Đ1 phơng trình lợng giác (1) Phơng trình lợng giác có dạng dới ®©y:    u = v + k2π (1) cos u = cos v ⇐⇒  u = −v + k2π    u = v + kπ (3) tan u = tan v ⇐⇒   u 6= π + mπ  u = v + k2π (2) sin u = sin v ⇐⇒  (k ∈ Z) u = π − v + k2π    u = v + kπ (4) cot u = cot v ⇐⇒ (m, k ∈ Z)   u 6= m (2) Chú ý: Cần nhớ công thøc sau, nã gióp cho chóng ta biÕn ®ỉi nhanh chóng phơng trình cha phơng trình bản: cos u = cos v cos u = cos(π − v) ♥ tan u = − tan v ⇐⇒ tan u = tan(−v) π ♠ cos u = − sin v ⇐⇒ cos u = cos( + v) π ♥ tan u = − cot v ⇐⇒ tan u = tan( + v) ♦ sin u = − sin v ⇐⇒ sin u = sin(−v) π ♣ cos u = sin v ⇐⇒ cos u = cos( − v) π ♦ tan u = cot v ⇐⇒ tan u = tan( − v) (3) Phần giải tập: Bài 1: Giải phơng trình: (1) cos 2x + cos(x ) = π (3) sin(2x − ) + sin x = π ) = sin 3x (4) cos 4x + sin x = (2) cos(x + Bài giải: Phơng trình thứ có phơng trình dạng cos u = cos v chuyển vÕ, vËy ta gi¶i nh− sau π π (1) ⇐⇒ cos(x − ) = − cos 2x ⇐⇒ cos(x − ) = cos(π − 2x) 3   4π π 2π x − = π − 2x + k2π x= +k   (k ∈ Z) ⇐⇒  ⇐⇒  π 2π x − = −π + 2x + k2π x= + k2π 3 Phơng trình thứ hai có dạng cos u = sin v sử dụng công thức hai cung phụ để giải phơng trình nh sau k π x= x + = − 3x + k2π + π π   40 (k ∈ Z) (2) ⇐⇒ cos(x + ) = cos( − 3x) ⇐⇒  ⇐⇒  π π 7π x + = 3x − + k2π x=− + kπ 20 Phơng trình thứ ba có dạng sin u = − sin v nÕu chuyÓn vÕ, vËy ta gi¶i nh− sau  π π ) = − sin x ⇐⇒ sin(2x − ) = sin(−x) 4   π 2π π x= +k 2x − = −x + k2π   12 (k ∈ Z) ⇐⇒  ⇐⇒  π 5π 2x − = π + x + k2π x= + k2π 4 Phơng trình thứ t sẻ có dạng cos u = − sin v nÕu chun vÕ, vËy ta gi¶i phơng trình nh sau (4) cos 4x = − sin x ⇐⇒ cos 4x = cos( + x)   π 2π π 4x = + x + k2π x= +k   ⇐⇒  ⇐⇒  (k ∈ Z) π 2π π 4x = − − x + k2π x=− +k 10 Bài 2: Giải phơng trình sau: (3) sin(2x − π (1) cot 2x + cot(x − ) = π (3) tan(2x − ) cot x = (2) tan x + tan 3x = (4) cot 4x + cos 4x = Bµi giải: Phơng trình (1), trớc hết điều kiện để phơng trình có nghĩa 2x 6= m x 6= m , m ∈ Z(∗) Víi ®iỊu kiện () để ý phơng trình có phơng trình dạng cot u = cot v nÕu chun vÕ, vËy ta gi¶i nh− sau π π (1) ⇐⇒ cot(x − ) = − cot 2x ⇐⇒ cot(x − ) = cot(π − 2x) 3 π 4π kπ ⇐⇒ x − = π − 2x + kπ ⇐⇒ x = + (k ∈ Z) Đối với học sinh trung bình, yếu chấp nhận nghiệm phơng trình đà k cho đợc ghi dới dạng x = + , x 6= m víi m, k Z Còn với học sinh giỏi cần phải làm thêm bớc sau gọi "loại nghiệm" phơng trình lợng giác Xét phơng trình vô định nghiệm nguyên sau 4π kπ π 3m − + = m ⇐⇒ + 6k = 9m ⇐⇒ k = m − + ; m, k ∈ Z(∗∗) Ta cã nhËn xÐt r»ng: −2 3m − =l+ Z nên phơng trình () vô nghiệm + NÕu m = 2l th× 6 3m − + NÕu m = 2l + th× = l + Z nên phơng trình () vô nghiƯm ®iỊu ®ã chøng 6 4π kπ + , (k Z) họ nghiệm phơng trình ®· cho tá r»ng x = B×nh luËn: Việc giải phơng lợng giác đợc gọi nhng phơng trình có xuất giá trị tan, cot thực gọi chút nào, cần phải bình tĩnh trớc tập Chú ý việc giải phơng trình vô định nh thực dành cho học sinh giỏi phải có niềm tin, với học sinh khác bỏ qua mà không cần băn khoăn nhiều Tuy nhiên phơng trình thứ hai muốn đạt điểm tối đa chắn phải làm đợc bớc loại nghiệm Phơng trình thứ hai có dạng tan u = tan v, nÕu chun vÕ vËy chóng ta thùc hiƯn c¸c b−íc nh− sau π + mπ, m ∈ Z(∗) Với điều kiện (2) tan 3x = − tan x ⇐⇒ tan 3x = tan(−x) π ⇐⇒ 3x = −x + kπ ⇐⇒ x = k Xét phơng trình vô định nghiệm nguyên sau Điều kiện để phơng trình có nghĩa x 6= k π = + mπ ⇐⇒ k = 4m + 2; m, k ∈ Z(∗∗) π Ta thÊy: Ph−¬ng tr×nh (∗∗) cã nghiƯm k = 4m + 2, m ∈ Z vËy hä nghiÖm x = k (k Z) đà có nghiệm "vi phạm" điều kiÖn nÕu k = 4m + 2, m ∈ Z Do kết luận nghiệm phơng trình (2) lµ x = k , k 6= 4m + 2; m, k Z Nhng thấy kết luận nh cha "rõ ràng" cha thấy đợc việc giải phơng trình vô định thực để làm ta hÃy tham khảo đề tập: Tính tổng nghiệm phơng trình tan x + tan 3x = đoạn [0; 2010) Trớc hết bạn hÃy thữ chứng minh phát biểu sau: Nếu S1 tổng nghiệm phơng trình lợng giác đoạn [0; 2) tổng nghiệm phơng trình ®o¹n n(n + 1) (n − 1)n [0; n2π), n N đợc tính theo công thức S = S1 + m m số nghiệm 2 phơng trình đoạn [0; 2) Việc chứng minh phát biểu sẻ dễ bạn biết đến cấp số cộng (nhân) tính tuần hoàn hàm số lợng giác Do tính tổng S1 nghiệm phơng trình (2) đoạn [0; 2) Ta làm bớc tìm điều kiện giải nh trên, nhng xét nghiệm đoạn [0; 2) () cần xét giá trị m = 0, m = từ phơng trình () ta loại hai giá trị k = 2, k = Lúc phơng trình có nghiệm đoạn [0; 2) x = 0, x = , x = , x = π, x = , x = 4 4 2009.2010 2008.2009 5π + 6π vµ cã tỉng S1 = 5π Vậy tổng S = 2 Phơng trình thứ ba: Điều kiện để phơng trình có nghĩa x 6= m, m Z() với điều kiện ta giải phơng trình nh sau )= = tan x ⇐⇒ 2x − = x + kπ ⇐⇒ x = + kπ, (k ∈ Z) cot x 4 KiĨm tra ®iỊu kiƯn ta thÊy nghiệm họ thỏa mÃn, nghiệm phơng trình x = + k, (k Z) Phơng trình thứ t: Điều kiện để phơng trình có nghĩa 4x 6= m ⇐⇒ x 6= m , m ∈ Z(∗) Víi điều kiện ta giải phơng trình nh sau (3) ⇐⇒ tan(2x −  cos 4x = + 1) = ⇐⇒  sin 4x sin 4x = −1  π 4x = + kπ π π  ⇐⇒ x = + k , (k ∈ Z) ⇐⇒  π 4x = − + k2π Kiểm tra điều kiện thấy nghiệm họ nghiệm thỏa mÃn Vậy nghiệm phơng trình x = + k , (k Z) (4) Phần tập tự giải: (4) cos 4x( Bài 3: Giải phơng trình: (1) cos 3x = cos 1200 (2) cos2 x = (3) sin(x + 2) = √ √ (6) cot(3x − 1) = − x (8) cot 2x tan = (5) tan(x − 150 ) = √ (4) cos(4x + 30 ) = 3 (7) cos 2x tan x = Bài 4: Giải phơng trình: (1) cos( √ π − 3x) = (3) sin2 (150 − x) − = (2) cos 4x + cos 3x = √ (4) tan(x + 300 ) = (5) tan(x − 150 ) tan(x + 150 ) = (6) sin x + tan x = (7) cos 2x + sin x = (8) cot(2x − 1) + tan(2x − 1) = Đ2 phơng trình bậc cao hàm số lợng giác Nhiệm vụ mục giúp đa phơng trình lợng giác "phức tạp" phơng trình bậc cao đại số cách đặt ẩn phụ Sau giải tiếp phơng trình dạng bản, ý điều kiện ẩn phụ Cụ thể phơng trình bậc cao đại số mục phơng trình bậc hai, bậc ba, bËc bèn, (1) KiÕn thøc bæ sung: (1.1) Ta nhắc lại phơng trình at2 + bt + c = 0, a 6= víi biƯt thøc ∆ = b2 4ac phơng b với điều kiƯn ∆ ≥ tr×nh cã hai nghiƯm x1,2 = 2a (1.2) Chó ý hƯ thøc viet cho hai nghiƯm phơng trình b c x1 + x2 = − ; x1 x2 = a a (1.3) Gi¶ sử phơng trình bậc ba at3 + bt2 + ct + d = 0, a 6= cã ba nghiÖm x1 , x2 , x3 lóc ®o hƯ thøc viet cho ba nghiƯm nµy lµ b c d x1 + x2 + x3 = − ; x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = ; x1 x2 x3 = a a a (1.4) Bây ta xét phơng trình đa thức Pn (x) = bậc n ẩn x ∈ R Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a2 x2 + a1 x + a0 = NÕu x = α lµ mét nghiƯm phơng trình nghĩa an n + an1 αn−1 + + a2 α2 + a1 α + a0 = lóc ®ã ta nãi ®a thøc Pn (x) chia hÕt cho nhÞ thøc x − α hay Pn (x) = (x − α)Pn−1 (x) Chóng ta th−êng hay sử dụng phơng pháp sau để xác định hệ số Pn1 (x) đợc gọi lợc đồ "Hoc-ne" Để đơn giản cách ghi đặt Dm = an m + an1 m1 + + an−m+2 α2 + an−m+1 α + an−m Cô thÓ D0 = an ; D1 = an α + an−1 Dn−1 = an αn−1 + an−1 αm−2 + + a3 α2 + a2 α + a1 Dn = an αn + an−1 αn−1 + + a2 + a1 + a0 Theo cách đạt nh− thÕ chóng ta thÊy D0 = an , D1 = D0 α + an−1 tỉng qu¸t ta cã Dk = Dk1 + ank Với công thức hệ số đa thức Pn1 (x) đợc xác định lợc đồ dới "Đầu rơi, xơi tới" x= an an−1 a2 a1 a0 HS Pn (x) D0 D1 Dn−2 Dn−1 Dn HS Pn−1 (x) Hay ta có phân tích sau trờng hợp nghiƯm cđa Pn (x) Pn (x) = (x − α)Pn−1 (x) = (x − α)(D0 xn−1 + D1 xn−2 + + Dn−2 x + Dn−1 ) (1.5) §Ĩ minh họa hÃy xét toán đơn giản sau với tiêu đề chung phân tích thành nhân tư víi hƯ sè nguyªn VÝ dơ 1: P2 (x) = 2x2 − 5x + NÕu b¹n nghÜ r»ng tập dễ bạn có lẻ đà sai lầm, tay bạn máy tính bỏ túi phơng pháp nhẫm nghiệm phuwowng trình hệ số nguyên nhỉ, hÃy gác lại chuyên Bằng phơng pháp nhẫm đại số tìm đợc nghiệm x = lúc lợt đồ Hoc-ne nh− sau a2 = x=2 a1 = −5 a0 = P2 (x) D0 = D1 = −1D2 = P1 (x) Nghĩa ta có phân tÝch 2x2 − 5x + = (x − 2)(2x − 1) VÝ dô 2: P3 (x) = 4x3 − 2x2 3x + Bây cho dù bạn có náy tính bỏ túi nhng thuật toán chia đa thức khó để đạt đợc mục đích Không khó khăn để nhẫm đợc nghiệm x = 1, lúc lợt đồ Hoc-ne nh sau a3 = x=1 a2 = −2 a1 = −3 a0 = P3 (x) D0 = D1 = D2 = −1D3 = P2 (x) NghÜa lµ ta cã sù ph©n tÝch 4x3 −2x2 −3x+1 = (x−1)(4x2 +2x−1) Vì đa thức P2 (x) = 4x2 +2x1 phân tích thành tích hai đa thức có hệ số nguyên (Trong đại số cao cấp gọi P2 (x) bất khả quy Q), nên công việc phân tích thành nhân tử theo yêu cầu đề dừng lại (2) Chúng ta cần ý với phép đặt ẩn phụ t = cos x, t = sin x cần điều kiƯn cho tham sè lµ −1 ≤ t ≤ đặt ẩn phụ t = tan x, t = cot x t R, ý thêm số trờng hợp yêu cầu khắc khe nghiệm phơng trình lợng giác cần phải tìm xác khoảng biến thiên t, xét phơng trình mà nghiệm đợc tìm toàn miền xác định phơng trình Chúng ta quay lại vấn đề chuyên sâu sau Các công thức nhân đôi, nhân ba, hạ bậc, giúp ích nhiều cho mục này, cần nêu lại Công thức nhân đôi: sin 2x = sin x cos x tan 2x = tan x − tan2 x cos 2x = cos2 x − sin2 x = cos2 x − = sin2 x Công thức nhân ba: sin 3x = sin x − sin3 x Công thức hạ bậc: cos 2x sin2 x = sin x − sin 3x sin3 x = (3.) Phần giải tập: cos 3x = cos3 x − cos x + cos 2x cos x + cos 3x cos3 x = cos2 x = − cos 2x + cos 2x + cos 2x cot2 x = − cos 2x tan2 x = Bµi 1: Giải phơng trình sau: x x cos + = 2 (4) cot 4x − tan 4x + = (2) sin2 (1) cos2 x − cos x + = (3) cos2 x + sin x − = Bài giải: (1) Đặt t = cos x, |t| lúc phơng trình (1) đợc viÕt l¹i 2t2 − 3t + = ⇐⇒ t = ∨ t = + Víi t = ⇐⇒ cos x = ⇐⇒ x = k2π, k ∈ Z 1 π + Víi t = ⇐⇒ cos x = ⇐⇒ x = ± + k2π, k Z 2 Vậy phơng trình cã c¸c hä nghiƯm x = k2π, x = ± + k2π, k ∈ Z x x x x (2) Ta cã (2) ⇐⇒ − cos − cos + = ⇐⇒ cos2 + cos − = 2 2 x Đặt t = cos , |t| lúc phơng trình đợc viết lại t2 + 2t = ⇐⇒ t = ∨ t = −3(L) x = ⇐⇒ x = k4π, k ∈ Z Vậy phơng trình có họ nghiệm x = k4π, k ∈ Z + Víi t = ⇐⇒ cos (3) Ta cã (3) ⇐⇒ 8(1 − sin2 x) + sin x − = ⇐⇒ sin2 x − sin x = Đặt t = sin x, |t| lúc phơng trình đợc viết lại 8t2 − 2t − = ⇐⇒ t = 1 ∨t=− 1 π π ⇐⇒ sin x = ⇐⇒ x = + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ Z 2 6 + Víi t = − = sin α ⇐⇒ sin x = sin α ⇐⇒ x = α + k2π ∨ x = π − α + k2π, k Z Vậy phơng trình có họ nghiệm π π x = + k2π; x = + k2π; x = α + k2π vµ x = π − α + k2π, k ∈ Z 6 (4) Ta cã (4) ⇐⇒ cot 4x + cot 4x = + Với t = Đặt t = cot 4x, t R lúc phơng trình đợc viết lại t2 + t = ⇐⇒ t = ∨ t = −2 π π π + kπ ⇐⇒ x = + k , k ∈ Z 16 α π + Víi t = −2 = cot α ⇐⇒ cot 4x = cot α ⇐⇒ 4x = α + kπ ⇐⇒ x = + k , k ∈ Z 4 π π Vậy phơng trình có họ nghiệm x = + k , x = + k , k Z 16 4 Bài 2: Giải phơng trình sau: + Với t = cot 4x = ⇐⇒ 4x = (1) cos 2x − cos x + = (2) sin 3x − sin x = (3) tan 2x − tan x = (4) cos 4x − cos 2x + cos x − = Bµi giải: (1) Đặt t = cos x, |t| lúc phơng trình (1) đợc viết lại 2t2 − 2t + = ⇐⇒ t2 − t = ⇐⇒ t = ∨ t = + Víi t = ⇐⇒ cos x = ⇐⇒ x = k2π, k ∈ Z π + Víi t = ⇐⇒ cos x = ⇐⇒ x = + kπ, k ∈ Z π VËy phơng trình có họ nghiệm x = k2, x = + k, k Z (2) Đặt t = sin x, |t| lúc phơng trình đợc viết lại 3t 4t3 2t = ⇐⇒ t − 4t3 = ⇐⇒ t = ∨ t = 1 ∨t=− 2 + Víi t = ⇐⇒ sin x = ⇐⇒ x = kπ, k ∈ Z 1 π π + Víi t = ⇐⇒ sin x = ⇐⇒ x = + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ Z 2 6 1 π π + Víi t = − ⇐⇒ sin x = − ⇐⇒ x = − + k2π ∨ x = −5 + k2π, k ∈ Z 2 6 5π + k2, k Z Vậy phơng trình có c¸c hä nghiƯm x = kπ, x = ± + k2π, x = ± 6 tan x (3) Ta cã (3) ⇐⇒ − tan x = ⇐⇒ tan3 x − tan x = tan2 x Đặt t = tan x, t R lúc phơng trình đợc viết lại 1 3t3 − t = ⇐⇒ t = ∨ t = √ ∨ t = − √ 3 + Víi t = ⇐⇒ tan x = ⇐⇒ x = kπ, k ∈ Z π + Víi t = √ ⇐⇒ tan x = √ ⇐⇒ x = + kπ, k ∈ Z 3 1 π + Víi t = − √ ⇐⇒ tan x = − √ ⇐⇒ x = − + kπ, k ∈ Z 3 π π Vậy phơng trình có họ nghiệm x = k, x = + kπ, x = − + kπ, k ∈ Z 6 (4) Ta cã cos 2x = cos x − cos 4x = cos2 2x − = 2(2 cos2 x − 1)2 − = cos4 x − cos2 x + Do vậy, Đặt t = cos x, |t| lúc phơng trình đợc viết lại 8t4 − 8t2 + − 4(2t2 − 1) + 9t − = ⇐⇒ 8t4 − 16t2 + 9t − = ⇐⇒ (t − 1)(8t3 + 8t2 − 8t + 1) = + + + + ⇐⇒ (t − 1)(2t − 1)(4t2 + 6t − 1) = √ −3 ± 13 ⇐⇒ t = ∨ t = ∨ t = Víi t = ⇐⇒ cos x = ⇐⇒ x = k2π, k ∈ Z π Víi t = ⇐⇒ cos x = ⇐⇒ x = + k2π, k ∈ Z 2 √ −3 + 13 Víi t = = cos α ⇐⇒ x = ±α + k2π, k ∈ Z 4√ −3 − 13 Víi t = < 1, loại theo điều kiện (4) Phần tập tự giải: Bài 3: Giải phơng tr×nh sau: x x − sin + = 2 (4) cot x + tan x + = (1) sin2 x − sin x + = (2) cos2 (3) sin2 x + cos x − = Bµi 4: Giải phơng trình sau: (1) cos 2x sin x + = (2) cos 3x + cos x = (3) cot 2x − tan x = (4) cos 3x − cos 2x − cos x + = §3 phơng trình SIN cos (1) Kiến thøc bỉ sung: (1.1) C«ng thøc céng cung: cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (1.2) Công thức biến đổi biểu thức T = p cos x + q sin x: Ta cã " T = p cos x + q sin x = p p2 + q p p p2 + q cos x + p q p2 + q # sin x §Ĩ ý r»ng " #2 p p p2 + q " #2 q + p =1 p2 + q nên đặt cos = p p p2 + q2 q ; sin α = p p2 + q2 π π , α ∈ [− ; ] 2 biểu thức đà cho viÕt l¹i T = p p2 + q [cos α cos x + sin α sin x] = p p2 + q cos(x ) Đặc biệt lần lợt cho p, q nhận giá trị 1, ta đợc công thức sau cos x + sin x = cos(x − ) √ π cos x − sin x = cos(x + ) √ √ π π sin x − cos x = − cos(x + ) = sin(x ) 4 (2) Phơng trình bậc sin cos có dạng với pq 6= p sin x + q cos x + m = Theo biến đổi nh ta đa phơng trình vỊ d¹ng p −m p2 + q cos(x − α) + m = ⇐⇒ cos(x − α) = p p2 + q Đây phơng trình đà biết cách giải Từ thấy để phơng trình đà cho có m nghiệm điều kiện cho hệ số p ⇐⇒ m2 ≤ p2 + q 2 p +q 10 π Víi t2 = ⇐⇒ sin x cos x = ⇐⇒ x = k , k Z Vậy phơng trình đà cho có họ nghiệm (3) Đặt t = sin x + cos x ®iỊu kiƯn − ≤ t ≤ Ta cã sin 2x = t2 − =⇒ cos2 x = − (t2 − 1)2 = t4 + 2t2 Phơng trình đợc viết lại √ √ √ √ t4 − 2t2 − 2t + = ⇐⇒ (t − 2)(t3 + 2t2 − 2) = √ √ √ ⇐⇒ (t − 2)(t − 2)(t2 + 2t + 4) = √ π π Víi t = ⇐⇒ cos(x − ) = ⇐⇒ x = + k2π, k ∈ Z 4 3 (4) Ta cã sin x + cos x − sin x − cos x = cos 2x ⇐⇒  (sin x+cos x)(sin2 x+cos2 x+sin x cos x)−(sin  x+cos x) = (cos x+sin x)(cos x−sin x)  cos x + sin x =  cos x + sin x = ⇐⇒  ⇐⇒  + sin x cos x − = cos x − sin x sin x cos x + sin x − cos x = π Ph−¬ng tr×nh (i) ⇐⇒ x = − + kπ, k ∈ Z − (sin x − cos x)2 Ph−¬ng tr×nh (ii) ⇐⇒ + (sin x − cos x) = ⇐⇒ (sin x − cos x)2 − 2(sin x − cos x) − = √ ⇐⇒ sin x − cos x = ± √ √ π 1− ⇐⇒ sin x − cos x = − ⇐⇒ sin(x − ) = √ = sin α 3π π − α + k2π, k ∈ Z ⇐⇒ x = + α + k2 x = 4 Vậy phơng trình đà cho có họ nghiệm (i) (ii) (4) Phần tập tự giải: Bài 3: Giải phơng trình sau: (1) sin x + cos x + sin x cos x + = (3) √ (2) sin 2x + (sin x + cos x) − = (sin x − cos x) − sin x cos x − − =0 2 (4) sin x − cos x − sin x cos x = Bài 4: Giải phơng tr×nh sau: =0 (4) sin3 x + cos3 x + cos 2x − √ = √ 4 (5) sin x + cos x + sin x + cos x − (sin x + cos x) + (1 + 2) sin x cos x = (1) sin3 x − cos3 x = √ (3) 2(sin x − cos x) + sin2 2x = (2) sin4 x + cos4 x + sin 2x 17 Đ5 phơng trình đẳng cấp sin cos (1.1) Phơng trình đẳng cấp bậc 2: Phơng trình đẳng cấp bậc hai có d¹ng: a cos2 x + b sin x cos x + c sin2 x = Để giải phơng trình vận dụng cách giải phơng trình bậc sin cos nhiên cách giải sau thờng hay đợc áp dụng, đặc biệt toán biện luận nghiệm cã chøa tham sè Tr−íc hÕt ta cã nhËn xÐt nÕu mét ba hÖ sè a, b, c b»ng không phơng trình trở nên đơn giản ta giả sử ba hệ số khác không, lúc chia hai vế phơng trình cho sin2 x cos2 x ta đợc phơng trình bậc hai theo ẩn cot x tan x Đặt t = cot x, t R phơng trình ®· cho trë thµnh at2 + bt + c = Chú ý phơng trình sau đa dạng biến đổi d = d sin2 x + d cos2 x a cos2 x + b sin x cos x + c sin2 x + d = (1.2) Phơng trình đẳng cấp bậc 3: Phơng trình đẳng cấp bậc ba có dạng: (a.b.c.d 6= 0) : a cos3 x + b cos2 x sin x + c sin2 x cos x + d sin3 x = Tơng tự nh chia hai vế phơng trình cho sin3 x cos3 x ta đợc phơng trình bậc ba theo ẩn cot x tan x Đặt t = cot x, t R phơng trình đà cho trở thành at3 + bt2 + ct + d = Bằng cách tơng tự có cách giải phơng trình đẳng cấp bậc bốn cao nữa, bạn hÃy tự viết lấy cho (2) Phần giải tập: Bài 1: Giải phơng trình: 18 (1) cos2 x + sin x cos x − sin2 x = (2) cos2 x + sin x cos x + sin2 x − = √ (3) sin x cos x + cos2 x = sin2 x + √ √ √ π (4) sin x + cos x = + (5) sin3 ( + x) = sin x cos x sin x 3 (6) cos x − 11 cos x sin x = sin x − 17 sin x cos x Bài giải: (1) Đặt t = cot x, t R phơng trình đà cho trở thành t2 + t − = ⇐⇒ t = ∨ t = −2 π + Víi t = ⇐⇒ cot x = ⇐⇒ x = + kπ, k ∈ Z + Víi t = −2 ⇐⇒ cot x = cot α ⇐⇒ x = α + k, k Z Vậy phơng trình có hä nghiÖm x = + kπ, x = α + kπ, k ∈ Z (2) Ta cã (2) ⇐⇒ cos x + sin x cos x + sin2 x − sin2 x − cos2 x = ⇐⇒ cos2 x + sin x cos x sin2 x = Giải nh cã c¸c hä nghiƯm x = + kπ, x = α + kπ, k ∈ Z (3) Ta thÊy cos x = phơng trình không thỏa, với cos x 6= chia hai vế phơng trình cho cos2 x đặt t = tan x ta có phơng trình dới 2 3t + = 2t + (1 + t ) ⇐⇒ 9t − 3t − = ⇐⇒ t = ∨ t = − √ √ π ⇐⇒ tan x = ⇐⇒ x = + kπ, k ∈ Z √ = tan α ⇐⇒ cot x = cot α ⇐⇒ x = α + kπ, k ∈ Z + Víi t = − π VËy ph−¬ng trình có họ nghiệm x = + k, x = α + kπ, k ∈ Z (4) §iỊu kiện để phơng trình có nghĩa sin x cos x 6= 0, với điều kiện ta có (4) ⇐⇒ sin2 x cos x + cos2 x sin x = sin x + cos x √ √ ⇐⇒ tan2 x + tan x = tan x(1 + tan2 x) + + tan2 x + Với t = Đặt t = tan x, t R phơng trình trở thành √ 3t3 − t2 − √ √ 3t + = ⇐⇒ (t2 − 1)( 3t − 1) = ⇐⇒ t = ±1 ∨ t = √ Giải phơng trình ta đợc họ nghiệm phơng trình x= + k , x = + kπ, k ∈ Z 19 √ √ ) (sin x + cos x)3 = sin x ⇐⇒ (sin x + cos x)3 = sin x Chia hai vế phơng trình cho cos3 x 6= đặt t = tan x, t R ta đợc phơng trình sau (5) Ta có (5) ( (1 + t)3 = 4t(t2 + 1) ⇐⇒ 3t3 − 3t2 + t − = ⇐⇒ (t − 1)(3t2 + 1) = ⇐⇒ t = π + kπ, k ∈ Z (6) KiÓm tra sin x = không thỏa phơng trình, chia hai vế phơng trình cho sin3 x 6= Giải phơng trình tan x = ta đợc nghiệm phơng trình x = đặt t = cot x ta đợc phơng trình sau 2t3 11t2 + 17t − = ⇐⇒ t = ∨ t = t = Từ phơng trình đà cho có ba họ nghiệm Bài 2: Giải phơng trình: (1) tan2 x + cot2 x = (2) tan3 x + cot3 x + tan x + cot x = 26 (4) tan4 2x − cot2 2x = (3) tan3 2x + cot 2x = Bài giải: (3) Phần tập tự giải: (1) cos2 x + sin x cos x − sin2 x = (2) cos2 x + sin x cos x + sin2 x − = √ (3) sin x cos x + cos2 x = sin2 x + √ √ √ π (4) sin x + cos x = + (5) sin3 ( + x) = sin x cos x sin x 3 (6) cos x − 11 cos x sin x = sin x − 17 sin x cos x 20 ... an−1 αn−1 + + a2 α2 + a1 α + a0 = lóc ®ã ta nói đa thức Pn (x) chia hết cho nhị thøc x − α hay Pn (x) = (x − )Pn1 (x) Chúng ta thờng hay sử dụng phơng pháp sau để xác định hệ số Pn1 (x) đợc gọi... định lợc đồ dới "Đầu rơi, xơi tới" x= an an1 a2 a1 a0 HS Pn (x) D0 D1 Dn−2 Dn−1 Dn HS Pn−1 (x) Hay ta cã sù ph©n tÝch sau trờng hợp nghiệm Pn (x) Pn (x) = (x − α)Pn−1 (x) = (x − α)(D0 xn−1 +... lầm, tay bạn máy tính bỏ túi phơng pháp nhẫm nghiệm phuwowng trình hệ số nguyên nhỉ, hÃy gác lại chuyên Bằng phơng pháp nhẫm đại số tìm đợc nghiệm x = lúc lợt đồ Hoc-ne nh sau a2 = x=2 a1 = −5