin x  cosx+2sinx C  A   1 4cos x  3sin x 4cos x  3sin x 4cos x  3sin x Giống phàn a Ta có : A  ; B   ;C=0 5 b cosx+2sinx 0 4cos x  3sin x dx; http://tuyensinh247.com/ f ( x)  14     3cos x  4sin x    2  Vậy : I      dx   x  ln cos x  3sin x    ln 5 cos x  3sin x  5  10 0 Bài tập tự l uyện:   cos x I3   dx 3  sin x (sin x  cos x ) cos x I1   dx  cos ( x  ) I2     I5  cot x sin x sin( x    ) cos x  sin x(3  sin  I4  dx x)  dx   cos x sin x dx I    sin x  sin x  sin x dx I   dx 4  cos x sin x  cos x       ) sin( x  ) 2 sin x sin x dx I 10   dx I 11   I8   dx I   dx  cos x sin x  sin x  cos x   sin x 0  cos x  sin x  cos( x  I 12    sin x  cos x  sin x  I 16   dx I 13   sin x  sin x  cos x  dx I 14    dx cos x sin( x   ) I 15   dx  (2 sin x  cos x) dx  cos x(sin x  cos x) I 17     dx sin x cos x I 27   I 19 sin x  dx (sin x  cos x )  I 20 dx  6  sin x  cos x http://tuyensinh247.com/ tan x  (4 cos x  sin x) cos x dx  sin x I 18   dx 3 cos x ( sin x  cos x )  3  x)  dx  sin x  cos x  I 28 I 29  sin(   I 30   cos x   sin x  sin( x  )  cos x  tan x  cos x dx dx 15 I 21   12 cos x cos x  tan x  cot 8x dx I 31   16 I 22    sin x  sin x  cos x dx I 24   sin x  cos x  sin x  I 25    cos x I 26   I 33   dx  sin x dx dx  sin x   dx  cos x.(tan x  tan x  5) I 34  I 35  I 36  I 39 I 46   cos x dx  20   sin( x  )     3  cos ( x  ) 8   dx  sin x  cos x  I 47  I 48  I 41  I 42      sin x  cos x dx  sin ( x  )   sin x  cos x  sin x  dx dx  sin x cos x  sin x 0 sin x  sin x  sin x dx   sin x  cos x dx sin x  cos x   3 sin(  x)  dx  sin x  cos x  dx tan x 0 cos x dx    I 40  I 38  cos x  (sin x  cos x  2) sin x  (2 sin x  cos x)  sin x dx x  cos x sin x  dx  cos x I 37 I 32 sin x cos x  dx  cos x   sin   I 23  sin x  sin x cot xdx sin x I 49 sin x cos x  dx  cos x I 50   sin x  cos x dx  tan x 0 cos x dx http://tuyensinh247.com/ 16 I 43   sin 3x sin x  tan x  cot x dx I 44   cos x   sin x dx I 45    cos  3 sin x dx x  sin x  http://tuyensinh247.com/ 17 ... Cộng (1) (2) ta có : I   dx  dx  x   I   cos x  sin x 0 6 e/  x m ? ?1  x  dx Đặt : t =1- x suy x =1- t Khi x=0,t =1; x =1, t=0; dt=-dx n 0 1 0 Do : I   ? ?1  t  t n (dt )   t n (1  t... 1  cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C x? ?1 x1dx  5 C  ln mxndu  a 1  cos(2 x  1) dx  sin(2 x  1)  C  sin(3x ? ?1) dx   cos(3x ? ?1)  C 1  sin (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C ... dx  2  t ? ?1  x   t   Đổi cận :    x   t  1 dt 1? ?? t2 I1   dt  2  2t 1? ?? t 0 t  1? ?? 3 5 Vậy : 1? ?? t2 1? ?? t2 a) I   1   t2 sin x  cos x  cos x  sin x C  A B  sin x