skkn một số phương pháp giải hệ phương trình đại số

52 418 0
skkn một số phương pháp giải hệ phương trình đại số

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Trãi Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Người thực hiện: KHƯƠNG NGUYỄN ĐỨC DUY Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn TOÁN  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác  Có đính kèm:  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2013 - 2014 2 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN: 1. Họ và tên: KHƯƠNG NGUYỄN ĐỨC DUY 2. Ngày tháng năm sinh: 20 - 05 - 1966 3. Nam, nữ: Nam 4. Địa chỉ: 192/57 - Ấp Tam Hòa – Xã Hiệp Hòa – Biên Hòa, Đồng Nai 5. Điện thoại: 0919735284 6. Fax: 7. Chức vụ: Giáo viên 8. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 1992 - Chuyên ngành đào tạo: Giáo viên Toán THPT III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC: - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: - Số năm có kinh nghiệm: - Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 3 SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Đơn vị: TR THPT NGUYỄN TRÃI Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Biên Hòa, ngày 28 tháng 04 năm 2014 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2013-2014 Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Họ và tên tác giả: KHƯƠNG NGUYỄN ĐỨC DUY Đơn vị (Tổ): TOÁN - TIN Lĩnh vực: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn TOÁN  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác  1. Tính mới - Có giải pháp hoàn toàn mới  - Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có  2. Hiệu quả: - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao  - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao  - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao  - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả  3. Khả năng áp dụng: - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Mục lục Lời nói đầu……………………………………………………………………………… 1. Sử dụng phương pháp thế …………………………………………………………… …Trang 4 2. Sử dụng phương pháp thế kết hợp với phương pháp đồng bậc………………………….…… 9 3. Một trong hai phương trình đã cho biến đổi một vế thành dạng tích, vế còn lại bằng 0………………………………………………………………………………………………… 10 4. Giải hệ bằng cách sử dụng phương pháp thế, kết hợp với đặt ẩn phụ đưa hệ đã cho về hệ cơ bản…………………………………………………………………………………………………14 5. Biến đổi hệ phương trình……………………………………………………………………….21 6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số………………………………………………………… 25 7. Phương pháp nhận xét và đánh giá hai vế kết hợp với sử dụng bất đẳng thức Cauchy…………………………………………………………………………………………….31 8. Phương pháp lượng giác hóa………………………………………………………………… 32 9. Hệ phương trình đối xứng………………………………………………………………… … 33 10. Hệ đẳng cấp……………………………………………………………………………… ….36 LỜI NÓI ĐẦU Bài toán hệ phương trình đại số thường gặp trong các đề thi Đại học. Khi học ở lớp 10, các em học sinh đã biết giải một số hệ phương trình bậc hai hai ẩn, chủ yếu là các bài toán hệ phương trình có phương pháp giải cụ thể. Sáng kiến kinh nghiệm nầy phù hợp cho học sinh lớp 10 nâng cao, một số bài toán có sử dụng công cụ đạo hàm phù hợp với đối tương là học sinh lớp 12 Luyện thi Đại học. Sự phân loại dạng toán và sử dụng phương pháp trong tài liệu nầy chỉ mang tính chất tương đối, chủ yếu là biến đổi hệ phương trình để đưa về dạng có cách giải quen thuộc. Rất mong được nhận xét và góp ý chân tình của hội đồng chấm và đánh giá sáng kiến kinh nghiệm. 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 1. Sử dụng phương pháp thế Dạng toán: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x (hoặc y), khi đó ta tìm cách rút x theo y (hoăc y theo x ), sau đó thế vào phương trình còn lại ta được phương trình một ẩn. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: 2 2 1 5 4 1 2 8 9 1 2 ( ) ( ) x y x y x y  − =    + − + =  Lời giải. •Từ (1) ta có 10 1 8 x y − = , thế vào (2) ta được 2 164 188 135 0x x+ − = (3) Giải phương trình (3) tìm được nghiệm 1 135 2 82 ;x x − = = . •Với 1 1 2 2 x y= ⇒ = ; với 135 179 82 82 x y= − ⇒ = − •Vậy nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là 1 1 135 179 2 2 82 82 ; , ;     − −  ÷  ÷     . Bài tập tương tự 1) 2 2 2 3 2 3 4 2 x y x y x y  − = −   + − − = −   Đs: 1 5 1 2 3 3 ( ; ), ;    ÷   . 2) 2 2 3 1 24 x y x xy  − =   − =   Đs: 19 9; ;(8;5) 3   − −  ÷   3) 2 2 3 6 2 5 7 5 51 x y x y x y  + = −   − − + = −   . Đs: 159 219 1 3 43 43 ( ; ), ;   − − −  ÷   Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 18 1 3 5 6 24 2 ( ) ( ) xy y x xy x y  − + =   + − =   Lời giải. •Từ (2) ta có 2 2 18 2 3 y x y + = + , thay vào (1) và rút gọn ta được phương trình: 2 14 36 18 0y y− − = (3) Giải phương trình (3) tìm được nghiệm 3 3 7 ;y y= = − • 3 75 3 3 7 13 ;y x y x= ⇒ = = − ⇒ = •Vậy nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là ( ) 75 3 3 3 13 7 ; , ;   −  ÷   . Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: 2 2 2 ( 1)( 1) 3 4 1 (1) 1 (2) x y x y x x xy x x  + + + = − +   + + =   Lời giải. •Ta thấy hệ không có nghiệm ( ; )x y mà 0x = •Xét 0x ≠ :Từ (2) ta có 2 1 1 x y x − + = , thay vào (1) ta được 4 2 2 ( 1)(2 1) ( 1)(3 1)x x x x− − = − − 2 0 2 ( 1) ( 2) 0 1 2 x x x x x x  =  ⇔ − + = ⇔ =   = −  Vì 0x ≠ nên ta nhận 1; 2x x= = − • 5 1 1 2 2 ;x y x y= ⇒ = − = − ⇒ = − . •Vậy nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là 5 (1; 1); 2; 2   − − −  ÷   Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: 3 2 2 5 7 (1) 3 2 3 (2) x xy y x x y  − + =   − + =   Lời giải. •Từ (2) ta có 2 3 2 3y x x= − + + , thay vào (1) ta được: 3 2 7 19 4 8 0x x x− + + = 2 ( 1)(7 12 8) 0x x x⇔ − − − = 6 2 23 6 2 23 1; ; 7 7 x x x − + ⇔ = = = • 6 2 23 153 44 23 6 2 23 153 44 23 1 2 ; ; 7 49 7 49 x y x y x y − − + + − − = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = •Vậy nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là: ( ) 6 2 23 153 44 23 6 2 23 153 44 23 1;2 ; ; ; ; 7 49 7 49     − − + + − −  ÷  ÷  ÷  ÷     Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: 3 2 4 6 2 2 ( 1) 4 (1) 5 4 (2) x y x x x x y  + + =   − =   Lời giải. •Ta thấy 1x = − không thỏa (1) •Xét 1x ≠ − :Từ (1) ta có 2 3 4 2 1 x x y x − = + . Thay vào (2) ta được: 4 2 4 6 2 4 (2 ) 5 4 ( 1) x x x x x − − = + 2 4 2 2 4(2 ) (5 4 ) 0 ( 1) x x x x   − ⇔ − − =   +   2 0 ( 1)(2 1)(2 7 11) 0 x x x x x  = ⇔  − − + + =  1 0; 1; 2 x x x⇔ = = = • 1 1 0 0 1 1 2 2 ; ;x y x y x y= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = •Vậy nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là ( ) 1 1 0 0 1 1 2 2 ; , ( ; ) ;    ÷   . Ví dụ 6. Giải hệ phương trình: 5 1 (1) 2 3 2( 3) 1 (2) 4 x y y x x  − + =     + − + = −   5 Lời giải. •Điều kiện: 5 2 1 x y  ≥    ≥ −  . •(1) 2 2 5 5 21 1 1 5 2 2 4 y x y x y x x   ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = − +  ÷   . Thế vào (2) ta được 2 21 3 5 2( 3) 1 4 4 x x x x− + + − + = − 2 ( 5 6) 2( 3) 1 0x x x x⇔ − + + − + = ( 3)( 2 2 1) 0x x x⇔ − − + + = 3x ⇔ = (vì 5 2 x ≥ nên: 2 2 1 0x x− + + > ) • 3 3 4 x y= ⇒ = − •Vậy nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là 3 3 4 ;   −  ÷   Dạng toán. Hệ có một phương trình là hàm bậc hai của x hoặc của y, giải phương trình theo ẩn đó sẽ rút ra x theo y (hoặc y theo x). Ví dụ 7. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 0 1 3 4 2 ( ) ( ) x xy y x y y x  − − =   + + − =   Lời giải. •Từ (1) ta có 2 0 2 ( )( ) y x x y x y y x  = − + = ⇔  = −  , •Với y x= , thế vào (2) ta được 2 2 2 4 0x x+ − = ⇔ 1 2;x x= = − 1 1 2 2;x y x y= ⇒ = = − ⇒ = − . •Với 2y x= − , thế vào (2) ta được 2 5 7 4 0x x− − = ⇔ 7 129 7 129 10 10 ;x x + − = = 7 129 7 129 7 129 7 129 10 5 10 5 ;x y x y + − − − − + = ⇒ = = ⇒ = •Vậy nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là 7 129 7 129 7 129 7 129 1 1 2 2 10 5 10 5 ( ; ), ( ; ), ; ; ;     + − − − − + − −  ÷  ÷  ÷  ÷     Chú ý: có thể xem (1) là phương trình bậc hai với ẩn x, tính y theo x. Ví dụ 8. Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 2 (1) 5 8 4 (2) x y x x xy y  + + − =   + =   Lời giải. •Xem (2) là phương trình bậc hai với ẩn y (x là tham số), tìm được 1 2 y x= − và 5 2 x y = Ta có hai hệ phương trình sau 6 • 5 2 1 2 5 1 . 2 2 x x y x y y x   = + + − =   ⇔   = − = −     • 2 1 2 5 2 x y x y x  + + − =   =   vô nghiệm Vậy nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là 5 5; 2   −  ÷   . Ví dụ 9. Giải hệ phương trình: 2 3 3 15 1 4 3 (1) 2 2 5 6 3 12 (2) y xy y x x y  + + = +   − + − =   Lời giải. •Điều kiện: 2y ≤ . •Xem (1) là phương trình bậc hai với ẩn y (x là tham số): 2 3 ( 14) 15 3 0y x y x+ − + − = Tìm được 3y = (loại) và 5 3 x y − = •Với 5 3 x y − = , thay vào (2) ta được 3 2 2 5 1 12 0x x− + + − = (3). Đặt 3 2t x= − thì 3 1 3x t+ = + , ta có phương trình 3 2 5 3 12 0t t+ + − = (3) 3 2 12 2 0 (3) 25 4 48 69 0 t t t t  − ≥  ⇔  − + − =   2 6 ( 1)(25 21 69) 0 t t t t  ≤  ⇔  − + + =   1t ⇔ = •Vậy nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là 2 3; 3    ÷   . Chú ý. Có thể giải phương trình (3) bằng cách đặt 3 2 1 ( 0) u x v x v  = −   = + ≥   , •Ta có hệ phương trình 3 2 3 2 5 12 u v u v  − = −   + =   . •Giải hệ tìm được ( , ) ( 0)u v v ≥ , từ đó suy ra nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là 2 3; 3    ÷   . Ví dụ 10. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 10 5 2 38 6 41 0 1 3 2 5 17 6 20 0 2 , ( ) ; ( ) x y xy x y x y xy x y  + − − − + =   − + − − + =   Hd: Xem (2) là phương trình bậc hai với ẩn x, tính x theo y. Đs: { } (2;1) . Ví dụ 11. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 2 8 10 0, (1) 2 7 3 13 4 7 0;(2) x xy y x y x xy y x y  − + + − + =   − + + − − =   Hd: Xem (1) là phương trình bậc hai với ẩn x, tính x theo y. Đs: { } (2;3) . Ví dụ 12. Giải hệ phương trình: 3 2 2 2 2 2 2 4 4 3 6 0, (1) 3 3 2 3 1 0; (2) x x y x xy xy y x y x xy x y  + + − − + − + =   + − − − =   7 [...]... y − x = 2y   1 u = x − y  Hd: Đặt  v = x  y  5 Biến đổi hệ phương trình Dạng toán Biến đổi hệ phương trình để xuất hiện một biểu thức có dạng tam thức bậc hai, sau đó kết hợp với một trong hai phương trình còn lại  x + 4 x − y = y + 12 (1)  Ví dụ 42 Giải hệ phương trình sau:   2( x − 1) + y + 2 2 x + ( y − 1) = 3 (2)  Lời giải •Biến đổi (1) thành ( x − y ) + 4 x − y − 12 = 0 x − y = 2;... 3 5 7 •Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( x; y ) =  ; − ÷ 3 3  y + 2 x + y = 15 − x (1)  32 13   Ví dụ 43 Giải hệ phương trình sau:  Đs:  ; ÷  5 5  x − 2(2 y + 1) + 3 x − 4( y − 1) = 6 (2)   x + y + 3 x + y = 18  Ví dụ 44 Giải hệ phương trình sau:  2 Đs: { (−2;11), (11; −2)} 2  x + y = 125  2 x + y 2 + x 2 + y 4 = 1 (1)  Ví dụ 45 Giải hệ phương trình sau:  2 2 4  x... , kết hợp với phương trình (1) ta có phương trình x 3 − 3 x = 4 − x 2 (3)  π Đặt x = 2 cos t, t ∈  0;  , ta được phương trình 2 cos3t = 2sin t Giải phương trình tìm được  2 nghiệm x = π  π ∈ 0; 8  2    π 2 π •Vậy nghiệm ( x; y ) của hệ đã cho là (2;16),  2 cos ; 9 cos ÷ 8 8   1 2  x 1 − y = 4 (1)  Ví dụ 66 Giải hệ phương trình sau:   y 1 − x 2 = 1 (2)   4 Lời giải 0 ≤ x ≤... 2  x + y2 = 2  Giải hệ phương trình (*) và kết hợp với trường hợp (1) ta có nghiệm ( x; y ) của hệ phương trình 2 2 3 2 2  2 2 10   2 2 10  ; ;− ÷,  − ÷ đã cho là: (1;1),(−1; −1),   5 5 ÷ 5 5 ÷     Chú ý ở trường hợp 2) ta có sử dụng phương pháp đồng bậc x 1 4 2  y + x y = 2 + x (1)  xy Ví dụ 23 Giải hệ phương trình sau:   1 + x 2 y 2 + 4 y 2 = 0 ( 2) x  Lời giải Điều kiện x ≠... − 2 + 3 6 − y − 8 = 0  2 Sử dụng phương pháp thế kết hợp với phương pháp đồng bậc  x 3 + y3 = 1 (1)  Ví dụ 16 Giải hệ phương trình  2 2 3  x y + 2 xy + y = 2 (2)  Nhận xét: Vế trái của phương trình thứ hai là bậc ba, còn vế phải là bậc không Do đó ta nghĩ đến phương pháp đồng bậc, thế (1) vào (2) ta được: x 2 y + 2 xy 2 − y 3 − 2 x 3 = 0 (3) Lời giải •Ta thấy hệ không có nghiệm ( x; y ) mà y =... 2x ≤ 1 ⇒ y3 ≥ −1 2 x +1 8 Phương pháp lượng giác hóa x3 = 4 − x2 + 2 y (1)  Ví dụ 65 Giải hệ phương trình sau:  3 x 4 + 4 y = 2 x y ( x 2 + 3) (2)  Nhận xét: Trong phương trình (3) có chứa biểu thức có dạng pháp lượng giác Lời giải a 2 − x 2 nên ta nghĩ đến phương •Điều kiện: y ≥ 0, 0 ≤ x ≤ 2 ( )( ) 3 • (2) ⇔ x − 2 y 3 x − 2 y = 0 •Với x 3 = 2 y , kết hợp với phương trình (1) ta tìm được x =... (−125; −5), 9 3; −3 , −9 3; −3 13 ) )} 4 Giải hệ bằng cách sử dụng phương pháp thế, kết hợp với đặt ẩn phụ đưa hệ đã cho về hệ cơ bản   x (2 x + 3y )( x − 1) = 14 Ví dụ 29 Giải hệ phương trình sau:  2  x + x + 3y = 9  Lời giải (2 x + 3y )( x 2 − x ) = 14  Hệ được viết lại:  2  x − x + ( 2 x + 3y ) = 9  2 u = x − x u + v = 9 u = 2 u = 7  ⇔ , •Đặt  , hệ trở thành  uv = 14 v = 7 v = 2... Hd: Xem (2) là phương trình bậc hai với ẩn x, tính x theo y Đs:  − ; ÷; ( 1; y ) )  , y ∈ R  9 9   2 2 xy + y − 4 x − 3y + 2 = 0, (1)  Ví dụ 13 Giải hệ phương trình:  2  xy + 3y − 2 x − 14 y + 16 = 0; (2)  Hd: Xem (2) là phương trình bậc hai với ẩn x, tính x theo y Đs: { ( −1;3) ; ( x;2 ) } , x ∈ R  x 2 + 2 xy − 8y 2 − 6 x + 18y − 7 = 0, (1)  Ví dụ 14 Giải hệ phương trình:  2 2 2... ÷,  ÷ Tìm được nghiệm ( x; y ) của hệ là (−1;3),(2,1)   2 3 ÷ 2 3 ÷       xy − x + y = −3 Ví dụ 30 Giải hệ phương trình:  2 2  x + y − x + y + xy = 6  Lời giải ( y − x ) + xy = −3  Hệ được viết lại:  2 ( y − x ) + ( y − x ) + 3 xy = 6  u + v = −3 u = y − x  •Đặt  , hệ phương trình trở thành  2 u + u + 3v = 6  v = xy  u = −3 u = 5 , Giải hệ tìm được  ,  v = 0  v = −8 u... 22 = y 3 + 3y 2 − 9 y (1)  Ví dụ 58 Giải hệ phương trình:  2 1 2 (2) x + y − x + y =  2 Đại học khối A và A1 năm 2012  3 1   1 3   Đs:  ; − ÷,  ; − ÷  2 2   2 2   Nhận xét: Ở phương trình (1), ta thấy bậc của x và y cùng là bậc ba nên có khả năng sử dụng phương pháp hàm số Lời giải ( x − 1)3 − 12( x − 1) = ( y + 1)3 − 12( y + 1) (1)  2 2 Hệ được viết lại  1  1 (2)  x . chấm và đánh giá sáng kiến kinh nghiệm. 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 1. Sử dụng phương pháp thế Dạng toán: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x (hoặc y), khi đó. nghiệm: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Họ và tên tác giả: KHƯƠNG NGUYỄN ĐỨC DUY Đơn vị (Tổ): TOÁN - TIN Lĩnh vực: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn TOÁN  Phương pháp. biết giải một số hệ phương trình bậc hai hai ẩn, chủ yếu là các bài toán hệ phương trình có phương pháp giải cụ thể. Sáng kiến kinh nghiệm nầy phù hợp cho học sinh lớp 10 nâng cao, một số bài

Ngày đăng: 28/02/2015, 10:07

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan